第七章 二次函数
1.(2013年?广州25)、(本小题满分14分)
已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A (1,0),顶点为B ,且抛物线不经过第三象限。 (1)使用a 、c 表示b ;
(2)判断点B 所在象限,并说明理由;
(3)若直线y 2=2x+m 经过点B ,且于该抛物线交于另一点C (,8c
b a
+),求当x ≥1时y 1的取值范围。
(1)∵ 抛物线21(0,)y ax bx c a a c =++≠≠过点(1,0)A
∴ 0a b c =++
b a
c =--
(2)∵抛物线不经过第三象限
∴0a >且0c ≥ ∵点B 为抛物线的顶点
∴B 2
4(,
)24b ac b a a
-- ∴022b a c a a
+-
=> 22
44()44ac b ac a c a a
----= 2
2
4()4()4ac a c a
a c a -+=
--=
∵a c ≠ ∴
2
()04a c a
--< ∴点B 在第四象限上.
(3)由题知,点(,8)c
C b a +在抛物线上,
当c
x a
=时,
21222
()()()0y ax a c x c c c a a c c
a a
c c c c a a =-++=?-+?+=--+= ∴80b +=
8b =-
又b a c =-- ∴8c a =- ∵
212
888y ax x c ax x a
=-+=-+-
∴2
4(4)(,
)a B a a
-- 将点8(
,0)a
C a -代入22y x m =+ 802a m a -=?+
∴216
a m a
-=
∴2216
2a y x a
-=+
再把点2
4(4)(,)a B a a
--代入22162a y x a -=+
2(4)4216
22a a a a
---=?+ 解得:2a =或4 当2a =时,
21286y x x =-+
当1
x≥时,
12
y≥-
当4
a=时,4
a c
==(不合题意)综上所述,当1
x≥时
12
y≥-
2.(2012?广州2)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(A)
A.y=x2﹣1B.y=x2+1C.y=(x﹣1)2D.y=(x+1)2 3.(2012?广州24)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B
的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
考点:二次函数综合题。
解答:
解:(1)令y=0,即=0,
解得x1=﹣4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0).
(2)S△ACB=AB?OC=9,
在Rt△AOC中,AC===5,
设△ACD中AC边上的高为h,则有AC?h=9,解得h=.
如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.
设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=,
∴CE==.
设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,
得到,解得,∴直线AC解析式为y=x+3.
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,
∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣.
则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣4,).
同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,)
综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,).
(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3.
又FE=5,则在Rt△MEF中,
ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.
在Rt△FMN中,MN=MN?sin∠MFE=3×=,
FN=MN?cos∠MFE=3×=,则ON=,
∴M点坐标为(,)
直线l过M(,),E(4,0),
设直线l的解析式为y=kx+b,则有
,解得,
所以直线l的解析式为y=x+3.
同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.
综上所述,直线l 的解析式为y=x+3或y=x ﹣3.
4.(2011?广州24).(14分)已知关于x 的二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x 轴交于不同的两点A 、B ,点A 的坐标是(1,0) (1)求c 的值;
(2)求a 的取值范围;