目录 引言 (1) 1预备知识 (2) 定义1.1（奇异Sturm-Liouville边值问题的正解） (2) 引理1.1.1 (2) 定义1.2（凸集的概念) (3) 定义1.3锥的定义 (3) 定义1.4（全连续算子的概念） (3) 1.5 （常微分边值问题的定义） (4) 定义1.6混合单调算子得定义） (4) 2 常微分方程边值问题正解得存在性 (5) 2.1 奇异Sturm-Liouville常微分边值问题的正解存在在 (5) 子 (8) 2.2 一类二阶边值问题的存在性 (9) 3一类混合单调算子应用 (11) 3.1一类混合单调算子的存在唯一性?........................ 错误!未定义书签。 3.2 求常微分边值问题的例题 (13) 结束语 (15) 参考文献 (15) 致 (16)
常微分方程边值问题与不动点定 （数学与统计学院 11级数学与应用数学2班）指导教师：攀峰 引言 从历史上看在有了微积分这个概念以后，紧接着出现了常微分方程。发展初期是属于“求通解”得时代，当人们从初期的热潮中结束要从维尔证明了卡帝方程中是一定不会存在一般性的初等解的时候开始的，并且柯西紧接着又提出了初值问题，常微分方程开始从重视“求通解”转向重视“求定解”的历史时代。 大学我们都学习了常微分方程这门学科，如果要研究它的定解问题，我们首先就会知道是常微分方程的初值问题。然而，在科学技术、生产实际问题中，我们还是提出了另一类定解问题-边值问题。对于常微分方程边值问题，伟大的科学家最早在解决二阶线性微分方程时，提出了分离变量法。[]1.在牛顿时期，科学家们已经提出过常微分的边值问题，牛顿也对常微分边值问题进行过研究，并且在1666年10月牛顿已经在这个领域取得了很大的成就，但是由于种种原因当时并没有整理成论文，所以没有及时出版。但在1687年他终于把在常微分方程上研究的成果发表了，虽然不是在数学著作中，却是他的一本力学著作中（《自然哲学的数学原理》）。 在微积分刚创立时期，雅克.伯努利来自瑞士的科学家提出了远著文明的问题-悬链线问题，紧着的地二年著名数学家莱布尼兹就给出了正确的解答，通过对绳子上个点受力分析，建立了以下方程 这个方程满足的定解条件是y（a）=α；y(b)=β.这是一个典型的常微分方程的边值问题。从这开始，常微分边值问题已经是科学家研究微分方程是不可或缺的工具，我就简单列举几个例子：（比如种族的生态系统；梁的非线性震动）等。对于怎么研究它，
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为
第七节 二阶常系数线性微分方程 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求 22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝ 0 (7.1) 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解， 从方程的形式上来看，它的特点是22 dx y d ，dx dy ，y 各乘 以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，
其22dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函 数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx y ＝e rx (其中r 为待定常数) 将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，22dx y d ＝r 2e rx 代入方程 (7.1) 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝ 0 或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝ 因为e rx ≠ 0 r 2 ＋pr ＋q ＝ 由此可见，若 r r 2＋pr ＋q ＝ 0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2 有三种可能的情况，下面 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程(7.1)
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)
二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换
METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程
常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooting Method （shooting.m ） %打靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b,n]=shooting(fun,x0,xn,eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+rand; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1); x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (norm(c1-xn)>=eps & norm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x1=x2; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1) x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题： ()()??? ????==- =010004822y y y dx y d 解：将其转化为常微分方程组的初值问题
()????? ? ?????==-==t dx dy y y y dx dy y dx dy x 0011221 048 命令： x0=[0:0.1:10]; y0=32*((cos(5)-1)/sin(5)*sin(x0/2)-cos(x0/2)+1); 真实解 plot(x0,y0,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1))
第十一章 常微分方程边值问题的数值解法 工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法. 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)(a y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ? ? ?=-'=-'101 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a . 常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法. 11.2 打靶法 对于二阶非线性边值问题 ()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1) 打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列： ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2） 引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使： ()()β==∞ →b y v b w k k ,lim ， （11.2.3）
其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解． 首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图 ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4） 如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β． 为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定： 0),(=-βv b w ． （11.2.5） 由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列 ),)(()),((111----- =k k k k v b dv dw v b w v v β，此处),(),)(( 11--=k k v b dv dw v b dv dw ， （11.2.6） 同时要求求得),)(( 1-k v b dv dw ，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。 ，，，),(),(),(),(1210-??k v b w v b w v b w v b w 假如我们如下改写初值问题（11.2.2），使其强调解对x 和v 的依赖性 ()()v v a w v a w b x a v x w v x w x f w ='=≤≤'=''),(,),(),,(,，，，α，（11.2.7） 保留初始记号以显式与x 的微分相关．既然要求当k v v =时),)((v b dv dw 的值，那么我们需要求出表达式（11.2.7）关于v 的偏导数．过程如下： )),(),,(,(),(v x w v x w x v f v x v w '??=?''? ),()),(),,(,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f v x v x w v x w x x f ??'??+??'??= ) ,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f ?'?''??+ 又因为x 跟v 相互独立，所以当b x a ≤≤上式如下；
常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooti ng Method (shoot in g.m ) % 丁靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b ,n]=shooti ng(fu n, xO,x n, eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+ra nd; [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x0]'); c0=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x1]'); c1=b(le ngth(b),1); x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (no rm(c1-x n)>=eps & no rm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x 仁x2; [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x0]'); cO=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x1]'); c1= b(le ngth(b),1) x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题: y 10 0 解：将其转化为常微分方程组的初值问题
命令: xO=[O:O.1:1O]; y0=32*((cos(5)-1)/si n( 5)*si n(x0/2)-cos(x0/2)+1); plot(xO,yO,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1)) dy i dx y 2 dy 2 dx y i 0 y 4 y o dy dx X0 真实解 30 ' 12^4567^9 10
下载的，感觉不错，共享一下 常微分方程和常微分方程组的求解 一、实验目的： 熟悉Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在MATLAB 中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程1dy dx x y = +的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')， 注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。 例2：求解常微分方程2 '''0yy y -=的MATLAB 程序为： Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组253t t dx x y e dt dy x y e dt ?++=??? ?--=??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') 例4：求常微分方程组020 210cos ,224,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=?+-==??? ?++==??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')
微分方程求解是系统仿真、数学模型实现以及很多工程问题求解的核心部分，应用MATLAB可以方便地对一阶常微分方程组进行求解，这里将对其基本方法进行介绍。值得注意的是，高阶微分方程组可以通过引进参变量化为一阶常微分方程组，也可以同样方便解决。 若有一个微分方程（组）的参变量为列向量,即,且它参变量随时间变化的微分方程可以有以下方程描述： 这里的f函数是一个列向量，即, i=1,2,3…,n，它可以是任意非线性函数。 则一般微分方程可以如此求解： [t,x]=ode45(f,timespan,x0) 对于刚性方程，即一些解变化缓慢，一些解变化剧烈，且两者相差较为悬殊的这种方程，通常调用ode15s而非o de45进行求解。 例1： 解：编写function或者用匿名函数 表达f=y-2*x/y即可； function dy=f(t,y) dy=y-2*t/y; end 命令： t=[0,1];%y0=1; [x,y]=ode45('f',t,1);%注意 这里的x相当于自变量t plot(x,y,x,sqrt(1+2*x)),legend('数值解','解析解');
可见求解效果不错。 例2、 解：编写function function dx=f(t,x)%返回值是列向量 dx=[-x(2)-x(3); x(1)+0.2*x(2); 0.2+(x(1)-5.7)*x(3)]; end 命令： t=[0,100]; y0=[0 0 0]';%注意是列向量 [x,y]=ode45('f',t,y0); plot(x,y)； 例3、 这是一个二阶微分方程组，可以引进变量,由此ODE可以化成如下形式 可以采用和例2相同的方法求解： function dx=f(t,x) dx=[x(2); -(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)]; End
二阶常微分方程边值问题的数值解法 摘要 求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础． 对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab
程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析． 关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解
The Numerical Solutions of Second-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value Problems ABSTRACT The numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.
Matlab 求解常微分方程边值问题的方法：bvp4c 函数 常微分方程的边值问题，即boundary value problems ，简称BVP 问题，是指表达形式为 (,)((),())0'=??=?y f x y g y a y b 或(,,)((),(),)0'=??=? y f x y p g y a y b p 的方程组（p 是未知参数），在MA TLAB 中使用积分器bvp4c 来求解。 [命令函数] bvp4c [调用格式] sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2,…) sol 为一结构体，sol.x 、sol.y 、sol.yp 分别是所选择的网格点及其对应的y(x)与y'(x)数值; bvp4c 为带边值条件常微分方程积分器的函数命令；odefun 为描述微分方程组的函数文件；bcfun 为计算边界条件g(f(a),f(b),p)=0的函数文件；solinit 为一结构体，solinit.x 与solinit.y 分别是初始网格的有序节点与初始估计值，边界值条件分别对应a=solinit.x(l)和b=solinit.x(end)； options 为bvpset 命令设定的可选函数，可采用系统默认值；p1, p2…为未知参数。 例 求常微分方程0''+=y y 在(0)2=y 与(4)2=-y 时的数值解。 [解题过程] 仍使用常用方法改变方程的形式： 令1=y y ，21'=y y ，则原方程等价于标准形式的方程组1221 ?'=??'=-??y y y y ； 将其写为函数文件twoode.m ； 同时写出边界条件函数对应文件twobc.m ； 分别使用结构solinit 和命令bvp4c 确定y-x 的关系； 作出y-x 的关系曲线图。 [算例代码] solinit =bvpinit(linspace(0,4,5),[1 0]); % linspace(0,4,5)为初始网格，[1,0]为初始估计值 sol=bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); % twoode 与twobc 分别为微分方程与边界条件的函数，solinit 为结构 x=linspace(0,4); %确定x 范围 y=deval(sol,x); %确定y 范围 plot(x,y(1,:)); %画出y-x 的图形 %定义twoode 函数（下述代码另存为工作目录下的twoode.m 文件） function dydx= twoode(x,y) %微分方程函数的定义 dydx =[y(2) -abs(y(1))]; %定义twobc 函数（下述代码另存为工作目录下的twobc.m 文件） function res= twobc(ya,yb); %边界条件函数的定义 res=[ya(1);yb(1)+2];
常微分方程和常微分方程组的求解 一、实验目的： 熟悉Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在MATLAB 中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程1dy dx x y = +的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')， 注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。 例2：求解常微分方程 2 '''0yy y -=的MATLAB 程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组253t t dx x y e dt dy x y e dt ?++=??? ?--=??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') 例4：求常微分方程组020 210cos ,224,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=?+-==??? ?++==??通解的MATLAB 程序 为：
常微分方程论文 题目：常微分方程边值问题的数值解法 组长：数学132文洲 组员：数学131王琦 数学132姚瑶 信息132郭斌 院（系）：理学院 指导教师：岳宗敏 时间：2015年6月9日
常微分方程边值问题的数值解法 摘要：作为一类定解问题，补充条件由以自变量取某些值时，未知函数及其导数的值而定，称其为边值条件。许多物理和数学问题都归结为边值问题。本文介绍边值问题的待定常数法和格林函数。 关键词：边值问题 待定常数法 格林函数 Abstract: as a kind of definite solution problems, the supplementary conditions by took the certain values in the independent variable, the value of the unknown function and its derivative, referred to as boundary value conditions. Many physical and mathematical problems boil down to boundary value problems. In this paper, the boundary value problem of the method of undetermined constants and green's function. Keywords: boundary value problem Method of undetermined constants Green's function 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)a (y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ?? ?=-'=-'1 01 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a .
一、常微分方程组(ODEs) 简介 (1) 1. 简谐振动 (1) 2. 电路Vander Pol 方程 (1) 3. 生物种群的Volterra-Lotka 方程 (2) 4. 蝴蝶效应Lorenz 方程 (2) 二、MATLAB 数值求解ODEs的方法 (3) 1. 多变量常微分方程组的求解 (4) 2. 高阶常微分方程如何表示？ (4) 3. 相图和极限环怎么绘制？ (4) 个人在学习自动控制原理、现代控制理论、非线性动力学等课程时，经常遇到求解常微分方程组的问题。很多人知道MATLAB 是简便易行的一个工具，但是不会调用它自带的ode 求解器，往往还在自己编写单步欧拉法的程序，不仅求解精度差，而且程序不规范，还浪费了大量时间。以下我就工程中常见的一些非线性系统，利用MATLAB 自带的求解器，说明一下如何求解ODE 方程组、以及如何绘制相轨迹和极限环的问题。供相关专业工科大学生参考和借鉴。 一、常微分方程组(ODEs) 简介 以下列出了一些较为著名的非线性动力学系统的数学表达式，大都是由常微分方程组表达的。这种形式在工程中应用非常广泛，如力学中的非线性振动、航天领域的弹道计算、控制工程中的非线性系统等，由于自然界的大多数现象都表现出非线性，因此对于该种动力系统的研究以及微分方程的求解也具有重大的意义。以下列出一些工程应用中常见的一些由ODE 方程组所描述的动力系统。 1. 简谐振动 该式是一个2 阶非线性常微分方程。 2. 电路Vander Pol 方程
Fig 1. VanderPol 系统时域响应 3. 生物种群的 Volterra-Lotka 方程 Fig 2. Volterra-Lotka 方程时域响应（左） Fig 3 非线性动力学方程的极限环（右） 左图的捕食者 -猎物随时间变化的曲线表现出强烈的非线性，而状态变量 x 、y 的 变化却呈现出一个规则的鹅卵石状。 4. 蝴蝶效应 Lorenz 方程
微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组
一、常微分方程组(ODEs)简介 (1) 1. 简谐振动 (1) 2. 电路Vancfer Pol 方程 (1) 3. 生物种群的Volterra-Lotka方程 (2) 4. 蝴蝶效应Lorenz 方程 (2) 二、MATLAB数值求解ODEs的方法 (3) 1. 多变量常微分方程组的求解 (4) 2. 高阶常微分方程如何表示？ (4) 3. 相图和极限环怎么绘制？ (4) 个人在学习自动控制原理、现代控制理论、非线性动力学等课程时，经常遇到求 解常微分方程组的问题。很多人知道MATLAB是简便易行的一个工具，但是不会调用它自带的ode求解器，往往还在自己编写单步欧拉法的程序，不仅求解精度差，而且程序不规范，还浪费了大量时间。以下我就工程中常见的一些非线性系统，利用MATLAB自带的求解器，说明一下如何求解ODE方程组、以及如何绘制相轨迹和极限环的问题。供相关专业工科大学生参考和借鉴。 一、常微分方程组(ODEs)简介 以下列出了一些较为著名的非线性动力学系统的数学表达式，大都是由常微分方 程组表达的。这种形式在工程中应用非常广泛，如力学中的非线性振动、航天领 域的弹道计算、控制工程中的非线性系统等，由于自然界的大多数现象都表现出非线性，因此对于该种动力系统的研究以及微分方程的求解也具有重大的意义。以下列出一些工程应用中常见的一些由ODE方程组所描述的动力系统。 1. 简谐振动 x + y sinx = 0 该式是一个2阶非线性常微分方程。 2. 电路Vander Pol方程 x + p(x z—4-1 = 0
0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 t/s Fig 1. VanderPol 系统时域响应 3. 生物种群的Volterra-Lotka 方程 =x （A - By ） =y （Cx 一 D ） 左图的捕食者-猎物随时间变化的曲线表现出强烈的非线性，而状态变量 X 、y 的 变化却呈现出一个规则的鹅卵石状。 4. 蝴蝶效应Lorenz 方程 x — — 10x 4 10y y = 28x — y - - xz 8 z = xy-^z 斗 Fig 2. Volterra-Lotka 方程时域响应（左） Fig 3非线性动力学方程的极限环（右）