线性代数综合练习题（一）
一、单项选择题
1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111
---?=B A AB (B) ())/1()/1(111
---?=B A AB (C)
()1
1
1
---?=B
A
AB (D) ()
AB AB /11
=-
2. 若A 为n 阶矩阵，且03
=A ，则矩阵=--1
)
(A E （ ）.
（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 3
3)(?=ij a A ，?????
??+++=133312
321131
131211
23
2221a a a a a
a a a a a a a B ，????
?
??=1000010101P ，
???
?
?
??=1010100012P ，那么（ ）.
（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量
6. 若???
?
? ??=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
7. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1
-A （B ）A 2 （C ）4
A （D ）T
A 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与
B 相似.
（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题
1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .
2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*
X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .
3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .
4. 设()2,1,
11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .
5. 设????
? ??=300050004A ，则=--1
)2(E A .
6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，
1-A 的特征值为 .
三、计算题
1. 计算行列式
b
a b
b
b
b b a b b b b b a b b b b b
a ----+----+
2. 已知矩阵???
?
? ??=200012021A ，求10A .
3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中
T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .
4. λ取何值时，非齐次线性方程组
???
??=-+=+-=-+1
610522321
321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.
四、证明题
1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2
.证明A 的伴随阵A A =*
.
2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.
第二章练习题（二）
一、填空题
1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=--*1
23A A
.
2. n 阶实矩阵A 若E AA T =，则A 称为正交矩阵.设B A,都是n 阶正交矩阵，若
0=+B A ，则=+B A .
3. 设????
? ??=100020101A ，则=-+-)9()3(2
1E A E A .
4. 设3阶矩阵B A,满足关系式：
BA A BA A +=-61，且?
???? ?
?=714
13
1000000A ， 则=B .
5. 已知A B AB =-，其中???
??
??-=20001
2021B ，则=A . 6. 设B A,都是3阶方阵，其中???
?
? ??-=210301000B ，若有3阶可逆方阵P ，使得PB AP =，
则行列式=+E A .
7. 设α为3维列向量，T α是α的转置，若????
?
??----=111111111T αα，则=ααT
。
8. 设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则分块对角矩阵???
?
??=B O O A C 也可逆，且
其逆矩阵=-1
C
。
二、选择题
1 设B A,为n 阶方阵，O A ≠且O AB =，则（ ）.
（A ）O B = （B ）0=B 或0=A （C ）O BA = （D ）2
22)(B A B A -=-
2. 设A 是)1(>n n 阶矩阵，*
A 是A 的伴随矩阵，若2=A ，则=*
3A （ ）.
(A) 1
2
3-n n (B) 1
2
3-?n (C) 2
3n (D) 2
23-?n
3. 设)2(≥n n 阶矩阵A 非奇异，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）A A
A 1
)(-*
*=n （B ）A A A 1
)(+**=n （C ）A A
A 2)(-*
*=n （D ）A A
A 2
)(+**=n
4. 设P A,为n 阶矩阵，且P 可逆，则下列运算不正确的是（ ）。 （A ）BP P B 1-= （B ）BP P B 1
-= （C ）BP P E B E 1
--=-λλ （D ）T
)(1
BP P E B E --=-λλ
5. 设E AB B,A,-是同价可逆方阵，则=------111
1))
((A ΒΑ（ ）
。 （A ）E BAB - （B ）E ABA - （C ）A ABA - （D ）B BAB -
6. 设n 维行向量)2
1,0,,0,
21( =α，
矩阵ααE A T -=，ααE B T
+=，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB 等于（ ）。
（A ）O （B ）E - （C ）E （D ）ααE T
+
7. 已知C B,A,都是n 阶矩阵，其中C B,均可逆，若CB A AB +=2，则A 等于（ ）。 （A ）CB E B 1
)2(-- （B ）BC E B 1
)2(-- （C ）C E B B 1
)2(-- （D ）B E B C 1
)2(-- 8. 下列命题中，正确的是（ ）。 （A ）如果矩阵E AB =，则A 可逆且B A =-1
（B ）方阵AB 的行列式BA AB =
（C ）如果矩阵AB 不可逆，则B A ,都不可逆 （D ）如果n 阶矩阵A 或B 不可逆，则AB 必不可逆
9. 设B A ,都是n 阶可逆矩阵，且满足E AB =2
)(，则下列等式正确的是（ ）。
（A ）1
-=B A （B ）E AB = （C ）E BA = （D ）E BA =2
)(
10. 设B A,为n 阶矩阵，*
*B A ,分别为B A,对应的伴随矩阵，分块矩阵???
?
?
?=B O
O A C ，则C 的伴随矩阵=*
C （ ）。
（A ）????
??**
B B O
O A A （B ）????
??**A A O O B B （C ）????
??**A B O O B A （D ）???
?
??**B A O O A B 三、计算题
1. 广州、武汉是甲乙两种货物的发货地。发往北京、天津、南京。已知发货情况如下表，试用矩阵表示北京、天津、南京站要接收广州、武汉来货的总量各多少吨？
2. 求???
?
? ??=120130005A 的逆矩阵1-A .
3. 已知????? ??-=243121013A ，???
?
? ??-=112111201B ，求满足等式B C A =-23的矩阵C .
4. 设A 是)2(≥n n 阶非零实矩阵，其元素ij a 与A 的代数余子式ij A 相等，求A 。
5. 设???? ??=???? ??=t s 121,111B A ，问t s ,为何值时，B A,满足BA AB =。
6. 已知矩阵???
?
?
??=100010011A 求与A 相乘可交换的矩阵。
7. 设??????
?
??-=22000200003
40043A ，求20A 及4
A 。 8. 已知??
???
?
?
?
?=200042000021
0042A ，求n
A 。
四、证明题
1. 设n 阶矩阵A 适合O A =2
，试证A E -是可逆矩阵.
2. 设T ααE A -=，其中E 是n 阶单位矩阵，α是1?n 非零列矩阵，T
α其中是α的转置，证明（1）A A =2的充要条件是1=ααT
； （2）当1=ααT
时，是A 不可逆矩阵.
3. 设A 是3阶可逆矩阵，如果它的各行元素之和都相等，证明：A 的各列元素的代数余子式之和也相等，且不为零.
4. 设B A,都是n 阶矩阵，且满足A A =2，B B =2和B A B A +=+2
)(，证明AB 为零矩阵。
5. 设C B,A,为同阶矩阵，C 非奇异，且AC C B 1
-=，证明：C A C B m m
1-=.（是正
整数）.
6. 设n 阶矩阵A 满足A A =2，且E A ≠，证明0=A .
线性代数综合练习题（三）
一、选择题
1. 设A 是n m ?矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AB C =的秩为1r ，则（ ）.
（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）1r r 与的关系依B 而定 2. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.
（A ） 1
-A （B ） A 2 （C ） 4
A （D ） T
A
3. 值不为零的n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）. （A ） 保持不变 （B ） 保持不为零 （C ） 保持有相同的正负号 （D ） 可以变为任何值
4. 设A 和B 都是n 阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确. （A ） 若A 和B 都是对称阵，则AB 也是对称阵 （B ） 若0≠A ，且0≠B ，则0≠AB
（C ） 若AB 是奇异阵，则A 和B 都是奇异阵 （D ） 若AB 是可逆阵，则A 和B 都是可逆阵 5. 向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是（ ）. （A ）s ααα,,,21 中有一个零向量 （B ）s ααα,,,21 中任意向量的分量成比例
（C ）s ααα,,,21 中有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）s ααα,,,21 中任意一个向量是其余向量的线性组合
6. 设方阵B A ,的秩分别为21,r r ，则分块矩阵),(B A 的秩r 与21,r r 的关系是（ ）. （A ）21r r r +≤ （B ）21r r r +≥ （C ）21r r r += （D ）不能确定 二、 填空题
1. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，3，则=A .
2. 设3231212
32
22
132122222),,(x tx x x x x x x x x x x f +++++=为正定二次型，则t 的取值范围为 .
3. 设??
?
??
?
?
??=210011000012
0025A ，则=-1
A .
4. n 阶行列式==
b
a a a
b a b a b D n
00000000000
00000 .
5. 设n 阶方阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值为 .
6. 设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b AX =的s 个解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是它的解，则=+++s k k k 21 . 三、计算题
1. 解矩阵方程B AX X +=，其中????? ??---=101111010A ，????
?
??--=350211B .
2. 求下列矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：
??
?
?
?
?
?
?
?---=14011313021512012
2
11
A
3. 已知矩阵???
?
? ??=200012021A ，求10A .
4. 向量组,)1,5,2(,)6,,1(,)10,1,(,)1,2,1(121T
T
T
T
=--=-==βλαλαα讨论λ取何值
时，（1）β能由321,,ααα线性表示，且表示式唯一，（2）β能由321,,ααα线性表示，且表示式不唯一，（3）β不能由321,,ααα线性表示. 四、证明题
1. 设21,λλ是n 阶方阵A 的两个特征值，21λλ≠，21,p p 是对应的特征向量，证明21p p +不是A 的特征向量.
2. 设A 是n 阶方阵，若存在正整数k ，使线性方程组0=X A k 有解向量α，且01
≠-αk A ，
证明向量组αααα1
2
1,,,,-k A
A A 是线性无关的.
线性代数综合练习题（四）
一、选择题
1. 设C B A ,,均为n 阶方阵，若由AC AB =能推出C B =，则A 应满足下列条件中的（ ）。
（A ）0≠A （B ）0≠A （C ）0=A （D ）0=A 2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ）。
（A ）A 中必有两行（列）的元素对应成比例
（B ）A 中至少有一行（列）的元素全为零
（C ）A 中必有一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合 （D ）A 中任意一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合
3. 设方阵A ，B 的秩分别为21,r r ，则分块矩阵),(B A 的秩r 与21,r r 的关系是（ ）。 （A ）21r r r +≤ （B ）21r r r +≥ （C ）21r r r += （D ）不能确定
4. 设3
3)(?=ij a A ，?????
??+++=133312
321131
131211
23
2221
a a a a a
a a a a a a a B ，????
?
??=1000010101P ，
???
?
?
??=1010100012P ，那么（ ）。
（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 设B A ,都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则A 和B 的秩（ ）。
（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n
6. 设A 、B 为n 阶方阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位阵，则（ ）。
（A ）B E A E -=-λλ （B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量 （C ）A 与B 相似于一个对角矩阵 （D ）对任意常数t ，B tE A tE --与相似 二、填空题
1. 已知???
?
? ??-=200012021B ，则=-1B 。
2. 若对???
?
? ??=t A 41421124，有2)(=A R ，则=t 。
3. 向量组（Ⅰ）：321,,ααα，（Ⅱ）：4321,,,αααα，（Ⅲ）：5321,,,αααα，如果R(Ⅰ)= R （Ⅱ）=3, R （Ⅲ）=4, 则45321,,,ααααα-的秩= 。
4. 设s ηηη,,,21 为非齐次线性方程组b AX =的s 个解，若s s c c c ηηη+++ 2211也是该线性方程组的一个解，则=+++s c c c 21 .
5. 已知n 阶可逆矩阵A 的每行元素之和均为)0(≠a a ，则数 一定是E A +-1
2的
特征值。
6. 设 3231212
32
22
132122222),,(x tx x x x x x x x x x x f +++++=为正定二次型， 则t 的取值范围为 。
三、计算题
1. 设????? ??=520310002A ，????
? ??=000211B ，且 B X A =*
，求X 。
2. 求向量组??????? ??=12011α，??????? ??=10212α，??????? ??=03123α，??????? ??-=41524α，????
??
?
??--=13115α的秩和一个最
大无关组，并把其他向量用该最大无关组线性表示。
3. 对于线性方程组???
??-=-+=+-=-+1
554212321
321321x x x x x x x x x λλ 讨论λ取何值时，方程组无解、有惟一解和有
无穷多解？并在方程组有无穷多解时，求其通解。 4. 设二次型322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=， （1）求一个正交变换化二次型为标准形， （2）设A 为上述二次型的矩阵，求10A 四、证明题
1. 设21,λλ是n 阶方阵A 的两个特征值，21λλ≠，21,p p 是对应的特征向量，证明21p p +不是A 的特征向量.
2. 设121,,,-n ααα 为1-n 个线性无关的n 维列向量，21,ξξ是和121,,,-n ααα 均正交的
n 维列向量，证明21,ξξ线性相关。
线性代数综合练习题（五）
一、填空题
1. 已知???
?
? ??-----=654032001
A ，则=-1A 。
2. 设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为4
3211
,
1
,
1
,
1
λλλλ，则行列式=--E B
1
。
3. 方程022321=++x x x 的规范正交解为 。
4. 设矩阵????
? ??---k k 12115210611的秩为2，则=k 。 5. 设()T
0111-=α，()T
1112=α，()T
2113-=α是3
R 的一个正交基，则
()T 143=β在此基下可线性表示为 。
二、选择题
1. 关于矩阵，下列命题正确的是（ ）。
（A ）若0=AB ，则0=A 或0=B （B ）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形 （C ）矩阵的标准形不惟一 （D ）若P 为初等矩阵，PB PA =，则)()(B R A R =
2. 下列命题正确的是（ ）
（A ）n 维列向量组)(,,,21n m m >ααα 可以线性无关 （B ）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩
（C ）n 维列向量组)(,,,21n m m >ααα 必线性相关 （D ）若方阵0≠P ，则P 可逆。
3. 设A 为n 阶方阵，C 是n 阶正交阵，且AC C B T
=，则下列结论不成立的是（ ）。 （A ）A 与B 相似 （B ）A 与B 有相同的特征向量 （C ）A 与B 有相同的特征值 （D ）A 与B 等价
4. 已知三阶矩阵A 的特征值为,4,3,2321-===λλλ其对应的特征向量分别是
321,,ξξξ，取),,(132ξξξ=P ，则=-AP P 1
（ ）
（A ）?
???
? ??-400030002 （B ）????? ??-200040003 （C ）????? ??-400020003 （D ）???
?? ??-300020004
5. 二次型AX X X f T
=)(（A 是对称矩阵）正定的充要条件是（ ）。 （A ）对任何X ，有0≥AX X T
（B ）A 的特征值为非负数
（C ）对任何0≠X ，有0≠AX X T
（D ）对任意0≠X ，有0>AX X T
三、计算题
1. 设非齐次线性方程组???
??=++=++=++3
321
2321322122λλλλλλλx x x x x x x x x ，
（1）λ取何值时，方程组（a ）有唯一解；（b ）无解；(c) 有无数多个解。并且方程组有无
数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解。
（2）设该方程组的系数矩阵为A ，试问λ取何值时，存在三阶非零矩阵B ，使得0=AB 。
2. 设????
??=1221A ，?
???
?
??=100012021B ， （1） 求一正交相似变换矩阵P ，使Λ=-AP P 1
，其中Λ为对角矩阵； （2） 求n
B 。
3. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为,11=λ,232==λλ11=λ对应的特征向量为
????
? ??=1111ξ，
（1） 求232==λλ对应的特征向量；
（2） 求矩阵A 。
4. 判断下面向量组的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示。
??????? ??=12011α，??????? ??=10212α，??????? ??=03123α，??????
? ??-=41524α
四、证明题
1. 设A 与B 为n 阶矩阵，0≠A ，则AB 与BA 相似。
2. 设A 为正定矩阵，证明：1>+E A 。
线性代数综合练习题（六）
一、选择题
1. 设A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是（ ）。 （A ）A 的列向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性无关
2. s ααα,,,21 )2(≥s 线性无关的充要条件是（ ） （A ） 都不是零向量
（B ） 任意两个向量的分量不成比例
（C ） 至少有一个向量不可由其余向量线性表示 （D ）
每个向量均不可由其余向量线性表示
3. 设矩阵???
? ??-=a b b a A 其中0>>b a 且12
2=+b a ，则A 为（ ）
。 （A ）正定矩阵 （B ）负定矩阵 （C ）初等矩阵 （D ）正交矩阵 4. A 为n 阶方阵，),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，则必有（ ）。 （A ）),,2,1(n i i =λ互异 （B ）),,2,1(n i i =λ不等于零
（C ）
nn n a a a 221121=λλλ （D ）nn n a a a +++=+++ 221121λλλ 5. 若存在一组数021====m k k k 使得02211=+++m m k k k ααα 成立，则向量组
n ααα,,,21 （ ）
（A ）线性相关 （B ）线性无关 （C ）可能线性相关也可能线性无关 （D ）部分线性相关 二、填空题
1. 设???
?
? ??--=11334221t
A ，
B 为非零矩阵，0=AB ，则=t 。 2. 设n 阶方阵A 的n 个特征值为1，2，…，n ，则=+E A 。
3. 设列向量组????? ??=2311α，????? ??=1322α，???
?
?
??=1233α线性相关，则=t 。
4. 已知正交矩阵A 的两个列向量????? ??=0101α，???????
??-=210212α，则????
?
??=A 。 5. 若???? ??=301211B ，?
???
?
??-=615341C ，则???
?
??
=BC 。 三、计算行列式
1.
=64
2781169
4
14321111
1
2. =-=1
212543
1432321n n n D n
四、确定下列方程组是否有解，若有解，求其通解。
??????
?=+-+-=-+--=-+-+=+-+-1
2252222323221254321543215
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 五、解矩阵方程B AX =求X ，其中
????? ??---=011210101A ， ???
?
? ??--=141101132B
六、求向量组??????? ??=12011α，??????? ??=10212α，??????? ??=03123α，??????? ??-=41524α，????
??
? ??--=13115α的最大线性无
关组，并把其他向量用最大线性无关组线性表示。 七、设n 阶矩阵A 满足A A =2，E 为n 阶单位矩阵，
求证：n E A R A R =-+)()(。
八、设矩阵???
?
?
??----=324122
3k k
A ，问当k 为何值时，存在可逆矩阵P 使得Λ=-AP P 1，其中Λ为对角矩阵？并求出相应的对角矩阵。
线性代数综合练习题（七）
一、选择题
1. 设A 、B 为n 阶矩阵，则下面必成立的是（ ）。
（A ）B A B A +=+ （B ）1
11)(---+=+B A B A
（C ）BA AB = （D ）BA AB = 2. 设A 为n 阶矩阵，且0=k
A ，则=--1
)
(A E （ ）。
（A ）A E + （B ）1
2
-++++k A A A E
（C ）1
2
-----k A
A A E （D ）A E -
3. 设向量组m ααα,,,21 的秩为3，则（ ）。
（A ）任意三个向量线性无关 （B ）m ααα,,,21 中无零向量 （C ）任意四个向量线性相关 （D ）任意两个向量线性无关 4. 线性方程组11???=m n n m b x A ，)0(≠b 有解的充要条件是（ ）。 （A ）)|()(b A R A R = （B ）m A R =)( （C ）n A R =)( （D ）)|()(b A R A R ≠
5. n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）。 （A ）A 的n 个特征值互不相同 （B ）A 可逆
（C ）A 无零特征值 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量
二、填空题
1. 各列元素之和为0的n 阶行列式的值等于 。
2. 设三阶矩阵????
? ??
=432A ，则=-1
A 。 3. 设矩阵???
?
?=312
11
A ，?
???
? ??=321B ，则=AB ，=BA ，=k BA )( （k 为正整数）
。 4. 设2)(43=?A R ，???
?
?
??=300220111P ，则=)(PA R 。
5. 设向量组321,,ααα线性无关，则向量组211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=线性 。
6. 设三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2、3、5，则=A ，A 的伴随矩阵*A 的特征值为 。
7. 设实二次型3231212
32
22
13212222),,(x x x x x x kx x x x x x f +++++=为正定二次型，则参数k 的取值范围是 。
三、计算题
1. 设???
?
? ??=????? ??????? ??693471582010100001100001010X ，求矩阵X 。
2. 当λ取何值时，线性方程组
???
??=+---=-+-=--2
321
3213211
λλλλλx x x x x x x x x 有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。
3. 设四维向量组??????? ??-=00111α，??????? ??--=11212α，??????? ??-=11103α，??????? ??-=12314α，????
??
? ??-=54
625α，求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。
4. 求一个正交变换PY X =，将实二次型
322
3222132142),,(x x x x x x x x f +++=
化为标准形，并判断该二次型是否正定。
四、证明题
1. 设A 为n 阶矩阵，如果E A =2，则n E A R E A R =-++)()(。
2. 设n 阶矩阵0≠A ，0=k
A （k 为正整数），则A 不能与对角矩阵相似。
线性代数综合练习题（八）
一、填空题
1. 设???
?
??=543022001A ，则A 的伴随矩阵=*A 。
2. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 。
3. 设二次型212
22
121422),(x kx x x x x f ++=为正定二次型，则k 取值范围为 。
4. 设矩阵???
?
??---=k k A 12115210611的秩为2，则k = 。
5. n 元齐次线性方程组0=?X A n m 有非零解的充分必要条件是 ； n 元非齐次线性方程组β=?X A n m 有解的充分必要条件是 。
二、选择题
1. 设A 与B 为n 阶非零矩阵，且AB = 0 ，则A 与B 的秩（ ）
（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n
2. 设A 为n 阶实矩阵，T
A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：0=AX 和（Ⅱ）：
0=AX A T ，必有（ ）
（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；
（B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；
（C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （D ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解。 3. 设C B A ,,为n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（ ）
（A ）E ACB = （B ）E CBA = （C ）E BAC = （D ）E BCA =
4. 设向量组,42111????? ??-=α,21
302????? ??=α,147033????
? ??=α,02214???
??
??-=α,105125????? ??=α则该向量组的一个最大无关组为（ ）
（A ）321,,ααα （B ）421,,ααα （C ）521,,ααα （D ）5421,,,αααα 5. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似。
（A ）B A = (B) )()(B R A R = （C ）A 与B 有相同的特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同
三、计算n 阶行列式0
111110*********
11011
1110 =n D 。
四、求下面齐次线性方程组的基础解系：
???
??=-++=-++=+--0
3678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x
五、设???
?
??-=321011330A ，B A AB 2+=，求B 。
六、 设3阶对称矩阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为???
?
??=1111ξ，求A 。
七、求一个正交变换使化下列二次型成标准形：
322
322213214332),,(x x x x x x x x f +++=。
八、设n ααα,,,21 是一组n 维向量，证明：n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是任
一n 维向量都可由它们线性表示。
线性代数综合练习题（九）
一、选择题
1. 设A 为n 阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。 （A ） T A A + （B ） T A A - （C ） T AA （D ） A A T
2. 已知向量组βααα,,,,21m 线性相关，则（ ）。
（A ）β可由m ααα,,,21 线性表示 （B ）β不可由m ααα,,,21 线性表示 （C ）若m r m =),,,,(21βααα ，则β可由m ααα,,,21 线性表示 （D ）若m ααα,,,21 线性无关，则β可由m ααα,,,21 线性表示
3. 设???
?
?
??=t A 11111001，则当=t （ ）时，2)(=A r 。
（A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2-
4. 齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是（ ）。
（A ）A 的列向量组线性无关 （B ）A 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性无关 （D ）A 的行向量组线性相关 5. 设n 阶矩阵A 的n 个特征值全为零，则（ ）。
（A ）0=A （B ）A 只有一个线性无关的特征向量 （C ）A 不能与对角矩阵相似 （D ）当A 与对角矩阵相似时，0=A 二、填空题
1. 设四阶行列式D 的第一行元素分别为,5,8,3,114131211-====a a a a 第一行元素的余子式分别为9,6,0,714131211====M M M M ，则=D 。
2. 设???
?
? ??=000100110A ，则=3A 。
3. 设3)(34=?A r ，???
?
?
?
?=00
0210
321
B ，则=)(AB r 。 4. 设V 是由向量组??????? ??=12011α，??????? ??=10
212α，??????? ??=03123α，?
????
?
? ??-=41524α，??????? ??--=13115α所生成的向量空间，则V 的维数为 。
5. 设三阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则1-A 的特征值为 ，=+E A 。
6. 实二次型3231212
32
22
1321444),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=的矩阵为 。 三、计算题（
1. 设三阶矩阵A 、B 满足BA A BA A +=-61
，且?????
??
? ?
?=710
00410
003
1
A ，求
B 。 2. 当λ为何值时，线性方程组
???
??=++=++=++2
321
3213211λλλλλx x x x x x x x x （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解。 3. 设A 为三阶矩阵，三维列向量组321,,ααα线性无关，且
32112αααα++=A ，212ααα+=A ，3232ααα+=A
（1）求B ，使得B A ),,(),,(321321αααααα=；（2）求A 。
4. 设三阶矩阵A 的特征值分别为21-=λ，22=λ，13=λ，对应的特征向量分别为
????? ??=1111p ，????? ??=1102p ，????
? ??=0113p
求A 。
四、证明题
1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，证明*
A 的秩n A r =*
)(。
2. 设n 维向量组s ααα,,,21 线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，……，
1ααβ+=s s ， 证明：s βββ,,,21 线性无关的充要条件是s 为奇数。
线性代数综合练习题（十）
一、选择题
1. 如果行列式
020
02
00011001
1=k
k
k ，则（ ）。
（A ）k 可能为1 （B ）k 不可能为1
（C ）k 必为1 （D ）k 不可能为2 2. 设A 、B 为n 阶矩阵，则（ ）成立。 （A ）BA AB = （B ）BA AB =
（C ）B A B A +=+ （D ）1
11)(---+=+B A B A
3. 设m ααα,,,21 均为n 维向量，则下面结论正确的是（ ）。 （A ）如果02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,,21 线性相关
（B ）若m ααα,,,21 线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，有
02211=+++m m k k k ααα
（C ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，有02211≠+++m m k k k ααα ，则
m ααα,,,21 线性无关
（D ）如果000021=?++?+?m ααα ，则m ααα,,,21 线性无关 4. 齐次线性方程组01=??n n m X A 有非零解的充要条件是（ ）。
（A ）n A r ≤)( （B ）n A r =)( （C ）n A r >)( （D ）n A r <)(
5. 设可逆矩阵A 有一个特征值为2，则1
2)3
1(-A 有一个特征值为（ ）。
（A ） 21 （B ） 41 （C ） 34 （D ） 4
3
二、填空题
1. 行列式
=1
110110110110
111 。
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1 7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1 《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择 1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ） 第一章总论 1.如何正确理解统计的三种涵义？ 答：统计是指对客观现象的数量方面进行核算和分析的活动，使人们对现象的数量表现、数量关系和数量变化进行描述、分析和推断 的一种计量活动。“统计”一词具有三个方面的涵义：即统计活动、统计资料和统计科学。 ⑴.统计活动：即统计工作，是指从事统计业务活动的单位，对政治、经济、文化等方面的数字资料进行搜集、整理、分析的活动。 ⑵.统计资料：即统计所提供的数字和分析资料，是指反映社会政治、经济、文化等方面的统计数字资料。 ⑶.统计科学：即统计学，是指搜集、整理和分析统计数据的方法科学，其目的是探索统计数据的内在数量规律性，以达到对客观事物 的科学认识。 统计活动、统计资料和统计科学之间存在如下关系： 统计活动与统计资料是过程与成果的关系，即：统计活动是取得统计资料的工作过程，而统计资料则是统计活动的成果。 统计活动与统计科学是理论与实践的关系，即：统计活动是形成统计科学的实践过程，统计科学是人们长期统计实践工作的经验总结 和理论概括。 2.为什么要了解统计学的发展过程？ 答：统计学产生于17 世纪中叶，其发展过程是沿着两条主线展开的：一条是以政治算术学派为开端形成和发展起来的以社会经济问 题为主要研究对象的社会经济统计；一条是以概率论的研究为开端并以概率论为基础形成和发展起来的以方法和应用研究为主的数理统 计。回顾、了解统计科学的渊源及其发展过程，对于我们了解统计学与社会经济统计学的关系，学习统计学的理论和方法，提高我们的统 计实践和理论水平都是十分必要的。 3.统计学与其他学科之间的关系如何？ 答：统计学与其他学科之间的关系主要体现在与哲学的关系、与经济学等实质性科学的关系和与数学、数理统计的关系上。 ⑴.与哲学的关系：辩证唯物主义和历史唯物主义是科学的世界观、方法论，它所阐述的关于实践和认识的辩证关系，关于实践是人类 认识的基础、实践是检验真理的唯一标准、矛盾的对立统一观点、质和量的辩证关系、事物普遍联系和相互制约的观点等，对统计发挥认 识工具的作用，具有极为重要的指导意义。 ⑵.与经济学等实质性科学的关系：实质性科学的内容和任务在于揭示客观事物发展变化的规律，以指导人们按照客观规律的要求去改 造世界，而社会经济统计学的形成和运用不能脱离实质性科学的理论指导。这是因为：其一，这类科学对社会经济现象发展规律的论述和 剖析，为统计核算和分析如何入手，如何抓住主要方面描述其数量特征，如何就事物内部及其与其他事物的相互联系、相互制约，进行数 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似 二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 第一章单元测试 文章目录[隐藏目录]?第一章单元测试 ?第二章单元测试 ?第三章单元测试 ?第四章单元测试 ?第五章单元测试 1、判断题： 二阶行列的乘积项中的元素可以取自同一行. 选项： A:错 B:对 答案: 【错】 2、单选题： 选项： A:16 B:12 C:-12 D:-16 答案: 【12】 3、单选题： 选项： A:n B:2n C:0 D:4n 答案: 【0 】 4、单选题： 选项： A: B: C: D: 答案: 【】 5、判断题： 齐次线性方程组的系数行列式等于零，则解是唯一的。选项： A:错 答案: 【错】 6、判断题： 线性方程组的系数行列式不等于零，则解可能不唯一。 选项： A:对 B:错 答案: 【错】 7、判断题： 齐次线性方程组的存在非零解，则系数行列式一定等于零。选项： A:对 B:错 答案: 【对】 8、判断题： 一次对换改变排列的一次奇偶性。 选项： A:对 B:错 答案: 【对】 9、判断题： 两个同阶行列式相加，等于对应位置的元素相加后的行列式。选项： B:错 答案: 【错】 10、判断题： 克莱默法则对于齐次线性方程组而言，方程的个数可以不等于未知数的个数。 选项： A:错 B:对 答案: 【错】 第二章单元测试 1、判断题： 因为零矩阵的每个元素都为零，所以零矩阵相等。 选项： A:错 B:对 答案: 【错】 2、判断题： 选项： A:错 B:对 答案: 【错】 3、单选题： 选项： A: B: C: D: 答案: 【】 4、单选题： 选项： A:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n次方 B:A和A的伴随矩阵的行列式相等 C:A的伴随矩阵的行列式等于A的逆矩阵的行列式 D:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方 答案: 【A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方】5、判断题： 选项： A:对 《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名： 《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分） 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数试题库（1）答案 一、选择题：（3×7=21分） 1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =M ij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)j i +M ij D 。A ij =-M ij 2．设A 是数域F 上m x n 矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m < n 时，有非零解 B ．当m > n 时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{n αα,,1Λ}的矩阵分别为A ，B.那么对于a ，b ∈F ，a σ+b τ关于基{n αα,,1Λ}的矩阵是（ C ） A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量321,,ααα 线性无关，下列不正确的是（ D ） A 1α， 2α线性无关 B ．32,αα线性无关 C ．13,αα线性无关 D ．321,,ααα中必有一个向量是其余向量的线性组合。 5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A ．R n B ．∑===∈n i i i n a n i R a a a 1 1}0,,1,|),,{(且ΛΛ C ．∑===∈n i i i n a n i R a a a 1 1}1,,1,|),,{(且ΛΛ D ．{0} 6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ） A 。相似 B ．合同 C ．相等 D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．)1,1|,(|),,(1321x x x x =σ B ．),,1(),,(321321x x x x x x +=σ C ．)0,,(),,(32321x x x x x =σ D ．),,(),,(2322 21321x x x x x x =σ 二．填空题（3X10=30分） 1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组??? ??=++=+-=++0 9030 322132`1321x k x x kx x x x x x 有非零解 2．设A=()0,,,0321321≠=≠??? ? ? ??b b b B a a a ,则秩（AB ）为（1）。 3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 。 4．设向量空间F 2的线性变换 =--=+=),)((),0,(),(),,(),(,21212122121x x x x x x x x x x x τστστσ则为（2x 1,x 2）。 5．已知V={}02|),,,(4214321=-+x x x x x x x ，则dimV=（3）。 6．已知实矩阵A= 是正交阵，则b=（0）。 7．设，，V 43214321,,,ααααααααα--+=的一个标准正交基是四维欧氏空间 ()()().1),(,6,3,,2||,321=?? ? ??==??=-+=βαπθβαβαααααβd 的夹角与则 三、计算题 1．求矩阵方程的解 ??? ? ??=???? ??+???? ??3113101121101x ， （10分） )0(,3131>? ????? ??a b a ? ?? ? ?41,21,31 线性代数第二单元测试题 一．单项选择题(3’×8=24’) 1．若A 、B 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）． （A ）A+B|A|B||||=+； （B ）AB BA =； （C ）AB BA ||||=； （D ）A B A B 111---+=+（）． 2．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． （A ）111)(---=B A AB ； （B ）A A =-； （C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=． 3．B A ,均为三阶矩阵，AB=0，则下列等式成立的是（ ）． （A ）A=0 （B ）B=0 （C ）A=0 或B=0 （D ）|A|或|B|=0 4、设A 是方阵，若AC AB =，则必有 （ ） （A ）0≠A 时C B =； （B ）C B ≠时0=A ； （C ）C B =时0≠A ； （D ）0≠A 时C B =. 5．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，???? ??=B O O A C ，则=*C （ ）． （A ） ?? ?? ??**B B O O A A ； （B ） ???? ??**A A O O B B ； （C ） ???? ??**B A O O A B ； （D ） ???? ??**A B O O B A ． 6、设,,A B C 均为n 阶矩阵, 且ABC E =，则必有（ ）； A ．CA B E = B ．BA C E = C ．CBA E = D ．ACB E = 7、设*A 为n 阶方阵A 的伴随方阵，则下列结论不正确的是（ ）； A ．**AA A A = B ．*AA A E = C ．1*n A A -= D ．*n A A = 8. 设,A B 均为n 阶矩阵, 且()A B E O -=，则必有（ ）； A ．A O =或 B E = B ．A BA = C ．0A =或1B = D ．两矩阵A 与B E -中，至少有一个为奇异矩阵 二．填空题(2’×13=26’) 1．若???? ??=4321A ，??? ? ??=0110P ，那么=20042003AP P 、 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-21 2B A 3．已知53)(2+-=x x x f ，??? ? ??=b a A 00，则=)(A f 4．设A 是n 阶矩阵, 满足AA T =E ,且|A|<0,则E A +=____0_____. 5．α是三维列向量，???? ? ??----='111111111αα，则T αα= ． 6、A=101020001?? ? ? ??? ，则 -12A+3E A -9E （）（）= 7、设矩11531A B 3A B A B 1320--????==-== ? ?-????，，则， 。 8、设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=--1*2A A ，|A*|=______线性代数习题集(带答案)
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