第八讲平行四边形的性质和判定
一、主要知识点回顾
1．平行四边形的性质：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴（1）_____∥______，_____∥______；
∴（3）AO＝______，BO＝______；
∴（4）∠BAD＝∠______，∠ABC＝∠_____；
∠BAD+∠______＝180°，∠BAD+∠______＝180°
2．平行四边形的判定：
（1）∵_____∥______，_____∥______，∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AB＝，BC＝______，∴四边形ABCD是平行四边形
（3）∴AO＝______，BO＝______，∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵∠BAD＝∠______，∠ABC＝∠_____，∴四边形ABCD是平行四边形（5）∵AD∥______，AD＝_____，∴四边形ABCD是平行四边形
3．三角形的中位线：
三角形的中位线______三角形的第三边，并等于第三边的_______。
4．平行线间的距离处处_________。
二、感悟与实践
例题1：已知平行四边形的周长为28cm，相邻两边的差为4cm，求两边的长。
变式练习1：平行四边形相邻两边之比为3:5，它的周长是32cm ，?求这个平行四边
形较长的边长。
例题2：如图1所示，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，
求证：BE ＝DF 。
变式练习2：如图2所示，四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，
过O ?作直线EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，求证：OE ＝OF 。
图1
O
A B D C E F 图2
例题3：如图3所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中
点，则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
变式练习3：（2011安徽）如图4，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，
CD ＝3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）。
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
例题4：如图5所示，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF 。
请你以点F 为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）。
（1）连结__________________ （2）猜想：_______＝________ （3）说明：
G A B D
C E
F
H
图3
图4
C
图5
图7
…… 变式练习4：如图6所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，DC ＝24cm ， AB
＝26cm ，动点P 从D 开始沿DC 边向C 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为ts ，t 分别为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？
三、巩固与提高
（A ）巩固练习
1．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）。 A ．相邻的角互补 B ．两组对角分别相等 C ．一组对边平行，另一组对边相等 D ．对角线交点是两对角线中点 2．（2011广东广州市）已知□ABCD 的周长为32，AB ＝4，则BC ＝（ ）。
A ．4
B ．12
C ．24
D ．28 3．（2011山东威海）如图7，在□ABCD 中，点
E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点
F ， 则AF :CF ＝（ ）。 A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．2:5
4．（2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）。
图① 图② 图③ 图④ A ．55 B ．42 C ．41 D ．
29
图6
图8 5．（2011江苏泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC 。其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）。 A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 6．（2011湖南邵阳）如图8所示，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB≠AD ，
则下列式子不正确的是（ ）。 A ．AC ⊥BD B ．AB ＝CD C ．BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠BCD
7．如图10所示，已知O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AC ＝38mm ，BD ＝14mm ， AD ＝24mm ，那么△OBC 的周长等于________。
8．（2011山东德州）如图9，D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，则图中平行四边形的 个数为___________。
9．（2011江苏苏州）如图10，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于 点O 。若AC ＝6，则线段AO 的长度等于___________。
10．（2011山东临沂）如图11，□ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，AB ＝AE ，连结CE
交AD 于点F ，若CF 平分∠BCD ，AB ＝3，则BC 的长为___________。
A
B
C
D
E F
图9
图10
图11
（B ）能力提高
11．（2011浙江义乌）如图12，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，
DF ⊥AC 。
（1）求证：△ABE ≌△CDF ；
（2）请写出图中除△ABE ≌△CDF 外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）。
12．（2011湖南常德）如图13，已知四边形ABCD 是平行四边形。 （1）求证：△MEF ∽△MBA ；
（2）若AF ，BE 分别是∠DAB ，∠CBA 的平分线，求证DF ＝EC
13．如图14所示，在平行四边形ABCD 中，∠D -∠A ＝∠1＝60°，AD ＝5cm ，求EC 的
长。
F
E A B C
D 图12
图13 图14
14．如图15所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交对边于点E，F，交四边形的对角线AC于点G，H，求证：AH＝CG。
图15
15．如图16所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作平行四边形ACED，延长DC交EB于F，求证：EF＝FB。（提示：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG。）
图16
（C）趣味数学
这是美国智力趣题专家奇尔出的一道观察力测试题，许多成年人对此不知从何入手，而一些聪明的少年却轻而易举地解开了难题。
图中有辆公共汽车（靠右行驶），有A和B两个汽车站。
问：公共汽车现在是要驶往A车站，还是驶往B车站？
图18 四、考考你
1．以不在同一直线上的三点作为平行四边形的三个顶点，可以作出平行四边形的个数为（ ）。
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．在平行四边形ABCD 中，若∠A :∠B ＝5:4，则∠C 的度数为（ ）。 A ．80° B ．120° C ．100° D ．110° 3．如图17所示，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝130°，延长AD 到F ，延长CD 到
E ，连接E
F ，则∠E+∠F 等于（ ）。 A ．130° B ．40° C ．50° D ．70°
4．如图18所示，如果平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形有（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
5．能够判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是（ ）。 A ．AB ∥CD ，AD ＝BC B ．∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D C ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．AB ＝AD ，CB ＝CD
五、家庭作业
1．在□ABCD 中，AB ＝AC ，若□ABCD 的周长为38 cm ，△ABC 的周长比□ABCD 的周 长少10 cm ，□ABCD 的一组邻边的长分别是__________、___________。 2．如图19所示，已知点E 为AC 的中点，AG ∥BC ，GE ∥AB ，交BC 于点F ， 求证：BF ＝FC 。
图17
图19
补充习题平行四边形的性质和判定
【能力拓展】
1．（2011四川成都）如图1，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD 上一动点。
（1）若BK＝5
2
KC，求
CD
AB
的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝1
2
AD时，猜想线段AB、BC、CD三者
之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当AE＝1
n
AD
（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明。
图1
2．（2011北京市，24，）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC 于点F。
（1）在（如图2-1）中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2-2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图2-3），求∠BDG
F
3．如图3所示，是某市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE 。甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F ；乙乘2路车，路线是B→D→C→F 。假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站？说明理由。
【课堂小测】共5小题，每题20分，满分100分
1．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8，则两短边间的距离 为 。
2．平行四边形ABCD 的一内角的平分线和边相交，把这条边分成5cm 和7cm 的两条线 段，那么这个平行四边形的周长为 。
3．从平行四边形ABCD 的一个锐角的顶点做两条高，如果这两条高线的夹角是135°，那 么这个平行四边形的锐角是 。
4．平行四边形的周长为28cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的 周长大4cm ，则AD ＝ cm 。
5．若平行四边形ABCD 的对角线的长分别为16和20，则AB 边的取值范围是 。
A
E
F
D B C
图3
初二数学讲义第八讲参考答案（58期）
一、主要知识点回顾
1．（1）AB DC ，AD DC （2）DC ，AD （3）CO ，DO （4）BCD ，ADC ；ABC ，ADC
2．（1）AB DC ，AD BC （2）DC ，AD （3）CO ，DO （4）BCD ，ADC （5）BC ，BC
3．平行，一半。 4．相等。
二、感悟与实践
例题1：分析：本题的关键是平行四边形的对边相等
解：设相邻两边长为x cm ，y cm （x >y ）， ∵平行四边形的对边相等，∴2x +2y
＝28。
∴14
4x y x y +=??
-=? 解得
9
5x y =??=?
变式练习1：设平行四边形较长的边长为5x cm,则较短的边长为3x cm ，
∵平行四边形的对边相等，
∴2（3x +5x ）＝32，∴x ＝2 ∴5x ＝10 ∴平行四边形较长的边长为10 cm 。
例题2：分析：本题的关键是利用平行四边形的对边平行且相等
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形。
∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠ABE ＝∠CDF 。
∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°。
∴Rt △ABE ≌Rt △CDF （AAS ）。 ∴BE ＝DF 。
变式练习2：证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∵AD ∥BC ，
∴∠DAC ＝∠ACB ，∠AEF ＝∠EFC 。
∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF 。
例题3：分析：本题的关键先利用三角形的中位线定理，再判定四边形是平行四边形
解：四边形EFGH 是平行四边形，连接AC ，在△ABC 中，∵EF 是中位线，∴EF //
2
1
AC 。 同理，GH //
2
1
AC 。∴EF //GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形。 变式练习3：D
例题4：解：（1）DF （BF ）；
（2）BE ＝DF （BF ＝DE ）；
（3）连结BD 与AC 交于点O ，则OA ＝OC ，OB ＝OD ，又因为AE ＝CF ，所
以
OA-AE ＝OC-CF ，即OE ＝OF 。所以四边形DEBF 是平行四边形， 所以BE ＝DF （BF ＝DE ）。
变式练习4：解：若四边形PQBC 为平行四边形，则有PC ＝BQ ，所以可得24-t ＝3t ，
所以t ＝6，所以当t 为6时，四边形PQBC 为平行四边形；
三、巩固与提高 （A ）巩固练习
1．C 2．B 3．A 4．C 5．C 6．A 7．50mm 8．3 9．3 10．6
（B ）能力提高
11．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ＝CD AB ∥CD ∴∠BAE ＝∠FCD
又∵BE ⊥AC DF ⊥AC
∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°
∴△ABE ≌△CDF （AAS ）
（2）①△ABC ≌△CDA ②△BCE ≌△DAF
12．（1）证明：在□ABCD 中，CD ∥AB
∴∠MEF ＝∠MBA ，∠MFE ＝∠MAB ∴△MEF ∽△MBA
（2）证明：∵在□ABCD 中，CD ∥AB ，∠DFA ＝∠FAB
又∵AF 是∠DAB 的平分线
∴∠DAF ＝∠FAB ∴∠DAF ＝∠DFA ∴AD ＝DF 同理可得EC=BC
∵在□ABCD 中，AD ＝BC ∴DF ＝EC
13．分析：本题的关键是说明CE ＝CB
解：如答图所示，在平行四边形ABCD 中，∵∠D+∠A ＝180°，
∠D-∠A ＝60°。∴∠D ＝120°，∠ABC ＝∠D=120°。∵∠1＝60°，
∴∠3＝60°，且∠2＝∠ABC-∠1＝60°，即∠2＝∠3。
∴EC ＝BC ＝AD ＝5cm 。
14．分析：本题的关键是证明△ADH ≌△CBG
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形。∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠ADC ＝∠ABC 。
∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA 。又∵DF ，BE 分别平分∠ADC ，∠ABC ，
∴∠ADF ＝
21∠ADC ，∠CBE ＝2
1
∠ABC 。 ∴∠ADF ＝∠CBE ，∴△ADH ≌△CBG （ASA ），∴AH ＝CG 。
E
15．分析：本题的关键是利用题目中现有的条件构造平行四边形，使EB为其对角线证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG。∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG//AD。
在平行四边形ACED中，AD//CE，∴CE//BG。
∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF＝FB。
（C）趣味数学
汽车驶往A方向。
因为图中的公共汽车面向你的一面没有车门，因此根据美国的交通规则——靠右行驶，车门总是在车头的右手方向，推断出公共汽车驶往A方向。
四、考考你
1．C 2．C 3．C 4．D 5．C
五、家庭作业
1．9 cm，10 cm
2．证明：∵AG∥BC，∴∠C＝∠GAE，∠EFC＝∠G。
又∵E为AC的中点，∴AE＝EC。
∴△AEG≌△CEF（AAS），∴AG＝FC。又∵AG∥BC，GE∥AB，
∴四边形ABFG为平行四边形。∴AG＝BF，∴BF＝FC。
初二数学补充讲义第八讲参考答案（58期）
【能力拓展】
1．解：（1）∵AB ∥CD ，BK ＝
5
2KC ，∴CD AB ＝CK BK ＝25
。 （2）如图所示，分别过C 、D 作BE ∥CF ∥DG 分别交于AB 的延长线于F 、G
三点，
∵BE ∥DG ，点E 是AD 的点，∴AB =BG ；
∵CD ∥FG ，CD ∥AG ，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴CD ＝FG
∵∠ABE ＝∠EBC ，BE ∥∴∠EBC ＝∠BC F ，∠ABE ∴BC ＝BF ，
∴AB -CD ＝BG -FG ＝BF ＝∴AB ＝BC+CD 。 当AE ＝1
n
AD （n ＞2）时，（n -1）AB ＝BC+CD
2．（1）证明：如图2-1
∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ∥CD 。 ∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F 。
∴∠CEF ＝∠F 。∴CE ＝CF
（2）∠BDG ＝45° （3）解：分别连结GB 、GE 、GC ，如图2-3
∵AB ∥DC ，∠ABC ＝120°，∴∠ECF ＝∠∵FG ∥CE 且FG ＝CE 。∴四边形CEGF 由（1）得CE ＝CF ，平行四边形CEGF ∴EG ＝EC ，∠GCF ＝∠GCE ＝1
2
∠ECF ＝∴△ECG 是等边三角形
∴EG ＝CG ， ∠GEC ＝∠EGC ＝60°
∴∠GEC ＝∠GCF 。∴∠BEG ＝∠DCG 。 由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ∴AB ＝BE 。在平行四边形ABCD 中，AB ∴BE ＝DC 。 由①②③得△BEG ≌△DCG 。
∴BG ＝DG 。∠1=∠2。∴∠BGD ＝∠1+∠3=∠2+∠3＝∠EGC ＝60°
图2-3
D
∴∠BDG＝180BGD
2
＝60°。
3．分析：甲的路线长＝AB+AE+EF，乙的路线长＝BD+DC+CF，很容易猜想到甲的路线长＝乙的路线长，关键在于证明AB＝DC，AE＝BD，EF＝FC。
解：过D作DG⊥BC于G，∴∠DGB=90°。∵AE∥BD，BA∥DE，
∴ABDE为平行四边形。∴AE＝BD，AB＝DE，∠EAD＝∠ADB。
又∵AF∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠EFA＝∠FCB，∴∠EAD＝∠DBC。
∵EC⊥BC，∴∠FCB＝90°，∠EFA＝90°。∴∠EFA＝∠DGB＝∠FCB，EC⊥AF。
∴△EAF≌△DBG（AAS），DG∥FC，∴EF＝DG．∵AF∥BC，DG∥FC，
∴DG＝FC，EF＝FC。
∵EC⊥AF，∴∠DFE＝∠DFC=90°。又∵DF＝DF，∴△DEF≌△DFC（SAS）。
∴DE＝DC，∴AB＝DC。
∵甲的路线长＝AB+AE+EF，乙的路线长＝BD+DC+CF。∴甲的路线长＝乙的路线长。
∵两人乘车速度相同，途中耽误时间相同。∴甲、乙两人同时到达。
【课堂小测】
1．10 2．38cm或34cm3．45°4．5 5．2＜AB＜18
第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结
第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
综合滚动练习：平行四边形的性质与判定 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在?ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A的度数是() A．100°B．120°C．80°D．60° 2．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是() A．AB∥CD B．AB＝CD C．AC＝BD D．OA＝OC 第2题图第5题图 3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是() A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5 4．平面直角坐标系中，已知?ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是() A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－1，2) 5．如图，?ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为() A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2 6．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则BC的长为() A．8 B．10 C．12 D．14 第6题图第7题图7．如图，在?ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于() A．40°B．50°C．60°D．80° 8．(2017·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是() A．22 B．20 C．22或20 D．18 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．已知AB∥CD，添加一个条件____________，使得四边形ABCD为平行四边形．10．如图，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各 点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________． 10. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC≌△DEF；
平行四边形 【知识梳理】 平行四边形是由三角形绕其一边的中点旋转180°而成的中心对称图形。 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD。如图： （2）平行四边形的性质：（证明） ①平行四边形的对边；②平行四边形的对边； ③平行四边形的对角；④平行四边形的对角 题型一、填空题： 【例题精讲】 1、如图1，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于. 2、如图2，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB=，AD=． 3、如图3，平行四边形ABCD的周长是36，且AB：BC=5：4，对角线AC、BD相交于点O，且BD⊥AD，则BD=，AC=． 4、已知平行四边形的面积为4，O为两条对角线的交点，那么△AOB的面积为. 5、在平面直角坐标系内，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D坐标为. 6、如图6，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为．
7、如图7，平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠BNE=. 8、如图8，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=. 9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．
平行四边形的性质与判定专题练习题 1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以 AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴 影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°， 则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交 CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________．
平行四边形及其性质
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
平行四边形的性质与判 定讲义精品 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
C F B E D A 平行四边形 一、知识梳理 1．平行四边形： (1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平 行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． 2．平行四边形的性质： (1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分． (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段， 则ABCD 的周长为 ． 例2．在ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ． （1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7， 则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4..中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________． 变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少 例5.如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角 形共有 （ ） A ．2对 B ．3对 C ．6对 D ．8对 3．两条平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等． 例6、有以下四个说法： ①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长． ②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值． ③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值． ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．平行四边形的面积： (1)如图①， ． O F E D C B A
C F B E D A 一、平行四边形基本定义： 1、平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 ２、平行四边形性质： ３、扩展性质： 二.平行四边形的面积： 平行四边形的面积： 等于底和高的积，即S □ABCD =ah ，其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。 平行四边形中的等积法使用： DF BC DE AB ?=? 三、总结： （1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。 （2）平行四边形中对角线是常用辅助线。 平行四边 形性质 平行四边形对边相等； 平行四边形对角相等； 平行四边形对角线互相平分。 平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。 平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差 平行四边形对角线的一半和大于任意一边长 过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分
例题1如图，在?ABCD 中，AD=2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE=3，则AB 的长为（ ）A ．4 B ．3 C ． 2 5 D ．2 例题2如图，平行四边形ABCD 中，A E 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点 F ．下列结论中：①△ABC ≌△AED ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CDE ；⑤S △ABE =S △CEF ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．① ③④ 平行四边形的面积问题 实例：如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ． （1）求证：△BAD ≌△AEC ； （2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积． 平行四边形中的折叠 实例：如图，在?ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G． 求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． DE=B′F，∴△DEG ≌△B′FG，∴DG=B′G．
第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
一、平行四边形基本定义: 1、平行四边形 定义:有两组对边分别平行得四边形就是平行四边形。 表示:平行四边形用符号“□”来表示、 2、平行四边形性质: ３、扩展性质: 平行四边形得面积: 等于底与高得积,即S□ＡBＣD=aｈ,其中a可以就是平行四边形得任何一边,h必须就是a边到其对边得距离,即对应得高。 平行四边形中得等积法使用: 三、总结: (１)平行四边形得性质与扩展性质要能够理解并灵活运用。 (2)平行四边形中对角线就是常用辅助线。 例题1如图,在?ＡＢCD中,ＡD=２AB,CE平分∠BＣD交ＡD边于点Ｅ,且AE=3,则AB得长为()A.4 B.3 C. Ｄ.2 例题2如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠ＢAＤ,交BC于点E,且AB=ＡE,延长ＡB与DE得延长线交于点F.下列结论中:①△ABC≌△AＥD;②△ABＥ就是等边三角形;③ＡＤ=AF;④S△ABE=Ｓ△CDE;⑤Ｓ△ＡBE=S△ＣEF.其中正确得就是()Ａ.①②③B。①②④Ｃ.①②⑤Ｄ。①③④ 平行四边形得面积问题 实例:如图,已知四边形AＢDＥ就是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连结AC、CＥ,使AB＝AC.?(１)求证:△BAD≌△ＡEC; (2)若∠Ｂ=３０°,∠AＤC=４5°,ＢＤ=10,求平行四边形ABDE得面积。 平行四边形中得折叠 实例:如图,在?AＢCD中,点E,F分别在边ＤC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B′,C′处,线段EC′与线段AＦ交于点G,连接ＤG,B′G.
求证:(1)∠1=∠2; (2)DＧ=B′G. ＤＥ=B′Ｆ,∴△DEG≌△Ｂ′FG,∴DG=B′G。 一、选择题 1、如图,平行四边形ＡBCＤ得对角线交于点O,且AB＝5,△ＯCD得周长为２3,则平行四边形ABＣD得两条对角线得与就是()Ａ、18 Ｂ.28 Ｃ.36 Ｄ、 46 Ａ、246 B.2１6 C、－216Ｄ。２７4 ２如图,在Rt△AＢC中,∠B=９0°,AB=３,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线得所有?ADＣＥ中,ＤE最小得值就是( )Ａ.2Ｂ、3 Ｃ.4 D、5 ＊3如图,在平行四边形AＢCD中,AB〉ＣD,按以下步骤作图:以Ａ为圆心,小于AＤ得长为半径画弧,分别交AＢ、CＤ于E、F;再分别以E、F为圆心,大于EＦ得长半径画弧,两弧交于点Ｇ;作射线AG交ＣD于点H、则下列结论:①AG平分∠DAB,②CH=DＨ,③△ＡＤH就是等腰三角形,④Ｓ△ＡDH=S四边形ABCH、其中正确得有()A。①②③B.①③④C、②④Ｄ、①③. ＊＊4如图,平行四边形ABＣD中,ＡB:ＢＣ=3:２,∠DＡB＝60°,E在AB上,且ＡE:ＥＢ＝1:2,F就是BC得中点,过D分别作ＤP⊥AF于P,DＱ⊥CE于Ｑ,则DＰ:DＱ等于( ) A、３:4 B:２C:2 D。2: *＊5、如图,四边形ABCＤ就是平行四边形,BＥ平分∠ＡBＣ,ＣF平分∠ＢCD,BE、ＣＦ交于点Ｇ、若使ＥF＝AD,那么平行四边形AＢCD应满足得条件就是()A.∠ABC=60°B.AB:BC=1:４C.ＡB:BC＝5:2 D.AB:ＢC＝5:８ *＊６如图,在?ＡBCＤ中,分别以ＡB、AD为边向外作等边△ＡBE、△ADF,延长CB交AＥ于点G,点Ｇ在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确得就是( )①△CD Ｆ≌△EBC;②∠CＤF=∠EAF;③△ECF就是等边△;④CG⊥ＡE。A.只有①②B、只有①②③C.只有③④Ｄ、①②③④ 二、填空题: ＊7如图,过?ABＣＤ得对角线BＤ上一点Ｍ分别作平行四边形两边得平行线EF与GH,那么图中得?ＡＥMG得面积S1与?ＨＣFＭ得面积S２得大小关系就是 ＊*8 在?ＡBCD中,∠DＡB得平分线分对边BC为3cｍ与５cm两部分,则?ABCD 得周长为 ＊＊9、如图,?ABCＤ中,对角线AC与BD相交于点Ｅ,∠ＡＥB＝４5°,BD=2,将△AＢC沿ＡＣ所在直线翻折180°到其原来所在得同一平面内,若点B得落点记为B′,则ＤB′得长为、 三、解答题: ＊１０如图,在?ABCD中,点E就是AB边得中点,DE与ＣB得延长线交于点F、?(1)求证:△ADE≌△BＦE; (２)若DＦ平分∠ADＣ,连接CE、试判断CＥ与DF得位置关系,并说明理由. ＊＊１１如图,在平行四边形ABCD中,∠BAＤ=32°.分别以ＢＣ、ＣD为边向外作△ＢCE与△ＤCＦ,使BE=ＢC,DF=DＣ,∠EBC=∠CDF,延长AB交边ＥC于点G,点G在E、C两点之间,连接AE、AF. (1)求证:△ＡＢE≌△ＦDＡ;?(2)当AE⊥AF时,求∠EBG得度数. ＊＊12(２00７?黑龙江)在△AＢC中,AＢ＝ＡC,点P为△ABC所在平面内一点,过点Ｐ分别作PE∥ＡC交AＢ于点E,PＦ∥AB交BＣ于点D,交ＡＣ于点F、若点P在BＣ边上(如图
平行四边形 1、平行四边形的性质 考点一、平行四边形的概念 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）表示：平行四边形用符号”表示，平行四边形ABCD记作ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”。平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质。 ①由定义知平行四边形两组对边分别平行； ②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。 （4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。 例1、在ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH相交于点P，写出图中的 平行四边形。 A E D G P H B F C 考点二、平行四边形的性质 （1）边的性质：平行四边形的对边平行且相等。 （2）角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。 （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 例2、在ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数。 A B C D
考点三、平行四边形的对角线的性质 （1）平行四边形的对角线互相平分。 例3、在 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为_______。 练习题 一、感受理解 1．已知O 是 ABCD 的对角线交点，AC=10cm ，BD=18cm ，AD=?12cm ，?则△BOC?的周长是_______． 2．已知 ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，△AOB 的面积为2，那么平行四边形ABCD 的面积为_____． 3．已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm ，?则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________． 4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线 6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 A O D C B
平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。
四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。
平行四边形的性质和判定 讲义1.已知平行四边形的周长是100cm ，AB :BC =4:1，则AB 的长是_____． 讲义5.平行四边形ABCD 的周长32，5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围为_______ 讲义2.已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是______．作业4.在平行四边形ABCD 中，AB =3，BC ＝5，∠B 的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为． 作业5.平行四边形ABCD 的周长为22，两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5，则AD 的边长为． 讲义3.在平行四边形ABCD 中，∠A :∠B =3:2，则∠C =_____度，∠D =___度． 讲义7.在平行四边形ABCD 中，∠B -∠A =20°，则∠D 的度数是_______ 讲义8.由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长 等于等腰三角形的( )A ．周长 B ．一腰的长 C ．周长的一半 D ．两腰的和 讲义10.以长为5cm ，4cm ，7cm 的三条线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四 边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是( ) A.1B ．2C ．3D ．4讲义14.如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ，DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形 EFGH 是_____．H G F E D C B A 讲义15.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，连结B ，F ， D ， E ，B 则四边形BED F 是___________． G F E D C B A
第六章平行四边形 一．大脑扫描 1.平行四边形的有关概念 （1）平行四边形：_______________________________________________________________ （2）对角线：___________________________________________________________________ 2.平行四边形的性质 （1）边：<1>____________________________________________________________________ <2>____________________________________________________________________ （2）角：_______________________________________________________________________ （3）对角线：___________________________________________________________________ （4）对称性：___________________________________________________________________ 3.平行四边形的判定 （1）边：<1>__________________________________________________________________ <2>__________________________________________________________________ <3>__________________________________________________________________ 角：____________________________________________________________________ 对角线：________________________________________________________________ 补充：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 4.平行线之间的距离 概念：__________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 5.平行四边形的面积 (1)如图①，．
《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O
例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，
平行四边形的性质及判定（讲义） ?课前预习 （2）连接AC，BD，设AC，BD的交点为O．求证：OA=OC 1.平行四边形的定义 _________________________的四边形叫做平行四边形．平行四边形__________的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．四边形ABCD是平行四边形，记作_________，读作“平行四边形ABCD”． 2.平行四边形的性质 平行四边形是______图形，两条对角线的交点是它的______； 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________．
3.平行四边形的判定 ?????①的四边形是平行四边形； 边 ②的四边形是平行四边形. 角：_____________________的四边形是平行四边形． 对角线：_____________________的四边形是平行四边形． ?精讲精练 1.在□ABCD中，已知AB，BC，CD三条边的长度分别为x+3，x-4，16，则这个平 行四边形的周长为___________． 2.如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E，若AB=5，BC=3，则 EC的长为（） A．1 B．1.5 C．2 D．3 B C E D A F E D C B A 第2题图第3题图 3.如图，在□ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．若∠B=60°，则∠ ECF=___________． 4.在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△ABO的周长为15，AB=6，则 AC+BD=____________． 5.如图，在□ABCD中，已知AB=5，AD=3，AC⊥BC，则 □ABCD的面积为_______，线段BD的长为_______． O D C B A