卓越文化教育个性化教案
授课教师 陈老师
学 科
数学
年 级 高二
授课日期
2014年6月29日
学生姓名
教学主题
立体几何中垂直与求体积问题
知识点归纳：
一、立体几何垂直关系
1线面垂直定义：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面相互垂直，其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足； 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α
2直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
3直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
4三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直。
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）推理模式： ,,P O O P A A a P A
a a O A αααα⊥∈?
?
=?⊥???⊥?
5．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式： ,,P O O P A A a A O a a A P αααα⊥∈?
?
=?⊥???⊥?
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a. 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理
a
P
α
O
A
⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用
6两个平面垂直的定义：
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面
7．两平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 推理模式：a α?，a β⊥?αβ⊥．
8．两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式： ,,,l a a l αβαβα⊥=⊥? a β?⊥
9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：
①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直
*立体几何垂直大题小结:
1、有关异面直线垂直的问题，除了用定义法外，还常常借助三垂线定理，转化为同一平面内的直线的垂直问题来处理或在两直线上分别取它们的方向向量，然后证它们的数量积为0
2、证明直线和平面垂直我们可以用定义法，即证明直线与平面内的任一条直线垂直，但常用的还是线面垂直的判定定理，证明直线垂直于平面内的两条相交直线，当然再证这直线（这平面）与已知直线（或平面）重合，有时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题，也许会给你带来意想不到的收获
3、面面垂直的问题一般转化为线面垂直的问题来解决，如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线
用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0
例题解析：
例1在正方体1111D C B A ABCD 中， 求证：1DB 是平面
1ACD
的法向量．
例2 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC
A B C O E
P
例3 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C
例4 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点
（1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1
例5 如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 平面PBC ．
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
O P
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1x
z
y
二、立体几何大题中有关体积的求法
1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点
2、求点到平面的距离通常有四种方法
(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长
(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离
(3)体积法（or等体积法）
(4)向量法
例题分析：
例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q是P A 的中点
求(1)Q到BD的距离；
(2)P到平面BQD的距离
H
E
Q
P
D
C B A
例2． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. .
例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求
(1)截面EAC 的面积；
(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积
B
A
C
D
O
G
H 1
A 1
C 1D
1
B 1O
E D 1C 1
B 1
A 1
D
C B
A
三、立体几何中垂直与求体积综合练习题：
例1：在四面体D-ABC 中，AB=BC ，在侧面DAC 中，中线AN ⊥中线DM ， 且 DB ⊥AN.
（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D-ABC 的体积.
例2: 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点.
（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC;
（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
B 1 C
B
A D
C 1
A 1
例3、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o
（Ⅰ）证明：AB ⊥PC
（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。
。