人教版2018高中三年级数学二轮复习专题(18)含参数不等式恒成立与存在性问题
由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题,一直是高考数学考试的重点和难点。通过对近几年高考数学试题的研究,我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现,所涉及的知识点内容覆盖面广,其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。下面就对这类问题进行详细的归类、归法,构建知识体系,希望对同学们有所帮助。
一、在不等式恒成立的条件下,求参数的取值范围问题
在不等式恒成立条件下求参数的取值范围,一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解,方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式. 类型1:对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=,则有:
(1)如果()0
()0()0f m f x f n >?>??
>?
恒成立;
(2)如果()0
()0()0
f m f x f n ?
例1、若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围. 解:我们可以用改变主元的办法,将m 视为主元,原不等式化为:0)12()1(2<---x x m , 令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)( ?<<-0 )2(0 )2(f f 即?????<---<----0 )12()1(20)12()1(22 2 x x x x ,所以x 的范围是)231,271(++-∈x . 说明:在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x 看成是主元(未知数),而把另一个变量a 看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。 类型2:设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,R x ∈ (1)R x x f ∈>在0)(上恒成立00>?且a ; (2)R x x f ∈<在0)(上恒成立00 例2、已知关于x 的不等式2 210mx mx ++>对任意x R ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 解:当0m =时,原不等式化为10>显然成立; 当0m ≠时,则需要满足条件:2 01440 m m m m >??<?=-; 综上,实数m 的取值范围是[0,1). 类型3:设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x (1)当0>a 时,如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>- ?????≤-≤?????><-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或; 当0>a 时,如果],[0)(βα∈ ??<0)(0 )(βαf f . (2)当0x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ; ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或. 例3、若[]2,2x ∈-时,不等式2 3x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设()2 3f x x ax a =++-,则问题转化为当[]2,2x ∈-时,()f x 的最小值非负。 (1) 当22a - <-即:4a >时,()()min 2730f x f a =-=-≥,7 3 a ∴≤又4a >所以a 不存在; (2) 当222a -≤≤即:44a -≤≤时,()2min 3024a a f x f a ?? =-=--≥ ??? 62a ∴-≤≤,又44a -≤≤,42a ∴-≤≤ (3) 当22 a ->即:4a <-时,()()min 270f x f a ==+≥,7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 综上所得:72a -≤≤ 说明:在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 类型4、若函数()f x 在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ,则: ①不等式()f x a >在区间D 上恒成立min ()f x a ?>; ②不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立min ()f x a ?≥; ③不等式()f x b <在区间D 上恒成立max ()f x b ?<; ④不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立max ()f x b ?≤; 例4、已知函数()lg 2a f x x x ?? =+- ??? ,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。 解:根据题意得:21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即:23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立, 设()2 3f x x x =-+,则()2 3924f x x ??=--+ ?? ? 当2x =时,()max 2f x =所以2a >. 说明:在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出 ()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最 值。 变式:已知(],1x ∈-∞时,不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。 解:令2x t =,(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈所以原不等式可化为:2 2 1 t a a t +-< , 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立,只须求出()21 t f t t += 在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()2 2 211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ????? 11,2 t ?? ∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-<13 22 a ∴-<< 说明:在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若()()f a g x ≥恒成立,只须求出()max g x ,则()()max f a g x ≥,然后解不等式求出参数a 的取值范围;若()()f a g x ≤恒成立,只须求出()min g x ,则()()m i n f a g x ≤,然后解不等式求出参数a 的 取值范围,问题还是转化为函数求最值。 类型5、若函数()f x 在区间D 上不存在最大(小)值,且值域为(,)m n ,则: ①不等式()f x a >(或()f x a ≥)在区间D 上恒成立m a ?≥; ②不等式()f x b <(或()f x b ≤)在区间D 上恒成立n b ?≤; 例5、当1 ,33x ??∈ ??? 时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围。 解:因为1log 1a x -<< 当1a >时,1x a a <<,则问题转化为11(,3)(,)3a a ?,所以3 3113 a a a ≥?? ?≥?≤??; 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则; 5.若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数(或)在R 上恒成立,则有(或); ②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???00 a ??2 ()(0)0f x ax bx c a =++≠>0< 高中数学不等式的恒成立问题 高三数学备课组 肖英文 2011-11-23 不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式:一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解决,下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 题型一:构造函数法(利用一次函数的性质) 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.例如; 类型1:对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有: ()0f x >?恒成立(ⅰ)???>>0)(0m f a ,或(ⅱ)???><0)(0n f a ;亦可合并定成???>>0)(0 )(n f m f ; ()0 ()0()0f m f x f n ? 恒成立 例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2 +ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。 分析:在不等式中出现了两个字母:x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。 解:原不等式转化为(x-1)a+x 2 -2x+1>0, 设f(a)= (x-1)a+x 2 -2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有: ?? ?>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0 10 3422 x x x 解得:???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 引申:在不等式中出现3个字母:m 、x 、a 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1a b ∈-,0a b +≠,有 ()()0f a f b a b +>+, (1)证明()f x 在[]1,1-上的单调性;(2)若2 ()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立,求m 的取值范围。 分析:第一问是利用定义来证明函数的单调性,第二问中出现了3个字母,最终求的是m 的范围,所以根据上式将m 当作变量,a 作为常量,而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值 即可。 (1) 简证:任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <,则[]21,1x -∈- 1212 ()() 0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又 ()f x 是奇函数 ()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。 (2) 解: 2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,即 2max 21m am f -+≥, max (1)1f f == 22211 20m am m am ∴-+≥∴-≥ 即2 ()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。(1)120(1)120g a g a -=+≥?∴?=-≥? 1212 a a ?≤-??∴??≤?? 1122 a ∴-≤≤。 例2.已知不等式 对任意的都成立,求的取值范围. 解:由移项得: .不等式左侧与二次函数非常相 似,于是我们可以设 则不等式 对满足 的一切实数 恒成立 对 恒成立.当 时, 即 解得故的取值范围是. 评注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,令 则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒 为负的问题,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 题型二:分离参数法 类型1:αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立. max ()f x α?< 类型2:)()(x g x f >对于任意的],[b a x ∈恒成立?min max ()()f x g x >,或)(x f 在 高一数学中的恒成立问题 班级 姓名 学号 1.任意x R ∈,不等式()()222240a x a x ----<恒成立,则a 的范围是____(]2,2-___. 2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立,则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.2 1 2+ D.22+1 . B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2. 3.不等式() ()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立,则实数m 的范围为______. 【解】当2 10m -≠时不等式恒成立的充要条件是2 10m ->且()()22411210m m ---<, 即m>1或m<-2;当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U (,),+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ,则使不等式 m y x ≥+4 1恒成立的实数m 的取值 范围是 ]4 9,(-∞ 5.已知不等式(x+y)(1x + a y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6、若对于一切正实数x 不等式x x 2 24+>a 恒成立,则实数a 的取值范围是 a<24 7.若不等式.2 log 0m x x -<在(0, 1 2 )的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是____. 【解】 1 116 m ≤< 提示:利用数形结合讨论0 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为: ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ ;⑥ ; ⑦ ;⑧ ; 注意:特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ,则ab b a ≥+2 (当且仅当b a =时取等号) 基本变形:①≥+b a ;≥+2)2 (b a ;②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,,则ab b a 222≥+,222)2(2b a b a +≥+;④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当p ab =(常数),当且仅当 时, ; 当S b a =+(常数),当且仅当 时, ; 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号) 三、绝对值不等式: ≤ ≤ ≤ 注意:?+<+||||||b a b a ; ?+=+||||||b a b a ; ?+<-||||||b a b a ;?+=-||||||b a b a ; ?+<-||||||b a b a ;?+=-||||||b a b a ; ?-<-||||||b a b a ;?-=-||||||b a b a ; 四、常用的基本不等式: (1)设R b a ∈,,则0)(,022≥-≥b a a (当且仅当 时取等号) (2)a a ≥||(当且仅当 时取等号);a a -≥||(当且仅当 时取等号) (3)若0,0>>b a ,则2233ab b a b a +≥+; (4)若R c b a ∈,,,则ca bc ab c b a ++≥++222 (5)若R c b a ∈,,,则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ (6)柯西不等式:设R b b a a ∈2121,,,,则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意:可从向量的角度理解:设),(),,(2121b b b a a a ==,则222)(b a b a ≤? (7)b a ab b a 110, >>;?R m b a ,0,,若1a b ,则m a m b a b ++>; 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:①作差比较:B A B A ≤?≤-0;②作商比较: B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤: (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 (2)变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?() f x 的 下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界 小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例恒成立,试求实数a 的取值范围; 例数,且当 ? ?? ? ?∈2,0πθ时,有 f . 例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2例 例恒成立,求实数x 的取值范围 例若不等式2 ()1 f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞, 都成立,求实数x 的取值范围.(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
高中数学恒成立与存在性问题
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