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概率练习册答案[1]

第一章概率论的基本概念

一、选择题

1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（）

A．{（正，正），（反，反），（一正一反）}

B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}

C．{一次正面，两次正面，没有正面}

D.{先得正面，先得反面}

2.设A，B为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（）

A．必然事件 B．A与B恰有一个发生

C．不可能事件 D．A与B不同时发生

3．设A，B为随机事件，则下列各式中正确的是（）.

A.P(AB)=P(A)P(B)

B.P(A-B)=P(A)－P(B)

C. )

P-

= D.P(A+B)=P(A)+P(B)

)

(

4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ).

A.P(A－B)=P(A)－P(AB)

B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0

C.P(A+B)=P(A)+P(B)

D.P(A)+P(A)=1

5.若φ

AB，则下列各式中错误的是（）.

≠

A．0

(≤

)

P B.1

(≥

C.P(A+B)=P(A)+P(B)

D.P(A-B)≤P(A)

6.若φ

AB,则( ).

≠

A. A,B为对立事件

B.B

C.φ

A D.P(A-B)≤P(A)

7.若,B

A?则下面答案错误的是( ).

A. ()B

P≥

P≤

( B. ()0

)

C.B未发生A可能发生

D.B发生A可能不发生

8.(1,2,,)i A i n = 为一列随机事件,且12()0n P A A A > ,则下列叙述中错误的是( ).

A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===

i i

i i A P A P 1

1)()(

B.若诸i A 相互独立,则1

()1(1())n

i i i i P A P A ===--∑∏

C.若诸i A 相互独立,则1

()()n

i i

i i P A P A ===

∏

D.)|()|()|()()(1231211

-=Λ=n n n

i i A A P A A P A A P A P A P

9.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ).

A.21

B. b a +1

C. b a a +

D. b

a b

10.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ). A.r r

P 365

1365-

r C 365

!365? C. 365

!1r -

D. r

r 365

!1-

11.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<

D. C AB 与

12.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C P

B.1)()()(-+≥B P A P C P

C.P(C)=P(AB)

D.()()P C P A B =

13.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<

D. A 与B 独立

14.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( ). A.P(A|B)=0

B.(|)()P A B P A =

C.()()()P AB P A P B =

D.P(B|A)>0

15.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为6

,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ). A.1

2 D.

16.已知11()()(),()0,()(),4

P A P B P C P A B P A C P B C ======

则事件A,B,C 全不

发生的概率为( ). A.

1 B.

3 C.

5 D.

17.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.

120

53 B.

9 C.

120

67 D.

18.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为

,2:3,2:1,

1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，

现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（）. A.

135

4519

157

19.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ).

A. 21

B. 31

C. 75

D. 7

答：

1．答案：（B ） 2. 答案：（B ）

解：AUB 表示A 与B 至少有一个发生,Ω-AB 表示A 与B 不能同

时发生,因此(AUB)(Ω-AB)表示A 与B 恰有一个发生． 3．答案：（C ）

4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.

5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.

6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω.

7. 答案：（C ）

8. 答案：（D ）

注：选项B 由于

()1()1()1()1(1())n

i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏

9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()

N A P A N =Ω.

10.答案：（A ）

解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A

的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知

365365!()365

365

r r

C r P P A ?=

，故365()1365

P P A =-

11.答案：（C ） 12.答案：（B ）

解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明A B C ?，

故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.

13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A

B +=可知

()()()1()()()

1()

()

()(1())()(1()()())

()(1())

()(1())()(1()()())()(1())

()()()()()()(())()()()P A B P A B P A B P A B P B P B P B P B P A B P B P B P A P B P A B P B P B P A B P B P B P A P B P A B P B P B P A B P A B P B P B P A P B P B P B P A B P B -?+=

--+--+=

=-?-+--+=-?-+--+=2

(())()()()

P B P A B P A P B -?=

故A 与B 独立. 14.答案：（A ）

解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此

P(A|B)=

()00()

()

P AB P B P B =

15.答案：（D ）

解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立

事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112()(1)(1)(1)(1)()54363

P A P A =--

16.答案：（B ）解：所求的概率为

()1()

1()()()()()()()11111100

P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=--

注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ?

?≤≤=?=.

17.答案：（A ）

解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”

1.2.3i =，则由全概率公式知

112233()()(|)()(|)()(|)1113155335

120

P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.

18.答案：（C ）

解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子”

1.2.3i =，则由全概率公式知

112233()()(|)()(|)()(|)213212765

P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.

19.答案：（C ）

解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知

3263222711223315

()(|)

5(|)()(|)()(|)()(|)

P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B =

++.

二、填空题

1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω .

2．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .

3.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .

4.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）= .

5.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .

6.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （A B ）= .

7.已知8

1)()(,0)(,4

1)()()(=

=====BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生

的概率为 .

8．设两两相互独立的三事件、B 和C 满足条件：φ=ABC ，2

1)()()(<

==C p B p A p ，

且已知 16

9)(=

C B A p ，则______)(=A p .

9.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .

10．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .

11．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和

40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 . 12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .

答：

1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}

2.;A B C A B C A B C A B C A B C

或AB BC AC

3．0.3，0.5

解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是

由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()

0.70.4()0.51()

10.4

P A B P A P B P A +--==

=--.

4.0.7

解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是 P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3

解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .

6.0.6

解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知

()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6

P AB P AB =-=-=.

7.7/12

解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是

()()1()

1[()()()()()()()]13/42/67/12

P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 8.1/4

解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ 由题设

()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======，

()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有

93()3()16

P A P A =-，解得

P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 9.1/6

解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解. 10.

11260

解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为

12121114??????=，故所求的概率为

417!

1260

11.3/7

解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知

()()(|)

0.60.013(|)()

()(|)()(|)

0.60.010.40.02

P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?=

=+?+?.

12.6/11

解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)

0.50.66(|)()

()(|)()(|)

0.50.60.50.5

P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?=

=+?+?.

三、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4

)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P .

求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )=

08143=+- 四、 )(,2

1)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===

求。解：由6

1)()(31

4121)()|()()()()|(=??

=????→?=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件由乘法公式，得12

)|()()(=

=A B P A P AB P

由加法公式，得3

1216141)()()()(=

-+=

-+=?AB P B P A P B A P 五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A 1={男人}，A 2={女人}，B={色盲}，显然A 1∪A 2=S ，A 1 A 2=φ 由已知条件知%25.0)|(%,5)|(2

)()(2121====A B P A B P A P A P 由贝叶斯公式，有

)

()()|(11B P B A P B A P =

)

|()()|()()

|()(221111A B P A P A B P A P A B P A P +=

21201000025211005211005

?+??

六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A 1，A 2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ B =A 1B +A 2B 且A 1，A 2互斥 ∴

P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2)

11++?+++++?+M N N

m n m M N N m n n

第二章随机变量及其分布

一、选择题

1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ). A..φ=AB

B.AB 未必是不可能事件

C.A 与B 对立

D.P(A)=0或P(B)=0

2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）. A.2-e

B.2

51e

C.2

41e

D.2

21e

3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4

}{a b b X a P -=

≤≤ B.4

3}63{=

D.2

1}31{=≤<-X P

4.设),4,(~μN X 则( ). A.

)1,0(~4

N X μ-

B.2

1}0{=

≤X P

C.)1(1}2{Φ-=>-μX P

D.0≥μ

5.设=≥=≥}1{,9

5}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ).

A.27

19 B.91

6.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ). A.13()22X y f --- B.13()22X y f -- C.13()2

X y f +--

13()2

X y f +-

7.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x f

B.)(x f 为偶函数

C.)(x f 单调不减

D.()1f x dx +∞-∞

8.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ).

A.{0}{0}P X P X ≤=≥

B.)(1)(x F x F --=

C.{1}{1}P X P X ≤=≥

D.)()(x f x f -=

9.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.?

=-a

dx x f a F 0

)(1)( B.?

-a

dx x f a F 0

)(2

1)(

C.)()(a F a F =-

D.1)(2)(-=-a F a F

10.设X 的密度函数为3

,01()20,x x f x ?≤≤?

=???

其他，则1{}4P X >为( ).

B.1

x dx +∞

? C.1

4312

x dx -∞

11.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417 B.0.3753

C.0.3830

D.0.8664

12.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ). A.???≤>-=-0,

,1)(x x e x F x λ

B.对任意的x

x X P x λ-=>>}{,0有

C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有

D.λ为任意实数

13.设),,(~2

σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.

)1,0(~2

N X σ

B.)(

)(σ

-Φ=x x F

C.{(,)}(

)(

)a b P X a b μ

σσ

--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ

14.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012

=++Xx x 有实根的概率是( ).

A.0.7

B.0.8

C.0.6

D.0.5

答：1.答案：（B ）

注：对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数值a 的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B ）

解：由于X 服从参数为λ的泊松分布，故{},0,1,2,!

k e

P X k k k λ

λ-==

又},2{}1{===X P X

P 故

122

λλλ--=

?=，因此

{2}1{2}

1{0}{1}{2}2225110!

P X P X P X P X P X e

--->=-≤=-=-=-==-

. 3.答案：（D ）

解：由于X 服从]5,1[上的均匀分布,故随机变量X 的概率密度为

,[1,5]()0,[1,5]

x f x x ∈?=???.因此，若点,[1,5]a b ∈，则4}{a b b X a P -=

≤≤.

{36}{35}4

P X P X <<=<<=，3{04}{14}4

P X P X <

<=<<=

，

21{13}{13}4

P X P X -<≤=<≤=

4 答案：（C ）解：由于),4,(~μN X

故~(0,1);2X N μ- 由于0{0}{

}(),2

X P X P μμμ

--≤=≤

=Φ-

而1(0)2

Φ=

，故只有当0

=时，才有2

1}0{=

≤X

P ；

2{2}{2}1{2}1{

}1(1);

X P X P X P X P μμμ

μμμ-+-->=>+=-≤+=-≤

=-Φ

正态分布中的参数只要求0

σ>，对μ没有要求.

5.答案：（A ）解：由于~(2,)X

B p ，故

2{1}1{1}1{0}1(1)1(1)2P X P X P X C p p p p p

≥=-<=-==--=--=-，

而5{1}9

P X

≥=

，故2

p p p p -

=或（舍）；由于~(3,)Y B p ，故

33311219{1}1{Y 1}1{0}1()(1)1()33327

P Y P P Y C ≥=-<=-==--=-=

6.答案：（B ）

解：这里()23g x x =-+，()g x 处处可导且恒有()20g x '=-<，其反函数为3()2

y x h y -==-，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y 的密

度函数为3113()()()2

222

X X y y f

y f f --=--

7.答案：（D ）

注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 8.答案：（C ）解：因为)1,1(~N X

，所以2

(1)2

1()2x

t F x e

-∞

?，2

(1)2

1()2x f x e

101{0}{

}(1)1(1)10.84310.1569,

{0}1{0}1{0}1(1)(1)0.8431;

X P X P P X P X P X --≤=≤

=Φ-=-Φ=-=≥=-<=-≤=-Φ-=Φ=

111{1}{}(0)0.5,

{1}1{1}1{1}1(0)0.5;

X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ=≥=-<=-≤=-Φ=

9.答案：（B ）解：由于()()f x f x =

-，所以X

的概率密度函数为偶函数，其函数图

形关于y 轴对称，因此随机变量X 落在x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出1(0)(0)2

F P X =≤=

.我们可以

画出函数()f x 的图形，借助图形来选出答案B.

也可以直接推导如下：

()()a F a f x dx

--∞-=

，令u x =-，则有

1()()()()()()().

a a a

F a f u du f u du f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞∞∞-=--=

10.答案：（A ）解：14

213

7{}()|4

P X

f x dx x dx x >=

11.答案：（B ）解：

21121{2}1{2}1{22}1{

}

2X P X P X P X P ----≥=-<=--<<=-<<

1[(0.5)( 1.5)]1(0.5)1(1.5)0.3753

=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=.

12.答案：（D ）解：对任意的0,

x >{}1{}1()1(1)x

P X x P X x F x e

λλ-->=-≤=-=--=；选

项C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0

λ>.

13.答案：（A ）解：选项A 改为

~(0,1)

X N μ

-，才是正确的；

{(,)}()()(

)(

)a b P X a b F b F a μ

--∈=-=Φ-Φ；

{||}{}{}{

}()()2()1,(0)

P X k P k X k P k X k k X k P k k k k μσσμσσμσμσμμ

σμμ

-≤=-≤-≤=-+≤≤+-+--+-=≤

≤

=Φ-Φ-=Φ->.

14.答案：（B ）

解：由于随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,所以X 的概率密度函数为

,[1,6]()0,[1,6]x f x x ∈?=???

.而

方程

=++Xx x 有实根，当且仅当

4022X X X ?=-≥?≥≤-或，因此方程012

=++Xx x 有实根的概率为

62{2}{2}0.8

p P X P X -=≥+≤-=

=-.

二、填空题

1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是c c c c 161

,81,41,21

，

则=c

3．当a 的值为时， ,2,1,)3

2()(===k a k X p k 才能成为随机变量X 的分布列. 4．设离散型随机变量X 的分布函数为：

?????

??≥+<≤-<≤--<=2

,21,32

11,1,0)(x b a x a x a x x F 且2

1)2(=

=X p ，则_______,________a b ==.

5．设]5,1[~U X ，当5121<<

-=X Y ，

则Y 的分布密度=)(y f .

7．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .

8．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .

9.若随机变量X 的分布列为???

? ?

?-5.05

.011

，则12+=X Y 的分布列为 . 10.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ . 答1.X x ≤.

2.解：由规范性知111115151248161616

c c

. 3.解：由规范性知1

22/311(

)23

12/3

k a a

a a ∞

====?=

-∑.

4.解：因为{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--，所以只有在

（X ）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P （X=-1）=F （-1）

-F （-1-0）=a ，P{X=1}=F （1）-F （1-0）=2/3-2a ，P{X=2}=F （2）-F （2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6. 5.解：由于]5,1[~U X ，所以

X 的概率密度为

,15

()4

0,x f x ?≤≤?=???

其它，

故2

221

11()()(1)

x p x

X x f x dx dx x ∞-∞

<<=

6.2

()21(),2x f x e x μσ

πσ

-∞<<∞

；2

1(),2y

f y e

y π

-∞<<∞

7.解：}{2337327222(2)( 2.5)(2)(2.5)10.99720.993810.9910X P X P ?----?

-<<=<

=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=.

8.解:由()()()1()

1333(0)()(

)(

303

p X c p X c p X c p X c X c c p X c p c c <=≥?<=-<---?

Φ==<=<

=Φ-?

=?=.

9．130.50.5-??

???

１0．解：0

11(){}{},(04)2

y Y

F y P Y y P X y dx y y =<=<=

故

1()()(04)4

Y Y f y F y y y

'==

<<.

三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

解：X 可以取值3，4，5，分布律为

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(3

435

=?=

===

==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为

也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：

6,103,101 四、设随机变量X 的分布函数为???

??≥<≤<=.

,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，

求（1）P (X<2), P {0

ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<

,0,

1,1

)(')(e x x x F x f

五、设随机变量X 的概率密度)(x f 为

???

??≤≤-<≤=其他

2121

0)(x x

x x

x f 求X 的分布函数F (x )。解：?

∞

≤=x

dt t f x X P x F )()()(

<--

=-+

≤≤=

+=<≤==

<∞

-∞

-∞-∞

-1

0)2(0)(,

212

2)2(0)(,212

0)(,100

0)(,

dt dt t dt t dt x F x x

x dt t dt t dt x F x x

dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当

故分布函数为

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：12153 101 12 C C P C ==。

概率统计-习题及答案-(1)

概率统计-习题及答案-(1)

习题一 1.1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）；设事件A表示：平均得分在80分以上。（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件A表示：第一颗掷得5点；设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球；设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。（4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；设事件A表示：至多只要投50次。（5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一

张。（1）写出该随机试验的样本点和样本空间；（2）设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？（a）AB；(b) B A+；(c) B；(d) B A-； (e) BC；(f) C B+。 1.3 设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来：（1）A发生；（2）A不发生，但B、C至少有一个发生；（3）三个事件恰有一个发生；（4）三个事件中至少有两个发生；（5）三个事件都不发生；（6）三个事件最多有一个发生；（7）三个事件不都发生。 1.4 设}10,,3,2,1{ Ω，}5,3,2{=A，}7,5,3{=B，}7,4,3,1{=C，求 =

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率论课后习题答案

习题1解答 1、写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率论试题(答案)

试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。３．已知互斥的两个事件满足，则___________。４．设为两个随机事件，，，则___________。５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则（）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B)

概率统计试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤

概率论复习题答案

一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律；（2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。解（2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他（1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。解（1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为：求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律（2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。解（1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x

概率论练习册答案第三章

习题3-1 1. 而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律. 解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1 和X 2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解从7只球中取4球只有354 7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1 {0,2}35 35P X Y C C C === = ,111 322 6 {1,1}3535 P X Y C C C === = , 1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223 {2,0}3535P X Y C C C ====, 21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220 3223 {2,2}3535P X Y C C C ====, 3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1

第一章事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解（1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。（2）}18,,4,3{ =Ω。（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。（5）=Ω{(x,y) 0

概率论模拟试题(附答案)

模拟试题（一）一．单项选择题（每小题2分，共16分） 1．设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立 (C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件 2．设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（） (A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21 3 )1(p p C - 3．若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续 4．若随机变量ξ的概率密度为)( 21)(4 )3(2 +∞<<-∞=+- x e x f x π ，则=η（）)1,0(~N (A) 2 3 +ξ (B) 2 3 +ξ(C) 2 3-ξ(D) 2 3 -ξ 5．若随机变量ηξ ,不相关，则下列等式中不成立的是（） (A) 0),(=ηξCov (B) ηξηξD D D +=+)( (C) ηξξηD D D ?= (D) ηξξηE E E ?= 6．设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（） (A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n (C) ) (~21 2n X n i i χ∑= (D) )1(~-n t S X 7．样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（）不是总体期望μ的无偏估计量

概率统计练习册答案

第一章参考答案: （一）一、选择：1.D 2. A 3.B 4.D 二、填空：1. 出现点数恰好是5； 2. 0.3； 3. 0.6； 4. 1，0.75； 5． (1) ABC （2）ABC (3) AB AC BC ?? (4) A B C ?? (5) ABC ABC ABC ?? (6) A B C ?? 三、计算（1）,0.6A B ? （2）,0.3A B ?=Ω （3）()=0.4P AB ，()=0.9P A B ?，()=0.3P B A -，()=0.1P AB （二）一、填空：1.a a b + 2. 32,55 3. 11260 4. 815 5. 16 二、计算： 1. （1）.4190 (2). 13 (3). 13 15 2. 11 ln 242+ 3. 391 81616 ；；（见教材第12页） 4. 111 1()k N N N --- 5. (1). 6121110987 112?????- (2). 2466 1112C ? (3). 61112- (4). 6 61112 （三）一、填空：1. 0 2.0.9 3. 23 4. (1)(1)()(1) a a b b a b a b -+-++- 二、计算： 1. 1 4

2. （1）. 0.85 （2）. 0.941 3. 0.37（或 55149 ） 4. （1）. 0.192 （或23120）（2）. 0.391（或923 ） 5. （1）. 2990 （2）. 20 61 （四）一、选择：1.D 2. B 3.C 4.B 二、计算： 1.(1) 2 3 (2) 11 2. 14 3. （1）. 4 0.9 （2）. 4 10.1- （3）4 3 0.90.40.9+? 三．证明。（略）第二章参考答案: (一) 一. 填空 1. 31; 2. 0.95; 3. m n m m n p p C --)1(; 4. {}.,1,0,! == =-k k e k X P k λλ 二. 1.(1){};4,3,2,1,0,6 20 616 4===-k C C C k X P k k (2) {}.6,5,43,2,1,0,8.0)2.0(66，===-k C k X P k k k 2. {};,2,1,55.045.01 =?==-k k X P k {}.31 11 21 = =∑∞ =k k X P 3.

概率论习题答案

第一章随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：（1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，，在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()；（2）规范性：P ()?=1；（3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

概率统计习题带答案

概率统计习题带答案概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白

球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 § 1 .1随机试验及随机事件 1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T 出现的情形.样本空间是：S= ____________ ； (2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数样本空间是：S= _______________________； 2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则 A_______ ; B: 数点大于2,贝U B= (2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，贝y A=______________ ； B:两次出现同一面，贝I」= ________ ; C : 至少有一次出现正面，则C= . § 1 .2随机事件的运算 1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表

示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A 与B都发生,而C不发生表示为：_____ 」 (3)A与B都不发生，而C发生表示为： ___ J4)A 、B、C中最多二个发生表示为：. (5)A、B、C中至少二个发生表示

为： _______ * (6)A. B. C中不多于一个发生表示为： _______ ? 贝［| 2* T§iS^{xiO

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则（1） A ? B ? （4） A ? B = ，（2） AB ? ，（5） A B = ，（3） A B ? 。，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

概率论课后答案

习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .

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