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轴对称知识点及对应例题(经典)

轴对称知识点及对应例题(经典)
轴对称知识点及对应例题(经典)

第十三章轴对称

《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形

如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.

轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.

图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.

考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

1.下列几何图形中,○1线段○2角○3直角三角形○4半圆,其中一定是轴对称图形的有【】A.1个B.2个C.3个D.4个

2.图中,轴对称图形的个数是【】

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

3.正n 边形有___________条对称轴,圆有_____________条对称轴

线段的垂直平分线

(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线).

(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.

考点四、线段垂直平分线的性质

6.如图,△ABC 中,∠A =90°,BD 为∠ABC 平分线,DE ⊥BC ,E 是BC 的中点,求∠C 的度数。

7.如图,△ABC 中,AB =AC ,PB =PC ,连AP 并延长交BC 于D ,求证:AD 垂直平分

BC

8.如图,DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC =8厘米,AB =10厘米,则?EBC 的周长为【 】

A.16厘米

B.18厘米

C.26厘米

D.28厘米

C E

B

D

A

9.如图,∠BAC =30°,P 是∠BAC 平分线上一点,PM ∥AC ,PD ⊥AC ,PD =30 , 则AM =

M

D P B

C

A

轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.?

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到. 轴对称变换的性质

(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

(2)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点.

(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

作一个图形关于某条直线的轴对称图形

(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.

(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形.

关于坐标轴对称

点P (x ,y )关于x 轴对称的点的坐标是(x ,-y )

点P (x ,y )关于y 轴对称的点的坐标是(-x ,y )

关于原点对称

点P (x ,y )关于原点对称的点的坐标是(-x ,-y )

关于坐标轴夹角平分线对称

点P (x ,y )关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y =x 对称的点的坐标是(y ,x )

点P (x ,y )关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y = -x 对称的点的坐标是(-y ,-x ) 关于平行于坐标轴的直线对称

点P(x,y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x,y);

点P(x,y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x,2n-y);

考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称

1.点 A(-3 ,2)关于 y 轴对称点的坐标是( )

A (-3 ,-2)

B (3 ,2)

C (-3 ,2)

D (2 ,-3)

2.点P(a,b)关于 x 轴的对称点为P'(1,-6),则A、B的值分别为( )

A 1 ,6

B -1 ,-6

C -1 ,6

D 1 ,-6

3.点P关于x 轴对称点P'的坐标为(4,-5),那么点P关于y轴对称点P"的坐标为:

A (-4,5)

B (4,-5)

C (-4,-5)

D (-5,-4)

4.平面内点A(-1,2)和点B(-1,6)的对称轴是( )

A.x轴

B.y轴

C.直线y=4

D.直线x=-1

5.下列关于直线 x=1 对称的点是( )

A 点(0 ,-3)与点(-2 ,-3)

B 点(2 ,3)与点(-2 ,3)

C 点(2 ,3)与点(0 ,3)

D 点(2 ,3)与点(2 ,-3 )

6.已知A(-1,-2)和B(1,3),将点A向______平移_______个单位长度后得到的点与点B 关于y轴对称.

7.如下图:若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形,

点A的坐标为(2,1),标出点 B 、C 、D 的坐标分别为:

B( , ),C( , ),D( , )。

8. 若A(m-1,2n+3)与B(n-1,2m+1)关于y轴对称,则m= ,n=

9.已知a<0,那么点P(-a2-2,2-a)关于x轴对称的对应点P'在第象限

三、解答题

10.已知点M(1-a,2a+2),若点M关于x轴的对称点在第三象限,求a的取值范围?

11.已知点A的坐标为(2x+y-3,x-2y)。它关于x轴对称的点A'的坐标为(x+3,y-4),求点A关于y轴对称的点的坐标。

12.如图,从△ABC到△A′B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换,如果是轴对称变换,找出对称轴,如果是平移变换,是怎样平移的?

13.如图,△ABC,求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标并在

坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△EDF。

14.已知两点A(–1,2) B(3,1)

(1)P点在X轴上移动。求PA+PB的最小值。

(2)Q点在Y轴上移动。求QA+QB的最小值。

(3)并求出P.Q的坐标。

考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形

(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.

(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形

4.如图,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DP,则AP+DP的最小值是

5.已知等边△ABC,E在BC的延长线上,CF平分∠DCE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求证∠APQ是多少度

作点Q关于BE的对称点R,交BE于点H,

从而可得ΔQCH≌ΔRCH,∠QCH=∠RCH=60度。

A ,C,R在同一直线上。

易证ΔPCQ≌ΔPCR,从而∠QPH=∠RPH,PR=PQ, ∠PQC=∠PRC.

又由于AP=PQ,从而AP=PR,得到∠PRA=∠PAR

∴∠BAP+∠PAC=∠PQC+∠QPC

∴∠BAP=∠QPC

即有:∠BAP+∠B=∠QPC+∠APQ

即∠APQ=60o

等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.

等腰三角形的性质

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形.

(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).特别的:

(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.

(2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.

(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.

(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.

考点五、等腰三角形的特征和识别

11.如图,△ABC中,AB=AC=8,D在BC上,过D作DE ∥AB交AC于E,DF∥AC

交AB于F,则四边形AFDE的周长为______ 。

12.如图,△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB,EF过D且EF∥BC,若AB = 7,BC = 8,AC = 6,则△AEF周长为【】

A. 15 B . 14 C. 13 D. 18

13.如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上,且AB=BC=CD

=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB

=________度.

14.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则它的一个底角的度数是_______

15.如图:在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC , DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。试说明DE =DF 。

16.如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上,D 点在AB

边上,DE 交BC 于点F ,DF =EF ,BD =CE.求证:△ABC 是等腰三角形.

17.已知:如图,△ABC 中,∠ACB 的平分线交AB 于E ,EF ∥BC 交AC 于点F ,交∠ACB 的外角平分线于点G .试判断△EFC 的形状,并说明你的理由.

A

B D G

F E

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.

等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等,?并且每一个内角都等于60°

等边三角形的判定方法

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

考点六、等边三角形的特征和识别

22.下列推理中,错误的是【】

A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形

B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形

C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形

D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形

23.如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。

24.已知△ABC是等边三角形,分别在AC、BC上取点E、F,且AE=CF,BE、AF

交于点D,则∠BDF= _________度

26.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF?的形状是【】A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形

D

A

F

角平分线的性质:在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

A

B C

P M N O

角平分线的判定:到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

A

B C

P M N

O

三角形的角平分线的性质:三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等.

考点七、30°所对的直角边是斜边的一半

29.如图,是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ,AB =8m ,∠A =30°,则DE 等于【 】

A .1m

B .2m

C .3m

D .4m

E D

C B

A

31.一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO =BO =40cm ,C0

=D0=30 cm ,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠AOB 刚好为120°,求桌面到地面的距离是多少?

乙B

32.如图,AB

=AC ,DE⊥AB 于E ,DF⊥AC 于F ,∠BAC=120o ,BC =6,则DE +DF =

33.在ABC △中,120AB AC A =∠=?,,AB 的垂直平分线交BC 于点F ,交AB 于点E .如果1

EF =,求BC 的长

F

34.已知:在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交AB 于E ,交BC 于F. 求证:CF =2BF.

《简单的轴对称图形》典型例题1(1)(答案)

《简单的轴对称图形》典型例题 例1 想一想等边三角形的三个内角各是多少度,它有几条对称轴。 例2 如图,已知ABC ?是等腰三角形,AC AB 、都是腰,DE 是AB 的垂直平分线,12=+CE BE 厘米,8=BC 厘米,求ABC ?的周长. 例3 AC AB ABC =,:中在已知? _____ ,100)3(____,30)2(___ __,,70)1(00为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若=∠=∠=∠C B A ο 例 4 如图,已知:在ABC ?中,AC AB =,?=∠110ACD ,求ABC ?各内角的度数.

例5 如下图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,用轴对称的性质证明:BE=CE. 例6如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°,求∠1和∠ADC的度数.

参考答案 例1 分析:由等腰三角形的性质易知等边三角形三个内角相等都是60°,它有三条对称轴。 解:三个内角都是60°,它有三条对称轴。 说明:等边三角形是等腰三角形的特例,所以等腰三角形的性质对其都是适用的,在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。 例2 分析:本题依据线段垂直平分线的性质可以得到. 解:DE Θ是AB 的垂直平分线 ∴BE AE = ∴12=+CE AE 厘米AC = ABC ?Θ是等腰三角形 ∴12==AC AB 厘米 ∴ABC ?的周长是3281212=++=++BC AC AB 厘米 例3 分析:注意到题中所给的条件AB =AC ,得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题(1)可得οο55,55=∠=∠C B ;对问题(2)考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角;对问题(3)由三角形内角和为ο180可得此等腰三角形的顶角只能为ο100这一种情况。 略解:(1)οο55,55=∠=∠C B (2)另外两内角分别为:οοοο120,30;75,75(3)οο40,40 说明:通过题目中的(2)、(3)渗透分类思想,训练思维的严密性。

初中数学轴对称图形知识点加习题总结

知识点1 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。 知识点2 对称轴的性质 1.对称轴是一条直线。 2.在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 3.在轴对称图形中,沿对称轴将它对折,左右两边完全重合。 4.图形对称 例1下面哪些图形是轴对称图形?画出轴对称图形的对称轴。 例2.推理游戏:下面应该是什么图形?

知识点3线段垂直平分线定义及其性质 定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。 性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 3.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 例3.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=6,则线段PB的长度为() A.3 B.5 C.6 D.8 解析:∵直线CD是线段AB的垂直平分线, ∴PB=PA, ∵PA=6, ∴PB=6. 答案C. 例4如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是() A.ED=CD B.∠DAC=∠B

C .∠C >2∠B D .∠B+∠ADE=90° 分析:∵DE 是线段AB 的垂直平分线, ∴AD=BD . ∴∠B=∠BAD,∠ADE=∠BDE. ∴∠B+∠ADE=90° 答案D 课堂练习1 1.点A ,B 关于直线a 对称,P 是直线a 上的任意一点,下列说法不正确的是( ) A .直线AB 与直线a 垂直 B .直线a 是点A 和点B 的对称轴 C .线段PA 与线段PB 相等 D .若PA=PB ,则点P 是线段AB 的中点 2.三角形中到三边的距离相等的点是( ) A .三条边的垂直平分线的交点 B .三条高的交点 C .三条中线的交点 D .三条角平分线的交点 3.已知A 和B 两点在线段EF 的中垂线上,且∠EAF=100°,∠EBF=70°,则∠AEB 等于( ) A 、95° B 、15° C 、95°或15° D 、170°或30° 4.已知:如图,线段AB 垂直平分线段CD 则AC = 。若线段AB,CD 互相垂直平分,则AC= 。 A B C O D O A B D C

八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章《轴对称》 一、知识点归纳 (一)轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 2、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。(对称轴必须是直线) 3、对称点:折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。 4、轴对称图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5.画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。 (二)、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别:轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称. 联系: 1:都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形,反之亦然。 (三)线段的垂直平分线 (1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线) (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. (证明是必须有两个点)因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. (四)用坐标表示轴对称 1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(-x,y);

人教版八年级数学上册 轴对称知识点总结

轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 轴对称 (1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (2)轴对称 定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质: ①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形; ②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; ③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上. (3)轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别:轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. (4)线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形 (1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这

些点,就可以得到原图形的轴对称图形; (2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y). Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形 (1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形. (2)等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”; ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°. (3)等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”). 2.等边三角形 (1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形. (2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°. (3)等边三角形的判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. Ⅳ. 最短路径

简单的轴对称图形练习习题

欢迎阅读 页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1.已知等腰三角形的一个角为42 0,则它的底角度数_______. 2.下列10个汉字:林 上 下 目 王?田 天 王 显 吕,其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________;有两条对称轴的是_______;有四条对称轴的是________. 3.如图,镜子中号码的实际号码是___________. 4.等腰三角形的两边长分别是3和7,则其周长为______. 5.已知等腰ABC △的周长为10,若设腰长为x ,则x 的取值范围是 . 6.在△A BC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°,则∠B 等于 7 8的长915和6________________________. D.2..三条角平分线的交点 345.如图3,已知△ABC 中,AC+BC=24,AO 、BO 分别是角平分线,且MN ∥BA ,分别交AC 于N 、BC 于M ,则△CMN 的周长为( )A .12 B .24 C .36 D .不确定 6.如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ,交AB 于点E .当∠B=30°时,图中不一定相等的线段有( )A .AC=AE=BE B .AD=BD C .CD=DE D .AC=BD 7.如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 在AC 上,且BD =BC =AD ,则∠A 等于( )A .30o B .40o C .45o D .36o 8.如图,等腰△ABC 的周长为21,底边BC = 5,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ,交 AC 于点E ,则△BEC 的周长为( )A .13 B .14 C .15 D .16 9.如图,AB =AC,BD =°,则∠ABD 的度数是( ) A D E

轴对称图形知识点归纳

轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y). (2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y). 4.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. (4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等. (5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 (6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°. (2)等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴. (3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

轴对称知识点总结

轴对称与轴对称图形 一、知识点: 1.什么叫轴对称: 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。 2.什么叫轴对称图形: 如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系: 区别: ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合,而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿 某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系;轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系: ①两部分都完全重合,都有对称轴,都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体,这个整体就是一个轴对称图形; 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形,这两个部分图形就成轴对 称。 常见的轴对称图形有:圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等 边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

4.线段的垂直平分线:Array 垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。 (也称线段的中垂线) 5.轴对称的性质: ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6.怎样画轴对称图形: 画轴对称图形时,应先确定对称轴,再找出对称点。 二、举例: 例1:判断题: ①角是轴对称图形,对称轴是角的平分线;() ②等腰三角形至少有1条对称轴,至多有3条对称轴;() ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形;() ④两图形关于某直线对称,对称点一定在直线的两旁。() 例2:下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的在规律,然后把图形空白处填上恰当的图形.

轴对称整章知识点复习题含答案

m C A B P 图3 图2 m C A B 第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业! 签名:____________ 一、知识梳理 1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。互相重合的点叫做________________。 轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。。互相重合的点叫做________________。。 2、轴对称图形与轴对称的区别与联系: 区别________________________________________________。 联系________________________________________________。 3、轴对称的性质: _______________________________________________。 _______________________________________________。 4、线段的垂直平分线定义: ________________________________________________ 如图2, ∵CA=CB , 直线m ⊥AB 于C , ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 5、线段的垂直平分线性 质:_______________________________________________。 如图3, ∵CA=CB , 直线m ⊥AB 于C , 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 6、等腰三角形定 义:___________________________________________: 7、等腰三角形性质:___________________________________________: ___________________________________________: 8、等腰三角形判定。 判定①。___________________________________________: 判定②___________________________________________:

三年级轴对称图形练习题

三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是(),折痕所在的直线叫做()。 2、圆的对称轴有()条,半圆形的对称轴有()条。 3、在对称图形中,对称轴两侧相对的点到对称轴的()相等。 4、()三角形有三条对称轴,()三角形有一条对称轴。 5、正方形有()条对称轴,长方形有()条对称轴,等腰梯形有()条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来,直线两侧部分能够完全重合,那么这个图 形就叫做___________,这条直线叫做________. 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段. 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形,?请再写出三个这样的汉字:_________. 9、长方形有_____条对称轴,正方形有_____条对称轴,圆有_____条对称轴. 10、如图是一种常见的图案,这个图案有_____条对称轴,请在图上画出对称轴. 11、右图是从镜中看到的一串数字,这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。二、选择题。 1、下列英文字母中,是轴对称图形的是() A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中,不是轴对称图形的是() 3、下图是一些国家的国旗,其中是轴对称图形的有() A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中:角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形,其中一定是轴对称 图形的有() A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中,对称轴最多的是()。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是()。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴,应采用第()种画法。8题)

轴对称知识点及对应例题(经典).

第十三章轴对称 《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴. 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称. 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中,○1线段○2角○3直角三角形○4半圆,其中一定是轴对称图形的有【】A.1个B.2个C.3个D.4个 2.图中,轴对称图形的个数是【】 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

3.正n 边形有___________条对称轴,圆有_____________条对称轴 线段的垂直平分线 (1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线). (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 考点四、线段垂直平分线的性质 6.如图,△ABC 中,∠A =90°,BD 为∠ABC 平分线,DE ⊥BC ,E 是BC 的中点,求∠C 的度数。 7.如图,△ABC 中,AB =AC ,PB =PC ,连AP 并延长交BC 于D ,求证:AD 垂直平分 BC 8.如图,DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC =8厘米,AB =10厘米,则?EBC 的周长为【 】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米 C E B D A

七年级数学下册《轴对称图形典型例题》

轴对称图形典型例题 例1 如下图,已知,PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点.求证:∠BDP=∠CDP. 证明:∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC, ∴∠P AB=∠P AC(到角两边距离相等的点在这个角平分线上),∵∠APB+∠P AB=90°,∠APC+∠P AC=90°, ∴∠APB=∠APC, 在△PDB和△PDC中, ∴△PDB≌△PDC(SAS), ∴∠BDP=∠CDP. (图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等) 注 利用角平分线定理的逆定理,可以通过距离相等直接得到角相等,而不用再证明两个三角形全等.

已知如下图(1),在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A+∠C=180°. (1) 证法一:过D作DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC于F, ∵BD平分∠ABC,∴DE=DF, 在Rt△EAD和Rt△FCD中, (角平分线是常见的对称轴,因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明.) ∴Rt△EAD≌Rt△FCD(HL), ∴∠C=∠EAD, ∵∠EAD+∠BAD=180°, ∴∠A+∠C=180°. 证法二:如下图(2),在BC上截取BE=AB,连结DE,证明△ABD ≌△EBD可得.

证法三:如下图(3),延长BA到E,使BE=BC,连结ED,以下同证法二. (3) 注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法. 例3 已知,如下图,AD为△ABC的中线,且DE平分∠BDA交AB于E,DF 平分∠ADC交AC于F. 求证:BE+CF>EF. 证法一:在DA截取DN=DB,连结NE、NF,则DN=DC,在△BDE 和△NDE中,

第13章 轴对称(知识归纳)

第13章轴对称(知识归纳) 【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用; 2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质; 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【知识讲解】 知识点一:轴对称 1.轴对称图形和轴对称 (1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (2)轴对称 定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质: ①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形; ②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; ③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上. (3)轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 知识点二:作轴对称图形 1.作轴对称图形 (1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形; (2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.

第二章轴对称图形知识点归纳+典型例题+提优

2.1轴对称与轴对称图形 姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念,知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念,并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称,进一步发展空间观念. 学习过程: 一、创设情境 观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动 活动一折纸印墨迹 问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗?

问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系? 概念:把一个图形沿着___________________翻折,如果它能够与另一个图形__________,那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点. 如图,△ABC和△DEF关于直线MN对称, 直线MN是对称轴,点A与点D、点B与点E、 点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面 联系实际,你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗? 活动三

把_________图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是_______________,这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际,你能举出一个轴对称图形的实例吗? 活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系 三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.

八年级数学轴对称知识点总结

八年级数学轴对称知识点 总结 Prepared on 21 November 2021

轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ.轴对称 (1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图 形,这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. (2)轴对称 定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质: ①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形; ②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; ③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.

(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别:轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉 及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果 把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. (4)线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ.作轴对称图形 1.作轴对称图形 (1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形; (2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称

典型的轴对称图形练习题(带答案)

1 一、选择题 1.下列命题中:①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形(位置?);②等腰三角形的 对称轴是底边上的中线所在直线;③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线;④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有( d )个 A A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (1)两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形,由于位置关系不确定,不能正确判定,错误; (2)等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线,而非中线,故错误; (3)等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线,应该改为高所在的直线,故错误; (4)一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形,符合轴对称性质,正确. 2.下列图形中:①平行四边形;②有一个角是30°的直角三角形;③长方形;④等腰三角 形. 其中是轴对称图形有( c )个 B ①、②不是轴对称图形;③长方形是轴对称图形;④等腰三角形是轴对称图形 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 //3.∠AOB =30°,点P 在∠AOB 的内部,P 1与P 关于OA 对称,P 2与P 关于OB 对称,△P 1OP 2是 ( c ):∵P 为∠AOB 内部一点,点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2, ∴OP=OP 1=OP 2且∠P 1OP 2=2∠AOB=60°, ∴△OP 1P 2是等边三角形. A .含30°角的直角三角形; B .顶角是30的等腰三角形; C .等边三角形 D .等腰直角三角形. 4.等边三角形ABC 中,BD =CE ,AD 与BE 相交于点P ,则∠APE 的度数是( c )----证全等,等量代换. 等边△ABC 中,有∠ABC=∠C=60°,AB=BC ,BD=CE ∴△ABD ≌△BCE (SAS ) ∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A .45° B .55° C .60° D .75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ,面积为21cm 2,则 这个梯形较小 的底角是( c )度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ,BC=10cm ,面积为21cm 2,求出梯形的高为AE=3.而BC-AD=BE+CF=6,∴BE=3,由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°. A .45° B .30° C .60° D .90° 6.已知点P 在线段AB 的中垂线上,点Q 在线段AB 的中垂线外,则 ( D ) A .PA+P B >QA+QB B .PA+PB <QA+QB D .PA+PB =QA+QB D .不能确定 7.已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称,且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ,( C ) A .点O 是BC 的中点 B .点O 是B 1 C 1的中点 C .线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D .以上都不对 8.如图:已知∠AOP=∠BOP=15°,PC ∥OA , PD ⊥OA ,若PC=4 ,则PD=(C )过点P 作PM ⊥OB 于M ,∵PC ∥OA ,∴∠COP=∠CPO=∠ POD=15°,∴∠BCP=30°,∴PM= A O P A E C B D

第13章轴对称知识点

第13章 轴对称知识点总结 一、定义 1.轴对称图形:一个图形沿一条直线对折,直线两旁的 部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。 2.轴对称:两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能 够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。 3.轴对称图形与轴对称的区别和联系: 区别:轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对 称关系”; 轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关 系”。 联系:把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称; 把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4.轴对称的性质: (1)成轴对称的两个图形全等。 (2)对称轴与对应点连结的线段垂直。 (3)对应点到对称轴的距离相等。 (4)对应点的连线互相平行。 二、.线段的垂直平分线 (1)定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。 ∵CA=CB , 直线m ⊥AB 于C , ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 (2)垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 ∵CA=CB , 直线m ⊥AB 于C , 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 (3)垂直平分线判定: ∵PA=PB , 直线m 是线段AB 的垂直平分线, ∴点P 在直线m 上 。 三、等腰三角形 1.定义:有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 注意:等腰三角形底角只能是锐角。 2.等腰三角形性质: ①等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的垂直平分线”,只有一条。 ②等边对等角。 ③三线(垂线、中线、角平分线)合一。 3.等腰三角形判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 m C A B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰C B A

典型的轴对称图形练习习题(带答案

精心整理 一、选择题 1.下列命题中:①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形; ②等腰三角形的对称轴是底边上的中线;③等边三角形一边上 的高就是这边的垂直平分线;④一条线段可以看着是以它的垂 2 )3对称, B.顶 . 4与BE 相交于点P,则 ∠APE的度数是() A.45°B.55° C.60°D.75°

5.等腰梯形两底长为4cm和10cm,面积为21cm2,则这个梯形较 小 的底角是()度. A.45°B.30°C.60°D.90°6.已知点P在线段AB的中垂线上,点Q在线段AB的中垂线外,则 A. D. 7. C D 8 PC ( A.4B.3 C.2D.1 9.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离 为5,Q是OB上任一点,则()

A.PQ>5B.PQ≥5 C.PQ<5D.PQ≤5 10.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底长为() A.3cm或5cm B.3cm或7cm C.3cm D.5cm 11 12 13CD=4, 14 15AB=6, 的周 1610且有一底角为 60°,则它的两底长分别为____________. 17.若D为△ABC的边BC上一点,且AD=BD,AB=AC=CD, 则∠BAC=____________.

18.△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若∠BAC=115°,则∠EAF=___________. 三.解答题 19.如图:已知∠AOB和C、D两点,求作 两边20C, 21 22AC于E、 23ABP=结论.

参考答案 第一章 轴对称图形 1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.C 1116.4、6 19202123=AQ ,

(完整版)《轴对称》知识点总结及章节检测

轴对称 1.1轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.(有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴。) 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质 性质1:若两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;注:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线. 性质1的证明如下:如图所示,△ABC与△关于l对称,其中点A、是对称点,设 交对称轴于点P. 证明:将△ABC和△沿l折叠后,点A与重合,则有,∠1=∠2=90°,即对称轴把垂直平分,同样也能把、都垂直平分,于是得出性质1. 性质2:轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.证明类似性质1.

轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形,且有特殊位置关系;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.如图所示: 1.2线段的垂直平分线 性质1:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 证明:如图所示,l是线段AB的垂直平分线,P为l上任意一点,求证性质1. 性质2:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 证明:如图所示,P在线段AB上方,且PA=PB,求证P在线段AB的垂直平分线上。 以上两点性质可得出:线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 1.3 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到.

人教版数学八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题(无答案)(最新整理)

第十三章《轴对称》 (一)轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 2、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。(对称轴必须是直线) 3、对称点:折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。 4、轴对称图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5.画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:找到关键点,画出关 键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。 (二)轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别:轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.联系:1:都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个 图形那么他就是轴对称图形,反之亦然。

线段的垂直平分线 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线) (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.(证明是必须有两个点)因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. (四)用坐标表示轴对称 1、点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(-x,y) 2、点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(x,-y); (五)关于坐标轴夹角平分线对称 点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y=x 对称的点的坐标是(y,x) 点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y=-x 对称的点的坐标是(-y,-x) (六)关于平行于坐标轴的直线对称 点P(x,y)关于直线 x=m 对称的点的坐标是(2m-x,y); 点P(x,y)关于直线 y=n 对称的点的坐标是(x,2n-y);(七)等腰三角形 等腰三角形性质: 性质 1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(三线合一)2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连 续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角 函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。 对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念: ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称, 该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的 中心对称,该点称为该函数的对称中心。 常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0 )是它的对称中心,2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不 会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,) 0,2 (k是它的对称中心。 (11 )正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中)0,2 ( k是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对 称中心只是(kπ,0)。 对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能 误以为最值处是它的对称轴。 三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。 二、函数的对称性猜测: 具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称,这是由函数定义决定的,因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为:设(x,y)为原曲线图像上任一点,如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;如果(y,x)也在图像上,则该曲线关 于y=x对称;如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称 例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对称轴。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间 2.5,从而该函数关于x=2.5对称) 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称) 例8、如果f(x)为偶函数,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3),按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以x=k是它所有的对称轴,k∈Z)②中心对称 例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

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