山东省潍坊市12月高三数学试题
一、单项选择题
1．已知集合2
{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）
A ．(,3]-∞
B ．(,2)-∞
C ．(,1)-∞
D ．[2,1)-
2．函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，e ）
C ．（e ，3）
D ．（3，+∞）
3．已知sin θ+sin （θ+）＝1，则sin （θ+
）＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数()3sin x x
x x f x e e -+=+的图象大致是 ( )
6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有( )种． A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
7．已知1()x x e f x e a
-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为（ ）
A ．(2,6)-
B ．(6,2)-
C ．(4,3)-
D ．(3,4)-
8．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的
取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（kg ）情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（kg ）情况如图（2）．
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在[90,100)内的肥胖者增加了2名 B ．他们健身后，体重在[100,110)内的人数没有改变
C ．因为体重在[100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D ．他们健身后，原来体重在[110,120)内的肥胖者体重都有减少
10．将函数()sin 33cos31f x x x =-+的图像向左平移
π
6
个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于函数()g x 的结论：①它的图像关于直线5π9x =
对称；②它的最小正周期为2π3
；③它的图像关于点11π(,1)18对称；④它在5π19π
[,]39
上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=
B ．1b a -=
C ．2
8lg 2ab >
D ．lg 6b a ->
12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =
，
11112AA BB CC DD ====，则下列叙述正确的是（ ）
A ．该四棱台的高为3
B ．11AA C
C ⊥ C ．该四棱台的表面积为26
D ．该四棱台外接球的表面积为16π
三、填空题
13．已知函数21()2,0
()34log ,0
x
x x f x x x ?-≤?=??-+>?，则((8))f f = ．
14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差
()D X = ．
15．已知0a >，0b >，且2a b +=，则
51
5a b
+的最小值是 ． 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1
AA 的中点，平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则
1DG
DD = ，1
AH
HC = ． 四、解答题
17．（10分）在①cos 23sin 20B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A
=这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答．
已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由．
18．（12分）如图（1），平面四边形ABCD 中，2AB AC ==，AB AC ⊥，AC CD ⊥，E
为BC 的中点．将ACD △沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图（2）的三棱锥D ABC -．
（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为
π
4
，求三棱锥的体积．
19．（12分）如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，
(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；
(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F.设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、
乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π
3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．
20．（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1
-分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：
（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面22
?列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；
（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率．
①求X的分布列和数学期望；
②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ?是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；
(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.
22．（12分）已知函数()ln x
f x ae x =，其中 2.71828
e =是自然对数的底数，
2()ln g x x x a =+，0a >．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、单项选择题 1．A
2．A 解：函数f （x ）＝lnx ﹣+1在x ＞0时，是连续增函数，∵f （1）＝ln （1）﹣2+1＝﹣1＜0，而f （2）＝ln 2﹣1+1＞ln 2＞0，∴函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在区间是 （1，2）， 3．B 4.B 5．A 6．C 7．C
【解析】因为1()x x e f x e a
-=+是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，
即11101e e e a a
e
--+=++，解得1a =，即
12()111x
x x e f x e e -==-++，故()f x 在R 上为增函数， 又2
(3)(9)f x f x -<-，所以239x x -<-，解得43x -<<，故选C ． 8．D
二、多项选择题 9．ABD
10．BC 【解析】因为π()sin 33cos312sin(3)13
f x x x x =-+=-+，
所以πππ()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x =+-+=++．令ππ
3π()62
x k k +
=+∈Z ，得ππ()39k x k =
+∈Z ，所以直线5π
9x =不是()g x 图像的对称轴，①错误；最小正周期2π2π3
T ω
=
=
，②正确；令π3π()6x k k +=∈Z ，得ππ()318k x k =-∈Z ，取2k =，得11π
18x =，
故函数()g x 的图像关于点11π
(
,1)18
对称，③正确； 令πππ2π32π262k x k -
≤+≤+，k ∈Z ，得2π2π2ππ3939
k k x -≤≤+，k ∈Z ， 取2k =，得
10π13π99x ≤≤；取3k =，得16π19π
99
x ≤≤，所以④错误，故选BC ． 11．ACD
【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，
则lg1002a b +==，25
lg lg 64
b a -=>，24lg 2lg54lg 2lg 48lg 2ab =?>?=，故选ACD ． 12．AD
【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥P ABCD -，并取E ，1E 分别为BC ，11B C 的中点， 连接AC ，BD ，11AC ，11B D ，1A O ，OE ，OP ，PE ，记四棱台上、下底面中心分别为1O ，
O ，由条件知1A ，1B ，1C ，1D 分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，
则124PA AA ==，2OA =，所以22111
322
OO PO PA OA ==-= 3，故A 正确；
由4PA PC ==，4AC =，得PAC △为正三角形，则1AA 与1CC 所成角为60?，故B 不正确； 四棱台的斜高222211114
(23)(2)2222
h PE PO OE '=
=+=+=， 所以该四棱台的表面积为2
2
22214
(22)(2)4106722
++?=+C 不正确； 易知11110OA OB OC OD ====22112A O O OA OB OC OD +=====，
所以O 为四棱台外接球的球心，
所以外接球的半径为2，外接球表面积为2
4π216π?=，故D 正确． 三、填空题 13．5
【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以1
1((8))(1)()253
f f f -=-=+=．
14．47.5
【解析】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，()10000.95(10.95)47.5D X =??-=． 15．
185
【解析】因为2a b +=，所以
511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++． 因为0a >，0b >，所以525b a a b +≥（当且仅当53a =，13
b =时，等号成立）， 所以5112618
(2)3255a b +
≥?+=． 16．16，38
【解析】如图，G 为平面BEF 与1DD 的交点，连接GE ，EF ． 易证BF ∥平面11CDD C ，则BF GE ∥，则AFB DGE △△∽，
则AF DG AB DE =，即
12DG DE =，又2CE DE =，所以1
16DG DD =． 连接1AC ，连接AC 交BE 于点M ，过点M 作1MN CC ∥，MN 与1AC 交于点N ， 连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，
因为AB CE ∥，所以
32AM AB MC CE ==，所以1
32AN AM NC MC ==， 所以
135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故1
3
8AH HC =． 四、解答题
17．【解析】选①．∵2cos 212sin B B =-，∴22sin 330B B +-=， 即(2sin 3)(sin 3)0B B +=，解得sin 3B =-（舍去）或3
sin B =
， ∵0πB <<，∴π3B =
或2π3
B =． 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴b 不是三角形中最大的边，∴π
3
B =
， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形． 选②．由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，
即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理，得2cos sin sin 0B C C -=， ∵0πC <<，∴sin 0C >，∴1
cos 2B =
，∵0πB <<，∴π3
B =， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，故AB
C △是等边三角形． 选③．由正弦定理，得
sin sin 3sin B A A
=．∵sin 0A ≠，∴3cos 1B B -=，即π1sin()62B -=，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<，∴ππ66
B -=，得π
3B =．由余弦定理
2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形．
18．（1）证明见解析；（2）
6
6
． 【解析】（1）在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，AC
BC C =，所以CD ⊥平面ABC ，
又AE ?平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥， 又BC
CD C =，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ?平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD ．
（2）略
19．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100. 在△ABC 中，cos B
＝
BC AB ＝12，所以B ＝π
3
(2)
分 在△BDE 中，由余弦定理得DE 2
＝BD 2
＋BE 2
－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002
－2×300×100×12＝
70 000，所以DE ＝1007……6分
(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.
在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos ∠CEF ＝2y cos θ. .…………………………………8分 在△BDE 中，由正弦定理得BE
sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝y sin 60°
，……10分
所以y ＝
1003
3cos θ＋sin θ＝503sin ?
????θ＋π3，0＜θ＜π2，.…………………………10分
所以当θ＝π
6
时，y 有最小值50 3.…………12分
20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得
22
(5015305)100100 6.6358020554511
K ?-??==>???，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．
（2）①由题意可知，X 的所有可能取值为1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X 的分布列为
所以数学期望()10.800.1(1)0.10.7E X =?+?+-?=．
②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为27，30，36，所以Y 的分布列为
所以()270.4300.4360.230E Y =?+?+?=． 所以商家每天能获得的平均积分为300.721?=，
商家一年能获得的积分为21365766510000?=<， 所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为
361030202720
3050
?+?+?=，
所以商家每天能获得的平均积分为300.721?=， 商家一年能获得的积分为21365766510000?=<． 所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 21．（Ⅰ）证明：
ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，
平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ?平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ……2分 则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ?=，PB ∴⊥平面PAD ，………4分
而PB ?平面PBC ，
平面PAD ⊥平面PBC ；……6分
（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，………7分
由2AP AD ==，APB ?是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：
()()()
220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,1A D B M ??-- ? ?
??， ………………………8分
23223222
,,1,,,1,,,12222MA MD MB ??????=---=--=-- ? ? ? ? ? ???????
． 设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =， 由232
02320m MA x y z m MD x y z ?
?=---=???
??=--+=??
，取1y =，得()3,1,0m =
-；…………………9分
设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =， 由232
0220n MD x y z n MB x y z ?
?=--+=???
??=-+-=??
，取x 1=，得()
1,-1,-2=n .…………………11分
1cos 50
,?∴=
=-?m n m n m n
………………………13分
∴二面角A MD B --的余弦值为
10
．………………………12分 22．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；（2）1
[,)e
+∞．
【解析】（1）因为()ln x f x ae x =，所以1()(ln )x f x ae x x
'=+，(0,)x ∈+∞．
令1()ln k x x x =+
，则21()x k x x
-'=， 当(0,1)x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调
递增，所以()(1)10k x k ≥=>．
又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，则()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增． （2）由()0h x >，得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+，
所以ln ln ln()x x x x x x a ae x ae ae ae <+=，即ln()ln x x
ae x ae x
>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设ln ()x H x x
=
，则2
1ln ()x
H x x -'=． 当(0,1)x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，
且当(1,)x ∈+∞时，()0H x >；当(0,1)x ∈时，()0H x <， 若1x ae x ≥>，则()0()x
H ae H x ≥>，
若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以x ae x >． 综上可知，x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x
x
a e >
对任意(0,1)x ∈恒成立． 设()x x
G x e =，(0,1)x ∈， 则1()x x
G x e
-'=，所以()G x 在(0,1)上单调递增，
所以1
()(1)G x G a e
<=≤，
即实数a 的取值范围为1
[,)e
+∞．