北京梦飞翔教育个性化辅导教案
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函数的单调性
(二)考点分析
考点1 函数的单调性
题型1:讨论函数的单调性
例1. 求函数2
0.7log (32)y x x =-+的单调区间;
例2. 判断函数f(x)=12
-x 在定义域上的单调性.
例3.设0a >,()x x
e a
f x a e =
+是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.
题型2:研究抽象函数的单调性
例1.定义在R 上的函数)(x f y =,0)0(≠f ,当x >0时,1)(>x f ,且对任意的a 、b ∈R ,有f (a +b )=f (a )·f (b )。(1)求证:f (0)=1;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0;
(3)求证:f (x )是R 上的增函数;(4)若f (x )·f (2x -x 2
)>1,求x 的取值范围.
例2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=,
(1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2
(21)2f x -<.
题型3:函数的单调性的应用
例1.若函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a 的取值范围是______ 例2.已知函数1
()2
ax f x x +=
+在区间()2,-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围_____
考点2 函数的值域(最值)的求法
题型1:求分式函数的最值
例1.(2007上海)已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当2
1
=a 时,求函数)(x f 的最小值。
题型2:利用函数的最值求参数的取值范围
例2.(2008广东)已知函数x
a
x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a
的取值范围。
课后作业:
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( ) A .y =2x +1 B .y =3x 2+1 C .y =2
x
D .y =|x |
2.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )
A .y =x 2+1
B .y =|x |+1
C .y =????? 2x +1,x ≥0,x 3+1,x <0
D .y =?
????
e x ,x ≥0,
e -x ,x <0
3.(2010·北京)给定函数①y =x 1
2;②y =log 12
(x +1);③y =|x -1|;④y =2x +
1,其中在区间(0,1)上单调递减的
函数的序号是( )
A .①②
B .②③
C .③④
D .①④
※4.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,如果x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( )
A .恒小于0
B .恒大于0
C .可能为0
D .可正可负
5.若函数f (x )=|log a x |(0 7.函数f (x )=ax +1 x +2在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数a 的取值范围. 函数的单调性 (一)知识梳理 1、函数的单调性定义: 设函数)(x f y =的定义域为A ,区间A I ?,如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有 )()(21x f x f <,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数,I 称为)(x f y =的单调增区间;如果对于区 间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数,I 称为)(x f y =的单调减区间。 如果用导数的语言来,那就是:设函数)(x f y =,如果在某区间I 上0)(>'x f ,那么)(x f 为区间I 上的增函数;如果在某区间I 上0)(<'x f ,那么)(x f 为区间I 上的减函数; 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间(,)a b 内,若总有()0f x '>,则()f x 为增函数;反之,若()f x 在区间(,)a b 内为增函数,则()0f x '≥, (2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意(0b y ax a x =+ > 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为(,)-∞+∞,减区间为 [. (3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减 (4)若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数(减函数),那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数(减 函数)。 3、单调性的说明: (1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的1x ,2x 有三个特征:一是任意性;二是大小,即)(2121x x x x <<;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数x y 1 =分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的,只能说函数x y 1 =的单调 递减区间为)0,(-∞和),0(+∞。 4、函数的最大(小)值 设函数)(x f y =的定义域为A ,如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≤恒成立,那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值;如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≥恒成立,那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。 (二)考点分析 考点1 函数的单调性 题型1:讨论函数的单调性 例1.(1)求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间; 解:(1)单调减区间为:(2,),+∞单调增区间为(,1)-∞, 例2. 判断函数f(x)=12 -x 在定义域上的单调性. 解: 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)= 12 -x , 可分解成两个简单函数. f(x)=)(,)(x u x u =x 2 -1的形式.当x ≥1时,u(x)为增函数,)(x u 为增函数. ∴f (x )=12 -x 在[1,+∞)上为增函数.当x ≤-1时,u (x)为减函数,)(x u 为减函数, ∴f(x)=12 -x 在(-∞,-1]上为减函数. 例3.设0a >,()x x e a f x a e = +是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数. 解:(1)依题意,对一切x R ∈,有()()f x f x -=,即1x x x x e a ae ae a e += + ∴11()()x x a e a e -- 0=对一切x R ∈成立,则1 0a a -=,∴1a =±,∵0a >,∴1a =. (2)设120x x <<,则1212 1211()()x x x x f x f x e e e e -=-+- 21 21 121 12 2111()( 1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e +-++-=--=-, 由12210,0,0x x x x >>->,得21 120,10x x x x e -+>->,2110x x e +-<, ∴12()()0f x f x -<, 即12()()f x f x <,∴()f x 在(0,)+∞上为增函数. 题型2:研究抽象函数的单调性 例1.定义在R 上的函数)(x f y =,0)0(≠f ,当x >0时,1)(>x f ,且对任意的a 、b ∈R ,有f (a +b )=f (a )·f (b )。(1)求证:f (0)=1;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0; (3)求证:f (x )是R 上的增函数;(4)若f (x )·f (2x -x 2 )>1,求x 的取值范围. [解析](1)证明:令a =b =0,则f (0)=f 2 (0).又f (0)≠0,∴f (0)=1. (2)证明:当x <0时,-x >0,∴f (0)=f (x )·f (-x )=1. ∴f (-x )= ) (1 x f >0.又x ≥0时f (x )≥1>0,∴x ∈R 时,恒有f (x )>0. (3)证明:设x 1<x 2,则x 2-x 1>0.∴f (x 2)=f (x 2-x 1+x 1)=f (x 2-x 1)·f (x 1). ∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)>1.又f (x 1)>0,∴f (x 2-x 1)·f (x 1)>f (x 1). ∴f (x 2)>f (x 1).∴f (x )是R 上的增函数. (4)解:由f (x )·f (2x -x 2)>1,f (0)=1得f (3x -x 2 )>f (0).又f (x )是R 上的增函数, ∴3x -x 2 >0.∴0<x <3. 例2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=, (1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2 (21)2f x -<. 解:(1)令121x x ==,得(1)2(1)f f =,∴(1)0f =,令121x x ==-,得∴(1)0f -=, ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=,∴()f x 是偶函数. (2)设210x x >>,则 221111()()()()x f x f x f x f x x -=? -221111 ()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>,∴ 211x x >,∴21 ()x f x 0>,即21()()0f x f x ->,∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数. (3) (2)1f =,∴(4)(2)(2)2f f f =+=, ∵()f x 是偶函数∴不等式2 (21)2f x -<可化为2 (|21|)(4)f x f -<, 又∵函数在(0,)+∞上是增函数,∴2 |21|4x -<,解得:x <<, 即不等式的解集为(. 题型3:函数的单调性的应用 例1.若函数2)1(2)(2 +-+=x a x x f 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a 的取值范围是______(答: 3-≤a )); 例2.已知函数1()2ax f x x += +在区间()2,-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围_____(答:1 (,)2 +∞); ※例3.函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数,求a 的取值范围. 分析:由函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息:①对任意的121,x x ≤<总有 12()()f x f x <;②当1x ≥时,80a x x +->恒成立. 解:∵函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数,∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <,即 919212 log (8)log (8)a a x x x x +- <+-,得 121288a a x x x x +- <+-,即1212 ()(1)0a x x x x -+<, ∵120x x -<,∴1210,a x x + > 12 1,a x x >- 12a x x >-, ∵211x x >≥,∴要使12a x x >-恒成立, a ≥-1; 又∵函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数,∴180a +->, 即9a <,综上a 的取值范围为[1,9)-. 另解:(用导数求解)令()8a g x x x =+- ,函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数, ∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数,2()1a g x x '=+, ∴180a +->,且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立,得19a -≤<. 考点2 函数的值域(最值)的求法 求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。※(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。※(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。 题型1:求分式函数的最值 例1.(2007上海)已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当2 1 =a 时,求函数)(x f 的最小值。 [解析]当21= a 时,221 1)(',221)(x x f x x x f -=++= 1≥x ,∴0)(>'x f 。∴)(x f 在区间),1[+∞上为增函数。 ∴)(x f 在区间),1[+∞上的最小值为2 7 )1(= f 。 题型2:利用函数的最值求参数的取值范围 例2.(2008广东)已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a 的取值范围。 [解析] 02)(2>++= x a x x x f 在区间),1[+∞上恒成立;∴022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立;∴a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立; 函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3,∴3<-a 即 3->a 课后作业: 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( ) A .y =2x +1 B .y =3x 2+1 C .y =2 x D .y =|x | 解析:由函数单调性定义知选C. 答案:C 2.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f (x )的单调性不同的是( ) A .y =x 2+1 B .y =|x |+1 C .y =????? 2x +1,x ≥0,x 3+1,x <0 D .y =? ???? e x ,x ≥0, e -x ,x <0 解析:利用偶函数的对称性知f (x )在(-2,0)上为减函数.又y =x 2+1在(-2,0)上为减函数;y =|x |+1在(- 2,0)上为减函数;y =????? 2x +1,x ≥0,x 3+1,x <0在(-2,0)上为增函数,y =? ???? e x ,x ≥0, e - x ,x <0在(-2,0)上为减函数.故选C. 答案:C 3.(2010·北京)给定函数①y =x 1 2;②y =log 12 (x +1);③y =|x -1|;④y =2x + 1,其中在区间(0,1)上单调递减的 函数的序号是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 解析:①是幂函数,其在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合题意;②中的函数是由函数y =log 12 x 向左平 移1个单位而得到的,因原函数在(0,+∞)上为减函数,故此项符合题意;③中的函数图象是函数y =x -1的图象保留x 轴上方的部分,下方的图象翻折到x 轴上方而得到的,由其图象可知函数符合题意;④中的函数为指数函数,其底数大于1,故其在R 上单调递增,不符合题意,综上可知选择B. 答案:B ※4.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,如果x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A .恒小于0 B .恒大于0 C .可能为0 D .可正可负 解析:因为(x 1-2)(x 2-2)<0,若x 1 答案:A 5.若函数f (x )=|log a x |(0 解析:由于f (x )=|log a x |在(0,1]上递减,在(1,+∞)上递增,所以0 3,此即为a 的取值范围.