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2005-2013年广州市中考数学试题按考点类型分类汇编7第七章 二次函数

第七章 二次函数

1.(2013年?广州25)、(本小题满分14分)

已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A (1,0),顶点为B ,且抛物线不经过第三象限。 (1)使用a 、c 表示b ;

(2)判断点B 所在象限,并说明理由;

(3)若直线y 2=2x+m 经过点B ,且于该抛物线交于另一点C (,8c

b a

+),求当x ≥1时y 1的取值范围。

(1)∵ 抛物线21(0,)y ax bx c a a c =++≠≠过点(1,0)A

∴ 0a b c =++

b a

c =--

(2)∵抛物线不经过第三象限

∴0a >且0c ≥ ∵点B 为抛物线的顶点

∴B 2

4(,

)24b ac b a a

-- ∴022b a c a a

+-

=> 22

44()44ac b ac a c a a

----= 2

2

4()4()4ac a c a

a c a -+=

--=

∵a c ≠ ∴

2

()04a c a

--< ∴点B 在第四象限上.

(3)由题知,点(,8)c

C b a +在抛物线上,

当c

x a

=时,

21222

()()()0y ax a c x c c c a a c c

a a

c c c c a a =-++=?-+?+=--+= ∴80b +=

8b =-

又b a c =-- ∴8c a =- ∵

212

888y ax x c ax x a

=-+=-+-

∴2

4(4)(,

)a B a a

-- 将点8(

,0)a

C a -代入22y x m =+ 802a m a -=?+

∴216

a m a

-=

∴2216

2a y x a

-=+

再把点2

4(4)(,)a B a a

--代入22162a y x a -=+

2(4)4216

22a a a a

---=?+ 解得:2a =或4 当2a =时,

21286y x x =-+

当1

x≥时,

12

y≥-

当4

a=时,4

a c

==(不合题意)综上所述,当1

x≥时

12

y≥-

2.(2012?广州2)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(A)

A.y=x2﹣1B.y=x2+1C.y=(x﹣1)2D.y=(x+1)2 3.(2012?广州24)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B

的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.

考点:二次函数综合题。

解答:

解:(1)令y=0,即=0,

解得x1=﹣4,x2=2,

∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0).

(2)S△ACB=AB?OC=9,

在Rt△AOC中,AC===5,

设△ACD中AC边上的高为h,则有AC?h=9,解得h=.

如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.

设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=,

∴CE==.

设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,

得到,解得,∴直线AC解析式为y=x+3.

直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,

∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣.

则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣4,).

同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,)

综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,).

(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.

连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.

∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3.

又FE=5,则在Rt△MEF中,

ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.

在Rt△FMN中,MN=MN?sin∠MFE=3×=,

FN=MN?cos∠MFE=3×=,则ON=,

∴M点坐标为(,)

直线l过M(,),E(4,0),

设直线l的解析式为y=kx+b,则有

,解得,

所以直线l的解析式为y=x+3.

同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.

综上所述,直线l 的解析式为y=x+3或y=x ﹣3.

4.(2011?广州24).(14分)已知关于x 的二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x 轴交于不同的两点A 、B ,点A 的坐标是(1,0) (1)求c 的值;

(2)求a 的取值范围;

(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C 、D 两点,设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ,记△PCD 的面积为S 1,△PAB 的面积为S 2,当0

解:(1)将点C (0,1)代入2

y ax bx c =++得 1c =

(2)由(1)知2

1y ax bx =++,将点A (1,0)代入得 10a b ++=, ∴ ()1b a =-+ ∴ 二次函数为()2

11y ax a x =-++

∵二次函数为()2

11y ax a x =-++的图像与x 轴交于不同的两点

∴ 0?>,而()()2

2

2214214211a a a a a a a a ?=-+-=++-=-+=-????

∴ a 的取值范围是 0a >且1a ≠ (3)证明: ∵ 01a <<

∴ 对称轴为11

122a a x a a

--+=-

=> ∴ 11212a a

AB a a +-??=-=

???

把1y =代入()211y ax a x =-++得

()210ax a x -+=,解得 1210,a

x x a

+==

∴ 1a

CD a

+=

∴ 12PCD PAB ACD CAB S S S S S S ????-=-=-

11

22CD OC AB OC ??-?? =111111222a a

a

+-?

?-??=1 ∴12S S -为常数,这个常数为1。

5.(2010广东广州,21,12分)已知抛物线y =-x 2+2x +2.

(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ;

112212y 1

与y 2的大小.

【分析】(1)代入对称轴公式2b x b =-和顶点公式(-2b

b ,244a

c b a

-)即可;(3)结

合图像可知这两点位于对称轴右边,图像随着x 的增大而减少,因此y 1<y 2.

【答案】解:(1)x =1;(1,3)

(2)

(3)因为在对称轴x =1右侧,y 随x 的增大而减小,又x 1>x 2>1,所以y 1<y 2. 6.(2009广东广州4). 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( A ) (A )2 (B )1 (C )-1 (D )-2 7.(2009广东广州25).(本小题满分14分)

如图13,二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为4

5

。 (1)求该二次函数的关系式;

(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴上午垂线,若该垂线

与ΔABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD

为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由。

解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC ×AB=45,得AB=52

设A (a,0),B(b,0)

AB=b-a=

52,解得p=32±,但p<0,所以p=3

2

-。 所以解析式为:2

3

12y x x =-

- (2)令y=0,解方程得2

3102x x --=,得121,22x x =-=,所以A(12

-,0),B(2,0),在直角三

角形AOC 中可求得

同样可求得

,显然AC 2+BC 2=AB 2,得三角形ABC

x

是直角三角形。AB 为斜边,所以外接圆的直径为AB=

52,所以5544

m -≤≤. (3)存在,AC ⊥BC,①若以AC 为底边,则BD//AC,易求AC 的解析式为y=-2x-1,可设BD

的解析式为y=-2x+b ,把B(2,0)代入得BD 解析式为y=-2x+4,解方程组2

31

2

24

y x x y x ?=--???=-+?得D (5

2

-

,9) ②若以BC 为底边,则BC//AD,易求BC 的解析式为y=0.5x-1,可设AD 的解析式为y=0.5x+b ,

把 A(12-,0)代入得AD 解析式为y=0.5x+0.25,解方程组2

31

2

0.50.25y x x y x ?=--???=+?

得D(53,22) 综上,所以存在两点:(52-

,9)或(53

,22

)。 8、(2008广州25)(14分)如图11,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD=DC=2cm ,BC=4cm ,在等腰△PQR 中,∠QPR=120°,底边QR=6cm ,点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上,且C 、Q 两点重合,如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动,t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 (1)当t=4时,求S 的值

(2)当4t ≤≤10,求S 与t 的函数关系式,并求出S 的最大值

(1)t =4时,Q 与B 重合,P 与D 重合, 重合部分是BDC ?=

323222

1

=?? 图11

9.(2005?广州23).(本小题满分12分) 已知二次函数c bx ax y ++=2

(*)

(1)当a=1,b=-2,c=1时,请在图10的直角坐标系中画出此时 二次函数的图象;

(2)用配方法求该二次函数(*)的图象的顶点坐标.

解:(1)

当a=1,b=-2,c=1时,22)1(12-=+-=x x x y

∴该二次函数的顶点坐标为(1,0),对称轴为直线x=1

(2)由c bx ax y ++=2是二次函数,知a ≠0

2

222

22)(???

???-+???????

???? ??++=++=a b a c a b x a b x a c x a b x a y

a b ac a b x a 44222

-+??? ?

?

+=

∴该二次函数图像的顶点坐标为???

?

??--a b ac a b 4422,

10.(2006?广州6).抛物线21y x =-的顶点坐标是( B ).

(A)(0,1) (B)(0,-1) (C)(1,0) (D)(-1,0)

11.(2006?广州25).(本小题满分14分)

已知抛物线y=x 2+mx 一2m 2

(m≠0).

(1)求证:该抛物线与X 轴有两个不同的交点;

(2)过点P(0,n)作Y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B(点A 在点P 的左边), 是否存在实数m 、n ,使得AP=2PB? 若存在,则求出m 、n 满足的条件; 若不存在,请说明理由.

解:(1)△22241[2]9m m m =-??-=

∵0m ≠ ∴△0>

∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点。 (2)由题意易知点A 、B 的坐标满足方程:

222x mx m n +-=,即22(2)0x mx m n +-+=

由于方程有两个不相等的实数根,因此△0>,即

22241[(2)]0940m m n m n -??-+>?+>………………….①

由求根公式可知两根为:

2A m x -=

,2

B m x -+=

∴B A AB x x =-==

0B P PB x x =-=-=

分两种情况讨论:

第一种:点A 在点P 左边,点B 在点P 的右边

∵2AP PB = ∴3AB PB =

33m =?=……………….②

∴0m >……………………….③ 由②式可解得

0n =…………………………..④

第二种:点A 、B 都在点P 左边 ∵2AP PB = ∴AB PB =

0m =?=……………….⑤

∴0m >……………………….⑥ 由⑤式可解得

2

209

n m =-

……….⑦

综合①③④⑥⑦可知,满足条件的点P 存在,此时m 、n 应满足条件:

0m >,0n =或2

209

n m =-

。 12.(2007?广州7)、二次函数2

21y x x =-+与x 轴的交点个数是( B ) A .0 B .1 C .2 D .3 13.(2007?广州22)、(14分) 二次函数图象过A 、C 、B 三点,

点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(4,0),点C 在y 轴正半轴上,且AB=OC. (1)求C 的坐标;

(2)求二次函数的解析式,并求出函数最大值。

解:(1)∵ A (-1,0)、B (4,0),∴ AO =1, OB =4,即AB =

AO +OB =1+4=5.

∴ OC =5,即点C 的坐标为(0,5).

(2)解法1:设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为 2

y ax bx c =++,

由于这个函数的图象过点(0,5),可以得到c =5

点(-1,0)、(4,0),则:

50,16450.a b a b -+=??++=?解这个方程组,得5,415.4

a b ?=-????=?? ∴ 所求的二次函数解析式为2515

544

y x x =-++.

∵5

04

a =-

<, ∴当15

34

522()4

x =-=?-时,y 有最大值2

2

5154()5()41254454164()

4ac b a ?-?--=

=?-. 解法2:设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为(4)(1)y a x x =-+, ∵ 点C (0,5)在图象上,∴ 5(04)(01)a =-+,即54

a =-

. ∴ 所求的二次函数解析式为5

(4)(1)4

y x x =--+. ∵ 点A 、B 的坐标分别为点A (1,0)-、

B (4,0),∴ 线段AB 的中点坐标为3(,0)2,即抛物线的对称轴为直线32

x =

. ∵ 5

04

a =-<,∴ 当32x =时,y 有最大值533125(4)(1)42216y =--+=

.

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