综合测试题(下册)A 卷 一、填空题（每空4分，共20分） 1、 曲线cos ,sin ,tan
2
t
x t y t z ===在点（0，1，1）处的一个切向量与OX 轴正向夹角为锐角，则此向量与OZ 轴正向的夹角是_________________ . 2、 设:1,01D x y ≤≤≤，则
3()D
x y yd σ+??= _________ . 3、 设2
2
2
2
:x y z a ∑++=，则曲面积分
2
22()x
y z ds ∑
++??ò=__________.
4、 周期为2π的函数()f x ，它在一个周期上的表达式为10
()10x f x x ππ--≤
，设
它的傅立叶级数的和函数为()S x ，则5()2
S π
= . 5、 微分方程
x dy
y e dx
-+=的通解为______________. 二、选择题（每题4分，共20分）
1、函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微是函数(,)f x y 在00(,)x y 点连续且可导的 [ ] (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件
2、设空间区域2222
222212:,0;
:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，
则 [ ] (A)
1
2
4xdv xdv ΩΩ=?????? (B) 1
2
4ydv ydv ΩΩ=??????
(C)
1
2
4zdv zdv ΩΩ=?????? (D) 1
2
4xyzdv xyzdv ΩΩ=??????
3、设L 为2
2
1x y +=一周，则
2
L x ds ?? [ ]
(A) 等于0 (B) 等于π (C) 等于2π (D) 等于1 4、如果幂级数
n
n n c x
∞
=∑和
11
n n
n nc x
∞
-=∑的收敛半径分别是1R 和2R ，则1R 与2R 的大小关系
是 [ ] (A) 1R 大于2R (B) 1R 小于2R (C) 1R 等于2R (D) 不能确定 5、微分方程256x
y y y xe '''-+=的特解形式是 [ ]
(A) 2x
Ae Bx C ++ (B) 2()x Ax B e + (C) 22()x x Ax B e + (D) 2()x x Ax B e +
三、解答题
1、（11分）函数(,)z z x y =由方程(,)0z z
F x y y x
+
+=所确定 ，其中F 具有一阶偏导数，计算x z
x
y x y
??+?? 2、（9分）计算曲线积分
22
(23)(2)L
x y x y dx x y xy dy +-+-+??，其中L 为圆周222x y +=的顺时针方向
3、（12
分）在曲面z =231x y z -+=的距离最短
4、（9分）计算曲面积分
xdydz ydzdx zdxdy ∑
++??
，其中∑是曲面 22
1z x y =-- 在xoy 面上方部分的上侧
5、（10分）求幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑的收敛区间与和函数()S x
6、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解.
综合测试题(下册)A 卷答案 一、填空题 1、34π 2、
23
3、44a π
4、1
5、()x
y e x C -=+ 二、选择题
1、A
2、C
3、B
4、C
5、D 三、解答题
1、解：1212122211(),(),()()x y z z z F F F F F F F F F x y y x
=+-
=-+=+ 由隐函数计算公式得 22112()
()
y zF x F z x x xF yF -?=
?+
21212()
()
x zF y F z y y xF yF -?=
?+ 则 22211212()()()
y zF x F x zF y F x z x y z xy x y xF yF -+-??+==-??+
2、解：由格林公式 原式=2
2(13)D
y
x dxdy -+-+??
=
220
)d r rdr π
θ-?
=2
4
12(24
r r ππ-
=.
3、解：设曲面上(,,)x y z 点到平面距离为d ，则2
2
14(231)d x y z =-+-且
222
24z x y =++ 即 2
2
2
420x y z +-+=
令 2222
(231)(42)F x y z x y z λ=-+-++-+
2(231)204(231)806(231)20x y
z F x y z x F x y z x F x y z x z λλλ=-+-+=??=--+-+=??=-+--=??=?
得唯一解
x y z ===. 由实际问题知最小值存在，即为点
(. 4、解：补上一块 22
1:0,1z x y ∑=+≤ 取下侧，且
1
0xdydz ydzdx zdxdy ∑++=??
由高斯公式 原式=2
2221
33
03
(1)2
x y dxdydz x y dxdy π
Ω
+≤-=--=
?????
.
其中Ω是由1,∑∑所围立体. 5、解：1lim
lim 11
n n n n a n
R a n →∞
→∞+===+，在 1x =±时，级数发散. 则收敛区间为(1,1)-. 令 1
11
()(1)
n n n S x nx ∞
--==
-∑
则
1
1
1
10
1
1
()(1)
(1)1x
n n n n n n x
S x dx nx dx x x
∞
∞
---===-=-=
+∑∑?
? 2
1()(
)1(1)x S x x x '==++. 6、解：特征方程 2
40r += ， 解得特征根 2r i =±. 对应的齐次方程的通解 12cos 2sin 2Y C x C x =+. 因为 0,1,i i λωλω==+= 不是特征根
方程的特解形式为 *
()cos ()sin y ax b x cx d x =+++ 将其代入原方程 解得 12
,0,0,39
a b c d ====. 所以 *
12
cos sin 39
y x x x =
+, 方程的通解 1212
cos 2sin 2cos sin 39
Y C x C x x x x =+++.
综合测试题（下册）B 卷
一、填空题（每题3分，总计18分）
1、函数y xy ax x y x f 22),(2
2
+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝______. 2、若曲面213222
2
=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切点坐标为______________________.
3、二重积分dx e
y dy y x ??-1
103
的值为______________.
4、设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为2,10
(),01x f x x x -<≤?=? <≤?
，
则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .
5、级数
1
n
n nx
∞
=∑的和函数为 .
6、微分方程2
y
x y
y +=
'的通解为_____________________. 二、选择题（每题3分，总计15分）
1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的 [ ] (A) 必要非充分的条件； (B)充分非必要的条件；
(C) 充分且必要的条件； (D) 即非充分又非必要的条件.
2、设)ln(2
22z y x u ++=，则)(u grad div ＝ [ ]
(A)
2221z y x ++；(B)2222z y x ++；(C)2222)(1z y x ++；(D)2
222)
(2
z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分??+D
d y x y x σ)sin cos (3
3
＝ [ ]
(A)σd y x D ??1
sin cos 23； (B)??1
32D yd x σ； (C)??+1
)sin cos (433D d y x y x σ； (D)0
4、设∑为曲面)0(2
22>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则??∑
++dS y x e
y x )sin(222
2＝
[ ]
(A)0； (B)2sin Re R R π； (C)R π4； (D)2
sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x
e y =2，
x e y 23=，则其通解为 [ ]
(A)x
x e C e C x 221++； (B)x x e C e C x C 2321++；
(C))()(221x x x e x C e e C x -+-+； (D))()(2221x e C e e C x
x x -+-
三、计算题（每题7分，总计28分）
1、已知2
2),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A
处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值.
2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y
x z
???2.
3、将函数2
23
)(x
x x f --=
展开成x 的幂级数，并指出收敛域. 4、计算
222L ds
x y z ++?，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的
弧段.
四、计算题（每题8分，总计32分） 1、计算???Ω
dv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥
及41222≤++≤z y x 所确定.
2、计算??
∑
++++2
222)(z y x dxdy
a z axdydz ，其中∑为下半球面2
2
2
y x a z ---=的下侧，a
为大于零的常数.
3、设)(x y y =满足方程x
e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y
相切，求函数)(x y .
4、对0>p ，讨论级数∑-∞
=+11
)1(n n n p
n 的敛散性. 综合测试题（下册）B 卷答案
一、填空题
1、-5；
2、)2,2,1(±±μ；
3、
)1(611--e ；4、()
2
1x
x +；5、C y y x =- 二、选择题
1、Ｄ；
2、Ｂ；
3、Ａ；
4、Ｄ；
5、Ｃ 三、计算题
1、解：由条件得
z z
f x y f y x f 2,2,2-=??=??=?? }cos ,cos ,{cos }3
2
,32,31{}2,2,1{0
γβα=-=?-=AB AB 3
2
cos ,32cos ,31cos -===?γβα
从而
)1,1,2(cos cos cos -?
???????+??+??=??A z f y f x f l f γβα=3
10
点A 的梯度方向是{2,2,2}{2,4,2}A
A grad f
y x z ==-=--l
所以方向导数的最大值是
6224242222==++=??l
f
2、解：
2121,xf f y
z
yf f x z
+-=??+=?? []2
221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f y
f y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+??+??=+??
=??????????=???
3、解：2311111
()212121/2
f x x x x x x x =
=+=+
---+-+ 10
001(1)(1)1222n
n n
n n n n n n x x x ∞
∞∞
+===??-??=+-=+ ???????∑∑∑
收敛域为)1,1(-. 4、解：dt dt z y x ds t t t 65222='+'+'=
220
222220arctan 888
8
L ds dt t
x y z t ππ
===
+++? 四、计算题
1、解：
22
2
2
3
4
40
1
1
cos sin 2sin cos z dv d d r r dr d r dr π
π
π
θ???π???Ω
==???????? 2
4401115
sin 22248
d r π
π
??π??=?=????? 2、解：取xoy ∑为xoy 面上的圆盘2
22a y x ≤+，方向取上侧，则
22
22
2
223220021()1()()1(23)12
2cos sin 33xoy xoy xy
D a axdydz z a dxdy a axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a z a dv a dxdy a d d r r d a a a a a πππθ????ππ∑
∑
∑+∑∑Ω=
++????=++-++????????=+-????
??=+-??
??
??????????????ò
43443021114cos sin 22
a a d r dr a a a a a ππππ???πππ????=+=-+=??????????.
3、解：由条件知)(x y y =满足1)0(,1)0(-='=y y .
由特征方程2,1023212==?=+-r r r r ,对应齐次方程的通解x
x e C e C Y 221+=, 设特解为x
Axe y =*，其中A 为待定常数，代入方程，得x xe y A 22*-=?-=, 从而得通解x
x x xe e C e C y 2221-+=,代入初始条件得0,121==C C .
最后得x
e x x y )21()(-=. 4、解：当1p >时 ,
11
1
1(1)1
n n n n n np np
∞
∞
++==-=∑
∑ ()11211
lim lim lim 111n n n n n n n
u np n u n p p n p +++→∞→∞→∞===<++,
所以原级数绝对收敛.
当01p <<时,设11q p =>, ()1
111
1(1)n
n n n n n q
np n +∞
∞+==--=∑∑
,
()()()11ln 11lim lim lim
01
x
n x n x n x x q q q q q n x ++→∞→+∞→+∞----==≠, 所以原级数发散.