第二章平行线与相交线
本章教学目标
1.经历观察、操作（包括测量、画、折等）、想像、推理、交流等过程，进一步发展空间观
念、推理能力和有条理表达能务。
2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等，等角的补角相等、对顶角
相等。会用三角尽过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用尽规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。
3.经历探索直线平行的条件以及平行线特征的过程，掌握直线平行的条件及平行线的特征。
4.进一步激发学生对数学方面的兴趣，体验从数学的角度认识现实。
本章教学重点、难点
教学重点：（1）余角、补角、对顶角的概念及其初步应用。
（2）探索直线平行的条件及其应用。
（3）平行线的特征及其应用。
（4）用尺规作线段和角。
教学难点：（1）应用直线平行条件及平行线特征解决问题。
（2）初步学会有条理的表达。
本章知识之间联系如下
2.1余角与补角
教学目标
1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达
的能力；
2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对
顶角相等，并能解决一些实际问题。
教学重点、难点
教学重点：1、余角、补角、对顶角的概念；
2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
教学难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等．判断是否是对顶角。
教学方法
在教学中，将采用发现式教学法，通过学生自主、独立地发现问题，通过操作、表达与交流等探索活动，获取知识技能、发展情感与态度。
教学过程
一、巧妙设疑，复习引入
如图1，将矩形纸片沿虚线剪开。 问题1：所得的1∠与2∠有什么关系？
问题2：从图1中，你能找出和为?180的两个角吗？
二、讲授新课
1、余角和补角概念
余角：如果两个角的和是直角，那么这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和是平角，那么这两个角互为补角。 2、探索有关余角和补角的性质
参照教材p59光的反射实验提出下列问题：
（1） 模拟试验：通过模拟光的反射的试验，为学生提供生
动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。
（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。
1) 说出图中各角与∠3的关系。将学生的回答分类总结，从
而得到余角、补角的定义。
2) 图中还有哪些角互补？哪些角互余？在巩固刚刚得到的概
念的同时，为下一个问题作好铺垫。
3) 图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？在
学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。 结论：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 3、引出对顶角的概念
参照教材剪子的实验，抽象出几何图形后提出下列问题：
（1）用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？（在复习巩固上面刚刚得出的性质的同时，为下一个问题作好铺垫。）
（2）你能发现这样的两个角有怎样的位置关系吗？（通过学生观察，总结，得出对顶角的概念。）
（3）在图2中，还有相等的角吗？这几组相等的角在位置上有什么样的关系，你能试着描述一下吗？（总结得出对顶角的性质。）
如图2，直线AB 与CD 相交于点O ，1∠与2∠有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样
的两个角叫做对顶角。
4、对顶角的性质
问题1：如图2，1∠与2∠有怎样的数量关系？ 问题2：你能说明，为什么有这样的数量关系吗？ 三、变式训练，熟练技能
（1）已知，?=∠201，?=∠302，?=∠403，能否说1∠，2∠，3∠互为余角？
（2）如图3，?=∠301，?=∠622，能否说1∠与2∠互为余角？
（3）若1∠，2∠互为余角，?=∠501，则2∠= 。
（4）若1∠，2∠互为补角，?=∠1201，则2∠= 。
（5）锐角的补角是 角，直角的补角是
图2
角，钝角的补角是 角。
（6）若α∠与β∠是对顶角，?=∠20α，则β∠= 。
（7）如图4所示，有一个破损的扇形零件，你能否利用量角器测出这个扇形零件的圆心角的度数？你的根据是什么？
答案：（1）不能；（2）不能；（3）?40；（4）?
60；（5）钝 直 锐；（6）?20（7）能，根据对顶角相等。
四、课堂总结
1、本节课的主要知识点： 1) 余角、补角的定义；
2) 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等； 3) 对顶角的定义； 4) 对顶角相等。 2、需要提升的观点：
1) 余角、补角指两个角之间的数量关系，而并非位置关系；
2) 当我们要说明两个角相等时，到目前为止有两种方法：方法一是用等式的性质证明；
方法二是用同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 五、布置作业
课后作业：教材习题2.1 六、拓展练习
如图，先找到长方形纸的宽DC 的中点E ，将∠C 过点E 折起任意一个角，折痕是EF ，再将∠D 过点E 折起，使DE 与HE 重合，折痕是GE ，请探索下列问题：
（1）∠GEF 是直角吗？为什么？
（2）∠FEH 与∠GEH 互余吗？为什么？
（3)在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角互为补角？
2.2探索直线平行的条件（一）
教学目标
1、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件1，并能解决一些问题；
2、会用三角心过直线外一点画这条直线的平行线；
3、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
教学重点、难点
教学重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行” 教学难点：判断两直线平行的说理过程
教学方法
本课采用“探究与合作交流”的教学方法，通过自探索、合作交流对直线平行的条件进行探索、合作交流对直线平行的条件进行探索。
教学过程
一、巧妙设疑，复习引入
记得哲学家罗素说过：“数学，如果正确地看待它，不但拥有真理，而且有至高的美。”然而数学的美是潜在的，比如说平行线在我们的生活中无处不在，这些都需要我们用心去体验，现在以教室为背景，同学们想一想，哪些地方存在着平行线？
1、平行线的概念
（1）什么叫平行线？
在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线。 （2）两条平行线必须符合什么条件？ 在同一平面内没有交点。 2、引出课题
这些直线平行都给我们一种直观的感觉，那么满足什么条件的两直线是互相平行的呢？ 引出课题：探索直线平行的条件（一） 二、讲授新课 1、创设情境
我们来探讨一个生活中的情境：
图4
一位装修工人正向墙上钉木条，要使得两根木条a ，b 平行。
问题1：如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘的夹角为多少度时，才能使木条a 与b 平行？
答：木条a 与墙壁边缘的夹角为?90时，才能使木条a 与b 平行。
问题2：如果木条b 与墙壁边缘不垂直，夹角?=∠451，那么木条a 与墙壁边缘所夹角2∠为多少度时，才能使木条a 与b 平行？
答：?=∠=∠4521时，木条a 与b 平行。
小结：我们发现21∠=∠时，木条a 与b 平行。 2、探究试验 试验： 材料：三根木条（纸条），纸板。（两位学生一组，提前一天做好）
如图1，三根木条相交成1∠，2∠，固定木条a ，c ，转动木条b ，观察1∠，2∠满足什么
条件时木条a 与b 平行。
操作：
（1）按1∠为锐角、直角、钝角将全班分成三种情况来试验；
（2）转动木条b ，观察1∠，2∠满足什么条件时木条a 与b 平行。 试验结论：21∠=∠时，木条a 与b 平行。 3、建构同位角的概念，得出直线平行的条件1
同位角的概念：具有1∠，2∠这样位置关系的角称为同位角； 直线平行的条件1：同位角相等，两直线平行。 三、变式训练，熟悉技能
练习1：如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，
（1）1∠的同位角是 ，2∠的同位角是 ；
（2）当?=∠=∠5521时，直线AB ，CD 平行吗？说明你的理由。 答案：（1）3∠，FGB ∠
（2）平行。因为21∠=∠，32∠=∠，所以31∠=∠。所以CD AB //。
练习2：找出点阵中互相平行的线段（如图3），并说明理由（点阵中相邻的四个点构成正方形）。 练习3：如图4，甲从A 处沿正东偏南?55方向行走，乙从B 处沿正东偏南?35方向行走，
（1）他们所行道路可能相交吗？
（2）当乙从B 处沿什么方向行走，他们所行道路不相交？请说明其中的理由。
答案：（1）他们所行道路一定相交；
（2）东偏南?55方向走，所行道路不会相交；
因为1∠与2∠是同位角，并且相等，所以两个个方向是平行的。
四、迁移应用，深化提高
练习4：（1）你还记得怎样移动三角尺画两条平行线吗？
（2）请用这种方法过已知直线外一点画它的平行线（如图5）。 请说出其中的道理： 答案：图略，根据是同位角相等，两直线平行。
练习5：一张纸上画有两条线段，请你设计一个方案，判断这两条线段是否平行。
答案：画直线相交，构建“三线八角”，测量其中的一对同位角，看是否相等。
五、课堂总结
本节课的主要知识点 ①同位角的概念；
图1 图2 图3
②直线平行的条件1：同位角相等，两直线平行。 六、布置作业
（1）如图1，如果41∠=∠，根据 ，可得AB//CD ； （2）如图2，如果D ∠=∠1，那么 // ； （3）如图2，如果B ∠=∠1，那么 // 。
答案：（1）同位角相等，两直线平行
（2）BC
AD
(3)AB DC
2.2探索直线平行的条件（二）
教学目标
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
2、通过分析题意，能灵活地选用判定直线平行的方法进行说理。
教学重点、难点
教学重点：直线平行的条件。
教学难点：选取适当判定直线平行的方法进行说理。
教学方法
让学生通过观察，想象，推理，交流等过程，发展学生的空间观念，逻辑推理能力和准确条理的语言表达能力，并在学习中让学生对比三种判定直线平行的方法，建立三种方法间的联系，同时渗透转化的数学思想。
教学过程
一、巧妙设疑，复习引入
1、上节课，我们学习了哪种判定直线平行的方法？
2、给出实际问题：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB （如图所示）。小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
3、画板上下边缘是否平行能利用同位角来判断吗？如果不能，是否可以利用其他角来判断？请你先自主探索，再与同伴交流。
今天我们将学习判定直线平行的另外两种方法。 二、讲授新课
1、利用教具模型认识内错角和同旁内角
教师展示教具模型（如图3），并在黑板上画出该图形，指出在直线a 、b 被直线c 所截成的角中，1∠和2∠是同位角，2∠与3∠、2∠与4∠虽然不是同位角，但是它们又是具有某种位置关系的两个角，大家能叙述2∠与3∠有怎样的位置关系吗？2∠和4∠呢？
（1）教师引导学生正确地叙述，如2∠与3∠位于直线的a 、b 内部，又分别位于直线c 的两侧，2∠与4∠位于直线a 、b 内部，都在直线c 的右侧（同侧）。
（2）教师转动直线a 或者直线b ，再问学生2
∠与3∠，2∠与4∠的度数是否发生变化？它们之间的位置是否发生改变？
学生回答后，教师指出像2∠与3∠这样的两个角叫做内错角，像2∠与4∠这样的两个个角叫做同旁内角。
（3）让学生识别图中其他的内错角和同旁内角，标记出它们。
（4）学生概括由直线a 、b 被直线c 所截成的八个角中有四对同位角，两对内错角、两对同旁内角。
2、探索两条直线平行的其他方法
（1）演示教具（如图3），使学生产生几何直觉：当内错角相等时，两条直线平行。 （2）让学生思考：为什么内错角相等时，两条直线平行？你能用学过的两直线平行的判定方法1来说明吗？
学生若有困难，可提示学生通过内错角和同位角之间的关系把条件32∠=∠转化为21∠=∠。 规范说理过程：因为32∠=∠，而13∠=∠（对顶角相等），所以21∠=∠，即同位角相等，因此a //b 。
（3）师生归纳判定两条直线平行的方法2，板书： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单记为：内错角相等，两直线平行。 引导学生结合图形用符号语言表达：如果32∠=∠，那么a //b 。 （4）讨论：同旁内角数量上满足什么关系时，两直线平行？ ①学生猜想，可借助于教具，先排除相等，当4∠是锐角时，2∠是钝角才有可能使a //b ，进一步观察发现：如果同旁内角互补时，两条直线平行，即如果?=∠+∠18042，那么a //b 。 ②学生利用平行判定方法1或方法2来说明猜想正确。 教师根据学生说理，再准确地板书： 因为?=∠+∠18042，而?=∠+∠18041，根据同角的补角相等，所以有12∠=∠，即同位角相等，从而a //b 。 因为?=∠+∠18042，而?=∠+∠18043，根据同角的被角相等，所以有23∠=∠，即内错角相等，从而a //b 。 师生归纳两条直线平行的判定方法3，板书： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单记为：同旁内角互补，两直线平行。 结合图形，用符号语言表达：如果?=∠+∠18042，那么a //b 。 三、变式训练，熟练技能 1．做一做：三个相同的三角尺拼接成一个图形，
请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
2．图中各角分别满足下列条件时，你能判断哪两条直线平行吗？ （1）∠1＝∠4；（2）∠2＝∠4；（3）∠1+∠3=180° 3．看图填空：
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ， ∵∠2＝
∴ ∥ ，同位角相等，两直线平行
∵∠3＋∠4＝180° ∴ ∥ ，
∴AC ∥FG ，
（2）如右图，∵∠2= ， ∴DE ∥BC ∵∠B ＋ ＝180°， ∴DB ∥EF
∵∠B ＋∠5＝180° ∴ ∥ ， 。 四、课堂总结 1、本节课的主要知识点： ①平行线的三种判定方法； ⑴同位角相等，两直线平行；⑵内错角相等，两直线平行；⑶同旁内角互补，两直线平行. ②在复杂图形中如何找“三线八角”。 2、需要提升的观点： ①在几何学习中要善于寻找基本图形，这是解决几何问题的关键； ②数学中存在转化与化归思想，其实质就是把一个问题转化为我们已解决的问题，这是一种常用的数学思想方法。 五、布置作业 如右图，若62∠=∠，则 // ； 如果?=∠+∠+∠+∠1806543，那么 // ； 如果=∠9 ，那么AD//BC ； 如果=∠9 ，那么AB//CD 。 六、拓展练习 如右下图，请你填写一个适当的条件：
A B C D E F 4 3 2 1
5 1 2 3
4 A B C D E F G
n
b
a l m 4 3 2 1 A
E D C B
，使AD//BC 。 答案：FBC FAD ∠=∠或?=∠=∠180ABC DAB 或
DBC ADB ∠=∠等
2.3平行线的特征
教学目标
1、通过观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力；经历探索平行线的特征的过程；
2、了解平行线的性质，能运用这些性质进行简单的推理或计算。
3、通过学生学习动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主要探索、合作以及解决问题的能力。
教学重点、难点
教学重点：平行线的特征的探索。
教学难点：运用平行线的特征进行有条理的分析、表达。
教学方法
本节课采用发现式教学法，在教学中，通过学生自主，独立地发现问题，通过操作，表达与交流等探索活动，获得知识技能、情感与态度的发展。
教学过程
一、巧妙设疑，复习引入
活动1：复习已学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件。（如图1） （1） ∵∠1=∠2 (已知)
∴a //b （同位角相等，两直线平行）
（2） ∵∠3=∠2 (已知)
∴a //b （内错角相等，两直线平行）
（3） ∵∠2+∠4=1800 (已知)
∴a //b （同旁内角互补，两直线平行）
活动2：如图2，举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底AD//BC ，请你求出另外两个角的度数。
二、讲授新课
1、探索发现
如图3，直线a 与直线b 平行，提出问题：
（1）请找出图3的同位角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？
（2）请找出图3的内错角，并猜测他们有何关系？你能想办法验证你的猜测吗？
（3）图3中还有其他位置关系的角吗？它们有何关系呢？说一说
图1
图2 图3
你是怎样得到的结论的。
在学生正确回答的基础上，师生共同总结平行线的特征，并给出简记：两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补。
2、牛刀小试
练习1．看图1，完成下列填空
（1）∵ AD//BC (已知)
∴∠B=∠1 (两直线平行，同位角相等)
（2）∵ AB//CD (已知)
∴∠D＝∠1 (两直线平行，内错角相等)
（3）∵ AD//BC (已知)
∴∠C＋∠D＝180 (两直线平行，同旁内角互补)
练习2．如图所示，AB∥CD，AD∥BC,分别找出与∠ADC相
等或互补的角。
练习3．解决本课之始的引例问题。
练习4．著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜，目前，它与地面所成的较小的角为85o
（如图），它与地面所成的较大的角是多少度？
3、对比发现，加深理解
填写下列表格，并思考二者有何区别和联系：
平行线的特征直线平行的条件
师生共同总结：
同位角相等
两直线平行内错角相等
同旁内角互补
三、变式训练，熟练技能
练习5：如图3所示，一束平行光线AB与DE射向一个水平
镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。
（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
答案：（1）∠1=∠3；∠2=∠4。（2）平行
练习6：潜望镜中两面镜子是平行放置的，如图所示，光
线经镜子反射后，∠1=∠2，∠3=∠4。你能从数学的角度解释
一下进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线为什么是平行的吗？
四、课堂总结
4
1
B
C
D
A
图1
图2
条件
特征
1
2
3
师生交流，共同总结本节课所学的知识。
1、平行线的三个特征。
2、直线平行的特征与直线平行的条件的区别。
（1）识别与特征的条件与结论有什么关系？
（2）使用识别时是已知 ___，说明
使用特征时是已知，说明_____________
3、几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里计算题的格式，学习合情说理。
五、布置作业
六、拓展练习
当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是什么关系呢？试探究下问题：
（1）如图（1）所示， AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是____ __
（2）如图（2），AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是_________
总结上面的结论是________________________________
2.4用尺规作线段和角（一）
教学目标
1、会利用尺规作一条线段等于已知线段，并能了解它在尺规作图中的简单应用。
2、能利用尺规作线段的和、差。
3、能够通过尺规设计并绘制简单的图案。
4、在尺规作图过程中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。
教学重点、难点
教学重点：1、作一条线段等于已知线段；
2、作线段的和、差、倍数等。
教学难点：作线段的和、差。
教学过程
一、巧妙设疑，复习引入
读一读
尺规作图有着悠久的历史。直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧。利用尺规可以作出许多美丽的图案。例如图1和图2
图1 图2 图3 在“数学王子”高斯的纪念碑上，就刻着一个正十七边形（如图3），它的尺规作图方法是高斯在青年时代发现的。
二、讲授新课
活动内容：简用没有刻度的直尺和圆规可以作出很多几何图形，你还记得我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？
已知：线段AB
图(1)图(2)
A A
B
B C C
D
D
E
E
F
F
A B
求作:线段A′B′,使得A′B′=AB.
作法示范
（1）作射线A′C′；
A′ C′
（2）以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线
A′C′于点B′。 A′B′就是所作的线段。
A′ B′ C′
三、变式训练，熟练技能
练习1：教材做一做
已知线段a（如图4），和两条互相垂直的直线AB，CD（如图5）。
（1）利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA＇，OB＇，OC＇，OD＇，使它们分别
与线段a相等。
（2）依次连接A＇，B＇，C＇，D＇，A＇。
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
练习2：课本本节随堂练习
如图6，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O。利用尺规，按下列要求作图：（1）在射线OA，OB，OC上作线段OA＇，OB＇，OC＇，使它们分别与线段a相等；
（2）在射线OD上作线段OD＇，使OD＇等于b；
（3）依次连接A＇，B＇，C＇，D＇，A＇。
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
练
习
3：
教
材
题
目
变
形
，
拓
展延伸
如图7，已知线段a和两条互相垂直的直线AB，CD。
（1）利用圆规，在射线OA，OB上分别截取OA＇，OB＇等于a，在射线OC，OD上分别截
取OC＇，OD＇等于2a。
（2）依次连接A＇，B＇，C＇，D＇，A＇。
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
四、迁移应用，深化提高
问题1：已知线段a ，b ，求作线段b a c += 问题2：能否作线段b a c -= 五、课堂总结
1、本节课主要学习了用无刻度的直尺和圆规作一线段等于已知线段，看似简单，它却是最基本的几何作图的方法。
2、课外还要加强基本作图工具的使用，特别是圆规的使用要领与技巧要勤加操练。
3、练习中还要注意几何语言表述的规范、书写格式的规范。 六、布置作业
2.4用尺规作线段和角（二）
教学目标
1、掌握用尺规作一个角等于已知角的作法，并能借此解决实际问题。
2、通过画图实践操作，培养学生动手、动脑、动口的能力。
3、通过对实际问题的分析，培养学生勤于思考、发现问题的能力；在运用知识解决实际问题的过程中，梳理数学思维，构建自己的数学知识体系。
教学重点、难点
教学重点：会用尺规作一个角等于已知角。
教学难点：1、用尺规作一个角等于已知角的综合运用。
2、学生动手操作和有条理表达能力的培养。
教学方法
首先展球与本课内容密切联系的问题情境，作为新知的切入点，体现“数学是现实的”课标精神，利用情境问题激发学生的探究意识，在探索过程中体会知识的形成过程，将新知自然渗透纳入到学生的知识体系中，在此基础上，引导学生利用所学新知解决问题，从而将数学知识转达化为数学技能。
教学过程
一、巧妙设疑，复习引入
请学生拿出自己课前收集的长方形线板模型，如图1，标出相应的线段AB 和点C 。 问题1：请过点C 画出与AB 平行的另一条线。
问题2：如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
二、计授新课 已知：OB A ∠（如图2）
求作：B'O''A ∠，使AOB B 'O''∠=∠A 。 作法
示范
（1）作射线O ＇A ＇
A'
O'
图1 图2
三、变式训练，熟练技能
练习1：课本本节随堂练习第1题。
练习2：利用尺规完成本节课开始时提出的问题（有关图1的问题）。
四、迁移应用，深化提高
练习3：如图3，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作A
∠，EB与AD一定
EBC∠
=
平行吗？
答案：平行，因为同位角相等，两直线平行。
五、课堂总结
这节课你有什么收获吗？
1、会用尺规作一个角等于已知角。
2、灵活运用所学知识解决实际问题。
3、在生活中要善于运用数学知识。
六、布置作业
回顾与思考
教学目标
1．掌握平行线与相交线的相关知识，梳理本章内容，建立一定的知识体系；并能够综合运用这些知识解决相关的问题。
2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型，通过讨论角与角之间的关系，
进一步认识平行线和相交线。
3．在认识操作基础上锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。
教学过程
一、回顾复习
（1）
让学生课前独立回顾所学内容，并尝试回答教科书提出的问题。在独立思考的基础上，开展小组交流和自评活动，并让学生自己尝试着建立知识框架图。
（2）对于在复习中出现的困惑的问题，进行记录并与同学进行交流。对于无法解决的问题，可以课堂上师生共同探讨
二、知识梳理
2017—2018学年度第二学期教学进度任课教师：学科：数学七年级
注意事项： 1、结合学生实际情况，多采取游戏式的教学，务实基础，引导学生乐 于参 与数学学习活动。? 2、培养学生认真地计算能力及习惯，在原有基础上再提高。? 3、培养学生的数学能力，提高解决数学问题的正确率，抓好尖子生。? 4、在课堂教学中，注意多一些有利于孩子理解的问题，应该考虑学生 实际 的思维水平，多照顾中等生以及思维偏慢的学生。? 同底数幂的乘法 教学目标： 知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的 运算性质(或称法则)，进行基本运算。 过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽 象的能力。 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 幂的运算性质． 教学过程： 一、实例导入： 二、温故： 2.，指出下列各式的底数与指数：
(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与 -24呢？ 三、知新： 1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则 计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义) =10×10×10×10×10(乘法的结合律) =105． 2．引导学生建立幂的运算法则 将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa) ＝aaaaa =a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有 即a m·a n=a m+n． 3．引导学生剖析法则 (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)公式中的底数a可以表示什么
1、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 2、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 B C （2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若 ∠ 1=110 ° ， ∠ 2=130 ° ， 求 ∠ A 的 度 数 。 A B C B C
A C 3、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ F A B 4、已知∠A=∠C=90°. (1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠
ADC的外角平分线交于点E，试问BE与DE有何位置关系？说明你的理由。
5．（1）如图，点E 在AC 的延长 线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求 ∠BDC 的度数。 A E （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系？为什么？ E A D 6.已知∠ABC 与∠ADC 的平分线交于点E 。 （1）如图，试探究∠E 、∠A 与∠C 之间的数量关系，并说明理由 。 B
2015—2016学年度第二学期教学进度 任课教师：学科：数学年（班）级： 本学期总目标：培养学生良好的学习习惯，提高他们学习数学的热情， 力争取得一个比较优异的学习成绩 教研组长签字： 说明：此表一式两份，一份作为教案附件之一粘贴在教案本上，一份上交教务处。
1.1同底数幂的乘法 教学目标： 知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算。 过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力。 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 幂的运算性质． 教学过程： 一、实例导入： 二、温故： 2.，指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24 呢？ 三、知新： 1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则 计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义) =10×10×10×10×10(乘法的结合律)
=105． 2．引导学生建立幂的运算法则 将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa) ＝aaaaa =a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有 即a m·a n=a m+n． 3．引导学生剖析法则 (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)公式中的底数a可以表示什么 (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 要求学生叙述这个法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：强调幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加． 四、巩固： 例1计算：
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结 第一章：整式的运算 1、同底数幂乘法的运算法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 3、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。逆用，即：a n b n =（ab ）n 。 4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。 5、零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。 6、负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：1(0)p p a a a -=≠ 7、单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 8、单项式与多项式相乘 单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。 （注意）运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 9、多项式与多项式相乘 多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。 （注意）多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。 10、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 。 11、平方差公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。 关键找准a 和b 。符号相同的是a 。符号不同的是b 简算118×122=（120-2）（120+2）=1202-22=14400-4=14396
北师大版数学七年级下册知识点总结 第一章 整式的乘除 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 8、零指数和负指数； 10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
北师大七年级数学下册各单元知识点汇总 第一章整式运算 单项式 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 知识点（一）公式应用 1 、n m n m a a a+ = ? (m,n都是正整数）如= ? -2 3b b________。 拓展运用n m n m a a a? = +如已知m a=2, n a=8,求n m a+。解：___________________. 已知m a=2, n a=8,求n m a+ 2.解：_____________________. 2 、mn n m a a= ) ( (m,n都是正整数）如= -4 3 6 2) ( ) (2a a_________________。 拓展应用m n n m mn a a a) ( ) (= =。若2 = n a，则= n a2__________。 3、n n n b a ab= ) ((n是正整数) 拓展运用n n n ab b a) ( =。 4、n m n m a a a- = ÷(a不为0，m,n都为正整数，且m大于n)。 拓展应用n m n m a a a÷ = -如若9 = m a，3 = n a，则= -n m a_____________。 5、)0 (1 0≠ =a a；0 ( 1 ≠ = -a a a p p，是正整数)。如 8 1 )2 ( 1 )2 ( 3 3- = - = --
最新北师大版七年级数学下册单元测试全套及答案 北师大版七年级下册 第一章 整式的运算单元测试题 一、精心选一选(每小题3分，共21分) 1.多项式8923 3 4 +-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是 ( ) A. 8421262x x x =? B. ()() m m m y y y =÷34 C. ()222 y x y x +=+ D. 3422=-a a 3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 22a b - B. 22b a - C. 222b ab a +-- D. 222b ab a ++- 4. 1532+-a a 与4322---a a 的和为 ( ) A.3252--a a B. 382--a a C. 532---a a D. 582+-a a 5.下列结果正确的是 ( ) A. 9 1312 -=?? ? ??- B. 0590=? C. ()17530 =-. D. 8123-=- 6. 若() 682 b a b a n m =，那么n m 22-的值是 ( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 7.要使式子2 2 259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30± 二、耐心填一填（第1~4题每空1分，第5、6题每空2分，共28分） 1.在代数式2 3xy ， m ，362+-a a ， 12 ，22514xy yz x - ， ab 32 中，单项式有 个，多项式有 个。 2.单项式z y x 42 5-的系数是 ，次数是 。 3.多项式5 1 34+ -ab ab 有 项，它们分别是 。 4. ⑴ =?52x x 。 ⑵ () =4 3 y 。 ⑶ () =3 22b a 。 ⑷ () =-4 2 5y x 。
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第一章：整式的运算单项式 整式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。（3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用 “整体代入”进行计算。 四、同底数幂的乘法 1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。
北师大版七年级数学下册教案（全册） 6．1从实际问题到方程教学目的1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。3．会判断一个数是不是某个方程的解。重点、难点1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。教学过程一、复习提问小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得1.2x＝6因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。二、新授：我们再来看下面一个例子：问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?(让学生思考后，回答，教师再作讲评)算术法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(辆)列方程解应用题：设需要租用x辆客车，那么这些客车共可乘44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体师生328人，可得。44x+64＝328（1）解这个方程，就能得到所求的结果。问：你会解这个方程吗?试试看?(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。)问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”小敏同学很快说出了
答案。“三年”。他是这样算的：1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。你能否用方程的方法来解呢？通过分析，列出方程：13＋x＝（45＋x）（2）问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？这个方程不像例l中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x＝1，2，3，4，……代人方程(2)的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解。把x＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝(45+3)＝×48＝16，
1.1 同底数幂的乘法 教学目标： 知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算。 过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力。 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 幂的运算性质． 教学过程： 一、实例导入： 二、温故： 2.，指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24 呢？ 三、知新： 1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则 计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)
=10×10×10×10×10(乘法的结合律) =105． 2．引导学生建立幂的运算法则 将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa) ＝aaaaa =a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有 即a m·a n=a m+n． 3．引导学生剖析法则 (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)公式中的底数a可以表示什么 (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 要求学生叙述这个法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：强调幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加． 四、巩固： 例1计算：
(1) （-3）7×（-3）6；(2)（1/111）3×(1/111)． (3)-x3·x5 (4) b2m·b2m+1． ．例2、光在真空中的速度约为3×108米/秒，泰阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球距离太阳大约有多远？ 五、拓展： 1、计算：(1)105·106；(2)a7·a3；(3)y3·y2； (4)b5·b；(5)a6·a6；(6)x5·x5． 2、计算：(1)y12·y6；(2)x10·x；(3)x3·x9； (4)10·102·104；(5)y4·y3·y2·y；(6)x5·x6·x3． 六、课堂小结： 1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对这个法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字． 2．解题时要注意a的指数是1． 3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆． 4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算。 七、板书设计： 八、教学后记： 1.2幂的乘方与积的乘方(1) 教学目标： 知识与技能：了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问
七年级数学试题 （本试题满分120 分，考试时间120 分钟。） 请把选择题的答案写在答题卡内。 123456789 10 11 12 13 14 15 一、选择题（每题 3 分，共 45 分） 1．下列算式正确的是（）． 12 A．0.0100 B． 0.1 30.001 C． 10 5 2 01D．4 2 2．下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是() 3．计算a2(2a)3－a(3a＋8a4)的结果是() A ．3a2B．－ 3a C．－ 3a2D． 16a5 4.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为 4a2－12ab+，你觉得这一项应是（） A.3b2 B.6b2 C.9b2 D.36b2 5．下列计算正确的是() A ．(4x＋5y)2＝16x2＋20xy＋25y2B． (－2x3y4z)3＝－ 8x9y12z3 C．(x＋ y)2＝x2＋ y2D． (－a6) ÷(－a)4＝a2 6.(5x2 4 y2 )( 5x2 4 y2 ) 运算的结果是() 7．已知 (m＋ n)2＝ 11， mn＝2，则 (m－n)2的值为 () A ．7B．5C．3D． 1 8．长方形的长为 3a，宽比长小 a－b，则其周长为（） A.10a+2b B.6a C.6a+4b D.以上全错
9．若 (ax＋ 3y)2＝4x2－12xy＋by2，则 a， b 的值分别为 () A ．2，9B．2，－ 9C．－ 2， 9D．－ 4，9 10．如图，从边长为 (a＋ 1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a－ 1)cm 的正方形 (a＞ 1) ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形( 不重叠无缝隙) ，则该矩形的面积是 () A ．2 cm2B．2a cm2C．4a cm2D． (a2－1)cm2 11.下列计算正确的是 ( ) A. ①②④ B.②③⑤ C.③④ D. ④⑥ 12.若a x3,b 2 x2, 则 (a2 ) x(b3x )2的值为() A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 13.包老师把一个多项式减去 a 2 b 2等于 a2 b 2，则这个多项式为（） A、2b2 B、2a2 C、2b2 D、2a2 14. 下列多项式中是完全平方式的是（） A、x2 4 x 1 B、x2 2 y 21 C、x2y2 2 xy y2 D、9a212a4 15.若x2ax 9( x3) 2，则 a的值为（） A、 3 B、 3 C、 6 D、 6 二、填空题 (每小题 3 分，共 15 分) 16．一个铁原子的质量为0.00000000000000000000000009288kg= kg 用科学记数法 . 17.已知：a m2, a n5, 则a3m n_________ 18．化简： a(a－2b)－(a－ b)2＝______________．图 2 19．如图 2，在一块边长为 a 的正方形纸片的四角各剪去一个边长为 b 的正方形，若 a
北七下知识要点分章梳理 第一章：整式的运算 单项式 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。 （2）代入计算 （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为 指数，a n 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
北师大版七年级数学下册定理知识点汇总第一章 整式的运算 一. 整式 ※1. 单项式 ①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 ②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数. ③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. ※2.多项式 ①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. ②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数. ※3.整式单项式和多项式统称为整式. ?? ??????其他代数式多项式单项式整式代数式 二. 整式的加减 ¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式. ¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时, 这个数与括号内各项都要相乘. 三. 同底数幂的乘法 ※同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中 m 、n 、p 均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为正整数） 四．幂的乘方与积的乘方 ※1. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来
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注意事项： 1、结合学生实际情况，多采取游戏式的教学，务实基础，引导学生乐于参 与数学学习活动. 2、培养学生认真地计算能力及习惯，在原有基础上再提高. 3、培养学生的数学能力，提高解决数学问题的正确率，抓好尖子生. 4、在课堂教学中，注意多一些有利于孩子理解的问题，应该考虑学生实际的思维水平，多照顾中等生以及思维偏慢的学生.
1.1 同底数幂的乘法 教学目标： 知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算. 过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力. 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣. 教学重点和难点： 幂的运算性质． 教学过程： 一、实例导入： 二、温故： 2.，指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？ 三、知新： 1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则 计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义) =10×10×10×10×10(乘法的结合律) =105． 2．引导学生建立幂的运算法则 将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa) ＝aaaaa =a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有 即a m·a n=a m+n．
3．引导学生剖析法则 (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)公式中的底数a可以表示什么 (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 要求学生叙述这个法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注意：强调幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加． 四、巩固： 例1计算： (1) （-3）7×（-3）6；(2)（1/111）3×(1/111)． (3)-x3·x5 (4) b2m·b2m+1． ．例2、光在真空中的速度约为3×108米/秒，泰阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球距离太阳大约有多远？ 五、拓展： 1、计算：(1)105·106；(2)a7·a3；(3)y3·y2； (4)b5·b；(5)a6·a6；(6)x5·x5． 2、计算：(1)y12·y6；(2)x10·x；(3)x3·x9； (4)10·102·104；(5)y4·y3·y2·y；(6)x5·x6·x3． 六、课堂小结： 1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对这个法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字． 2．解题时要注意a的指数是1． 3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆． 4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算. 七、板书设计： 八、教学后记： 1.2幂的乘方与积的乘方(1) 教学目标： 知识与技能：了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 过程与方法：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣.
第一章：整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 整 式 的 运 算
4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。 （2）代入计算 （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点： （1）法则中的底数不变，只对指数做运算。 （2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。 （3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。 2、不同点： （1）同底数幂相乘是指数相加。 （2）幂的乘方是指数相乘。 （3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。 2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0 =1（a ≠0）。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：1(0)p p a a a -=≠ 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
5 4D 3E 2 1 C B A 1 3 一 选择题(每小题3分) １．代数式abc 5，172+-x ，x 52-，5 1 21中，单项式的个数是( ) A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ．1个 2．多项式322431x x y xy -+-的项数、次数分别是（ ）. A ．3、4 B ．4、4 C ．3、3 D ．4、3 3．下列计算正确的是（ ） A ．5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ． 632a a a =? D ． () 63 2a a -=- 4．减去－3x 得632+-x x 的式子是（ ）。 A ．62+x B ．632 ++x x C ．x x 62 - D ．662+-x x 4．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）.A ．()()11x x ++ B ．)2 1)(21(a b b a -+C ．()()a b a b -+- D ．()()22x y y x -+ 5．若要使 4 1 92 ++my y 是完全平方式，则m 的值应为（ ） A ．3± B ．3- C ．3 1 ± D ．31- 6．已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A ＝50°，则∠C 的度数是（ ） A 40° B 50° C 130° D 140° 7．若两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个（ ） （A ）相等 （B ）互补 （C ）相等或互补 （D ）都是直角 8．如图，不能判定 AB ∥CD 的条件是（ ） （A ）∠B+∠BCD=1800; （B ）∠1=∠2; （C ）∠3=∠4; （D ）∠B=∠5. 8.如图，∠2+∠3=180°，∠2=70°，∠4=80°，则∠1=（ ）
北师大版七年级数学下册知识点总结 第一章 整式的运算 一、整式 1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是7 2- 单项式的次数是指所有字母的指数的和。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 （几次几项式） 每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。 3、整式；单项式与多项式统称为整式。（最明显的特征：分母中不含字母） 4、排列多项式：①按某一个字母降幂排列：某一个字母的指数由大到小排列； ②按某一个字母升幂排列：某一个字母的指数由小到大排列。 二、整式的加减：①先去括号； （注意括号前有数字因数） ②再合并同类项。 （系数相加，字母与字母指数不变） 三、幂的运算性质 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 m n m n a a a +=? 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 nm m n a a =)( 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 n n n b a ab =)( 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 10=a （0≠a ） 注意00 没有意义。 5、负整数指数幂： p p a a 1 =- （p 正整数，0≠a ） 6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。m n m n a a a -=÷
注意：以上公式的正反两方面的应用。 常见的错误：632a a a =?，532)(a a =，33)(ab ab =，326a a a =÷，4222a a a =+ 四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则 连同它的指数作为积的一个因式。 五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式 的每一项。 七、平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。 即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 ()()22b a b a b a -=-+ 八、完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误：()222b a b a +=+ ()222 b a b a -=- 九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的 字母则连同它的指数作为商的一个因式。 十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 第二章 平行线与相交线 一、互余、互补、对顶角 1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。 性质：同角（或等角）的余角相等。 2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。 性质：同角（或等角）的补角相等。 3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角；或者一个角的反相 延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。 4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 （相邻且互 补） 二、三线八角： 两直线被第三条直线所截 ①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同位角。 ②在两直线之间（内部），在第三条直线的两侧（旁）的两个角叫做内错角。
第四章三角形 三角形三边关系 三角形三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段中线 高线 全等图形的概念 全等三角形的性质 SSS 三角形SAS 全等三角形全等三角形的判定ASA AAS HL（适用于RtΔ） 全等三角形的应用利用全等三角形测距离 作三角形 一、三角形概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。 2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示； 4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。 二、三角形中三边的关系 1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b
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