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导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧2

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧2
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧2

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结:

1、分类讨论思想

2、判别法

3、分离参数法

4、构造新函数法 一、分离讨论思想:

例题1: 讨论下列函数单调性: 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1

2≠<<--b x x bx

二、判别法

例2:已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足:

(1)???<-+-<-0

)2(16)2(4022

a a a 或 (2)??

?

??<-=-=-040)2(20

2a a 解(1)得??

?<<-<2

22

a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2.

练习1. 已知函数])1(lg[2

2

a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。

三、分离法参数:

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即:

(1)对任意x 都成立()min x f m ≤

(2)

对任意x 都成立

例3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

解: 将问题转化为x x x a 2

4-<

对]4,0(∈x 恒成立,令x

x x x g 2

4)(-=,则min )(x g a <由14

4)(2

-=-=

x

x

x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数,故0)4()(min ==g x g ∴0

注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。

例4.已知函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x

a

x x x f ,若对任意),1[+∞∈x ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值范围。(答案3->a )

例题 5. 已知函数()x x f ln =,()bx ax x g +=

2

2

1,0≠a . 若2=b ,且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间,求a 的取值范围;

解:当x ax x x h b 221ln )(,22--==时.,则.1

221)(2x

x ax ax x x h -+-

=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间,所以()0h x '<有解.由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价()0<'x h 于在区间()+∞,0能成立, 即x x a 212->

, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()x x

x u 2

12

-=.由()x x

x u 212-=1112

-???

??-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,

由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1

例6 已知x

a ax x x f 222)(2

-+=

在[1,)+∞上是单调递增函数,求a 的取值范围. 解 ∵()2a a

f x x x =-

+,∴2()1a f x x

'=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数, ∴0)(≥'x f .于是可得不等式2

x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥,

得2

1x -≤-.∴1-≥a .

四、构造法: 利用导数解决不等式问题,实质上是转化为构造函数,利用导数研究函数的单调性,转化的思路一般如下:

f (x )≥

g (x )?F (x )=f (x )-g (x )≥0?F (x )min ≥0, f (x )≤g (x )?F (x )=f (x )-g (x )≤0?F (x )max ≤0. 例题7 设()f x =ln x ,()()g x f x =+'()f x 。

(1)求()g x 的单调区间和最小值;(2)讨论()g x 和1

()g x

的大小;(3)求a 的取值范围,使得()()g a g x -<

1

a

,对任意的0x >成立。

例题8:求证:当0x >时,ln(1)x x >+

例题7:答案:(1)减区间:(0,1);增区间()1,+∞;最小值1.(2)当11,()()x g x g x

==;当(0,1)x ∈1()()g x g x >;当1(1,)()()x g x g x ∈+∞<1()()g x g x

>

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题(最值问题) 恒成立问题是高考函数题中的重点问题, 也是高中数学非常重要的一个模块, 不管是小题,还 是大题,常常以压轴题的形式出现。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后, a f (x )恒成立,则有a f (X )max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的, (甚至我提出这样 一个观点,所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论, 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论,2%!观察法得到零点,零点通常是1,-,e 之类),所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题1.已知f (x ) ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ,求a 的取值围 思考:①引入定义域(非R ) ② 参数在二次项,就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次(3次,4次,—,I nx , e x 等等) x ④ 引入a 2, a 3等项(导致不能分离变量) f (x )恒成立,则有a f ( x) min (若是存在性问题,那么最大变最小, 最小变最大) 如:化简后我们分析得到, a,b , f (x) 0恒成立,那么只需 f ( x) min a,b ,使得 f(x) 0,那么只需f (X )max 0 如:化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b , f(xj g(X 2),那么只需 f (X)min g ( X) max 如:化简后我们分析得到, X i a,b , x 2 c, d 使f (xj gg ),那么只需 如:化简后我们分析得到, X i a,b ,X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了,这里不一一列举, 一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题, 成立问题(2014.03锡常镇一模那题特别典型) 总之一句话 (双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理 我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒

含参数导数问题分类讨论

含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数,转化为最值策略 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出 ()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转 化为函数求最值. 例1、已知函数x x x f ln )(=.(Ⅰ)求)(x f 的最小值; (Ⅱ)若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点,从而引起讨论. 例2.已知a 是实数,函数))(2 a x x x f -=(. (Ⅰ)若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (Ⅱ)求)(x f 在区间[0,2]上的最大值. 三、导函数为0是否存在,分类讨论策略 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关,令△=0,求分点,从而引起讨论. 例3、已知函数,,讨论在定义域上的单调性. 四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等求分点,从而引起讨论. 例4、已知0>m ,讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性.

含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)

恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()m ax a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()m in a f x ≤,转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。 解:根据题意得:21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即:23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立, 设()23f x x x =-+,则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时,()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时,不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。 解:令2x t =,(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为:22 1t a a t +-<, 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立,只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时,不等式2 3x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设()2 3f x x ax a =++-,则问题转化为当[]2,2x ∈-时,()f x 的最小值非负。 (1) 当22a -<-即:4a >时,()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在;

导数中的恒成立和存在性问题

导数中的恒成立和存在性问题

技巧传播 1.恒成立问题的转化:()a f x >恒成立max ()a f x ?>;()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤; 2.能成立问题的转化:()a f x >能成立min ()a f x ?>;()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤; 3.恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ; 另一转化方法:若x D ∈,()f x A ≥在D 上恰成立,等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =, 若x D ∈,()f x B ≤在D 上恰成立,则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =; 4.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则min min ()()f x g x ≥; 5.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则max max ()()f x g x ≤; 6.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则max min ()()f x g x ≥; 7.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则min max ()()f x g x ≤; 8.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方; 9.若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方;

高中数学含参导数问题

由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ,x x x x g 452)(2 3 ++=,按以下条件求k 的范围。 (1)对于任意的]3,3[-∈x ,都有)()(x g x f ≤成立。 (构造新函数,恒成立问题) (2)若存在成立。,使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ (与恒成立问题区别看待) (3)若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈,都有、 (注意21,x x 可以不是同一个x ) (4)对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得,总存在。 (注意:哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于:谁的x 是任意取的,谁的x 是总存在的。) (5)若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立; (与(4)相同) 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+, a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ,

(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调,则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈),若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立,求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,从而引起讨论。 三、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落 在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值; (可因式分解,比较两根大小,注意别丢两根相等情况) 解: 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时,()0f x '≤,(,)-∞∞是函数的单调减区间;无极值;……………6分 0a >时,在区间(,),(3,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(,3)a a 上,()0f x '>, 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(,3)a a 是函数的单调增区间, 函数的极大值是(3)f a a =;函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ;………………8分 0a <时,在区间(,3),(,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(3,)a a 上,()0f x '>, 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ,函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式.若2 '()(1)f x x a x a =-++,若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。(比较根大小,考虑定义域)

含参不等式恒成立问题学考压轴题(函数专题)

个性化教案 学生姓名 年级 科目 数学 授课教师 日期 时间段 课时 2 授课类型 新课/复习课/作业讲解课 教学目标 教学内容 函数专题:含参不等式恒成立问题 个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,知识点多,综合性强,解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用 恒成立问题的基本类型: 类型1:若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1)0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2)0)(对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围。 例2:若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 类型2:设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f (1)当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或, ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立? ??>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????对[]1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围。

第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立问题备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1.已知函数f (x )=x +4 x ,g (x )=2x +a ,若?x 1∈????12,1,?x 2∈[2,3],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤1 B .a ≥1 C .a ≤2 D .a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12,1≥g (x )min (x ∈[2,3]),因为f (x )min =5,g (x )min =4+a ,所以5≥4+a ,即a ≤1,故选A. 2.(2020·吉林白山联考)设函数f (x )=e x ????x +3x -3-a x ,若不等式f (x )≤0有正实数解,则实数a 的最小值为________. 【解析】原问题等价于存在x ∈(0,+∞),使得a ≥e x (x 2-3x +3),令g (x )=e x (x 2-3x +3),x ∈(0,+∞),则a ≥g (x )min ,而g ′(x )=e x (x 2-x ).由g ′(x )>0可得x ∈(1,+∞),由g ′(x )<0可得x ∈(0,1).据此可知,函数g (x )在区间(0,+∞)上的最小值为g (1)=e.综上可得,实数a 的最小值为e. 3.(2020·西安质检)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=x -1. (1)求函数y =f (x )的图象在x =1处的切线方程; (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1,+∞)均成立,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)因为f ′(x )=1 x , 所以f ′(1)=1. 又f (1)=0,所以切线的方程为y -f (1)=f ′(1)(x -1), 即所求切线的方程为y =x -1. (2)易知对任意的x ∈(1,+∞),f (x )>0,g (x )>0. ①当a ≥1时,f (x )≤g (x )≤ag (x ); ②当a ≤0时,f (x )>0,ag (x )≤0,所以不满足不等式f (x )≤ag (x ); ③当0<a <1时,设φ(x )=f (x )-ag (x )=ln x -a (x -1),则φ′(x )=1 x -a ,

运用导数解决含参问题

运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径:是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征,恰当地构造函数,等价转化为:含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系,建立方程或不等式(组)求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1:已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ,若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0,求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式,将所求变量和另一已知变量分离,得到函数关系,从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解,再由已知变量的范围求出函数的值域,即为所求变量的范围。类型有:(1)双参数

中知道其中一个参数的范围;(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 .(2013年课标Ⅱ)已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( ) A .0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D .若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 .(2013年大纲)已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点,处切线的斜率为,() A .9 B .6 C .-9 D .-6 3 .(2013年湖北)已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A .(,0)-∞ B .1 (0,)2 C .(0,1) D .(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是: ( )

(完整word)高中数学恒成立问题.doc

高中数学不等式的恒成立问题 不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结 合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式: 一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取 值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解 决,下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构 造函数法 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构 造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量 的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目 更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数. 例 1已知不等式对任意的都成立,求的取值范围. 解:由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相 的似,于是我们可以设则不等式对满足 一切实数恒成立对恒成立.当时, 即 解得故的取值范围是. 注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,令 则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒为负的问题,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式) 能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的 最值或范围可求时,常用分离参数法. 例2已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数在区间上是减函数 . 都有在上恒成立,求实数的(Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数 取值范围 . 解:由题意知,函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注:此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧 看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则;若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 3已知函数若不等式恒成立,则实数的取值范围是.

用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题 1.已知函数23()2ln x f x x x a = -+,其中a 为常数. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数,求a 的取值范围. 2.已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈,'()f x 是()f x 的导函数。 (1)当2a =时,对于任意的[1,1]m ∈-,[1,1]n ∈-,求()()f m f n '+的最小值; (2)若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x >0,求a 的取值范围。

3.已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. (1)若2=a ,求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程; (2)求)(x f 的单调区间; (3)设22)(2 +-=x x x g ,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <, 求实数a 的取值范围.

4.(2016届惠州二模)已知函数()22ln f x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值; (Ⅱ)若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点. ①求实数a 的值; ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数),不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立,求实数k 的取值范围.

5.已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈. (1)当1a =时,01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤,求实数m 的取值范围; (2)若在区间1(,)+∞,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方,求实数a 的取值范围.

含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点 导数是研究函数图像和性质的重要工具,自从导数进入高中数学教材以来,有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入,含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在:他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且

在众多的教辅资料中也难得一见,本文就来讨论这一问题,供大家参考。 一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。 例1(2008年高考广东卷(理科) 设k R ∈ ,函数 1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ??? 。 考虑导函数 '()0 F x =是否有实根,从而需 要对参数k 的取值进行讨论。

(一)若1 x <,则 () () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0 k ≤时, '()0 F x =无实根,而当0 k >时, '()0 F x =有实根, 因此,对参数k 分0 k ≤和0 k >两种情况讨论。 (1) 当0 k ≤时, '()0 F x ≥在 (,1) -∞上恒成立, 所以函数() F x 在 (,1) -∞上为增函数; (2) 当 k >时, () () 2 2 11'()11k x F x x x --= =-- 由 '()0 F x = ,得121,1x x ?? == ?? , 因为0 k >,所以 12 1x x <<。 由 '()0 F x >, 得 11x <<;由 '()0F x < , 得 1x <

教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc

高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 (2)?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解(1)得?? ?<<-<2 22 a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ,求m 的范围。 4.x 取一切实数时,使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义,求实数k 的取值范围.

例3.设22)(2 +-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 关键点拨:为了使 在 恒成立,构造一个新函数 是解题的关键,再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 解:m mx x x F -+-=22)(2 ,则当),1[+∞-∈x 时,0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时,0)(>x F 显然成立; 当0≥?时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要条件为: ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=,求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1:数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2:转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即,得2a >,所以3a >。 综上:a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注:1. 此处是对参a 进行分类讨论,每一类中求得的a 的范围均合题意,故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3:分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=, 注:1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值,但由于将参数a 与变量x 分离,因此在求最值时避免了分类讨论,使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1:?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2,解法3类似完成,但应注意等号问题,即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题(最值问题) 恒成立问题是高考函数题中的重点问题,也是高中数学非常重要的一个模块,不管是小题,还是大题,常常以压轴题的形式出现。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后,()a f x ≥恒成立,则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立,则有min ()a f x ≤ (若是存在性问题,那么最大变最小,最小变最大) 1.对于单变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对[],x a b ?∈,()0f x ≥恒成立,那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈,使得()0f x ≥,那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对[]12,,x x a b ?∈,12()()f x g x ≥,那么只需min max ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,对[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥,那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥,那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了,这里不一一列举,总之一句话(双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题,我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒成立问题(201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型) 今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的,(甚至我提出这样一个观点,所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论,3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论,2%是观察法得到零点,零点通常是1 1,,e e 之类) ,所以如果我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一.二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题1.已知()f x =R ,求a 的取值范围 思考:① 引入定义域(非R ) ②参数在二次项,就需考虑是否为0 ③引入高次(3次,4次,1 x ,ln x ,x e 等等) ④引入2a ,3a 等项(导致不能分离变量)

例说导数含参问题的处理策略

例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间:本质是解含参不等式 例1:求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时,()10f x '=>,故只有增区间:(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时,由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->, 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时,由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述:当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为:(,),(,)a a -∞-+∞减区间为:(,)a a - 当0a <时函数增区间为:(,),(,)a a -∞-+∞减区间为:(,)a a - 例2:求函数f (x )=x 2e ax 的单调区间. 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )=2x e ax +ax 2e ax =(2x +ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a =0时,由f ′(x )<0得 x <0;由f ′(x )>0,得x >0 所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数. 当a ≠0时,1220 x x a ==- (2)当a >0时,由2x +ax 2>0,得x <-2a 或x >0;由2x +ax 2<0,得-2 a <x <0. 所以当a >0时,函数f (x )在(-∞,-2a )和(0,+∞)上为增函数,在区间(-2 a ,0)上为减函数. (3)当a <0时,由2x +ax 2>0,得0<x <-2a ;由2x +ax 2<0,得x <0或x >-2 a , 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)和(-2a ,+∞)上为减函数,在区间(0,-2 a )上为增函数 总结:两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题:已知函数在某区间上单调性,求参数取值范围 (1) 解析式含参时:本质是恒成立问题: ()0f x '≥(()0f x '≤)恒成立 思路1:转化为求非含参一段函数的最值(范围) 思路2:数形结合 注意事项:端点能否取等号要注意

导数之恒成立问题

应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. (1)若存在[]0,2x ∈,使得()()f x g x =,求实数a 的取值范围; (2)若存在[]0,2x ∈,使得()()f x g x >,求实数a 的取值范围; (3)若对任意[]0,2x ∈,恒有()()f x g x >,求实数a 的取值范围; (4)若对任意[]12,0,2x x ∈,恒有()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (5)若对任意[]20,2x ∈,存在[]10,2x ∈,使得()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (6)若对任意[]20,2x ∈,存在[]10,2x ∈,使得()()12f x g x =,求实数a 的取值范围; (7)若存在[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (8)若存在[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x g x =,求实数a 的取值范围;

(1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A; ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma xg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0; ①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0; (2)存在性问题 ①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A; ①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0; ①. ①x0①D,使得f(x0) g(x2)成立,则f(x)min > g(x)ma x; ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min; ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in > g(x)m in; ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)max > g(x)max.

导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)

学习过程 一、复习预习 考纲要求: 1.理解导数和切线方程的概念。 2.能在具体的数学环境中,会求导,会求切线方程。 3.特别是没有具体点处的切线方程,如何去设点,如何利用点线式建立直线方程。4.灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。

5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数:0'=C (C 为常数);1 )'(-=n n nx x (Q n ∈); x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=;1(ln )x x '= ; 1(log )log a a x e x '=, ()x x e e '= ; ()ln x x a a a '= 求导法则:法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'.

法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3: ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数:设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'=',函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '=',则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法(高中范围内三种) (1) tan k α=(α为倾斜角); (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -,两点1122(,()),(,())x f x x f x ; (3)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); 3.求切线的方程的步骤:(三步走) (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); (3)点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-; 4.用导数求函数的单调性: (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)()0f x '>,求单调递增区间; (3)()0f x '<,求单调递减区间; (4)()0f x '=,是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】:求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】:最大值为18,最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ,∴3,121==x x ,由函数的单调性,当11=x ,2=y , 取得极大值;当32=x ,2-=y ,取得极小值;当5=x ,18=y 。所以最大值为18,最小值为-2.

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结: 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想: 例题1: 讨论下列函数单调性: 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 (2)?? ???<-=-=-040)2(202a a 解(1)得???<<-<2 22a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 三、分离法参数: 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即: (1) 对任意x 都成立()min x f m ≤ (2)对任意x 都成立。 例3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

利用导数解决恒成立能成立问题备课讲稿

利用导数解决恒成立能成立问题

利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 1.若在x∈[1,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是 ______ . 2.若不等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围 _________ . 3.设a >0,函数,若对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f (x 1)≥g(x 2)成立,则a 的取值范围为 _________ . 4.若不等式|ax 3 ﹣lnx|≥1对任意x∈(0,1]都成立,则实数a 取值范围是 _________ .

15.设函数f(x)的定义域为D,令M={k|f(x)≤k恒成立,x∈D},N={k|f(x)≥k恒成立,x∈D},已知 ,其中x∈[0,2],若4∈M,2∈N,则a 的范围是_________ . 6.f(x)=ax3﹣3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥﹣1成立,则a的范围为_________ . 7.三次函数f(x)=x3﹣3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是_________ . 8.不等式x3﹣3x2+2﹣a<0在区间x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是__ . 9.当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k的取值范围是_________ .10.设函数f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 _________ .

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