2020年中考数学一轮复习——二次函数的图象及性质
一、选择题
1.(2019·河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为( ) A .－2 B .－4 C .2 D .4
2.(2019·兰州)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )
A .2＞y 1＞y 2
B .2＞y 2＞y 1
C .y 1＞y 2＞2
D .y 2＞y 1＞2
3.(2019·湖州)已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1
＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能是( )
4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n)x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( )
A .m ＝57，n ＝－18
7 B .m ＝5，n ＝－6
C .m ＝－1，n ＝6
D .m ＝1，n ＝－2
5.四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )
A .甲
B .乙
C .丙
D .丁
6.(2019·巴中)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a ＋b －c ＞0，④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的是( )
A .①④
B .②④
C .②③
D .①②③④ 二、填空题
7.某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可).
8.将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h)2＋k 的形式为 .
9.(2019·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x 的一元二次方程a (x －1)2＋c ＝b －bx 的解是 .
10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点
A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点
B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .
三、解答题
11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－1
2x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于
点A ，B(点A 在点B 的左侧).
(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；
(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值.
12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y ＝1
3x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)，B(5,0).
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；
(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.
13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由.
(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.
(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.
14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y＝ax2－2ax(a＞
0)交x轴正半轴于点C，连结AO，AB.
(1)求点C的坐标和直线AB的表达式；
(2)设抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)分别交边BA，BA延长线于点D，E.
①若AE＝3AO，求抛物线表达式；
②若△CDB与△BOA相似，则a的值为.(请直接写出答案)
参考答案
一、选择题
1.(2019·河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为( B ) A .－2 B .－4 C .2 D .4
2.(2019·兰州)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( A )
A .2＞y 1＞y 2
B .2＞y 2＞y 1
C .y 1＞y 2＞2
D .y 2＞y 1＞2
3.(2019·湖州)已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1
＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能是( D )
4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n)x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( D )
A .m ＝57，n ＝－18
7 B .m ＝5，n ＝－6
C .m ＝－1，n ＝6
D .m ＝1，n ＝－2
5.四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；
乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( B )
A .甲
B .乙
C .丙
D .丁
6.(2019·巴中)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a ＋b －c ＞0，④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的是( A )
A .①④
B .②④
C .②③
D .①②③④ 二、填空题
7.某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y ＝x 2(答案不唯一) (只要写出一个符合题意的答案即可).
8.将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h)2＋k 的形式为 y ＝(x －2)2＋1 .
9.(2019·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x 的一元二次方程a (x －1)2＋c ＝b －bx 的解是 x 1＝－2，x 2＝5 .
10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点
A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点
B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 2 .
三、解答题
11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－1
2x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于
点A ，B(点A 在点B 的左侧).
(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；
(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值.
解：(1)A(－2,0)，B(6,0)，由函数图象得，当y ≥0时，－2≤x ≤6；
(2)由题意得，B 1(6，m)，B 2(6－n ，m)，B 3(－n ，m)，函数图象的对称轴为直线x ＝2，∵点B 2，B 3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n ＋(－n)2＝2，∴n ＝1，∴m ＝－1
2×(－
1)2＋2×(－1)＋6＝72，∴m ，n 的值分别为7
2
，1.
12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y ＝1
3x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)，B(5,0).
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；
(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.
解：(1)函数的表达式为：
y ＝13(x ＋1)(x －5)＝13(x 2－4x －5)＝13x 2－43x －5
3
，点M 坐标为(2，－3)； (2)当x ＝8时，y ＝13(x ＋1)(x －5)＝9，即点C(8,9)，S 四边形AMBC ＝12AB(y C －y M )＝12×6×(9
＋3)＝36.
13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0). (1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.
(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.
(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.
解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a [－(a ＋b )]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b )2≥0，∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个；
(2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b )＝0，∴抛物线不经过点C ，把点A(－1,4)，B(0，－1)分别代入得
?????4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ）， 解得?
????a ＝3，
b ＝－2， ∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1；
(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b )＝3a ＋b ＞0①，∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②， ①②相加得：2a ＞0，∴a ＞0.
14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB.
(1)求点C 的坐标和直线AB 的表达式；
(2)设抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E. ①若AE ＝3AO ，求抛物线表达式；
②若△CDB 与△BOA 相似，则a 的值为 .(请直接写出答案)
解：(1)∵x ＝－
b
2a
＝1，∵O ，C 两点关于直线x ＝1对称，∴C(2,0)，设直线AB ：y ＝k x ＋b ，把A(1,2)，B(5,0)代入得y ＝－12x ＋5
2
；
(2)①∵A(1,2)，B(5,0)，O(0,0)，∴OA ＝5，OB ＝5，AB ＝25，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，∴∠OAB ＝90°，∴∠OAE ＝90°，作EF ⊥AF ，AG ⊥x 轴，∵∠FEA ＝∠OAG ，∠F ＝∠AGO ＝90°，∴△EAF ∽△AOG ，∴EF AG ＝AF OG ＝3，∴E(－5,5)，代入解析式可得，a ＝17，∴y ＝
1
7x 2－2
7
x ；
②若△CDB 与△BOA 相似，CD AO ＝BD AB ＝BC BO ，∴CD 5＝BD 25＝35，∴D(135，6
5)，代入解析
式可得a ＝10
13.