椭圆练习题3-难(教师版)

数学高三专题系列之 椭圆练习题3

例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，

椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，

椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：3

1

222??=c a c ∴223a c =， ∴333

1-=

e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，

再化含e 的方程，解方程即可．

例 3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22

2112a

a x x x M +=+=，2

111a x y M M +=-=， 4

1

12===

a x y k M M OM ，∴42=a ，

∴14

22

=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

例4椭圆19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，??

?

??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．

（1）求证821=+x x ；

（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c x c

a AF =

-12

， ∴ 115

4

5x ex a AF -=-=． 同理 25

4

5x CF -

=． ∵ BF CF AF 2=+，且5

9=BF ， ∴ 5

1854554521=??? ??-+??? ??-

x x ， 即 821=+x x ．

（2）因为线段AC 的中点为??

?

??

+2421

y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422

12

121---=

+-

x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得

()

2122

21024x x y y x --=-

又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，

∴ ()212

125259

x y -=

(

)

2

2222525

9x y -= ∴ ()()21212

22125

9x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得

25

3640-

=-x ∴ 4

5

40

590=--=x k BT

．

例5 已知椭圆13

42

2=+y

x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1

MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，2

1=

e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：

11121

2x ex a MF -

=-=， 11221

2x ex a MF +=+=．

∵212

MF MF MN

?=，

∴()??

? ??+??? ??-

=+112

12122124x x x ． 整理得04832512

1=++x x ．

解之得41-=x 或5

12

1-

=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设()

θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?

?

-=-

2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k k

k x x +-=+．

∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2

1-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．

分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：

2

12

1x x y y --．

解法二：设过??

? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

?

????????=+=+=+=+④

1.

③1②12

①1221212

2222

121y y x x y x y x ，，， ①－②得

02

2

2212

221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得

2

1

2121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．

所求直线方程为0342=-+y x ．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，

；

（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372

=b ，在得方程

13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137

1482

2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

由已知b a 2=． ① 又过点()62-，，因此有

()16222

22=-+b a 或()12622

22

=+-b

a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=

b 或522=a ，132

=b ．故所求的方程为

13714822=+y x 或113

522

2=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182

=a ．故所求方程为

19

1822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，

应设方程12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

例8 椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率2

1

=

e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e

AM 1

+

均可用此法．

解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=

e ，右准线8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然

MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆

上．故32=M x ．所以()

332，M ．

说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2

1

=

e ，即MF 是M 到右准线

的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．

例9 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为?

??==.sin cos 3θθy x ，

设椭圆上的点的坐标为

()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为

2

63sin 226sin cos 3+??

? ??-=

+-=

θπθθd ． 当13sin -=??

?

??-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=

e ，已知点??

?

??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取

值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122

22=+b y a x ，其中0>>b a 待定．

由22

2

22222

1a

b a b a a

c e -=-==可得 2

1

43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则

4931232

2222

22+-+???

? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422

22++??? ?

?

+-=+--=b y y y b

其中b y b ≤≤-．

如果2

1<

b ，则当b y -=时，2

d （从而d ）有最大值． 由题设得

()

2

2

237??? ?

?

+=b ，由此得21237>-=b ，与21

因此必有21≥b 成立，于是当2

1-=y 时，2

d （从而d ）有最大值． 由题设得

()

34722

+=b ，可得1=b ，2=a ．

∴所求椭圆方程是11

42

2=+y x ． 由21-

=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点??? ?

?-213，到点???

??230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是?

??==θθ

sin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．

由2

222222

1??? ??-=-==a b a b a a c e 可得

2

1

43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点??

? ??

230，P 的距离为d ，则

2

222

2

2

23sin cos 23??? ?

?

-+=??? ??-+=θθb a y x d

4

9

s i n

3s i n 342

22+--=θθb b b 3421s i n 322

2++??? ?

?

+-=b b b θ

如果

121>b ，即2

1

()

2

2

237??? ?

?

+=b ，由此得21237>-=b ，与21

于是当b

21sin -=θ时2

d （从而d ）有最大值． 由题设知

()

34722

+=b ，∴1=b ，2=a ．

∴所求椭圆的参数方程是??

?==θ

θ

sin cos 2y x ．

由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是??? ?

?--213，，??? ??-213，．

例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．

分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由x y x 63222=+，得

123492322

=+?

????

? ??-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在??

?

??023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点． 设m x y x =++222，则 ()1122

+=++m y x

它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．

∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．

例12 已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．

（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，

120≠∠APB ．

（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．

分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，

根据

120=∠AQB 得到322

22-=-+a

y x ay ，将2222

2y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．

?

???

??????=+=a b c P b

a y a x

b

c x 2222222， 于是()a c a b k AP

+=

2，()

a c a

b k BP -=2

． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．

∴()()()

222

2

242

221tan c

a a c a

b a

c a b a c a b APB -=-++-

-=∠

∵2

2c a > ∴2tan -<∠APB

故3tan -≠∠APB ∴

120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=

，a

x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．

∴2

222

2

221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++-

-=∠

∵

120=∠AQB ， ∴

322

22-=-+a y x ay

整理得()

023222=+-+ay a y x

∵2

222

2

y b

a a x -=

∴02132

22=+???

? ??-ay y b a

∵0≠y ， ∴2

2

32c ab y = ∵b y ≤， ∴b c

ab ≤2

2

32 232c ab ≤，()

222234c c a a ≤-

∴04444224≥-+a c a c ，04432

4≥-+e e ∴232

≥e 或22

-≤e （舍），∴13

6<≤e ．

例13 已知椭圆

19

82

2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82+=k b ，得k c -=12

．

由21=

e ，得

4

191=-k ，即45

-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

例14 已知椭圆1422

22=+b

y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：由142222=+b

y b x ，得b a 2=，b c 3=，23

=e ．

由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得

b b b PF b PF 34421=-=-=．

由椭圆第二定义，

e d PF =1

1，1d 为P 到左准线的距离，

∴b e

PF d 3211==

，

即P 到左准线的距离为b 32．

解法二：∵

e d PF =2

2，2d 为P 到右准线的距离，2

3

=

=

a c e ， ∴

b e

PF d 3

3

222=

=

． 又椭圆两准线的距离为b c a 3

3

822=?．

∴P 到左准线的距离为

b b b 323

32338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

例15 设椭圆???==.

sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π

=∠POx ，求P 点坐标．

分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．

解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为

3

π

， ∴α

α

π

cos 4sin 323

tan

=

，即2tan =α．

而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =

α，5

52sin =α， ∴P 点坐标为)5

15

4,554(

．

例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别

为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，c

a x PQ 2

0+=，

由椭圆第二定义，

e PQ

PF =1，

∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r

a r -=-=． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请

写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．

例17 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，

22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时

成立，此时P 、A 、2F 共线．

由

2

2AF PF PA +≤，∴

2

6222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当

22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组???=+=-+45

95,022

2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214

1575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．

(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴3

2

=e ．由椭圆第二定义知

3

2

2=

=e PQ

PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，

即求A 到右准线距离．右准线方程为2

9

=

x ．

∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,5

56(． 说明：求21

PF e

PA +

的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．

例18 (1)写出椭圆14

92

2=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ??

?==θ

θ

sin 2cos 3y x )(R ∈θ．

(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在

第一象限的顶点，)2

0(π<

θ<， 则122sin 12sin 2cos 34≤=??=θθθS

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且?=∠6021PF F ．

(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

122

22=+b

y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1

212=+-=

?PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，

)0,(2c F ，化简可得

032332121

2

1

=--+c cy y x ．又122

122

1=+b

y a x ，两方程联立消去2

1x 得

03234122

12=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ?的面积，但

这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF

?中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ?的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．

解：(法1)设椭圆方程为122

22=+b

y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，

则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ?中，由余弦定理得

)

)((24)()(2160cos 112

2121ex a ex a c ex a ex a -+--++=

=?， 解得2

2

22

134e

a c x -=． (1)∵],0(22

1a x ∈，

∴2

2

22340a e

a c <-≤，即0422≥-a c ． ∴2

1≥=

a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,2

1[∈e ．

(2)将2

222

134e a c x -=代入122

22=+b

y a x 得 242

13c b y =，即c

b y 32

1=．

∴2221333221212

1b c

b c y F F S F PF =??=?=?． 即21F PF ?的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF

，β=∠21F PF ， 则?=+120βα．

(1)在21F PF ?中，由正弦定理得

?

=

=60sin 2sin sin c

n m βα． ∴

?

=++60sin 2sin sin c

n m βα

∵a n m 2=+， ∴

?

=+60sin 2sin sin 2c

a βα，

∴2

cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+?

=

+?==

a c e 212

cos

21≥-=βα．

当且仅当βα=时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是)1,2

1

[∈e ． (2)在21F PF ?中，由余弦定理得：

?-+=60cos 2)2(222mn n m c

mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=

∵a n m 2=+，

∴mn a c 3442

2-=，即2223

4

)(34b c a mn =-=

． ∴2

3

360sin 2121b mn S F PF =?=

?． 即21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．

例20 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原

点)，求其离心率e 的取值范围．

分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是?

?

?==θθ

sin cos b y a x )0(>>b a ，

则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴

1cos sin cos sin -=-?a

a b a b θθθθ，

即0cos cos )(2

2

2

2

2

=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2

22

cos b

a b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112

2

2

<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022

<

a ，

∴22>

e ，又10<

2<

2

(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？

家校互动--致力于学生全面发展

戴氏课堂过手训练1

姓名：_____________ 得分：_____________ 1、

2、

3、

4、

学生总结：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________. 教师点评：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________.

自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0

6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;

数学练习题抽象函数(含答案)

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ， 当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成 立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0

高中数学专题：抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期

抽象函数练习题

抽象函数练习题 1.（08全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，， 2.（08四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 3.（08陕西卷11）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 4.（08重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是 ( ) (A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数 5.（08辽宁卷12）设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +??= ?+?? 的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8 6.（07天津）在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ） A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数 B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数 C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数 D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数

抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求 证：是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0

(1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >.

抽象函数的导数问题专题复习

抽象函数的导数问题 所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法： （1） 根据条件设法确定函数的单调性； （2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造 什么样的函数，一方面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数 【求导的四则运算】 法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±. 法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+g . 法则3 2()'()()()'()[]()() f x f x g x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有（ ） A.(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D . (0)(2)2(1)f f f +> 分析：这个题目的条件 (1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说： 由(1)'()0x f x -≥得：

（1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增； （2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减； 综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥， 得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C 【典型构造】 若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0xf x nf x +≥，可构造()()n F x x f x =，则1'()['()()]0n F x x xf x nf x -=+≥，若10n x ->，则()F x 单调递增； 例2、()f x 是R 上的可导函数，且'()+()0>f x f x ，21(0)1,(2)f f e ==，求(1)f 的值 分析：构造()()x F x e f x =，则'()('()())0x F x e f x f x =+≥，所以()F x 单调递增或为常函数，而0(0)(0)1F e f ==，2(2)(2)1F e f ==，所以()1F x =，故1(1)(1)1F e f ==，得1(1)f e = 例3、（07陕西理）()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ） A ．()()af b bf a ≤ B ．()()bf a af b ≤ C ．()()af a bf b ≤ ．()()bf b af a ≤ 分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，1()()f x g x x =或

人教版九年级上册(2018部编版)第三单元12《湖心亭看雪》课堂实录

《湖心亭看雪》课堂实录 导：2019.6.24日，杭州被正式列入《世界遗产名录》，在申遗文本中，西湖被称作是“中国传统文化精英的精神家园”，古往今来，西湖的山色湖光成就了多少文人墨客笔下的佳作名篇。我们一起来回味一下！ 幻：最爱湖东行不足，绿杨阴里白沙堤。——白居易 接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。——杨万里 欲把西湖比西子，浓妆淡抹总相宜。——苏轼 生齐读 师：回味这些诗句，诗人们笔下写尽了西湖春夏秋的绚丽妖娆，而张岱却另辟蹊径，别出心裁的给我们展示了冬日西湖的洁白一片。读一下标题 齐读标题。湖心亭在哪？杭州西湖。 幻：湖心亭位于西湖中，据说宋代整修西湖时，以湖泥堆成小岛，在山上建成亭阁，取名“湖心亭”。湖心亭四面环水，花柳相映，绿水盈盈环抱，青山苍苍遥峙，水色山光一片，这是观赏西湖风景的好地方，因常有文人墨客到此赏景。 朗读课文，整体感知1、师范读正字音。 幻：一、正字音 毳(cuì )衣雾凇(sōng )沆(hàng )砀（dàng） 打更(gēng) 铺毡(zhān) 生自由读，通文意。 二、辨词义 第一组：一小舟上下一白 第二组：是日更定是金陵人 第三组：上下一白强饮三大白而别 第四组：是日更定矣湖中焉得更有此人 生齐读，找文眼。请同学们在文中找出一个最恰当的子来评价张岱。 二、舟子眼中的张岱

师：用一个字来评价张岱。 生：痴。 师：这是谁眼中的张岱。 生：舟子。 师：能不能把舟子话中的这个“痴”的意思说的再明白一点？ 生：傻、呆、不可理解、奇怪。 师：舟子为什么这样评价他，从文章中找找原因。 幻：崇祯五年十二月，余住西湖。大雪三日，湖中人鸟声俱绝。是日更定，余挐一小船，拥毳衣炉火，独往湖心亭看雪。 生：不寻常的天气——大雪三日，湖中人鸟声俱绝。可谓是“千山鸟飞绝，万径人踪灭”。“拥毳衣炉火”说明天气寒冷啊，穿着皮衣还要生着炉火才能姑且避避寒冷。拥字说明已经瑟缩成一团了。 生：不寻常的时间——是日更定。古代人夜生活本来就不丰富，睡觉也早些，更何况天寒地冻的人们还不早点钻进被窝。 生：不寻常的方式——独往湖心亭看雪，没有呼朋引伴，没有结伴而行。 师：舟子实在不理解“相公”的古怪脾气，他大概一上船就在纳闷：这么冷的天，深更半夜，要到湖心亭，有什么可看的，真是个——————人啊！ 生：寻常呆古怪 三、金陵人眼中的张岱 师：可是没有想到的是，到了湖心亭，这里早有人捷足先登，正所谓“莫道君行早，更有早行人”！可想而知，这样的情况下二者相见，他们的心情会怎么样？ 幻：到亭上，有两人铺毡对坐，一童子烧酒炉正沸。见余，大喜曰:“湖中焉得更有此人!”拉余同饮。余强饮三大白而别。问其姓氏，是金陵人，客此。 生：金陵人很高兴。见余，大喜曰:“湖中焉得更有此人!”拉余同饮。余强饮三大白而别。

人教版高中数学抽象函数专题教师版

抽象函数 概念：没有给出具体的解析式的函数，我们称为抽象函数. 函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程.这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解. 常见的抽象函数的性质与对应的特殊模型的对照表：

一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]， （1）函数2 (1)f x +的定义域为 ； （2）函数(1)(1)y f x f x =++-的定义域为 。 解析：定义域指的是“自变量”(一个字母)的取值范围， （1）解不等式，2 212x -≤+≤，得11x -≤≤，[1,1]x ∈-； （2）解不等式组，212 212 x x -≤+≤?? -≤-≤?，得11x -≤≤，[1,1]x ∈-. 练习：已知函数()f x 的定义域是[0,2]， （1）函数(21)y f x =-的定义域为13[,]22 ； （2）函数11()()22y f x f x =++-的定义域为13[,]22 . 例2：已知函数()3log y f x =的定义域为[3,27]，则函数()y f x =的定义域为 . 解析：换元法，令3log t x =，因为327x ≤≤，3log t x =为增函数，所以33log 3log 27t ≤≤， ()y f t =，[1,3]t ∈，所以()y f x =，[1,3]x ∈. 练习：（1）已知函数()2log y f x =的定义域为[1,5]，则函数()y f x =的定义域为2[0,log 5]. （2）已知函数()43y f x =+的定义域为[2,7]，则函数()y f x =的定义域为[11,31]. 综合练习：已知函数(21)f x -的定义域为[0,1)，求函数(13)f x -的定义域. 解析：令21t x =-，因为01x ≤<，所以11t -≤<，所以()y f t =，[1,1)t ∈-； 解不等式1131x -≤-<得，203x <≤ ，所以函数(13)f x -的定义域为2(0,]3 .

抽象函数-题型大全(例题-含答案)Word版

高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的 方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+= --∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求 ()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3 31 1 ()f x x x x +=+ ，求()f x 解：∵2 2 2 11111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+ =++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴2 3 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则2 2 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

部编版初中语文《湖心亭看雪》教学设计

《湖心亭看雪》教学设计 一．熟读课文环节（方式：大声朗读，读通顺，读流畅） 今天我们来学习《湖心亭看雪》，作者张岱。 大家有没有预习过？（如果预习过，则马上进入自由朗读环节，如果没有，则先请大家浏览一遍全文，把不会读的字标识出来，我们一起正音。） 自由朗读课文，反复朗读。要求把课文读通顺，读流畅。 【检测】（检测朗读，请同学单独读，其他同学纠错，抽两三个同学。） 二．画面赏析环节（方式：轻声细读、慢读，想象画面感） 请同学们尽可能用轻微、缓慢、柔和的语速朗读。在朗读的过程中，请你尝试着想象文章描写到的一幅幅画面，身临其境地感受它，体味它。 当你突然感到有一幅画面或一个场景呼啦一声从你的脑海里跃出来，呈现在你的眼前的时候，请把这些文字用笔画出来。然后在旁边随意写一两句话。什么话都可以，不强求很专业的术语。 假如说觉得这个画面把你惊呆了，以至于实在说不出话来的时候，没关系，请在旁边写上这样一行字：：“你太美了，请停留一下！” 【交流】（包含朗读） 【提示】画面美得有些哀伤，孤独，淡愁。由这一幅画面引向张岱的生平，然后链接到《陶庵梦忆·三世藏书》 【过渡环节】《陶庵梦忆·三世藏书》→明亡清兴，对张岱整个家族都是一次重大的创伤。这给张岱留下了极其浓郁的心理阴影。于是，曾经那个出身仕宦世家，少年时爱繁华，好山水，晓音乐、戏曲，在明朝灭亡后明亡后逃到杭州隐居起来，不与外人交接，有

时候去找几个至交好友聊一聊曾经的繁华，有时候躲在房间里读读书，写写文章，或者只是发发呆，回味回味曾经的富贵繁华。冬天来了，大雪三日，外面人鸟声俱绝。晚上八点钟，张岱望了望窗外：哦，外面正好一个人都没有。那我就到外面去走走吧。 三．想象自己就是张岱（方式：无声朗读，想象自己就是张岱） 请同学们再一次朗读这篇文章。这一次朗读我提三个要求：第一，请在内心里朗读。请注意我的用词，这是与默读不同的。默读时，你可以大步流星、一目十行地浏览过去。而在内心里朗读，是有一个响亮的声音在你的脑海里、血管里来回激荡，缓慢但是有力量。第二，请你想象自己就是张岱。你慢慢地读下去，读下去，内心是有所起伏的，情感是有所波动的。第三，当你对某个场景或者句子有强烈的共鸣的时候，请把它画出来。然后体味张岱，也就是你自己，内心是怎么想的。 【交流】（穿插朗读） 【链接】《陶庵梦忆·序》 四．拟题目环节 现在假设你要写一篇关于《湖心亭看雪》的评论文章。当然以你现在的文学功底，恐怕还是相当有挑战性的。所以，我们不妨这样玩。我把这篇评论文章的副标题拟好，请你把正标题补上。我自己也拟了一个正标题。如果我感到你们的标题拟得比我的好，那么你们的文章我来代你们写。如何？（dunshiji）

抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴ lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=? --

专题 抽象函数的导数问题(教师)

专题抽象函数的导数问题(教师) https://www.doczj.com/doc/9e17676378.html,work Information Technology Company.2020YEAR

专题 抽象函数的导数问题 所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法： （1） 根据条件设法确定函数的单调性； （2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的 函数，一方面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数 【求导的四则运算】 法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±. 法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+ . 法则3 2()'()()()'()[]()() f x f x g x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足 (1)'()0x f x -≥，则必有（ ） A.(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D . (0)(2)2(1)f f f +> 分析：这个题目的条件 (1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说： 由(1)'()0x f x -≥得： （1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增； （2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减； 综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C 【典型构造】 若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增；

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有 f ()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。 2已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)

（1）若 （2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式. 13．已知函数的定义域为R，对任意实数都有 ，且，当时, >0. （1）求;（2）求和; （3）判断函数的单调性，并证明. 14．函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意,有>0；②对 任意,有；③. （1）求的值;（2）求证: 在R上是单调减函数; （3）若且，求证：. 15．已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. （1）证明:;（2）证明: 在R上单调递减; （3）设A=,B={},若=,试确定的取值范围. 16．已知函数是定义在R上的增函数,设F. （1）用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; （2）证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 17．已知函数是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线对称. （1）求的值；（2）证明：函数是周期函数; （3）若求当时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。 18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。 19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

部编版九年级上册语文《湖心亭看雪》背景、注释、译文、内容解析

部编版九年级上册语文《湖心亭看雪》背景、注释、译文、内容解析 湖心亭看雪 明代：张岱 原文 崇祯五年十二月，余住西湖。大雪三日，湖中人鸟声俱绝。是日更定矣，余拏一小舟，拥毳衣炉火，独往湖心亭看雪。雾凇沆砀，天与云与山与水，上下一白。湖上影子，惟长堤一痕、湖心亭一点、与余舟一芥、舟中人两三粒而已。(余拏一作：余挐) 到亭上，有两人铺毡对坐，一童子烧酒炉正沸。见余大喜曰：“湖中焉得更有此人？”拉余同饮。余强饮三大白而别。问其姓氏，是金陵人，客此。及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相公者！” 文言现象 词类活用 1.大雪三日大雪：名词活用作动词，下大雪。 2.是金陵人，客此。客：名词活用作动词，客居。 3.拥毳衣炉火炉火：名词活用作动词，带着炉火。

4.与余舟一芥芥：小草，这里名词活用作状语，像小草一样的微小。 古今异义 1. 余住西湖余：古义：我。（例：余住西湖）今义：剩下。 2. 余强饮三大白而别白：古义：名词，古代罚酒用的酒杯。(例如：余强饮三大白而别）今义：白色。 3.是日更定矣。是：古义：这。今义：判断词（与“非”相对） 一词多义 是：1.是日更定：这 2.问其姓氏，是金陵人：判断动词，是 更：1.是日更定：古代夜间的计时单位，音gēng 2.湖中焉得更有此人：还，音gèng 白：1.上下一白：白色 2.余强饮三大白而别：古时罚酒用的，泛指酒杯。 大：1.见余大喜：非常 2.余强饮三大白而别：大 余：1.余住西湖：我，指作者

2.江干上下十余里间：多 通假字 挐：通“桡”，撑(船)、划 相关习题 1.“独往湖心亭看雪”中“独”字如何理解？ 答：“独”字充分体现了作者遗世独立的高洁情怀和不随流俗的生活方式，表现他孤高自赏、自命清高、洁身自好，不与俗人为伍的孤独。在他眼里，舟子等人不是他的知音，不会理解他来湖心亭的心情。 2.作者写及此文时，清朝已建立二三十年，但作者仍采用明朝崇祯的年号，有何意义？ 答：含蓄地表达了作者的故国之思。 3.“大雪三日，湖中人鸟声俱绝。”一句写出了什么意境？此句在全文结构上有何作用？ 答：路无行人，天无飞鸟，天寒地冻。万籁俱寂的意境。为下文“独往湖心亭看雪”作铺垫。 4.结尾用舟子的话收束全文，有何用意？ 答：舟子说作者“痴”，体现了俗人之见，他痴迷于天人合一的山水之乐，痴迷于世俗之外的雅情雅致。

高考数学 抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法， 此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3 31 1 ()f x x x x +=+ ，求()f x 解：∵2 2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+ =++-又∵11||||1|| x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=?? =?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0 ()lg(1),0x x f x x x +≥?=?--