一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【解析】
试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，
∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，
∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1
2
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BF
PE
=，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE
的
值．（用含α的式子表示）
【答案】（1）证明见解析（2）
1
2
BF
PE
=（3）
1
tan
2
BF
PE
α
=
【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．
∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．
（2）BF1
PE2
=．证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．
∵∠BPE=1
2
∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．
又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1
2 BM．
∴BF=1
2PE，即
BF1
PE2
=．
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．
由（2）同理可得BF=1
2
BM，∠MBN=∠EPN．
∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．∴BM BN
PE PN
=．
在Rt△BNP中，
BN
tan=
PN
α，∴
BM
=tan
PE
α，即
2BF
=tan
PE
α．
∴
BF 1
=tan PE 2
α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．
（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出
BF 1
PE 2
=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN
tan =PN
α即可求得
BF 1
=tan PE 2
α．
3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC =
81
4
．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM （P 、Q 、M 按逆时针排序），以QC 为边在AC 上方作正△QCN ，设点P 运动时间为t 秒． （1）求cosA 的值；
（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =
9
5
S △QCN 时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
【答案】（1）coaA=
45；（2）当t=35时，满足S △PQM =9
5
S △QCN ；（3）当2733-或
2733+时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
【解析】
分析：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即可解决问题；
（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =
9
5
S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．
∵S △ABC =12
?AC?BE=814，
∴BE=
9
2
， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -，
∴coaA=
64
7.55
AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．
∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ， ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2， ∵S △PQM =9
5
S △QCN ， ∴
32=9352， ∴9t 2+（9-9t ）2=9
5
×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0，
解得t=3（舍弃）或35
． ∴当t=
35时，满足S △PQM =9
5
S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．
易知：PM∥AC，
∴∠MPQ=∠PQH=60°，
∴PH=3HQ，
∴3t=3（9-9t），
-．
∴t=2733
②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得3，
∴39t-9），
∴27+33
-s27+33时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 综上所述，当2733
的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高
度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）
【答案】22.4m 【解析】 【分析】
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解． 【详解】
解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =
tan 3
AG AFG =∠，
在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG
CG
， ∴CG =
tan AG
ACG ∠=3AG ．
又∵CG ﹣FG =24m ，
即3AG ﹣
3
=24m ， ∴AG =123m ， ∴AB =123+1.6≈22.4m ．
5．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB 段为监测区，监测点P 到AB 的距离PH 为50米（如图）．已知点P 在点A 的北偏东45°方向上，且在点B 的北偏西60°方向上，点B 在点A 的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内，可认定为32≈1.4）．
【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速
【解析】
分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.
详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，
∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，
∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=
tan PH PAH
∠
33，
∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，
∵60千米/时=50
3米/秒，∴时间t=
50350
50
3
3≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，
B(0，2)，C(3，3)
(1)当⊙O的半径为1时，
①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；
②已知点M在直线y 3
+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值
范围；
(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．
【答案】(1)①B；②0≤m3(2)﹣3t＜3
【解析】
【分析】
(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；
②设M(m 3
+2 )，根据“友好点”的定义，OM
2
2
3
22
2
m m
??
+-+≤
?
?
??
，由此
求解即可；
(2)B(0，2)，C(3，3)，D30)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点
H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT 3
，直线BD：y
3
x+2，可知H(t，﹣
3 3t+2)，继而可得NT＝﹣
1
2
t+
33
2
，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.
【详解】
(1)①∵r＝1，
∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，
∴点B是⊙O“友好点”，
∵OC22
33
+2>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，
故答案为B；
②如图，
设M (m ，﹣
3
m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝2
23
22
2m m ??+-+≤ ? ???
， 整理，得2m 2﹣23m ≤0， 解得0≤m ≤3；
∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；
(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，
∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．
∵tan ∠BDO ＝
3
3
23OB OD ==
∴∠BDO=30°， ∴∠OBD ＝60°， ∴∠THN=∠OBD=60°， ∴NT ＝HT?sin ∠3
，
∵B(0，2)，D(23，0)，∴直线BD：y＝﹣3
3
x+2，∵H点BD上，
∵H(t，﹣3t+2)，
∴HT＝﹣3
3t+2﹣(﹣1)＝﹣
3
3
t+3，
∴NT＝3HT＝3(﹣3t+3)＝﹣1
2t+
33
，
∴﹣1
2t+
33
≤2，
∴t≥﹣4+33，
当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，
此时点N不是“友好点”，
∴t＜33，
故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．
【点睛】
本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）9 2
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝
AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】
证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠OAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE．
∴∠AEO＝∠DAE．
∴OE∥AD．
∵DC⊥AC，
∴OE⊥DC．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．
∴∠EAB＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°3
33
在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，
∴AD=cos30°3339 2 .
【点睛】
本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）45
2
；（2）详见解析；（3）使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32 669-． 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝
'''''
=A B CE
A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤
115时和当11
5
＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】
解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，
根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝
'''''
=A B CE A D CD ∴
682
=CE ∴CE ＝3
2
cm ，
∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝86345
22222
?-?÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝3
2
（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32
， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当
115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝4
3
（8﹣2x ）
∴()2
14y 8223x =
?-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；
②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245
， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣
245）2+（2x +18
5
）2＝36， 解得：x ＝
669-，x ＝669
--（舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝24
5
， ∵AB 2+BB ′2＝AN 2+A ′N 2 ∴36+4x 2＝（6﹣245）2+（2x +18
5
）2 解得：x ＝
32
． 综上所述，使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32秒、6695
-．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
9．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；
（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233
384
y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=4
5
PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+
4
5
PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=
18
5
，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0） ∴y ＝a （x+2）（x ﹣4） 把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3 ∴a ＝﹣
38
∴抛物线解析式为y ＝﹣
38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34
x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP ＝∠COB ＝90°
∵∠DCP ＝∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B （4，0），C （0，3）
∴OB
＝4，OC ＝3，BC ∴PD ＝
45
PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+
4
5
PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小 ∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC ∴S △ABC ＝12AB?OC ＝1
2
BC?AE ∴AE ＝
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE ＝18
∴5PA+4PC 的最小值为18．
（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°
∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3 ∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝
3
5
FG FQ = ∴FG ＝
35FQ ＝95
∴x Q ＝1﹣9455=-，QG 125==
①若点Q 在x 轴上方，则Q （412
55
-，）
设直线l解析式为：y＝kx+b
∴
40 412 55 k b
k b
-+=
?
?
?
-+=
??
解得：
3
4
3
k
b
?
=
?
?
?=
?
∴直线l：33
4
y x
=+
②若点Q在x轴下方，则Q（
412
55
--，）
∴直线l：33
4
y x
=--
综上所述，直线l的解析式为
3
3
4
y x
=+或
3
3
4
y x
=--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论
10．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝330＝______．（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或（17+2）
π；21．
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF
AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH 垂直平分线段AD ， ∴FA ＝FD ，
∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝
83
， ∴⊙O 的面积为
163
π． 如图2中，当AF ＝AO 时，
∵AB 22AC BC +216x +
∴OA ＝2
162
x +， ∵AF 22EF AE +22
21182x ????+ ? ?????
∴
216x +22
21182x ????+ ? ?????
解得x ＝4（负根已经舍弃）， ∴AB ＝2 ∴⊙O 的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2
164x
+，
∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE?AB，
∴16＝x?2
164x
+，
解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），
∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π?1
4
?AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2
，
∴AE＝3
2
，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
??
-
?
??
21
2
，