合肥市2020届高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R A B =I e
A.{}23x x <<
B.{}23x x ≤<
C.{}03x x x <≤<或2
D.{}03x x x ≤≤<或2 2.若复数12z z ，在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，则12z z ?= A.-2 B.2i - C.2 D.2i
3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为
A.59
B.49
C.445
D.2135
4.已知双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的顶点到渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为
A.23
B.2
C.32
D.23
5.“关于x 的方程()
212x x a +=有实数解”的一个充分不必要条件是
A.113a <<
B.12a ≥
C.2
13
a << D.112a ≤<
6.已知3tan 3πα?
?+= ??
?，则3sin cos 3cos sin αααα+=-
A.19
B.3
C.1
3
D.3
7.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米
A.91070881
?-斗 B.10101010887?-斗 C.9101010887?-斗 D.8101010887?-斗
8.已知ABC ?三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a b c B +=，则2
b c a b ??
+ ???
的最小
值为
A.22
B.3
C.23
D.4
9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测
量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为
零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ?
λ
=，其中v 为测速仪
测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，?为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm (91nm 10m -=)，测得某时刻频移为99.03010?(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于
A.320km/h
B.330km/h
C.340km/h
D.350km/h
10.在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于
A.
23π B.π C.43
π D.2π 11.已知不等式()1ln 1x e x m x x -->-+????对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是
A. 3e ??-∞ ???，
B. 2e ?
?-∞ ???， C.(] 1-∞，
D.(] e -∞， 12.在矩形ABCD 中，4AB =，43BC =，点 G H ，分别为直线 BC CD ，
上的动点，AH 交DG 于点P .若2DH DC λ=u u u u r u ，12
CG CB λ=u u u r u u u r (01λ<<)，矩形
ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，则PMN ?的周长为
A.12
B.16
C.24λ
D.32λ
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13. 年级
性别
高一 高二 高三
男生 592 563 520
女生 528 517
a = .
14.在5
44x x ?
?-+ ??
?的展开式中，2x 的系数为 .
15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21n n S =-.若数列n n a b ??
?
???
的前n 项和n T M <对于*n N ?∈都成立，则实数M 的最小值等于 .
16.已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB AC AD ，，两两垂直，其长度分别为a b c ，，.点A 在底面
BCD 内的射影为O ，点A
B C D ，，，所对面的面积分别为A B C D S S S S ，，，.在下列所给的命题中，正确的有 .(请写出所有正确命题的编号)
①三棱锥A BCD -外接球的表面积为()222
a b c π++；
②2A BCO D S S S ??=； ③3333
A B C D S S S S <++；
④若三条侧棱与底面所成的角分别为111αβγ，，，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
⑤若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为222αβγ，，，则222222cos cos cos 1αβγ++=.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知函数()()
cos sin 3cos f x x x x ωωω=+(0ω>). ⑴求函数()f x 的值域； ⑵若方程()3f x =在区间[]0 π，上恰有两个实数解，求ω的取值范围.
人数
18.(本小题满分12分)
如图，边长为2的等边ABC ?所在平面与菱形11A ACC 所在平面
互相垂直，1
13AC AC =，M 为线段AC 的中点. ⑴求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ； ⑵求点C 到平面11A BC 的距离.
19.(本小题满分12分)
某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.优或良的天数；
⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数
分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随
机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.
20.(本小题满分12分)
已知函数()x x f x e e ax -=--(e 为自然对数的底数)，其中a R ∈. ⑴试讨论函数()f x 的单调性；
⑵证明：()22132ln 21n
i n n i i
n n =-->+∑.
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2
214
x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E
于A ，B 两点.
空气质
量指数
(0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] 300以上
空气质 量等级 一级 (优) 二级 (良) 三级 (轻度污染) 四级 (中度污染) 五级 (重度污染) 六级 (严重污染)
⑴若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；
⑵若0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r
，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为cos sin x t y t α
α=??
=?
(t 为参数，0απ≤<).以坐标原点为极点，
以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线E 的极坐标方程为2+2cos 30ρρθ-=，直线m 与曲线E 交
于A ，C 两点.
⑴求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；
⑵过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =--+的最小值为m .
⑴求m 的值；
⑵若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++≥.