课时作业19 反证法
知识点一反证法的概念
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③
答案 C
解析原结论不能作为条件使用．
2．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 B 解析①错误，应为a≤b；②正确；③错误，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错误，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角. 知识点二反证法的步骤 3.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( ) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a不能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除 答案 B 解析“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”． 4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B ＝90°不成立． ②所以一个三角形中不能有两个直角． ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的排列为________． 答案 ③①② 解析 反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②. 知识点三 用反证法证明命题 5.若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6 .求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0. 证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0. 而a ＋b ＋c ＝? ????x 2－2y ＋π2＋? ????y 2－2z ＋π3＋? ????z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. ∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 故a ，b ，c 中至少有一个大于0. 6．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根． 证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f (α)＝f (β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α) 所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实根． 一、选择题 1．用反证法证明结论为“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的命题时，应假设( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 答案 D 解析 假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D. 2．有以下结论： ①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确 答案 D 解析 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q ＞2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的． 3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 答案 C 解析 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，但? ????a ＋1b ＋? ????b ＋1c ＋? ????c ＋1a ＝? ?? ??a ＋1a ＋? ????b ＋1b ＋? ?? ??c ＋1c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 首先，若P ，Q ，R 同时大于0，则必有PQR ＞0成立．其次，若PQR ＞0，且P ，Q ，R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P ＜0，Q ＜0，即a ＋b －c ＜0，b ＋c －a ＜0，所以b ＜0，与b ＞0矛盾．故P ，Q ，R 都大于0. 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1 B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形 C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 答案 D 解析 因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos(90°－∠A 2)， 所以∠A 1＝90°－∠A 2. 同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°， 所以(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°，即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾， 所以原假设不成立．故选D. 二、填空题 6．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明该命题时应假设________． 答案 a ≠－1或b ≠－1 解析 a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1或b ≠－1. 7．下列命题适合用反证法证明的是________． ①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1 (a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋y x 中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的； ④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交． 答案 ①②③④ 解析 ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④. 8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是真的，则获奖的歌手是________． 答案 丙 解析 假设甲获奖，则四人说的都是假话，与已知矛盾；假设乙获奖，则甲、乙、丁说的都是真话，与已知矛盾；假设丙获奖，则甲和丙说的都是真话，乙和丁说的都是假话，与已知相符；假设丁获奖，则甲、丙、丁说的都是假话，与已知矛盾；从而可得获奖的歌手是丙． 三、解答题 9．设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数，求证：f (x )＝0无整数根． 证明 假设f (x )＝0有整数根n ， 则an 2 ＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数， 即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b 同时为偶数，c 为奇数， 当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾． 所以f (x )＝0无整数根． 10．给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝x －1ax －1? ????其中x ∈R 且x ≠1a ，证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴． 证明 设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)是函数图象上两个不同的点． 假设直线M 1M 2平行于x 轴，则必有y 1＝y 2，即 x 1－1ax 1－1＝x 2－1ax 2－1， 整理得a (x 1－x 2)＝x 1－x 2. ∵M 1与M 2是函数图象上两个不同的点且y 1＝y 2， ∴x 1≠x 2，∴a ＝1，这与已知a ≠1矛盾，∴假设错误． 故直线M 1M 2不平行于x 轴． 所以经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴．
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