2013高考试题解析分类汇编（理数）：圆锥曲线
一、选择题
1．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2
21
4
x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）
A ．
25
B ．
45 C
D
C 22
14x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204
x y -=，即20x y ±=．带入点
到直线距离公式d =
5
=
． 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原
点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3
2,在双曲线C 的方程是
（ ）
A
．22
14x =
B ．22
145x y -= C ．22
125x y -=
D
．22
12x =
B ；依题意3c =,3
2
e =
,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 3 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)
,
则C 的渐近线方程为 （ ）
A ．1
4y x =±
B ．13
y x =±
C ．12
y x =±
D ．y x =±
C 已知双曲线C ：的离心率为，故有=，
所以=，解得
=．故C 的渐近线方程为
，故选C ．
4 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04π
θ<<,则双曲线22
12
2:1cos sin x y C θθ
-=与22
2222:1sin sin tan y x C θθθ
-=的
（ ）
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
D 本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，
所以2
1c =，离心率为2
2
1
cos e θ
=
。2C 中，22222sin ,sin tan a b θθθ==，所以2
2
2
2
2
sin sin tan tan c θθθθ=+=。离心率为22
22tan 1
sin cos e θθθ
==，所以两个双曲线
有相同的离心率，选D.
5 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线2
4y x =的焦点到双曲线2
2
13
y
x -=的渐近线的距
离是 （ ）
A ．
12 B C ．1 D B 因为抛物线方程为y 2
=4x 。所以2p=4，可得=1，抛物线的焦点F （1，0）
又因为双曲线的方程为所以a 2
=1且b 2
=3，可得a=1且b=， 双曲线的渐近线方程为y=±
，即y=±
x ，化成一般式得：
．
因此，抛物线y 2
=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为d=
=
。
故选：B 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是
椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是
（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2
3 D ．
2
6 D 设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，因为点A 为椭圆C 1：+y 2
=1上的点，
所以2a=4，b=1，c=；
所以|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以
+
=
，即x 2+y 2=（2c ）2
=
=12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+
，设双曲线C 2的实轴长为2a ，焦距为
2c ，则2a=，|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2c=2=2，
所以双曲线C 2的离心率e==
=
．故选D ．
7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线
2222
1(0,0)
x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线2
2(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB
则p =
（ ）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
C 双曲线的渐近线为b y x a =±
，抛物线的准线方程为2p x =-。当2
p
x =-时，()22b p pb y a a =±?-=±，所以三角形△AOB
的面积为12222
pb p a ??
?=
2p b
=
，又双曲线的离心率为2，所以2c a =，即2222
2,4c a c a a b ===+，即
223a b =，所以b =，即24p =
==，所以2p =，选C. 8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆
22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点
P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是
（ ）
A ．1324
??????
， B ．3384
??????
，
C ．112??
????
，
D ．314??
????
，
B 由椭圆
C ：
可知其左顶点A 1（﹣2，0），右顶点A 2（2，0）．
设P （x 0，y 0）（x 0≠±2），则，得．
因为=，=，所以==，
因为，所以，解得．
9．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛
物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若
0MA MB =
,则k =
（ ）
A ．
12
B C D ．2
D 由抛物线C ：y 2
=8x 得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k ≠0，设直线AB 为my=x ﹣2，其中
联立，得到y 2
﹣8my ﹣16=0，△＞0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．所以y 1+y 2=8m ，y 1y 2=﹣16．
又，，
所以
=（x 1+2）（x 2+2）+（y 1﹣2）（y 2﹣2）=（my 1+4）（my 2+4）+（y 1﹣2）（y 2
﹣2）=（m 2
+1）y 1y 2+（4m ﹣2）（y 1+y 2）+20=﹣16（m 2
+1）+（4m ﹣2）×8m+20=4（2m ﹣1）2
由4（2m ﹣1）2
=0，解得
．所以．故选D
10．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22
221x y a b
-=
则其渐近线方程为
（ ）
A ．y =±2x
B ．y
=
C ．12
y x =±
D
．2
y x =± B 由双曲线的离心率
，可知c=
a ，又a 2
+b 2
=c 2
，所以b=a ，
所以双曲线的渐近线方程为：y=
=±
x ．选B ．
11．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线
1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象
限的点M .若
1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p = （ ）
A
．16
B
．8
C
．3
D
．3
D
经过第一象限的双曲线的渐近线为y x =
。
抛物线的焦点为(0,)2p F ,双曲线的右焦点为2(2,0)F .1'y x p =，所以在200(,)2x M x p
处的切线斜率为
3，
即01x p =，
所以03x p =，即三点(0,)2p F ，2(2,0)F
，(,)36p M p 共线，
所以0202p p p
--=
-，
即3
p =
D. 12．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,
过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为
（ ）
A ．
22
14536x y += B ．
22
13627x y += C ．
22
12718x y += D ．221189
x y +=
D 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得
，
相减得，所以．
因为x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，
==．
所以，化为a 2=2b 2
，又c=3=
，解得a 2=18，b 2
=9．
所以椭圆E 的方程为．故选D ．
13．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物
线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点
)2,0(,则C 的方程为
（ ）
A ．2
4y x =或2
8y x = B ．2
2y x =或2
8y x = C ．2
4y x =或2
16y x =
D ．2
2y x =或2
16y x =
C 因为抛物线C 方程为y 2
=3px （p ＞0）
所以焦点F 坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF 为直径的圆过点（0，2），
所以设A （0，2），可得AF ⊥AM
Rt △AOF 中，|AF|=
=
所以sin ∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于A 点，
所以∠OAF=∠AMF ，可得Rt △AMF 中，sin ∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2
=16x 故选：C
二、填空题
14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
双曲线
19162
2=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. x y 4
3
±=
15．（2013年高考江西卷（理））抛物线2
2(0)x
py p =>的焦点为F,其准线与双曲线
22
133
x y -=相交于,A B 两点,若ABF ?为等边三角形,则P =_____________ 6 本题考查抛物线与双曲线的方程和性质。抛物线的焦点坐标(0,
)2
p
F ，准线方程为2p y =-。代入22133x y -=
得x =。要使若ABF ?
为等边三角形，则tan 6x p π==
=236,6p p ==。 16．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦
点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ?的最小内角为30
,则C 的离心率为___.
本题考查双曲线的性质以及余弦定理的应用。不妨设点P 位于双曲线的右支
上。由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，又126PF PF a +=，所以解得
124,2PF a PF a ==。因为22a c <，所以2PF 最小，即1230PF F ∠= .所以由余弦定
理得2
22
2
1121122cos30PF PF F F PF F F =+- ,
即
22241642422
a a c a c =+-???
，即2230a c +-=
，即2
30e -+=，
解得e =
17．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4
CBA π
∠=
,若
AB=4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________
3
. 【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为
22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得
24,233
b c ==
． 18．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a
=交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.
),1[+∞ x x C m m B m m A ⊥-则根据题意不妨),,(),,(),,(222
)()12(0)(),(),(42224222222222=
+++-?=-+-=-+?--x x m x m m x m x m x m x m x m x ),1[10)1(-222222+∞∈+=?=--x m x m x m ）（.所以),1[+∞∈a
19．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ,右焦点为F ,
右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若
126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.
由题意知2212,bc a b d d c a c c ==-=
所以有2b c = 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=
两边同除以4a 得到24
16e e -=，解得2
13e =
，即e =20．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆
22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________
1
由直线方程)y x c +?直线与x 轴的夹角1223
3
MF F π
π
∠=
或
，且过点1-F （c,0）
12212MF F MF F ∠=∠∴122123
MF F MF F π
∠=∠=即
12F M F M ⊥12RT F MF ∴?在
中，121
22,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义
可得21c a c a =∴
== 21．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m
-=的离心率为5
4, 则m 等于___9_____.
9
9161694522=?==?=m m
a
b a
c 22．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接
,AF BF ,若4
10,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=
,则C 的离心率e =______. 57
由余弦定理，222
2cos ABF AF AB BF AB BF =+-?∠,即24
361002105
BF BF =+-???，整理得216640BF BF -+=，解得8BF =.又三角
形ABF 为直角三角形，所以1
52
c BO AB ===.设右焦点为1F ,连结22,AF BF .根据对
称性可知四边形1AFBF 为矩形，所以28AF BF ==，又椭圆的定义可知
268142AF AF a +=+==，所以7a =，所以离心率57
c e a =
=。 23．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x
y 1
=
(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______. 1-或10 由题意设()0001,
,0P x x x ??
> ???
则有
()22
2
222200000200000111112++2=+-2+22
PA x a a x a x a x a x a x x x x x ????????
=-+-=+-+- ? ? ? ????????
?令()00
1
t 2x t x +
=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，
22min 2
(2)242
2428PA f a a a a ==-+∴-+=
1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，
22min 2
()2
28
PA f a a a ==-∴-=
a =，
a =（舍去） 综上1a =-
或a =24．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F 为抛物线
x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的
中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.
1± 设直线l 的方程为y =k (x +1)，联立??
?y =k (x +1)， y 2
=4x ．
消去y 得k 2x 2+(2k 2?4)x +k 2=0，由韦
达定理，x A + x B =?2k 2?4 k 2，于是x Q =x A + x B 2=2k 2?1，把x Q 带入y =k (x +1)，得到y Q =2
k ，根据|FQ |=
????2k 2?22+???
?2k 2
=2，解出k =±1． 三、解答题
25．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,
第2小题满分9分.
已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1
0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ?为等边三角形,求椭圆
C 的方程;
(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥
,
求直线l 的方程.
[解](1)设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.
根据题意知2221
a b a b =??-=?, 解得2
43a =,213b = ，故椭圆C 的方程为2214133
x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1)12
y k x x y =-???+=?? 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则
2212121111
222242(1) (1 ) (1 )2121
k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以11
0F P FQ ?=
,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++
2271021k k -==+, 解得217k =,
即k =.
故直线l
的方程为10x -=
或10x -=.
26．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为
12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41
(,)33
P .
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222
211
||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.
解
:122a PF PF =+==
所以
,a =
又由已知,1c =, 所以椭圆C
的离心率2c e a =
==
()II 由()I 知椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
设点Q 的坐标为(x,y).
(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q
点坐标为
0,2?- ?
? (2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.
因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则
22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()22
2222(1).AQ x y k x =+-=+
由
2
2
2
211AQ
AM
AN
=
+
,得
()()()222222
12
211
111k x k x k x =++++,即 ()2
1212
22222
1212
2211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2
212
x y +=中,得
()2
221860k
x kx +++= ②
由()()
2
2
842160,k k ?=-?+?>得2
32
k >
. 由②可知121222
86
,,2121
k x x x x k k +=-
=++ 代入①中并化简,得2
218103
x k =- ③
因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2
y k x
-=,代入③中并化简,得
()2
2102318y x --=.
由③及2
32k >,可知2
302x <<,即x ???∈ ? ? ????
.
又0,2? ??满足()22
102318y x --=,故x ?∈ ??
. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,
又由()2
2
102183y x -=+有
()2992,54y ??
-∈????且11y -≤≤,则1,22
y ?∈ ??. 所以点Q 的轨迹方程是()2
2
102318y x --=,其
中,x ?∈ ??,1,22y ?∈ ??
27．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆
2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x
轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线
PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明12
11
kk kk +为定值,并求出这个定值.
解:(Ⅰ)由于2
2
2
c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b
+=得2b
y a =±
由题意知221b a =,即2
2a b = 又
c e a =
= 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2
21
4x y +=
20
4x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为2
4x ≠,
1200
118kk kk +=-=-为定值. 28．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线2
21:12
x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为
“C 1—C 2型点”.
(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2
2
1
2
x y +=
内的点都不是“C 1—C 2型点”.
解:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于(,与C 2交于
(1))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则
(||1)||1||||1
y kx
k x y x =??-=?
=+?,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则
22
22
(12)222y kx k x x y =??-=?-=?
,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2
2
1
2
x y +=
内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则
:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-?-++-=
直线l 与圆2
2
1
2x y +=
内部有交点,<
化简得,2
2
1(1)(1)2
t tk k +-<
+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则
222
22
1
1()2(1)(1)10212
y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++???-++-++-+=?-=?
? 2222221
4(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2
k t kt k t kt t kt k ?=+---+-+≥?+-≥-
化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②
由①②得,2
2
2
212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<
+?< 但此时,因为2
210,[1(1)]1,(1)12
t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;
当2
12
k =时,①式也不成立
综上,直线l 若与圆22
12
x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,
即圆22
12
x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .
29．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形
OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA
和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线
与i OB 交于点*(,19)i
P i N i ∈≤≤. (1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;
(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ?与OCN ?的面积比为
4:1,求直线的方程.
解:(Ⅰ)依题意,过*
(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i
(10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10
=
i
y x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=??
?=??
x i
i
y x 得:2110=y x ,即210=x y ,
∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx
由2
1010=+??
=?y kx x y
得2
101000--=x kx 此时2
100+4000?=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100
+=??
?=-?x x k
x x
4??= OCM OCN S S ∴124=x x
又120?< x x ,∴124=-x x 分别带入2
1010=+??
=?y kx x y
,解得3
2=±k 直线的方程为3
+102
=±
y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 30．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2
:2(0)E x
py p =>的焦点F 作斜率分别为12
,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .
(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;
(II)若点M 到直线l
的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 解: (Ⅰ) ，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2
,
0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A p
F 0
2,2
21211=++-+=p x pk x E p
x k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线)
,(2
,20,22
11211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=?+==+=?=-=?=+?
),(2
,2,2
22223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=?+==+=
?同理. )1(2121222
22
1221+=+=??k k k k p p k k p k k FN FM
2212122121212121)
11(1)1(,122,,0,0p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k +??<+=?∴≤?≥+=≠>> 所以,22p FN FM
,
)]2
(2[21)]2()2[(21,2
12121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=?的半径分别为、设圆,2同理,2
21211p p k r p p k r +=+=?
.,21r r N M 的半径分别为、设圆则2
1212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,
的方程为：
，直线l r y y x x 2
2234234)()(=-+- 0-)(2)(22
22123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .
))(-())(())(()(2)(2121234123412341234122
12212=++--+--+-+-?r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p )((1))(()(2)(2)(22
2
12
12
222
22
12
22
122122
12
212+-+++-+-+-+-?k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(22
22
12
22
1=+?=+++++--+?y x k k p k k p p y x
5
758751
)41
()41(2|512||52|),(212
112121212=
=+-+-?≥++?=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=?=?抛物线的方程为.
31．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)
1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:2
22=+y x C 的直
径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点
D
(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.
解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2
214
x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-?--=,直线21
:10l y x x ky k k
=-
-?++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-?--=
的距离为d =
所以直线1l 被圆224x y +=所
截的弦AB ==
由22222
048014
x ky k k x x kx x y ++=???++=?+=??,所以
28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以
11||||22444313ABD
S AB DP k k k ?====++++
（第21题图）
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知 24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） A ．( B ．( C ．( D ．( 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 【2014，10】已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ） A ． 72 B ．52 C ．3 D ．2 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12 x ± D ．y ＝±x 【2013，10】已知椭圆E ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22 =1189 x y +
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈
若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.
精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月
1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2
集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 高考真题理科数学解析分类汇编16 复数 1.【2012高考浙江理2】 已知i 是虚数单位，则31i i +-= A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-=i i i i i i 212 42)1)(1()1)(3(+=+=+-++。故选D 。 2.【2012高考新课标理3】下面是关于复数21z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【答案】C 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12 )1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C. 3.【2012高考四川理2】复数2 (1)2i i -=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 【答案】B 【解析】22(1)1221222i i i i i i i --+-===- [点评]突出考查知识点12-=i ，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以. 4.【2012高考陕西理3】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】00=?=a ab 或0=b ，而复数bi a i b a -=+是纯虚数00≠=?b a 且，i b a ab + ?=∴0是纯虚数，故选B. 5.【2012高考上海理15】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根， 则（ ） 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ） 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 1、集合与简易逻辑 （2014）1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ (2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} （2012）1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 （2010）（1）已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{| 4,}B x x Z =≤∈,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 2、平面向量 （2014）3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 (2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?＝__________. （2012）13、已知向量a ，b 夹角为45°，且1=a ，102=-b a ，则b =____________. （2011）（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ?? +>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ?? ->?∈ ??? 其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P 3、复数 （2014）2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（ ） A. – 5 B. 5 C. - 4+ I D. - 4 – i (2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i （2012）3、下面是关于复数z= 2 1i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D2019-2020高考数学试题分类汇编
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