1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质
的应用。
2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，
例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0被排除在约数与倍数之外
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812
39632
，所以(12,18)236=?=；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；
315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；
所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各
个分数的分子的最大公约数b ；b a
即为所求． 知识点拨
教学目标
5-4-3.约数与倍数（三）
4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=；
②短除法求最小公倍数；
例如：21812
39632
，所以[]18,12233236=???=；
③[,](,)
a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最
大公约数b ；b a
即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：
[]()1,414,4232,3??==????
4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A B ma mb m mab ?=?=?，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ?=?，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：567210
??=，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：678336
??=，而6,7,8的最小公倍数为3362168
÷=
性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1．求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32
257
??，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2．求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33
210002357
=???，所以21000所有约数的和为
2323
(1222)(13)(1555)(17)74880
++++++++=
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
模块一、运用大公约和小公倍的模型解题
如果m为A、B的最大公约数，根据模型知道：
（1）且A ma
=，B mb
=
（2）那么a b
、互质
（3）所以A、B的最大公约数为m，最小公倍数为mab
（4）最大公约数与最小公倍数的成绩为A与B的成绩
【例 1】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星【题型】解答
【解析】法1：根据两个自然数的积=两数的最大公约数?两数的最小公倍数，有：甲数?乙数4288
=?，所以，乙数42883632
=?÷=；
法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数49
=?，设乙数4b
=?，则(,9)1
b=．因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则28849b
=??，得8
b=．所以，乙数4832
=?=．【答案】32
例题精讲
【巩固】已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B= 。【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，5分
【解析】根据最小公倍数?最大公约数A B
=?，知道，180309060
B=?÷=
【答案】60
【例 2】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答
【解析】由于两个自然数的积=两数的最大公约数?两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是240604
÷=，设这两个数分别为4a、4b，那么(,)1
a b=，且
60415
a b
?=÷=，所以a和b可以取1和15 或 3和5 ，所以这两个数是4和60
或12和20．
【答案】这两个数是4和60 或12和20
【例 3】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答
【解析】设这两个自然数为：5a b
、5，其中a与b互质，5550
a b
+=，10
a b
+=，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有
两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求
这两个数的差是40或者20．
【答案】这两个数的差是40或者20
【巩固】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答
【解析】125255
÷=，51423
=+=+，两数可以为25、100或者50、75．
【答案】两数可以为25、100或者50、75
【例 4】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答
【解析】假设这两个数是21a和21b，易得21126
a b
??=，所以6
a b
?=，由a和b互质，那么就有61623
=?=?两种情况．所以甲、乙是：21121
?=，216126
?=或21242
?=，21363
?=两种情况．它们的和是147或105．
【答案】和是147或105
【巩固】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3星【题型】解答
【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120430
÷=，将30分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24．
【答案】两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24
【例 5】甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是
1
1
8
.乙数是
_____.
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2星【题型】填空
【解析】由(甲，乙) 7
=，且甲：乙9:8
=，由于8与9互质，所以乙数8756
=?=. 【答案】56
【例 6】已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么
a 、
b 中较大的数是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设a b >，有120a b =+，又设()a b d =,，a pd =，b qd =，(,)1p q =，且p q >，
则[,]a b pqd =，有105pqd d =，所以105357pq ==??．因为()120a b p q d -=-=，
所以()p q -是120的约数．
①若105p =，1q =，则104p q -=，不符合；
②若35p =，3q =，则32p q -=，不符合；
③若21p =，5q =，则16p q -=，不符合；
④若15p =，7q =，则8p q -=，符合条件．
由()8120p q d d -==，得15d =，从而a 、b 中较大的数1515225a pd ==?=．
【答案】225
【例 7】 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两
个自然数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设这两个自然数分别是ma 、mb ，其中m 为它们的最大公约数，a 与b 互质(不妨
设a ≤b )，根据题意有：
()54(1)114mb ma m a b mab m m ab +=+=??-=-=?
所以可以得到 m 是54和114的公约数，所以是(54,114)6=的约数．1m =，2，3或6． 如果1m =，由()54m a b ?+=，有54a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有115ab =． 1151115523=?=?，但是111511654+=≠，5232854+=≠，所以1m ≠.
如果2m =，由()54m a b ?+=，有27a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有58ab =． 58158229=?=?，但是1585927+=≠，2293127+=≠，所以2m ≠．
如果3m =，由()54m a b ?+=，有18a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有39ab =． 39139313=?=?，但是1394018+=≠，3131618+=≠，所以3m ≠．
如果6m =，由()54m a b ?+=，有9a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有20ab =．
20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：2012045=?=?，虽然120219+=≠，但是有459+=，所以取6m =是合适的，此时4a =，5b =，这两个数分别为24和30．
【答案】两个数分别为24和30
【例 8】 有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，
这两个自然数的差是 ．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以
是它们的最大公约数与最小公倍数的和的约数，也就是297和693的公约数，也就
是()297,69399=的约数．99的约数共有6个，此时可以逐一分情况进行讨论，但
较繁琐．
设这两个数分别为ad 和bd ，其中(),1a b =，a b <，d 是它们的最大公约数．那么 ()297a b d +=，()1693d abd ab d +=+=，相比得
169372973
ab a b +==+，所以3377ab a b +=+，即9212190ab a b --+=，可得 ()()373740a b --=．
由于()37a -和()37b -都是40的约数且除以3余2，只能为
3723720a b -=??-=?或者375378a b -=??-=?，可得39a b =??=?或45a b =??=?
． 由于()297a b d +=，所以()a b +是297的约数，39a b =??=?不符合，所以只能为45a b =??=?
，此时()2974533d =÷+=，这两个数的差为()33bd ad b a d -=-=．
【答案】33
【例 9】 已知自然数A 、B 满足以下2个性质：（1）A 、B 不互质；（2）A 、B 的最大公约数
与最小公倍数之和为35。那么A +B 的最小值是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设(,)A B M =，那么,A Ma B Mb ==，其中a ,b 分别表示A ,B 的独有因数。那么
[,]A B Mab =，即有(,)[,](1)35A B A B M Mab M ab +=+=+=，因为A ,B 不互质，
所以1M ≠，而根据上面的式子M 是35的因数，所以M 只可能为5或7.
1）当M =5时，ab =6,此时有12,63
a a
b b ==????==?? ()()51635A B M a b +=+=?+=，或()()52325A B M a b +=+=?+=
2）当M =7时，ab =4,此时有12,42a a b b ==????==??
（舍）因为(),1a b = ()()71435A B M a b +=+=?+=，或()()72228A B M a b +=+=?+=（舍）
所以A +B 的最小值是25。
【答案】25
【例 10】 两个整数A 、B 的最大公约数是C ，最小公倍数是D ，并且已知C 不等于1，也不
等于A 或B ，C +D =187，那么A +B 等于多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 最大公约数C ，当然是D 最小公倍数的约数，因此C 是187的约数，187=11×17，
C 不等于1，只能是C =11或者C =17．如果C =11，那么
D =187-11=176．A 和B 都是
176的约数，A 和B 不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是
这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C 不能是11．现在考虑
C =17，那么
D =187-17=170，A 和B 是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，
170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A 和B 分别是34和85，
A +
B =34+85=119．
【答案】119
【例 11】 若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它
们的最大公约数的最大值为 ，最小公倍数的最小值为 ，
最小公倍数的最大值为 ．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分
【解析】 由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a =mp ，b =mq ，c =ms .m 为a ，b ，
c 的最大公约数，则p +q +s 最小取7。此时m =165.
为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m 尽量大，并且使A ，B ，C 的最小公倍数尽量小，所以应使m =165，A =1，B =2，C =4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。
为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，
三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。
【答案】最大公约数的最大值为165，最小公倍数的最小值为660，最小公倍数的最大值为57065085
模块二、约数的个数与约数的和
【例 12】2008的约数有（）个。
【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】解答
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题
【解析】因为2008=2×2×2×251，所以约数有（3+1）×（1+1）=8（个）
【答案】8个
【巩固】2008006共有( )个质因数。
（A）4 （B)5 (C)6 (D)7
【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第2题
【解析】因为2008006=2006×1000+2006=2006×1001=（2×17×59）×（7×11×13），共有6个。
【答案】6个
【巩固】105的约数共有几个?
【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第3题
【解析】105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。
【答案】8个
【巩固】已知300=2×2×3×5×5，则300一共有个不同的约数。【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，5年级，初赛，第5题，6分
【解析】32318
??=个
【答案】18
【例 13】筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。
问：有多少种分法？
【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第8题
【解析】方法一：偶数60的约数中，偶数有8个，即：2，4，6，10，12，20，30，60因此有8种分法.
方法二：偶数个约数，即602=30
??，所以共有
÷的所有约数，30=235
()()()
+?+?+个约数。
111111=8
【答案】8个约数
【例 14】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【考点】约数的个数与约数的和【难度】3星【题型】解答
【解析】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=32×23×5；360的约数可以且只能是2a ×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、
c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×
(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,23 ,它们的和为
(1+3+23),所以所有360约数的和为(1+3+23)×2y ×5w ；我们再来确定关于质因
数2的约数,可以是l ,2,22,32,它们的和为(1+2+22+32)，所以所有360约数的
和为(1+3+23)×(1+2+22+32)×5w ；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,
它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+23)×(1+2+22+32)×
(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．
【答案】约数有24个，和为1170
【例 15】 20086a b ÷=L ,,a b 均为自然数．a 有____________种不同的取值．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题
【解析】 由20086a b ÷=L 可知，ab +6=2008，ab =2002。又因为2002=2×7×11×13，而
且a >6，所以a 的取值有：3+2344C C ++1=14（种）
【答案】14
【巩固】 2010除以正整数N ，余数是15，那么N 的所有可能值的个数是 。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试，第5题
【解析】 2010151995-=，199535719=???，1995的约数有16个，其中小于等于15的
有5个，所以满足条件的N 有11个。
【答案】11
【例 16】 自然数N 有45个正约数。N 的最小值为 。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第5题，8分
【解析】 由于4545115395533=?=?=?=??，根据约数个数公式，自然数N 可能分解成
44a 、142a b ?、84a b ?、422a b c ??等形式，在以上各种形式下，N 的最小值分别
为442、14223?、8423?、422235??，比较这些数的大小，可知
441428442222323235>?>?>??，所以最小值是4222353600??=．
【答案】3600
【巩固】 自然数N 有20个正约数，N 的最小值为 。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分
【解析】 因为约数的个数是指数加1再相乘，所以先将20分解质因数，
2020110254522=?=?=?=??，若想N 最小：20522=??，那么指数为4、1、
1，经试算，最小值为4235240??=。
【答案】240
【巩固】 恰有20 个因数的最小自然数是（ ）。
（A ）120 （B ）240 （C ）360 （D ）432
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第5题
【解析】 B ，20=20=2×10=4×5=2×2×5，四种情况下的最小自然数分别为：192、923?、
4323?、4235??，其中最小的是最后一个，为240。
【答案】B
【例 17】 设A 共有9个不同的约数，B 共有6个不同的约数，C 共有8个不同的约数，这
三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 本题考查对约数个数计算公式的灵活应用
由公式的结果倒推，A 有9个约数，那么符合公式的要求有，9(21)(21)=++，或者9(01)(81)=++，若要求A 的值尽可能小，则A 不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明A 的形式为22A a b =?的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A 最小为2223A =?，类似的可以知道2B a b =?,同时为满足最小要求252B =?。
C 为8个约数情况可能有两种，3,C m n p C m n =??=? ，其中当332C =?时数字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为20243617280??=
【答案】17280
【例 18】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 61623=?=?，故6只能表示为()51+或()()1121+?+，所以恰好有6个约数的
数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质
数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：
2222222222222222325272112132172192238323537311
45253
2721???????????????L L L L L L L L 个
个个个
所以符合条件的自然数一共有1842116++++=个．
【答案】16个
【巩固】 恰有8个约数的两位数有________个．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 根据约数个数公式，先将8进行分解：81824222=?=?=??，所以恰有8个约
数的数至多有3个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为7A ，13A B ，
111A B C ．其中由于72128100=>，所以7A 形式的没有符合条件的两位数；13A B 形
式中，B 不能超过3，即可能为2或3，有323?、332?、352?、372?、3112?，
共5个；111A B C 形式的有235??、237??、2311??、2313??、257??，共
5个．所以共有5510+=个符合条件的数．
【答案】10个
【巩固】 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 由于91933=?=?，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数
的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有82256=符合条
件，后者中符合条件有2225100?=、2227196?=、22211484?=、22213676?=、
2235225?=、2237441?=，所以符合条件的有7个．
【答案】7个
【例 19】 能被2145整除且恰有2145个约数的数有 个．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第6题
【解析】 先将2145分解质因数：2145351113=???，所以能被2145整除的数必定含有3，
5，11，13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个
质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整
数的乘积等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘积，矛盾．所以所求
的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数．
对于这样的每一个数，分解质因数后3，5，11，13这4个因子的幂次都恰好是()231=-，()451=-，()10111=-，()12131=-的一个排列，所以共有4!24=种
【答案】24个
【巩固】 能被210整除且恰有210个约数的数有 个．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 2102357=???，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按
照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!24=个．
【答案】24个
【巩固】 1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】仁华学校
【解析】 1001的倍数可以表示为1001k ，由于100171113=??，如果k 有不同于7，11，13
的质因数，那么1001k 至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数
的计算公式，其约数的个数为()()()()()123411111n a a a a a +++++L ，其中4n ≥．如
果这个数恰有1001个约数，则
()()()()()123411111100171113n a a a a a +++++==??L ，但是1001不能分解成4
个大于1的数的乘积，所以4n ≥时不合题意，即k 不能有不同于7，11，13的质
因数．那么1001k 只有7，11，13这3个质因数．设100171113a b c k =??，则
()()()1111001a b c +++=，1a +、1b +、1c +分别为7，11，13，共有3!6=种选
择，每种选择对应一个1001k ，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．
【答案】6个
【巩固】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】解答
【解析】 设这个自然数是a ，2200423167=??，将a 分解质因数，设
121223167n b b b x y z n a a a a =???L ，其中x ，y ，z 可以是0或正整数，其余的系数都
是正整数，则这个数的约数的个数
12(1)(1)(1)(1)(1)(1)n A x y z b b b =++++++L ．
因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以
212(3)(2)(2)(1)(1)(1)200423167n x y z b b b ++++++==??L ． 可得
2004(3)(2)(2)322(1)(1)(1)111
x y z x y z A x y z x y z ++++++==??++++++， 要想使A 最小，需要使322111
x y z x y z +++??+++最大， 而323311x x x x +=-≤++，22211y y y y +=-≤++，22211
z z z z +=-≤++， 所以200432212A
≤??=，得到167A ≥． 要想使等号成立，必须0x y z ===，1n =，1166b =，即此数为一个不是2，3，167的质数的166次方，此时这个数的约数有167个．故这个自然数最少有167个约数．
【答案】167个
【例 20】 已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A 的约数的个数.
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由于A 是偶数但不是4的倍数，所以A 只含有1个因子2，可将A 分解成12A B =?，
其中B 是奇数，根据约数个数公式，它的约数的个数为()1112N +?= (其中N 为B 的约数个数)，则3482A B B ==?，它的约数个数为()1324N +?=个．
【答案】24个
【例 21】 已知m n 、两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12
个约数，n 有10个约数，求m 与n 的和．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 因为27535=?，如果设35p q m =?，35x y n =?，那么p x 、中较小的数是1，q y
、中较小的数是2．由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积．所以(1)(1)12p q +?+=，(1)(1)10x y +?+=．又122634=?=?，
1025=?，
由于2y ≥，所以13y +≥，那么15y +=，12x +=，得到1x =，4y =．那么2q =，得到3p =，所以3235675m =?=，4351875n =?=，=2550m n +．
【答案】2550
【例 22】 已知A 数有7个约数，B 数有12个约数，且A 、B 的最小公倍数[],1728A B =，则
B = ．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】101中学
【解析】 63172823=?，由于A 数有7个约数，而7为质数，所以A 为某个质数的6次方，
由于1728只有2和3这两个质因数，如果A 为63，那么1728不是A 的倍数，不符题意，所以62A =，那么33为B 的约数，设323k B =?，则()()13112k +?+=，得2k =，所以2323108B =?=．
【答案】108
【例 23】 一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有 个约数的个位是3.
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第14题
【解析】
21823=?，根据求一个数约数个数公式知，不同的质因数可能有一至三个。但是如果个位是3的约数尽可能多，可以构造出：18
31N a b =?，即一个质因数的个位是3，这个质因数只有1次方，另一个质因数的个位是1，这个质因数有8次方。
这样得到的不同的个位是3的约数有10111213183131313131a b a b a b a b a b 、
、、、??????共有9个。
【答案】9
【例 24】 一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环
也有两位，那么这种分数共有多少个？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】解答
【解析】 假设该混循环小数是990.99009900
abcd ab ab cd abcd -+==&&，那么其中cd ≠0，11，22，33，44，55，66，77，88，99，且b ≠d ，所以99ab cd +不是11和10的倍数．令
ab x =，cd y =，则1990.99009900
abcd ab x y abcd n -+===&&，那么999900x y n +=（），
而所以()99x y +是9900的约数，且不是11和10的倍数． 9900的约数中11的倍数
有222990023511=???，9900的约数中11的倍数有33327??=（个），10的倍
数有232224???=（个），即是11也是10的倍数有12个，显然对任意值，x 和y
都有99以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有
333227241215???-+-=（）（个）
，对应的n 也有15个，即这样的分数有15个． 【答案】15个
【例 25】 1232002,,,,89102009
L 中，共有_ __个最简分数。 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第5题
【解析】 由于分子和分母相差7，所以当分子是7的倍数时，该分数就不是最简分数，1到
2002中7的倍数的数共有286个，故最简分数有2002-286=1716个。
【答案】1716个
【例 26】 设a ，b ，c 是0~9的数字（允许相同），将循环小数0.abc &&化成最简分数后，分
子有 种不同情况．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 0.999
abc abc =&&,显然只要abc 与999互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小于999且与999互质的数，这样的数一共有
999999999999648337337??-+-= ????
（个）．如果abc 与999不互质，那么abc 的质因数当中，如果质因数3不多于3个，质因数37不多于1个，那么999
abc 约分后是分子还是与999互质的数（已被统计过）；如果abc 的质因数当中，如果质因数3多于
3个，质因数37多于1个（这种情况肯定没有因为37的平方大于999）, 质因数3多于3个，那么约分过程当中，分子分母至少约掉27，所剩下的分子不会大于9993727
=，所以凡是不大于37的分子都可能有它的27倍约分而来，其中的3、6、9、L 、36这12个数都是可能的分子．所以一共有64812660+=（个）．
【答案】660
【例 27】 在循环小数中类似于10.1428577??=，10.07692313
??=等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括7和13在内，共有 个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】 根据容斥原理，因为六位纯循环小数表示成分数为abcdef 999999
，题目需要的正整数是能够约分后分子是1的分数的分母，所以分子是999999的约数的数都有可能是答案，399999937111337=????有()()()()()311111111164+?+?+?+?+=，所求
的n 的个数为64(863)53-+-=（个）。
【考点】计数问题、数论、循环小数化分数等知识点的综合
【答案】53个
三年级奥数题：和差倍数问题（一） 1、南京长江大桥共分两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米？ 2、三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。 3、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？ 三年级奥数题：和差倍数问题（二） 1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？ 2、已知两个数的商是4，而这两个数的差是39，那么这两个数中较小的一个是多少？ 3、姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？ 三年级奥数题：和差倍数问题（三） 1、已知△，○，□是三个不同的数，并且△+△+△=○+○，○+○+○+○=□+□+□，△+○+○+□=60，那么△+○+□等于多少？ 2、用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车÷马＝2，炮÷车＝4，炮-马＝56，那么“车+马+炮”等于多少？
3、聪聪用10元钱买了3支圆珠笔和7本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔就少1角4分；若买一本练习本还多8角，问一支圆珠笔的售价是多少元？ 三年级奥数题：和差倍数问题（四） 1、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、乙原订每天自学的时间是多少分钟？ 2、一大块金帝牌巧克力可以分成若干大小一样的正方形小块。小明和小强各有一大块金帝巧克力，他们同时开始吃第一小块巧克力。小明每隔20分钟吃1小块，14时40分吃最后1小方块；小强每隔30分钟吃1小块，18时吃最后1小方块。那么他们开始吃第1小块的时间是几时几分？ 三年级奥数题：速算与巧算 【试题】巧算与速算：41×49＝( ) 三年级奥数题：植树问题 【试题】一块三角形地，三边分别长156米，234米，186米，要在三边上植树，株距6米，三个角的顶点上各植上1棵数，共植树( )棵。 三年级奥数应用题解题技巧（一） 【试题】一台拖拉机5小时耕地40公顷，照这样的速度，耕72公顷地需要几小时？ 三年级奥数应用题解题技巧（二）
小学全部奥数题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等） 得到1/甲＝1/乙×2
因数与倍数 1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少? 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆? 5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?
6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚? 7．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少? 8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少? 9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 10． a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b 的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?
11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？ 15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
奥数题：统筹规划（一） 1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用 2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。 5. 5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？ 6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟， 丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
【分析】1：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要 1+10=11分钟。 【分析】2：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为 5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量 最少，只需用油10×27+5×1=275(公升) 【分析】3：我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了， 整个过程用了6分钟。 【分析】4：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。 解：应按丙，乙，甲，丁顺序用水。丙等待时间为0，用水时间1分钟，总计1分钟乙等待时间为丙用水时间1分钟，乙用水时间2分钟，总计3分钟甲等待时间为丙和乙用水时间3分钟，甲用水时间3分钟，总计6分钟丁等待时间为丙、乙和甲用水时间共6分钟，丁用水时间10分钟，总计16分钟， 总时间为1＋3＋6＋16＝26分钟。 分析】5：大家都很容易想到，让甲、乙搭配，丙、丁搭配应该比较节省时间。而他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒。为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务。那么就应该让甲和乙先过桥，用时2分钟，再由甲返回送手电筒，需要1分钟，然后丙、丁搭配过桥，用时10分钟。接下来乙返回，送手电筒，用时2分钟，再和甲一起过桥，又用时2分钟。所以花费的总时间为：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟。解：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟 【分析】6：要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽 可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。 解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2＋1＝3分钟 然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6＋2＝8分钟 最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。共用时(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13 分
六年级奥数题及答案 1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 答案 取40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗 4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份 4*1/6＝2/3 （小明要给小亮2/3份玻璃球） 小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份） 小亮现有：3+2/3＝3又2/3（份）
四 约数与倍数(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．28的所有约数之和是_____. 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有6个约数的两位数有_____个. 11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4 32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8 312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 14. 已知a 与b 的最大公约数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组? (例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)
一年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 1.楼层小宏与爸爸一起上楼，小宏走得慢，爸爸走得快，小宏上了1层时，爸爸已上了2层，问小宏上到3楼时，爸爸上到几楼? 2.分水果一个小组有10个人，7个人爱吃香蕉，5个人爱吃苹果，问既爱吃香蕉又爱吃苹果的有几个人? 3.小鸭子说稀奇，道稀奇，鸭子队里有只鸡，正着数，它第6，倒着数，它第7，小鸭一共有几只? 4. 找规律填数： ① 5、7、9、11、13、（） ②0、1、1、2、3、5、8、（） 5. 按要求填数： 36、12、45、7、35、23、60、55 （）＞（）＞（）＞（）＞（）＞（）
＞（）＞（） 13、24、15、7、61、25、14、8 （）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（） 6、有一个两位数，个为是９十位是４，这个两位数是（） ７、有１４小朋友排成一队，从左往右数红红排在第４位，从右向左数明明也是排在第４位，那么红红和明明两人之间有多少人？ ８、最小三位数的是（）最大的三位数是（）。 ９、用５、７、４三个数可以排成（）个不相同的三位数。分别写出来。 10、要把一根木棒锯成５段需要４分钟，要是想锯成７段需要多少分钟？ 11、计算： ３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋２１＝
５＋１０＋１５＋２０＋２５＋３０＝ 12、有１４个小朋友在玩捉迷藏的游戏，有６个小朋友被捉住了，还有多少个小朋友没被捉住啊？ 13、、有一个个位数，在它的右边加上一个零，构成一个两位数，这个两位比原来的数要大３６，则原来的各位数是（）。 14、按要求填补算式完整： 9+（）=21 21—（）=19 21—（）=18 24+（）=43 15、老师让小朋友们植树，先植了10棵桃树，然后老师让同学们在每两棵桃树间植一棵梨树，那么一共还可以植多少棵梨树？ 16.分糖块三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗? 17.树的年龄公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而其中一棵的树龄正好是其他
五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
小学奥数题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？ 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 答案为6天 9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？ 答案为40分钟。 解：设停电了x分钟 根据题意列方程 1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得x＝40 二．鸡兔同笼问题 1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
小学五年级奥数题集锦 及答案更新版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
小学五年级奥数题集锦及答案 1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶千米，乙行了5小时。求AB两地相距多少千米？ 解：AB距离=（×5）/（5/11）=千米 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。甲乙两地相距多少千米？ 解：客车和货车的速度之比为5：4 那么相遇时的路程比=5：4 相遇时货车行全程的4/9 此时货车行了全程的1/4 距离相遇点还有4/9-1/4=7/36 那么全程=28/（7/36）=144千米 3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。求乙绕城一周所需要的时间？ 解：甲乙速度比=8：6=4：3 相遇时乙行了全程的3/7 那么4小时就是行全程的4/7 所以乙行一周用的时间=4/（4/7）=7小时 4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米
解：甲走完1/4后余下1-1/4=3/4 那么余下的5/6是3/4×5/6=5/8 此时甲一共走了1/4+5/8=7/8 那么甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4 所以甲走全程的1/4时，乙走了全程的1/4×4/5=1/5 那么AB距离=640/（1-1/5）=800米 5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米 解：一种情况：此时甲乙还没有相遇 乙车3小时行全程的3/7 甲3小时行75×3=225千米 AB距离=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420千米 一种情况：甲乙已经相遇 （225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=千米 6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分，走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟已相遇？ 解：甲相当于比乙晚出发3+3+3=9分钟 将全部路程看作单位1 那么甲的速度=1/30 乙的速度=1/20 甲拿完东西出发时，乙已经走了1/20×9=9/20
四年级奥数题：统筹规划（一） 【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。 【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油 10×27+5×1=275(公升) 【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？ 我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。 四年级奥数题：统筹规划问题（二） 【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。
（100道综合练习题） 一、填空题。 ( 共9题) 1.妈妈买红扣子18个，白扣子10 个，黑扣子8个。 (1)红扣子比白扣子多( ) 个? (2)黑扣子比白扣子少 ( )个? 2.下面的题你会算吗? 1+3+5+2+4+6+3+5+7=( ) 1+10-9+8-7+3-4+5=( ) 3. 1,1,2,3,5， ( ),13,21,34 4. 2只小鸭=4只小鸡 3只小鸭 =6只小鹅 1只小鹅=( )只 小鸡 5.方框中应该填什么数呢? 3+( )+4-5+10=15 6.找出下面的数列的规律并填空. 1，1，2，3，5，8，13，( )， ( )，55，89 7.黑兔、灰兔和白兔三只兔子在 赛跑。黑免说："我跑得不是最 快的，但比白兔快。"请你说说， ( )跑得最快，( )跑 得最慢。 8.在( )里填数字，使下面的两 3( ) 8( ) 6( ) 1( ) 2( ) 9. 10、20、11、19、12、18、( )、 ( )、( ) 二、计算题。 ( 共29题) 1.汽车总站有13辆汽车，开走了 3辆，还有几辆? 答： 2.第一个盘子里有5个梨，第二 个盘子里有4个梨，把第一个盘里拿 1个 放到第二个盘里，现在一共有多少个 梨? 答 3.小明和小亮想买同一本书，小 明缺1元7角，小亮缺1元3角。若 用他们的钱合买这本书，钱正好。这 本书的价钱是多少?他们各带了多少 钱? 小明带了3元-1元7角=1元3 角小亮带了3元-1元3角=1元7角 答: 4.小明出去玩的时候，看了一下 钟，时针在2和3之间，分针指向6， 他回来的时候时针在6和7之间，分 针指向6，小明一共外出了几小时? 答: 5.学校要把12箱文具送给山 区小学，已送去7箱，还要送几箱 ?
小学数学《约数与倍数》练习题 一、 约数的概念与最大公约数 0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分 子的最大公约数b ；b a 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=； ②短除法求最小公倍数； 例如：21812 39632 ，所以[]18,12233236=???=； ③[,](,) a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ； b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]() 1,414,4232,3??==???? 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数
1、某次数学测验共20题，作对1题得5分，做错1题扣1分，不做得0分，小华得了76分，他对了多少题？ 20-（20×5-76）÷（5+1）=16（道） 2、一班有学生45人，男生2/5和女生的1/4参加了数学竞赛，参赛的共有15人，男女生各几人 解：设男生有x人，则女生有（45-x）。 2/5x+1/4 (45-x)=15 2/5x + 4/45 -4/x =15 x=25 女生：45-25=20 （人） 3、一列火车长200米，通过一条长430的隧道用了42秒，以同样的速度通过某站台用25秒，这个站台长多少米？ （200+430）÷42×25-200 =375-200 =175米 4、一项工作，甲单独做需15天完成，乙单独做需12天完成。这项工作由甲乙两人合做，并且施工期间乙休息7天，问几天完成？ 解：设完成工作要X天，所以甲乙一起工作(X-6)天，甲单独工作6天。根据题意可得甲单独一天可完成1/15.乙1/12，由此得式子： (1/15 +1/12)(X-6) +1/15*6=1 解得X=10 5、本骑车前往一座城市，去时的速度为x，回来时的速度为y。他整个行程的平均速度是多少？ （答案是2xy/x+y，为什么？） 解：设总路程为S，则去时用的时间为S/X，回来的时候用的时间为S/Y 那么平均速度为2S/(S/X+S/Y)=2/(1/X+1/Y)=2XY/(X+Y) 6、游泳池里，参加游泳的学生，小学生占30%，又来一批学生后，学生总数增加20%，小学生占学生总数的40%，小学 7、将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数多12，求甲、乙、丙各是几？ 解：把1440分解质因数： 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5 =（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5） =8×9×20 如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则： 8×9=72， 20×3+12=72 正符合题中条件。 答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。 8、在800米环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插后发现，一共有四根彩旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？
四年级奥数题及答案解析 1、某工厂为了表扬好人好事核实一件事，厂方找了A，B，C，D四人。A说：“是B做的。”B说：“是D做的。”C说：“不是我做的。”D说：“B说的不对。”这四人中只有一人说了实话。问：这件好事是______做的。 2、小明在计算两个数相加时，把一个加数个位上的6错写成9，把另一个加数百位上的8错写成3，所得的和是637。原来两个数相加的正确结果是多少? 3、甲车在东村、乙车在西村，甲乙两车同时从东西两村相向而行，第一次在距东村10km的地方相遇，相遇后两车又各自向对方出发点驶去，甲到西村后又立即返回，乙到东村后也立即返回，两车又在距西村6km的地方第二次相遇，求东西村相距多少千米?
4、黑板上写着一个形如8888……88的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘2，然后再加上刚才擦掉的数，对所得的新数继续操作，最后得到的数是多少? 5、用大豆榨油，第一次用去大豆1264千克，第二次用去大豆1432千克，第二次比第一次多出油21千克，两次共出油多少千克?
答案： 1、好事应该是C做的。 ①假设A说的是实话，则C说的也属实话，不符合题意，所以A说的是假话; ②假设B说的是实话，那么好事应该是D做的，C说的应该是实话，显然这与“只有一个人讲了实话”相矛盾，所以B说的是假话; ③假设C说的是实话，即好事不是C做的，也因①、②已分别说明B和D 未做，则只剩下A做，那么D说的也是真话，这与题设相矛盾，所以C说的也是假话; ④假设D说的是实话，那好事应该不是D做的，是C做的。符合题设条件。 所以，好事应该是C做的。 2、原来两个数相加的正确结果是684。 3、解：第一次相遇时，甲、乙两车合行一个全程，甲车行10千米。第二次相遇时，又合行了两个全程，共三个全程(如图)。甲车在一个全程中行了10千米，三个全程就行了三个10千米，即30千米。甲车行了一个全程又6千米(如图)，他行了30千米，去掉6千米，就是一个全程，即24千米。 4、黑板上写着一个形如8888……88的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘2，然后再加上刚才擦掉的数，对所得的新数继续操作，最后得到的数是多少? 解答：每次操作时，设末位数字是A，擦去末位数字后得到的数是B。那么原来的数相当于是B的10倍加A。而经过操作后，变成B的2倍加A，说明操作后减少了B的8倍，那么减少的部分一定是8的倍数。 由于最开始写的数就是8的倍数，每次减少的部分也一定是8的倍数，那么最后剩的数也一定是8的倍数。每次操作都把数缩小了，直至没法操作，最后得到的数一定是一位数，只能是8。 5、用大豆榨油，第一次用去大豆1264千克，第二次用去大豆1432千克，第二次比第一次多出油21千克，两次共出油多少千克? 解答：第二次多用大豆1432-1264=168千克，168÷21=8，说明每8千克大豆可以榨出1千克油。所以共出油(1264+1432)÷8=337千克。
小学六年级中高难度奥数题及答案解析（1） “奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的。学习奥数的年龄根据学生自身特点而定。小学频道在这里精选了一些典型的小学六年级中高难度的奥数试题，并附有答案解析，大家来做做看吧！ 题1：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？ 【答案解析】 当扩大方阵时，需补充10+15人，这25人应站在扩充的方阵的两条邻边处，形成一层人构成的直角拐角.补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13人.因此扩大方阵共有13×13=169人，去掉15人，就是原来的人数 169-15=154人. 题2：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 【答案解析】 要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次"翻转".要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次"翻转".即"翻转"的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次"翻转"，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次"翻转"，都不能使9只杯子全部口朝下。∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。 题3：（高等难度） 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。【答案解析】 假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。 ∵2m≠1987（偶数≠奇数） ∴假设不成立。 ∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。
小学三年级奥数题及答案：还原问题 1.工程问题 绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？ 解答：200÷4=50（棵） （200+400）÷50=12（天） 【小结】 归一思想．先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成 任务．单一数：200÷4=50（棵），总共的天数是：（200+400）÷50=12（天）． 2.还原问题 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼
子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养 了多少只鹦鹉? 解答：三(一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：2400÷3=800(只)，"相同时间"是：（2430+2370）÷800=6(天)，三(一)班每天叠的个数：2430÷6=405 (只)，三(二)班每天叠的个数：2370÷6=395(只)． 小学三年级奥数题及答案：楼梯问题 1.上楼梯问题 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层， 还需要多少秒？ 解答：上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒） 从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯 还需要的时间：16×4=64（秒）
答：还需要64秒才能到达8层。 2.楼梯问题 晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？ 解：每一层楼梯有：36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走：18×（6-1）=90（级）台阶。答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。 小学三年级奥数题及答案：页码问题 1.黑白棋子 有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆，有2枚或3枚黑子的共42堆，有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。那么在全部棋子中，白子共 有多少枚？
三年级数学智力题 1、在一块正方形场地四周种树，每边都种10棵，并且四个顶点都种有一棵树。这个场地四周共种树（）棵。 2、从济南到北京的长途汽车中共有5个车站，从济南到北京需要为这趟长途汽车备（）种不同的车票。 3、751+752+753+754+755+756+757的和是( )。 4、有若干个同学排成一列横队，从左到右报数时，小强是第5个，从右到左报数时，小强是第3个，这列横队有（）个同学。 5、菜场运来白菜和萝卜共70筐，白菜比萝卜多18筐，那么，运来白菜（）筐，萝卜（）筐。 6、在一个长是10厘米，宽是8厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形，正方形的周长是（）厘米。
7、有两个数分别是340和150，它们的和比它们的差多（）。 8、在一个除法算式里，被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，那么被除数是（）。 9、给8个学生发铅笔。每人5支还剩下一些，每人6支又不够。剩下的和不够的同样多，一共有（）支铅笔。 10、三年级同学种树80棵，四、五年级种的棵树比三年级种的2倍多14棵，三个年级共种树（）棵。 11、学校有808个同学，分乘6辆汽车去春游，第一辆车已经接走了128人，如果其余5 辆车乘的人数相同，最后一辆车乘了（）个同学。 12、一桶油连桶重90千克，用去一半油后，连桶称还重50千克。原来桶里装有（）千克的油，空桶重（）千克。 13、一座楼房，每上一层要走24级楼梯，小华要到五楼去，共要走（）级楼梯。
14、小明买了一本书和一只书包。买书用去5元8角，买书包用的钱是买书所用钱的5倍。他带去50元钱，还剩（）元。 15、想想填填：１、２、３、４；２、３、４、５；３、４、（）、６；（）、（）、（）、７ 16、把一根木头锯成4段需要6分，如果要锯成13段，则需要（）分。 17、两个整数，和为37，较大个的一个比较小的大11，这两个整数分别是（）、（）。 18、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下，要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 19、小红和小强买练习本。小红买了5本，小强买了3本，小强比小红少用了6角钱。每本练习本（）角钱。 20、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大猴有（）只。