2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的模为（）
A．B．C． D．2
2．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）
A．B．C．D．
4．已知s，则=（）
A．B．C．D．
5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）
A．B．2 C． D．
6．展开式中的常数项是（）
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）
A．2 B．3 C．D．
8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）
A．B．C．
D．
9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）
A．148 B．37 C．333 D．0
10．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球
的体积为（）
A．B．C．D．
11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）
A．B．C．D．
12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）
A．B．[5，9]C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=．
14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．
15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；
③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．
可以判断乙教的学科是．
16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：
①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；
其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：
最低气温（℃）[﹣35，﹣
30）
[﹣30，﹣
25）
[﹣25，﹣
20）
[﹣20，﹣
15）
[﹣15，﹣
10]
天数112536162
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．
（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；
（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD 所成的角为．
（1）证明：PE⊥平面MNF；
（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．
20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f （x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．
①求证：x2＞e；
②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：
（t为参数），点A（3，0）．
（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求a的范围．
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的模为（）
A．B．C． D．2
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵=，
∴||=|1+i|=．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数模的求法，是基础题．
2．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）【分析】求定义域得集合A，根据A∩B=A知A?B，由此求出a的取值范围．【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，
B={x|x≥a}，
若A∩B=A，则A?B；
∴实数a的取值范围是a≤﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．
3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P （A）=，P（AB）==，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．
【解答】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，
设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，
则P（A）=，P（AB）==，
则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：
P（A|B）===．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．已知s，则=（）
A．B．C．D．
【分析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求得．
【解答】解：∵s，
∴=cos[+（）]
=﹣sin（）=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则
它的离心率为（）
A．B．2 C． D．
【分析】先求渐近线带入点的坐标，再用c2=a2+b2求离心率．
【解答】解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，
∴4=﹣?（﹣2），∴=2，a=2b，
a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查计算能力．
6．展开式中的常数项是（）
A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8
【分析】写出二项式的通项，由x的指数为﹣2、0分别求得r值，再由多项式乘多项式得答案．
【解答】解：的展开式的通项为
=．
取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．
∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．
故选：B．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）
A．2 B．3 C．D．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，
如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．
∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．
该几何体为x，
几何体的体积V==1，
可得x=3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，体积公式的运用，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）
A．B．C．
D．
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据题意求出ω的值，
写出f（x）的解析式，即可求出它的单调增区间．
【解答】解：函数
=2sin（ωx+）；
由f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，
∴T=2×=π，
∴ω==2；
∴f（x）=2sin（2x+），
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的一个单调增区间为[﹣，]．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）
A．148 B．37 C．333 D．0
【分析】程序的运行功能是求m=8521，n=6105的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．
【解答】解：由程序框图知：
程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，
∵8251=6105+2146；
6105=2×2146+1813；
2146=1813+333；
1813=5×333+148；
333=2×148+37，
148=4×37+0
∴此时m=37．
∴输出m的值是37，
故选：B．
【点评】本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键．
10．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】设出球的半径，利用棱锥的侧面积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接半球的体积．
【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．
则AB=r，
四棱锥的侧面积为：4×=，
解得r=，
四棱锥的外接半球的体积为：V==，
故选：D．
【点评】本题考查四棱锥SABCD的侧面积以及球的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．
11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）
A．B．C．D．
【分析】联立得：y2+4y﹣4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，即可求出b的值
【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．
依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，
∴x1+x2=﹣2（y1+y2）+4b=8+4b
设圆心Q（x0，y0），则应有x0=（x1+x2）=4+2b，y0=（y1+y2）=﹣2．
∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，
又|AB|=?=?=4?，
∴|AB|=2r，
即4?=4，
解得b=﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的性质，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．
12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）
A．B．[5，9]C．D．
【分析】建立坐标系，设AN=a，用a表示出，得出关于a的函数，从而得出范围．
【解答】解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：
∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2
设AN=a，则N（2﹣，），M（2﹣，），
∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．
∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．
∴当a=0时，取得最大值9，
当a=时，取得最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=1．
【分析】根据题意，设BC=t，△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设BC=t，
△ABC中，AB=2，，，
则有cos∠ABC==﹣，
变形可得：t2+2t﹣3=0，
解可得：t=﹣3或t=1，
又由t＞0，则t=1，
即BC=1；
故答案为：1
【点评】本题考查余弦定理的应用，注意利用余弦定理构造关于BC的方程．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率求得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，3），
由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率可得，的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；
③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．
可以判断乙教的学科是C．
【分析】分析判断每一名话，能推理出正确结果．
【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；
由②得在哈尔滨工作的教师不教C学科，甲不教C；
由③得在长春工作的教师教A学科；
由④得乙不教B学科和A学科．
综上，乙教C学科．
故答案为：C．
【点评】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：
①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；
其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）
【分析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，可判断③④．
【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）
∴f′（x）=lnx+1+x，易得f′（x）=lnx+1+x在（0，+∞）递增，
∴f′（）=＞0，
∵x→0，f′（x）→﹣∞，
∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；
∵lnx0+1+x0=0
∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力、转化思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．
当n≥2时，，即，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，
所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，
故a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（2）由（1）知：，
∴T n=b1+b2+…+b n=．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：
最低气温（℃）[﹣35，﹣
30）
[﹣30，﹣
25）
[﹣25，﹣
20）
[﹣20，﹣
15）
[﹣15，﹣
10]
天数112536162
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．
（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；
（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？
【分析】（1）由已知X的可能取值为100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）当订购200台时，求出E（Y）=35000元；当订购250台时，求出E（Y）=37500元，由此求出11月每日应订购250台．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）由已知X的可能取值为100，200，300，
P（X=100）==0.2，
P（X=200）==0.4，
P（X=300）==0.4，
∴X的分布列为：
X100200300
P0.20.40.4
（2）由已知：
①当订购200台时，
E（Y）=[200×100﹣50×（200﹣100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）
②当订购250台时，
E（Y）=[200×100﹣50×（250﹣100）]×0.2+[200×200﹣50×（250﹣200）]×0.4+[200×250]×0.4=37500（元）
综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布表、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．
（1）证明：PE⊥平面MNF；
（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．
【分析】（1）法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP ⊥ADOP⊥平面ABCD，推导出MN⊥OE，MN⊥PE．△EFQ∽△EOP，从而PE=FQ．由此能证明PE⊥平面MNF．
方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O 点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz．利用向量法能证明PE⊥平面MNF
（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣MF﹣N的余弦值．
【解答】证明：（1）方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．
因为MN∥BC，OE∥AB，
所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．
又EF=PE=OE，EQ=OE，
所以，