正方体表面展开图的专题讲解 题型一：判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图 正方体表面展开图具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算． 1．“一·四·一”型，中间4个连一排，两边各一随便放，共有6种。 2．“二·三·一”型，二三相连错一个，三一相连随便放，共3种。 3．“二·二·二”型，阶梯错开放，共1种。 4．“三·三”型，共1种。 题型二：找正方体相邻或相对的面。 1．从展开图找： （1）相邻的面：①在展开图中有公共边或公共顶点．如 ；? ②在正方形长链中相隔两个正方形．如 中A 与D 。 （2）相对的面：①在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如 中，A 与C ，B 与D ； ②和中间一行（或列）?均相连的两正方形亦相对。 分析：下列正方体表面展开图的相对面。 想一想 下面图1中（1）—（6）是否为正方体的展开图，如果是正方体的展开图，请把 3 、-1 、4 、-2 、7、-5这六个数字分别填入以下正方体的展开图的小正方形格内，使折叠成正方体后，正方体相对面的数字之和都等于2． 图1 （1） （2） （3）
例1、右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面。 例2、在A 、B 、C 内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A 、B 、C ?的三数依次是： （A ） 12，13，1 （B ）13，12，1 （C ）1，12，13 （D ）12，1，13 例3、在A 、B 、C 内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数。 例4、找出折成正方体后相对的面。 2．从立体图找： 例5、正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？ 例6、由下图找出三组相对的面。 3、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图 例7、如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（ ） 例8、下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，?则其中一个正方体各面图案与其他的不完全一样，它是（ ）
一. 图面展开步骤: 审图建立文件档案确定图框幅面零件展开标注尺寸审核 二. 图面展开之注意事项 1. 展开方式要合理,尽可能减小不必要的工序及考虑加工方便性 考虑实际加工工艺合理安排加工工序(孔与折边距离,压铆.折弯加工工艺.焊接加工工艺等),以上情形要考虑加工顺序的安排. 2. 合理选择间隙及包边方式 间隙及包边关系的选择的一般原则为:长边包短边,折弯展开间隙为 0.2~1mm(根据板材板厚不同而取值不同) 3. 必须合理考虑公差 图面公差标注有如下几种: 4. 对于门板类及盒体必须考虑毛刺方向 对于该类零件的展开,必须要考虑毛刺,达到折弯后毛刺向里.对于一些大门板类零件设计时如未考虑烤漆掉挂工艺孔,而该类零件又无其它孔,在展开时考虑加开掉挂工艺孔. 5. 抽牙,压铆,冲凸,撕裂等位置方向必须明确,画出剖面图 6. 对于图面上不同孔径的孔为了加以区别应在图面上用字母分别标识,不同孔径采用不同的字母. 7. 必须选择合理刀具; 8. 考虑烤漆及喷粉膜厚; 9. 尺寸标注规范化.齐全.清楚,压铆类标注需统一规范化
尺寸标注规范化:在任一图面绘制好尺寸标注前都要对尺寸标注比例进行设置,设置公式为AXP=1(A>0,P>0,P为所设置值既overall scale值为P),尺寸文本字高为3. 10. 材质,板厚要与表处方式相结合; 11. 选择合适的图纸幅面; 12. 特殊角度折弯系数及内R角变化要试验确定; 13. 部分尺寸较多的地方可画出放大图以便清楚表达; 14. 易出错的地方需重点提示,如不对称零件,部分零件可在展开图上画出折弯示意; 15. 对于需保护的地方要加以标示. 16. 拉丝件要标明拉丝方向. 三. 展开图的绘制技巧 1. 采用拼图的方式: ①若有客户提供的有CAD图檔,我们可根据三视图选择适当的视图作为基准,然后将需要的视图移至到基准视图对应位置上,在拼的过程中一定要注意视图方向与板厚的加减.每拼一处使用拉伸命令(STRETCH)减一次折弯系数,完成后都要进行尺寸检查,发现错误及时修正.不要等到拼完后再来计算就很难找出错误的位置,在全部完成后再整体计算一次, 检查展开图时,一般先计算总体外形尺寸,然后按从左至右或从右至左一个一个尺寸的校对,每一处尺寸都不要放过.对于形状较难的图纸可以先用二手纸打印出来后进行检查,不对之处用笔作个记号,检查完后再对计
正方体的十一种平面展开图可记忆成下面口诀： 一三二，一四一，一在同层可任意，两个三，日状连，三个二，成阶梯，相邻必有日，整体没有田。相对的两个面之间总隔着一个面 正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141） 中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231） 中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222) 中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
例1 在图13中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是( ). 例2图14是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填上适当的数,使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是( ). A.0,-2,1 B.0,1,-2 C.1,0,-2 D.-2,0,1 例3图15所示的是一个正方体包装盒的表面展开图，各个面上标注的数字分别为1，2，3，4，5，6。现将表面展开图复原为正方体包装盒，则标注数字1和3的两个面是互相平行的，请你写出另一组相互平行的面上所对应的数字： _______。 注：例1、例2、例3的答案分别为：C;A;2与5或4与6。是不是有点多此一举？ 例4 一个无盖的正方体纸盒，将它展开成平面图形，可能情况总共有（）。A．12种 B.11种 C.9种 D.8种 千万注意，你可不要选B呦！选D才对。我又在炫耀了，不过你能很快画出这8个平面展开图吗？ 下面是示意图，黑方块表示展开图，白方块表示空缺。 （一） □■□ ■■■ □■□ （二） ■■■■ ■□□□ （三） ■■■■ □■□□ （四） ■■■■ □□■□ （五） ■■■■ □□□■ （六） □■□ ■■■ □□■ （七） □□■
正方体的表面展开图 新课程标准指出：“在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。”正方体的表面展开图，是考查学生对平面图形与空间几何体的相互转换的探索能力，能考查学生的空间想像能力，为高中学习立体几何打下良好的基础，因此，这方面的试题成为中考的命题热点。 一、正方体表面展开图的三种情况 1、正方体展开后有四个面在同一层 正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得如下六种情况： 2、正方体展开后有三个面在同一层 有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形： 3、二面三行，象楼梯；三面二行，两台阶 二、有关正方体表面展开图的中考题 例1、（04长沙）如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字1、2、3和－3，要在其余正方形内分别填上－1、－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A 处应填＿＿＿＿＿ 分析：这是图⑤模型，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，则“1和B”是“上面和下面”，显然，“2”与“A”是相对面，所以A处应填－2。 例2、（04山西临汾市）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）
分析：这是图③模型，在右图中，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，有“空心圆”的正方形做“上面”，显然是正方体C 的展形图，故选（C ）。 例3、（04山东维坊市）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “ 你”、 “前”分别表示正方体的______________________. 分析：这个展开图是图⑦的情形，题目给出“程”做底面， “似”做前面，显然，“祝”是后面，“前”和“你”是往右边翻 折 的，所以“前”是左面，“你”是上面。 因此，依次填：“后面”、“上面”、“左面”。 例4、（2003海南）如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在 A 、 B 、 C 内的三个数依次为（ ） （A ）0，－2,1 （B ）0,1，2 （C ）1,0，－2 （D ）－2,0，1 分析：这个展开图是图⑩模型，将“0”作为底面，可得，A 是上面，B 与“2”是相对面，C 与“－1”是相对面，所以，A 为“0”，B 为“－2”，C 为“1”，所以选“A ”。 三、巩固练习 1、（2003天津）在下列图形中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（ ） 2、（2004浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ） 参考答案：1、C ；2、C 参考文献：《走出空间，走向成功》 中学生数学 2004、4 张芹、陈航 程 前 你 祝 似 锦
展开图画法 在管道安装工程中，经常遇到转弯、分支和变径所需的管配件，这些管配件中的相当一部分要在安装过程中根据 实际情况现场制作，而制作这类管件必须先进行展开放样，因此，展开放样是管道工必须掌握的技能之一。 一、弯头的放样 弯头又称马蹄弯，根据角度的不同，可以分为直角马蹄弯和任意角度马蹄弯两类，它们均可以采用投影法进 行展开放样。 图3-1直角马蹄弯图3-2 任意角度马蹄弯 1．任意角度马蹄弯的展开方法与步骤（己知尺寸a、b、D和角度）。 （1）按已知尺寸画出立面图，如图3-3所示。 （2）以D/2为半径画圆，然后将断面图中的半圆6等分，等分点的顺序设为1、2、3、4、5、6、7。 （3）由各等分点作侧管中心线的平行线，与投影接合线相交，得交点为1＇、2＇、3＇、4＇、5＇、6＇、7＇。 （4）作一水平线段，长为πD，并将其12等分，得各等分点1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1。 （5）过各等分点，作水平线段的垂直引上线，使其与投影接合线上的各点1＇、2＇、3＇、4＇、5＇、6＇、7＇引来的水平线相交。 （6）用圆滑的曲线将相交所得点连结起来，即得任意角度马蹄弯展开图。 图3-3 任意角度马蹄弯的展开放样图 2、直角马蹄弯的展开放样（己知直径D） 由于直角马蹄弯的侧管与立管垂直，因此，可以不画立面图和断面图，以D/2为半径画圆，然后将半圆6 等分，其余与任意角度马蹄弯的展开放样方法相似。
图3-4 直角弯展开图 二、虾壳弯的展开放样 虾壳弯由若干个带斜截面的直管段组成，有两个端节及若干个中节组成，端节为中节的一半，根据中节数的 多少，虾壳弯分为单节、两节、三节等；节数越多，弯头的外观越圆滑，对介质的阻力越小，但制作越困难。 1、90°单节虾壳弯展开方法、步骤： （1）作∠AOB＝90°，以O为圆心，以半径R为弯曲半径，画出虾壳弯的中心线。 （2）将∠AOB平分成两个45°，即图中∠AOC、∠COB，再将∠AOC、∠COB各平分成两个22.5°的角， 即∠AOK、∠KOC、∠COD与∠DOE。 （3）以弯管中心线与OB的交点4为圆心，以D／2为半径画半圆，并将其6等分。 （4）通过半圆上的各等分点作OB的垂线，与OB相交于1、2、3、4、5、6、7，与OD相交于1＇、2＇、3＇、4＇5＇、6＇、7＇，直角梯形11＇77＇就是需要展开的弯头端节。 （5）在OB的延长线的方向上，画线段EF，使EF＝πD，并将EF 12等分，得各等分点l、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1，通过各等分点作垂线。 （6）以EF上的各等分点为基点，分别截取11＇、22′、33′、44′、55＇、66′、77＇线段长，画在EF 相应的垂直线上，得到各交点1′、2′、3＇、4′、5＇、6＇、7＇、6′、5＇、4′、3＇、2′、1′，将各交点用 圆滑的曲线依次连接起来，所得几何图形即为端节展开图。用同样方法对称地截取11＇、22′、33′、44′、5 5＇、66′、77＇后，用圆滑的曲线连接起来，即得到中节展开图，如图3-5所示。 图3-5 90°单节虾壳弯展开图 2、90°两节虾壳弯展开图 从展开图可以看出，其展开画法与单节虾壳弯的展开法相似，只是将∠AOB＝90°等分成6等份，即∠COB ＝15°，其余请大家参考单节虾壳弯的展开画法。
正方体表面展开图口诀巧记图解 口诀一 中间4个面，上下各一面；中间3个面，1,2隔河见；中间2个面，楼梯天天见；中间没有面，33连一线. 口诀二 正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁.十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯.对面相隔不相连,识图排除“7凹田”. 口诀三 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐.一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻. 1. 中间四个成一行，两边各一无规矩. “141型”.也就是中间一行是四个图形，上下两个作为上下底面，也就是口诀2的“四方成线两相卫”；共6种情况（重复的不算）. 2. 二三紧连错一个，三一相连一随意. “231”.中间三个作侧面，共三种基本图形. 另外三个分别在两边，但其中两个的要相邻；也就是口诀一的“中间3个面，1,2隔河见”. 3. “222型”.三排两方，成阶梯状，两行只能有1 . 也就是口诀一的“中间两个面，楼梯天天见”. 4. 三个两排一对齐. “33型”.两排三方，两行只能有1个正方形相连.也就是口诀一的“中间没有面，33连一线” . 5. 一条线上不过四. 是指在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个.如下面两个图形都不是正方体得展开图. 6. 田七和凹要放弃. 是指在正方体的展开图中，不会出现“田”、“凹”和整体上的“七”型结构.如下面四个图形都不是正方体得展开图. -
- 7. 相隔之间是对面. 相同的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“Z ”字两端处的小正方形是正方体的对面（如下面的左图）：“丽”对“化”，“赵”对“学”，“美”对“中”. 8. 间二拐角面相邻. （如下面右图）的三个面是正方体 的邻面. 2016/11/27整编 欢迎下载，谢谢观看！资料仅供参考学习
钣金展开图的绘制技巧 一. 图面展开步骤: 审图建立文件档案确定图框幅面零件展开标注尺寸审核 二. 图面展开之注意事项 1. 展开方式要合理,尽可能减小不必要的工序及考虑加工方便性 考虑实际加工工艺合理安排加工工序(孔与折边距离,压铆.折弯加工工艺.焊接加工工艺等),以上情形要考虑加工顺序的安排. 2. 合理选择间隙及包边方式 间隙及包边关系的选择的一般原则为:长边包短边,折弯展开间隙为0.2~1mm(根据板材板厚不同而取值不同) 3. 必须合理考虑公差 图面公差标注有如下几种: 4. 对于门板类及盒体必须考虑毛刺方向 对于该类零件的展开,必须要考虑毛刺,达到折弯后毛刺向里.对于一些大门板类零件设计时如未考虑烤漆掉挂工艺孔,而该类零件又无其它孔,在展开时考虑加开掉挂工艺孔. 5. 抽牙,压铆,冲凸,撕裂等位置方向必须明确,
画出剖面图 6. 对于图面上不同孔径的孔为了加以区别应在图面上用字母分别标识,不同孔径采用不同的字母. 7. 必须选择合理刀具; 8. 考虑烤漆及喷粉膜厚; 9. 尺寸标注规范化.齐全.清楚,压铆类标注需统一规范化 尺寸标注规范化:在任一图面绘制好尺寸标注前都要对尺寸标注比例进行设置,设置公式为AXP=1(A>0,P>0,P为所设置值既overall scale 值为P),尺寸文本字高为3. 10. 材质,板厚要与表处方式相结合; 11. 选择合适的图纸幅面; 12. 特殊角度折弯系数及内R角变化要试验确定; 13. 部分尺寸较多的地方可画出放大图以便清楚表达; 14. 易出错的地方需重点提示,如不对称零件,部分零件可在展开图上画出折弯示意; 15. 对于需保护的地方要加以标示. 16. 拉丝件要标明拉丝方向.
巧记口诀确定正方体表面展开图 6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式 总结出来，供大家参考： 正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。 十四条边布周围，十一类图记分明： 四方成线两相卫，六种图形巧组合； 跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。 对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。 现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图： 一、四方成线两相卫，六种图形巧组合 （1）（2）（3）（4） （5）（6） 以上六种展开图可归结为四方连线，，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。 二、跃马失蹄四分开 （1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形 （如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中 的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。 三、两两错开一阶梯 这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。 四、对面相隔不相连
这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相 连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2 号面，并且是对面的一定不相连。 五、识图巧排“7”、“凹”、“田” （1） （2） （3） 这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方 体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。 如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一 顶点处不可能出现四个面的。 如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把 该图形折叠起来将有两个面重合。 现举例说明： 例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ） 解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。A 、D 都有“凹”形结构，B 有“田”形结构，故应选C 例2．（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体 盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接 图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中 的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠 后能成为一个封闭的正方体盒子. (注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形 用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连 的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中 所示的四种 情况之一。 试一试： 1．（2004浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ） 2．（2004镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形 1 2 3 1 2 3 4 5
有关正方体表面展开图的解题规律 新课标数学课本中新添了正方体展开图，中考题也多次出现，这种题有利于培养学生的空间观念，也有利于培养学生的实践、探索、交流能力．本文对几种常见类型的解题规律，作初步的探讨． 一、判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图 1．如以最长的正方形链横排为准，展开图一般是三行，个别是两行，?不能是一行或四行，最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4?个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．如 都不是． 2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．如 都不是． 中间的长行可折作正方体侧面，它两旁（或一旁）的正方形，与中间一行相连的折作底面，不相连的再下折作侧面． 具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算． 1．“一·四·一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，?共有6种． 2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2?个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二·二·二”型，成阶梯状． 4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连． 二、找正方体相邻或相对的面 1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，?或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A 与D ．（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD 中，A 与C ，B 与D ，或和中间一行（或列）?均相连的两正方形亦相对． 例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面． 解 “祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对． 例2 在A 、B 、C 内分别填上适当的数． 使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A 、B 、C ?的三数依次是： （A ）12，13，1 （B ）13，12，1 （C ）1，12，13 （D ）12 ，1，13
电动机绕组展开图的画法 所谓展开图，就是将电动机定子铁心带绕组用刀切开并摊平，按电动机绕组在定子铁心上的布置，画出的一种绕组展开图。 例1、一台24槽，4极电机，要求采用同心式绕组布置，求画绕组展开图。 1、根据要求先出每极所占槽数 每极所占槽数=电动机的总槽数/(2P) 或=电动机的总槽数/4（极数） 每极所占槽数=24/4=6槽如下图所示 2、求出每极每相所占（即为极相组）槽数，即在一个磁极里（N或S）按三相平分所得的槽数。每相在每个磁极里均按A、C、B的规律排列，而每相所占的槽数必定相等。如下图所示。 每极每相所占槽数=每极所占槽数/3相=6/3=2槽 3、画第一相绕组展开图
根据上面计算分配得知，每极每相所占槽数为2，即第一极N中，A相占2槽（1、2槽）。而第二极S中，A相也占2槽（7、8槽）。第三极N中，A相也一样占2槽（13、14槽）。而第四极S中，A相同样也占2槽（19、20槽）。对于单层电动机而言，一个线圈有二个有效边，如果它的第一个有效边在N极，则另一个有效边就是在S极。根据同心式绕组的画法，我们得出第一个N极和第二个S极的1------8槽（y=7)、2------7槽(y=5)相连的二个绕组，而第三个N极与第四个S极的连接与上面是相同的，分别是13------20、14------19相连，同样组成另二个绕组。这样A相绕组全部画完（画时应逆时针方向）。 4、绕组的连接绕组的连接是按顺电流方向，逆时针，依绕组先后排列顺序依次连接。 A、电流的方向在同性磁极下电流方向必定相同，在异性磁极下电流的方向必定相反。根据经验，相邻二相的电流方向恰恰相反（初学时电流方向一定要搞清）。 对于一个绕组而言，若规定了它的进出线的位置，按上图第一个线圈是由第1槽进线(它位于N极），可以确定电流的流向是向上。而电流不管匝数有多少电流总是由第8槽流出（它位于S极），故电流的流向必定是向下的。又由于第2槽与第1槽同处于N极，故第2槽的电流方向与第1槽相同，同是向上。而第7槽则与第8槽一样同处于S极，其电流流向相同，均向下。现我们来看第13、14槽它们位于N极与第1、2槽同极性故其电流方向应相同而向上，而第19、20槽则处于S极，故其电流流向与第7、8槽（处于S极）其流向相同，均向下。至此线圈的8个有效边的电流方向均已确定，并把它标于图上。 B、逆序依次连接我们把1------8槽的线圈编为第一个线圈，把2------7的线圈编为第二个线圈，再把13------20的线圈编为第三个线圈，又把14------19的线圈编为第四个线圈。我们把第一个线圈的第1槽作为A相的进线，按规定编为U1。而它的出线在第8槽，第8槽的出线要么与第二个线圈的第2槽或第7槽相接，若假定与第8槽与第7槽相接，我们就会发现其电流方向恰好与原标定的方向相反，而只有与第2槽相接才会顺着电流的方向，故应跟第2槽相接。此时的线尾则是由第7槽出来。而第7槽则应与第三个线圈的第13槽相接，而由第20槽出来，而第20槽的出线则与第14槽相接，由第19槽出来，而第19槽出来的线，则为A相绕组的尾线。只有这样连接才能保持电流的方向不变。而尾线则按规定编为U2。 按上述的顺序连接方向，即为逆序方向，不得反向连接。 5、确定三相绕组的进线电动机三相绕组在空间位置上，应分别相差120度电角度。以第一相进线为准，以每槽的电角度累计和120度后的第1槽即为第二相进线的头。而第三相进线，则以第二相进线头为准，依上法确定。其计算方法如下：
正方体表面展开图的专题讲解 题型一:判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图 正方体表面展开图具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后,方向会不同，但相对位置不变,这些不重复计算. 1.“一·四·一”型，中间4个连一排,两边各一随便放，共有6种。 2.“二·三·一”型，二三相连错一个,三一相连随便放,共3种。 3.“二·二·二”型，阶梯错开放，共1种。 4.“三·三”型,共1种。 题型二:找正方体相邻或相对的面。 1．从展开图找: （１)相邻的面:①在展开图中有公共边或公共顶点.如 ；? ②在正方形长链中相隔两个正方形．如 中A 与D 。 （2)相对的面:①在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如 中，A 与Ｃ,Ｂ与D; ②和中间一行（或列）?均相连的两正方形亦相对。 分析:下列正方体表面展开图的相对面。 想一想 下面图1中（1）—（6)是否为正方体的展开图，如果是正方体的展开图，请把 ３ 、-1 、4 、-2 、7、－５这六个数字分别填入以下正方体的展开图的小正方形格内，使折叠成正方体后，正方体相对面的数字之和都等于2． 图1 （1） （2） （3）
例１、右图中哪两个字所在的正方形,在正方体中是相对的面。 例2、在A、B、C内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后,对面上的数互为倒数，则填入正方形A、B、C?的三数依次是: （Ａ)1 2 ， 1 3 ,１(B） 1 3 ， 1 2 ,1 (Ｃ）1, 1 2 , 1 3 （Ｄ） 1 2 ,1, 1 3 例3、在Ａ、Ｂ、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后,对面上的数互为相反数。 例４、找出折成正方体后相对的面。 ２.从立体图找： 例5、正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几? 例６、由下图找出三组相对的面。 3、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图 例7、如下图,正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（) 例8、下面各图都是正方体的表面展开图,若将它们折成正方体,?则其中一个正方体各面图案与其他的不完全一样,它是（）
冷冲模设计指导规范 展开图画法标准 一、展开图定义 冲压产品展开成平面，能反映产品料片实际大小的图。 二、展开图图面要求 1.图面要求 a.展开图中必须包含产品图中的所有内孔，内部成型和外部成型的展开的图元。 b.展开图的毛刺面必须向下。 c.展开图中除圆孔外所有圆元必须串联成复线。 d.所有冲裁尖角（除特殊要求外）均要倒圆角R=0.3。 e.冲凸和冲桥形应进行局部剖剖视（剖视方向只能向左或向上）。有较复杂折弯（小 折，抽孔等时应画出局部断面图表示成形以后的断面形状，并用英文注解为 “PRODUCTINAGE…”，在展开主视图中的表示方法同剖视图的形式，只能画为对 应示意图.） 三、图层 0层内孔线，外形线，正面压印线，正面压字压毛边的界限线 BEND层可见折弯线 HIDDEN层不可见折弯线，反面压印线，反面压字 BURR层压毛边线 MARK层英文注解 四、标注 a.展开图必须使用坐标标注形式，小数点精确到二位（UNIT2），尺寸标注放在DIM 层，坐标原点应选为产品的设计基准，尺寸尽量标注齐全（尺寸或图元密集处除 外），但必须标注最外形尺寸、折线尺寸、产品图上标注尺寸对应的展开尺寸、圆 孔大小（相同大小圆孔要在右上角用小写英文字母标识，并标注其数量）。 b.局部剖视和局部断面图形状大小及高度等尺寸尽量标注齐全。 c.局部放大视图采用双数比例：2：1，4：1等等。 d.所有抽牙，抽凸，压毛边，压印，压字等局部成型都必须用英文（特殊情况除外） 按顺序标注其类型、方向的中英文对照如下： FORMING FARSIDE 抽凸向下FORMING NEARSIDE 抽凸向上 TICK-MARK FARSIDE 反面压印TICK-MARK NEARSIDE 正面压印 S TAMP LETTER NEARRSIDE 正面压字STAMP LETTER PARSIDE 反面压字 DEBURR 压毛边 e.图框中必须填写料厚，材质和毛边方向，其余项须遵守图框内容填写标准。 f.有其他特殊要求时，加注解说明。
4.3正方体的表面展开图教学目标：、使学生通过观察、操作等活动认识 正方体的展开图，能在展开图中找到1 正方体相对的面，能判断一些平面图形折叠后能否围成正方体。、让学生初步感受平面图形与立体图形的相互转换，发展空间想象能力。2、使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增 强空间观念，发3 展数学思考。。教学重点：正方体展开图的基本特征：教学难点通过操作，让学生自我感知和发现特征以及平面图形与立体图形的相互转换：教学准备正方体纸盒。学生准备正方体纸盒，剪刀、刻刀一把。教学过程：一、创设情境，引入课题复习正方体1、。个面，每一个面的形状是有顶点，正方体有有条棱， ：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想尽快、如图12 ·世纪·教育·网】应该走哪条路径？请大家帮帮小壁虎。【来源：21吃到蚊 子， 蚊子●壁虎● 1 图 思考、如图：一只正方体纸盒的下方顶点处有一只壁虎，上方一棱【3】. 中点处有一只蚊子，壁虎要想尽快吃到蚊子，应该怎样走？ 蚊子
壁虎● 我们学习了今天的课程就可以为小壁虎设计出一条最快的路程了】【抛出问题，引发思考，设计悬念，激发学生的兴趣。二、教授新课 1、探究实验、教师先出示已准备的食品包装盒，学生可以看出这是一个正方体。教1）（师先操作，动手剪出一个正方体展开图，帮学生熟悉剪的方法、规则及注意点。请看，像这样沿着棱剪开，使这个正方体完全展开，得到一个六个面互相连（让学生观察展开图，询问特点）这就是我接的平面图形，叫做正方体的展开图。（板书课题）们今天要学习的内容：正方体的平面展开图。展开一个正方体需要注意些什么呢？（根据已经展开的正方体引导学生观察）条棱。5条棱，需剪开7将一个正方体展开成平面图形，连看了老师的操作，同学们想自己来做一个吗？再独立想一想怎样剪出不一样的展开图？先在小组交流，请你沿着棱剪开，动手。第二小组观察第一小组的上台贴（学生完成操作，第一小组上台贴出作品，出其没有的展开图，以此类推）。、师生整理2 （旋转、翻转）1）认识展开图中的重复现象，去除。（教师补请同学们来将黑板上的重复现象去除，将不重复的展开图进行展示，充缺少的部分。）是不是所有六个正方形相连接，都是正方体的展开图，可以还原回去2（呢？种拼接方法，并不是都能拼35个正方形一共有6经过数学家细心的罗列： 成完整的正方体。（教师举例无法还原回正方体的拼接） （3）、你能将黑板上这十一种正方体的展开图进行分类吗？（教师引导） 1、按照行分类。 2、上中下三行，每两行之间只能有一条边重合。 3、222、33两类是特殊的，为阶梯状。 4、有的看似不属于任一类，旋转后就是其中一类了。 1 2 3 4 5 6 11 8 10
立体表面的展开 在生产中，经常用到各种薄板制件，如管道、容器等，图11-1所示的集粉筒即为其例子之一。制造这类制件时，通常是先在薄板上画出表面展开图，然后下料成型，再用咬缝或焊缝连接。 图11-1 集粉筒 将立体表面按其实际大小和形状，依次连续地展平在一 个平面上，称为立体表面的展开。展开后所得的图形， 称为展开图。立体表面分为可展与不可展两种。平面立 体的表面都是平面，是可展的；曲面立体的表面是否可 展，则要根据组成其表面的曲面是否可展而定。凡是相 邻两条素线彼此平行或相交（能构成一个平面）的曲面， 是可展曲面，如柱面和锥面等。凡是相邻两条素线成交 叉两直线（不能构成一个平面）或母线是曲线的曲面， 是不可展曲面，如球面、环面等。不可展表面可采用近 似作图法展开。 绘制展开图有两种方法：图解法和计算法。图解法是根 据展开原理得到的，其实质是作立体表面的实形，而作 实形的关键是求线段的实长和曲线的展开长度。图解法 具有作图简捷、直观等优点，目前应用较广。计算法是 用解析计算代替图解法中的展开作图过程，求出曲线的 解析表达式及展开图中一系列点的坐标、线段长度，然 后绘出图形或直接下料的方法。随着计算机技术的发展， 这种方法更显示出准确、高效、便于修改、保存等优点， 它必将得到日益广泛的应用。 11.1 图解法展开 11.1.1 平面立体的表面展开 作平面立体的表面展开图，就是分别求出属于立体表面的所有多边形的实形，并将它们依次连续地画在一个平面上。 1.斜截四棱柱管的展开,图11-2a为斜截四棱柱管的立体图。由于从两面投影图（图11-2b）中可直接量得各表面实形的边长，因此作图较简单，具体作图步骤如下：1)按各底边的实长展开成一条水平线，标出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅰ诸点； 2)过这些点作铅垂线，在其上分别量取各棱线的实长，即得诸端点A、B、C、D、A。 3)用直线依次连接各端点，即可得展开图。见图11-2c。
正方体的11种展开图
判断技巧 我们知道，同一个立方体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图形一般是不一样的。常见的正方体平面展开图究竟有几种不同的形状呢？ 同学们一定熟悉这样一种操作：把一个正方形纸片平均分成9个小正方形，剪去角上四个小正方形，可以拼成一个无盖的正方体纸盒，其中五个面按习惯不妨记为下、左、右、前、后，如图一。 好啦！现在只要把刚才剪去的一个小正方形作为“上”面，就可拼成一个正方体。作为正方体平面展开图，这个“上”应该和图1（1）中哪个面拼接在一起呢？观察图1（2），知“上”和前、后、左、右任一个面拼接都行（这四种拼接看作同一种情形），不妨和“后”拼接在一起，如图2。 根据上和下、左和右、前和后相间隔这一规律，现在我们把图2中的“左”或“右”平移，可得图3～图7五种情形。 平移图2中的“前”，可得图8；再平移图8中的“左”，可得图9、图10；把图10中的“上”向左平移，得图11；若移动图8（或图9、图10）中的“左”，又可得图12。 同学们，当你和我一样，把图2～图12这11个图剪下来，动手折一折，得到11个漂亮的小正方体时，你一定为我们的收获感到欢欣鼓舞吧！ 对正方体表面展开图的11种情况，为加深记忆，可编成如下口诀：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种。“动手实践，自主探索和合作交流”是新课程标准倡导学习数学的三种重要方法，而实践活动是培养我们
进行主动探索与合作交流的重要途径。只要通过自己主动观察、实验、猜想、验证等数学活动，就能使我们“建立空间观念，发展几何直觉”，提高思维能力。
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正方体的表面展开图 一、正方体表面展开图的三种情况 1、正方体展开后有四个面在同一层 正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得如下六种情况： 2、正方体展开后有三个面在同一层 有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形： 3、二面三行，象楼梯；三面二行，两台阶 二、有关正方体表面展开图的中考题 1、 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是 ( ) 2、如图．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下．则所得图形是 ( ) （正方体纸盒） （A ） （B ） （C ） （D ）
3、如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿 正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是( ) （A（B）3 （C）5 （D）2 4、如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是( ) A． 2 B． 4 C． 8 D．10 5、如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字 1、2、3和一3．要在其余正方形内分别填上-1、-2，使得按虚线折 成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填． 6、如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一 只昆虫甲，在盒子的内部 ．．顶点A处有一只昆虫乙。（盒壁的厚度忽略 不计） （1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结 AE、E C1。昆虫乙如果沿路径 A → E → C l 爬行 , 那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法）（2）如图②，假设从顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）
目录 一、展开原理 二、展开放样的基本要求与方法 三、几何展开法的三个要求与典型实例 四、（实训项目一）展开放样训练 五、展开实例选（参考） 第一节展开原理 1.展开放样的基本思路 1) 什么是展开放样 所谓展开，实际是把一个封闭的空间曲面沿一条特定的线切开后铺平成一个同样封闭的平面图形。它的逆过程，即把平面图形作成空间曲面，通常叫成形过程。实际生产工作中，往往是先设计空间曲面后再制作该曲面，而这个曲面的制造材料大都是平面板料。因此，用平板做曲面，先要求得相应的平面图形，即根据曲面的设计参数把平面坯料的图样画出来。这一工艺过程就叫展开放样。实际工作中，有人把它简称为展开，也有人把它简称为放样，本书中采用前者的说法。 2) 展开的基本思路----换面逼近 图2-1-0 换面逼近示意图 如图2-1-0，我们按预先设定的经纬网络把曲面网格化，并在曲面上任取其一个四角面元abcd（A、B、C、D为其四个顶点，a、b、c、d为其四条边界弧线）。连接它的四个顶点A、B、C、D和对角点B、C，将得到一个与四角面元abcd对应的四边形ABCD以及组成四边形ABCD的两个平面三角形△ABC和△BCD。为了
简化我们的研究，我们以三角形△ABC和△BCD代替对应的四角面元abcd，其中直线段AB、AC、CD、DB与a、b、c、d四条弧线分别对应。对所有的网格都做同样的替代处理，我们就可以得到一个与曲面贴近的，由众多三角平面元构成的多棱面。多棱面与原曲面当然会存在差别，但是，只要网格数目足够多，他们的误差可以足够小，小到我们允许的公差范围内。 把曲面换成与之相近、由小平面组成的多棱面，再用多棱面的展开图去近似替代该曲面的理论展开图，这就是换面逼近的基本思路。多棱面的展开是容易的，只要在同一平面上把这些小平面元按相邻位置和共用边逐个画出来就得到了多棱面的展开图。需要指出的是，如何网格化是个中关键，这一部分将在讲展开方法时详细介绍。 以上讲的是三角平面元替换，其实我们也可以采用其他形状的小平面来换面逼近。如梯形、六边形等等。更进一步，我们还可以用简单曲面，如圆柱面、正锥面等来作类似的替换。实践证明，这样的替换逼近效果更好，既简化了手续，又保证了精度。以下图例，可资说明。 2.换面逼近的几个例子 第一个例子是共顶点三角形替换。 请看图2-1-1。换面逼近的大致步骤如下: 图2-2-1 共顶点三角形替换
3 2 左视图 4 俯视图 正方体表面展开图汇总 1、正方体展开后有四个面在同一层(“141型”) 正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，有如下六种情况： 2、正方体展开后有三个面在同一层(“231”型) 有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形： 3、二面三行，象楼梯（“222”型） 三面二行，象两台阶（“33”型）练习题 1．用平面去截正方体，截出的平面图形中不可能是（） A．梯形B．六边形C．五边形D．七边形 2．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体， 那么这个几何体的表面积是（） A．36cm2B．33cm2 C．30cm2D．27cm2 3．将一个正方体的盒子沿棱剪开成如图4所示的平面图形，至少需要剪（）?刀A．5 B．6 C．7 D．8 4．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其正视图的面积为（） A、6 B、8 C、12 D、24 5．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（） A、9 B、10 C、11 D、12 6. 如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其 中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得 将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的 两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次为 A 0，－2,1 B 0,1，2 C 1,0，－2 D －2,0，1
7.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（） 8、一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和左视图如图所示，则这个几 何体最多 ．．可由多少个这样的正方体组成？（） A、12个 B、13个 C、14个 D、18个 9．如图是一个正方体纸盒的展开图， 当折成纸盒时，与点1重合的点是_________． 10．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（）11、如图是由几个小正方体块状的积木搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位 置的小正方体块的个数。请你画出这个图形的正视图、左视图。 12、用小方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体积只有一种吗？它至少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？分别画出它们的几何体与左视图，并在左视图的小正方形中标出小立方块的个数。 13.如图，是由几个小正方体所组成的几何体. (1) 请画出这个几何体的三视图． (2)求这个几何体的表面积. 主视图左视图1 2 A、B、C、D、2 3 1
