数值线性代数习题解答
习题1
１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T
我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：
注意到
我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程
便可求得
[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T 的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）
２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组
是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组
，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上
题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：
（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：
算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）
（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.
（3）用回代法求解方程组：.运算量为；
（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：
３．证明：如果是一个Gauss变换，则
也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是
Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上
注意到，则显然有从而有
４．确定一个Gauss变换L，使
[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变
换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；
使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下
５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角
阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是
注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都
必是单位矩阵。即，
从而
即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下
证明A有满足的三角分解。
[证明]令是单位下三角阵，
是上三角阵。定义如下
容易验证：
７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式
证明仍是对称阵。
[证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为
其中，将A分块为
那么
即
由A的对称性，对称性则是显而易见的。
８．设是严格对角占优阵，即A满足
又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式
试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss 消去法可得得同样的结果。
[证明] 依上题的分析过程易知，题中的
于是主对角线上的元素满足
（1）非主对角线上的元素满足
由于A是严格对角占优的，即故
从而
（2）综合（1）和（2）得
即，矩阵仍是严格对角占优阵。
９．设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b需要多少次乘法运算
[解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即
如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有
这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：
（1）用初等变换化；
（2）利用回代法求解方程组。
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为
10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为
的矩阵，证明仍是正定阵。
[证明]不妨设
从而有
由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有
由x的任意性知，正定。
11．设
并且是非奇异的。矩阵
称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵
[证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵
使
注意到
比较两式便知，，故有
12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则
对任意有
[证明] 略。
13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。
[解]设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到
这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组
便可求得
于是
也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：
（1）用列主元Gauss消去法得到：；
（2）经求解：得
；
（3）对X进行列置换得：。
14．假定已知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。
[解]求解方程组
则x的第i个分量就是的（i,j）元素。
15．证明：如果是严格对角占优阵（参见第8
题），那么A有三角分解A=LU并且
[证明] 仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到
其中仍是严格对角占优阵。A的三角分解
A=LU中
这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。因此，
16．形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.
（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。
（2）向量满足何种条件才能保证存在使得
（3）给出一种利用Gauss-Jordan变换求的逆矩阵的算法。并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。
[解] 为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：
性质1：.
事实上，
性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必
要条件是.
（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为
，则有
故应有
（2）欲使，则应有
即
因此，应满足，便可按上述方法得到使得。
（3）设A的逆矩阵，则应有
下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记
第1步：假若，令
，构造，用左乘和，得到
其中
第2步：假定，令
，构造，用左乘和，得到
其中
照此下去，直到第n步：假定，
，构造，
用左乘和，得到
经上述n步，我们得知：
故
从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保
证：我们可以仿照定理给出下列定理。
定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异。
[证明] 对于用归纳法。当时，，定理显
然成立。假定定理直到成立，下面只需证明：若
非奇异，则非奇异的充要条件是即可。由归纳假定
知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换
使
（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式
若将的阶顺序主子阵分别记为
，则由（16-1）知
注意到所以
即非奇异的充要条件是
17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明L的唯一性，不妨设有和使
那么
注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，
只能是对角阵，即
从而
于是得知
18．证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。L的带宽为多少[证明] 带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：
对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：
结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar 的Colicky分解算法，可改写成下列形式：
从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L 的带宽为m+1.
19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。
[证明] 将A和L作如下分块
其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。。显然
故有。即是的Colicky分解。
20．证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式
其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。
[证明] 先证明存在性。根据定理1·1·2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素
除外，其余都不为零。令，则有单位上三角阵使，即有
又因为，则
从而根据L和的可逆性知：
该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因此它们等于对角阵。再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。因此两端都等于D。于是
从而有
再证唯一性。令，故有
。左边为下三角阵，右边为上三角阵，故
等于对角阵。又因，故。
21．给出按行计算Cholesky因子L的详细算法。
[解] 略。
22．利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。
[解] 算法可分为以下几个步骤：
（1）首先利用算法1·3·2计算出正定矩阵的如下分解
其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。
（2）求解矩阵方程
其解矩阵.
（3）求解矩阵方程
其解矩阵
（4）求解矩阵方程
其解矩阵
[注意] 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。
23．设
用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。
[解] 由Colicky分解可得
其中
显然，L是非奇异矩阵。因此，对.于是
所以是正定的。
由方程组，解得，再由方程组，解得
24．设是一个正定Hermite矩阵，其中
证明：矩阵
是正定对称的。
试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组
[解] 既然是正定的，又对，有
，且.且
注意到
显然H正等价于A、B正定。
对，则有
由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的。
由于
于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组
其矩阵形式为：
由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。
习题2
设是个正数。证明：由
定义的函数是一个范数。
证明只需验证满足定义的三个条件。其中（1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。像2范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式
欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成立
用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有
（）现在来考虑时的情形，注意到
至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了
Cauchy-Schwartz不等式。
又因为是个正数，因此有
从而对，我们有
证明：当且仅当和线性相关且时，才有
.
证明因为对任意的
于是，
当且仅当
由等式（）可知，当且仅当
，
即，对任意的，此式成立不外乎二种
情形：或；或；或.即和线性相关。
证明：如果是按列分块的，那么
证明因为
.
证明：
证明记，那么，根据第3题的结果我们有
根据Frobenius范数定义易知，对
. 于是
设是由
定义的。证明是矩阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数的相容性。
证明（1）证明是矩阵范数。因为
显然满足矩阵范数定义中的前三条：正定性、齐次性、三角不等式。下面我们证明还满足“相容性”。对任意，记，，且
则，，且
（2）一个不满足矩阵范数的相容性的例子。取，
，则。于是
，，从而
证明：在上，当且仅当是正定矩阵时，函数
是一个向量范数。
证明由于A是正定矩阵，不妨设是A 的特征值，是其对应的标准正交特征向量，即
显然，是线性无关的。因此，
=span{}. 记，，那么，且对任意，总有使
.
命题的充分性是很显然的。因为是上的向量范数，则由其正定性可知A必为正定矩阵。
现在我们来证明命题的必要性。即假设是正定矩阵，
则函数满足向量范数定义的三条性质：正定性。由A的正定性，正定性显然成立。
齐次性。对任意的，因为
，故有.
三角不等式。对于任意给定的，有，使
应用习题的结果，得
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss 变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单 位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即， 从而
即A的LU分解是唯一的。 17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。 [证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明L的唯一性，不妨设有和使 那么 注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即 从而 于是得知 19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。 [证明] 将A和L作如下分块 其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。。显然
春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.
6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则 （ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）
11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则 。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那 么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么 。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
上机习题 1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。 Sol ： （1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A = 列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA = （2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y 用回代法解y Ux =，得x 求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵） （3）计算脚本为ex1_1 代码 %算法（计算三角分解：Gauss 消去法） function [L,U]=GaussLA(A) n=length(A); for k=1:n-1 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end
U=triu(A); L=tril(A); L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); end %算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法） function [L,U,P]=GaussCol(A) n=length(A); for k=1:n-1 [s,t]=max(abs(A(k:n,k))); p=t+k-1; temp=A(k,1:n); A(k,1:n)=A(p,1:n); A(p,1:n)=temp; u(k)=p; if A(k,k)~=0 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); else break; end end L=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
数值线性代数习题解答 习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意]考虑到存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） ２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组 是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解]因，故为求解线性方程组 ，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下： 算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）
（2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为； （4）用回代法求解方程组：运算量为。 算法总运算量大约为： ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下 面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有 功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵， 都是上三角阵。因为A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等， 故此，它们都必是单位矩阵。即，从而 即A的LU分解是唯一的。 ６．设的定义如下 证明A有满足的三角分解。 [证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下 容易验证： ７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式 证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为
2016年春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共36分） 1.（教材§1.1B）。 A.6 B.5 C.10 D.7 2.（教材§1.1）行列式A）。 C.0 3.（教材§1.2）行列式D）。 A.40 B.-40 C.10 D.-10 4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以3 B.对行列式取转置 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.（教材§1.3）行列式（2/9）。 (提示：参考教材P32例1.3.3) A.2/9 B.2/3 C.2/9 D. 3/4 6.（教材§1.4B）。 A.2/3 B.1 C.-2/3 D.1/3
7.（教材§2.2）矩阵 2110 2311 3441 1132 ?? ?? ?? ?? ?? - ?? 的秩是（D）。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.（教材§2.2 a的值为（C）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 9.（教材§3.1）已知向量 B）。 10.（教材§3.3 C）。A. B. D.向量组A 11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。 12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。
13.（教材§4.1n 结论不正确的是（C）。 B. C. 14.（教材§4.1A）。 A. B. C. 15.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（D）。 A. B. C. 16.（教材§4.2）已知矩阵A）。 17.（教材§4.3）下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 18.（教材§5.1的特征值是（C）。 B.
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110 l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ． () 00l x ＝1， ()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案
二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满 足 ，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公 式 . 填空题答案
线性代数B期末试题－2016年秋第一题（20分）：令A∈M n[?]为一可逆矩阵，u,v∈?n，定义分块矩阵 C=?A u v?0? 1)（10分）求u,v的一个充分必要条件使得矩阵C可逆。 2)（10分）在1)的条件满足的情况下求C?1。 第二题（20分）： 1)（10分）求a的取值范围，使得矩阵 A=?1a a a1a a a1? 正定。 2)（10分）判断下列矩阵是否正定（给出判断依据）： A=?32250 12 1 0211?1003?，B=?32240000 00001111?，C=? 2?1 ?1200?10 0?10 02?1 ?12 ? 第三题（15分）：令矩阵A,B∈M n(?)。 1)（5分）设A是对称正定矩阵，B是对称矩阵，证明存在可逆矩阵P使得P?AP=I且P?BP为对角矩阵。 2)（10分）设A和B均为对称半正定矩阵，证明存在可逆矩阵P使得P?AP和P?BP为对角矩阵。如果B仅 是对称矩阵，同样的结论是否成立？如果成立，给出证明，否则给出一个反例。 第四题（15分）：令L＝D2+2D+1为线性空间V=<1,sin(x),cos(x)?sin(x)> 上的线性变换，求其在基{1,sin (x),cos(x)?sin(x)}下的矩阵。 第五题（10分）：证明任何一个秩为r的矩阵总可以写成r个秩为1的矩阵之和。 第六题（10分）：在?2中，对于任意α,β∈?2，定义二元函数 (α,β)=a1b1?a1b2?a2b1+4b1b2 求证(α,β)是?2的一个内积，并求?2关于该内积的一个标准正交基。 第七题（10分）：对任一矩阵C，我们定义range(C)为矩阵C列向量组生成的线性空间，定义ker (C)为齐次线性方程组Cx=0的解空间。?m是标准内积空间。 1)（5分）令A∈M m×n(?)，证明ker(A?)⊕range(A)=?m。 2)（5分）令矩阵A∈M m×n(?)，β∈range(A)??m，γ∈?n，d∈?。证明下面的两个命题为等价 命题： a.线性方程组Ax=β的任何一个解x都满足γ?x=d。 b.存在一个向量α∈?m，使得γ=A?α，d=β?α。
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第一章 行列式 一、选择 [1] 设A x b c x b c x b c B y b c y b c y b c =L N M M M O Q P P P =L N M M M O Q P P P 11 12223 3 3111 222333 ,,且27A B ==-， 则 A B +等于( ) A bg 5 . B bg -5 . ()10C - D bg -20. [2] 设A 是4阶方阵，且行列式1 8,,2A B A ==- 则B =( ) A bg -4 . B bg 4 . C bg -12 . D bg 1 2 . 二、填空 [1] 四阶方阵A a ij = ?di 44的行列式 A 中含a a a a 14233241的项的符号是___________. [2] 设A 是n 阶方阵，且行列式25,A =则行列式4A -=_____________. [3] 排 列2 3 5 4 1 的逆序数＝_________________. 三、概念 [1] 求出行列式5123112123122x x x x x 含x 4和x 3 的项. [2]设11 223213211412313334412444 43 42 23 a a a a a a a a D a a a a a a a a = , 问a a a a a a a a a a a a 112233443212443421222324,, ,是不是D 的展开式中的乘积项? 如果是D 的项，则它在D 中的符号是什么？ [3] 如果将n 阶行列式所有元素变号，问行列式如何变化？ [4] 两 个 行 列 式 a b c d 与010b a a b d c 是 否 相 等？ 四、计算
北大版-线性代数第一章部分课后答案详解
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习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式 ) 2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在 （ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设 1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=?07f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。
8、给定方程组?? ?=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且 20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设 ?? ??? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是 （ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数 ) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， 3、有下列数表