最新高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若集合A={x|x+2＜0}，B={x|﹣4＜x＜3}，则集合A∩B为（）
A．{x|x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣4＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}
2．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）
A．B．C．﹣D．i
3．已知命题p：“?a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）
A．?a≤0，有e a≤1成立B．?a≤0，有e a≥1成立
C．?a＞0，有e a＜1成立D．?a＞0，有e a≤1成立
4．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
5．已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（）A．B．C．D．
6．若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是（）
A．0 B．C．5 D．1
7．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）
A．9B．9+C．12D．12
8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．
9．已知直线l：kx+y﹣2=0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作
圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（）
A．2 B．2C．3 D．2
10．已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，△ABC是边长为的正三角形，若三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）
A．16πB．18πC．20πD．24π
11．设函数f（x）的定义域为R，f（x）=且对任意的x∈R都有
f（x+1）=f（x﹣1），若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（）
A．[0，] B．[0，）C．（0，] D．（0，]
12．若函数f（x）=﹣lnx在x=x0处取得最大值，则下列结论正确的是（）
A．f（x0）＜x0B．f（x0）=x0 C．f（x0）＞x0D．f（x0）=﹣x0
二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分
13．不等式﹣2x2+x+1＞0的解集为______．（用区间表示）
14．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为______．
15．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线上一点M与两焦点的距离的
差的绝对值等于6，且离心率e=，则该双曲线的焦距长为______．
16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤），点P（x1，4）和Q（x2，4）是函数f（x）图象上相邻的两个最高点，且|x1﹣x2|=π，x=是函数f（x）的一个零点，则使函数f（x）取得最大值的最小正数x0的值是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤
17．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前项和为S n，且等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式和数列{b n}的前项和B n；
（Ⅱ）记数列的前项和为T n，求T n．
18．如图1已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边AD、AB的中点，将△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE，如图2，点G为AC的中点
（Ⅰ）求证：DG∥平面ABE；
（Ⅱ）求椎体G﹣ABE的体积．
19．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：
分数段（分）[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150] 总计
频数 b
频率 a 0.25
（Ⅰ）求表中a，b 的值及成绩在[90，110）范围内的个体数，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在[90，150]内为及格）；
（Ⅱ）设茎叶图中成绩在[100，120）范围内的样本的中位数为m，若从成绩在[100，120）范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．
20．如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂
直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线A1M的斜率为
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C的长轴长为4，点P（1，1），则在椭圆C上是否存在不重合两点D，E，使=（+）（O是坐标原点），若存在，求出直线DE的方程，若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=ax﹣lnx有极小值1+ln2
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），讨论g（x）单调性；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP．
（Ⅰ）证明：CP是圆E的切线；
（Ⅱ）求的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数）．在
以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过
极点且垂直于极轴的直线上．已知曲线C1上的点对应的参数为，曲线C2过点．
（Ⅰ）求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P在曲线上C1，求P，C2两点间的距离|PC2|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=ax+3﹣|2x﹣1|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若函数有最大值，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若集合A={x|x+2＜0}，B={x|﹣4＜x＜3}，则集合A∩B为（）
A．{x|x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣4＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：x＜﹣2，即A={x|x＜﹣2}，
∵B={x|﹣4＜x＜3}，
∴A∩B={x|﹣4＜x＜﹣2}，
故选：B．
2．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）
A．B．C．﹣D．i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，即可得到复数
z=的虚部．
【解答】解：z====﹣+，
故复数z=的虚部是，
故选：B．
3．已知命题p：“?a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）
A．?a≤0，有e a≤1成立B．?a≤0，有e a≥1成立
C．?a＞0，有e a＜1成立D．?a＞0，有e a≤1成立
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：?a＞0，有e a＜1成立，
故选：C．
4．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】根据角的范围，求出cosα，再求tanα．
【解答】解：sinα=，
∴cosα=﹣，
tanα==﹣．
故选B．
5．已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（）A．B．C．D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】通过向量的数量积运算与平面向量夹角的定义，即可求出夹角θ的大小．
【解答】解：向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，
∴﹣2+?=4，
即16﹣2×9+4×3×cosθ=4，
解得cosθ=；
又θ∈[0，π]，
∴θ=；
即向量与向量的夹角θ的值为．
故选：B．
6．若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是（）
A．0 B．C．5 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最小值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
由z=x+2y，得．
要使z最小，则直线的截距最小，
由图看出，当直线过可行域内的点O（0，0）时直线在y轴上的截距最小，
∴z=x+2y的最小值是z=0+2×0=0．
故选：A．
7．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）
A．9B．9+C．12D．12
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．
【解答】解：应用可知三棱锥的高为：，
底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：，解得a=2．
侧棱长为：=2，
正三棱锥是正四面体，
该三棱锥的表面积为：4×=12．
故选：D．
8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，观察规律可知a的取值周期为3，依次写出每次循环得到的a，i
的值，当i=21时满足条件i＞20，退出循环，输出a的值为﹣1．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=2，i=1
a=，i=2
不满足条件i＞20，a=﹣1，i=3
不满足条件i＞20，a=2，i=4
不满足条件i＞20，a=，i=5
…
观察规律可知a的取值周期为3，由20=3×6+2，可得
不满足条件i＞20，a=，i=20
不满足条件i＞20，a=﹣1，i=21
满足条件i＞20，退出循环，输出a的值为﹣1．
故选：A．
9．已知直线l：kx+y﹣2=0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作
圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（）
A．2 B．2C．3 D．2
【考点】圆的切线方程．
【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y﹣2=0经过圆C的圆心（3，﹣1），求得k的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得AB的值．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0得，（x﹣3）2+（y+1）2=1，
表示以C（3，﹣1）为圆心、半径等于1的圆．
由题意可得，直线l：kx+y﹣2=0经过圆C的圆心（3，﹣1），
故有3k﹣1﹣2=0，得k=1，则点A（0，1），
即|AC|=．
则线段AB=．
故选：D．
10．已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，△ABC是边长为的正三角形，若三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）
A．16πB．18πC．20πD．24π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的
方程，即可求出r，从而解决问题．
【解答】解：根据题意作出图形．
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==1，
∴OO1=，
∴高SD=2OO1=2，
∵△ABC是边长为的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V三棱锥S﹣ABC=××2=，
∴r=．则球O的表面积为20π
故选：C．
11．设函数f（x）的定义域为R，f（x）=且对任意的x∈R都有
f（x+1）=f（x﹣1），若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（）
A．[0，] B．[0，）C．（0，] D．（0，]
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f （x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0）
函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示
由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=
∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]
故选D．
12．若函数f（x）=﹣lnx在x=x0处取得最大值，则下列结论正确的是（）
A．f（x0）＜x0B．f（x0）=x0 C．f（x0）＞x0D．f（x0）=﹣x0
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
【分析】求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值最值的关系确定f（x0）的值，进行判断即可．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）=（﹣）lnx，
函数的导数f′（x）=（﹣）′lnx﹣?=﹣lnx﹣=，设h（x）=﹣lnx﹣x﹣1，
则h′（x）=﹣﹣1=，则当x＞0时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，+∞）上为
减函数，
∵h（1）＜﹣1﹣1=﹣2＜0，当x→0时，h（x）＞0，
∴在（0，1）内函数h（x）有唯一的零点x0，即h（x0）=﹣lnx0﹣x0﹣1=0，
即lnx0=﹣1﹣x0，
当0＜x＜x0，f′（x）＞0，
当x＞x0，f′（x）＜0，即函数f（x）在x=x0处取得最大值，
即f（x0）=（﹣）?lnx0=（﹣）?（﹣1﹣x0）=x0，
故选：B
二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分
13．不等式﹣2x2+x+1＞0的解集为（﹣，1）．（用区间表示）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】：﹣2x2+x+1＞0，即2x2﹣x﹣1＜0化为（2x+1）（x﹣1）＜0，即可解得．
【解答】解：﹣2x2+x+1＞0，即2x2﹣x﹣1＜0化为（2x+1）（x﹣1）＜0，
解得﹣＜x＜1，
∴不等式﹣2x2+x+1＞0的解集为为（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
14．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为 1 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1以及BC+AC=AB，两式相减，可得AB 的值．
【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．
BC+AC=AB，
两式相减，可得AB=1．
故答案为：1．
15．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线上一点M与两焦点的距离的
差的绝对值等于6，且离心率e=，则该双曲线的焦距长为10 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】通过双曲线的定义求出a，利用离心率求出c，即可得到结果．
【解答】解：双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6，
可得a=3，离心率e=，可得c=5，则该双曲线的焦距长为：10．
故答案为：10．
16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤），点P（x1，4）和Q（x2，4）是函数f（x）图象上相邻的两个最高点，且|x1﹣x2|=π，x=是函数f（x）的一个零点，则使函数f（x）取得最大值的最小正数x0的值是．
【考点】三角函数的最值．
【分析】由最大值求得A，由周期求得ω，由函数的零点求得φ，可得函数的解析式，从而
求得使函数f（x）取得最大值的最小正数x0的值．
【解答】解：由题意可得A=4，=π，∴ω=2，f（x）=4sin（2x+φ）．
由f（）=4sin（+φ）=0，可得sin（+φ）=0，
∴φ=，f（x）=4sin（2x+）．
再根据sin（2x0+）=1，可得最小正数x0=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤
17．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前项和为S n，且等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式和数列{b n}的前项和B n；
（Ⅱ）记数列的前项和为T n，求T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（I）由题意可得：a n=a1+2（n﹣1），=b1b3，=a1（a1+24），解得a1，可得a n．设等比数列{b n}的公比为q，则q==．可得数列{b n}的前项和B n．
（Ⅱ）由（I）可得：S n=n2+2n．因此==．利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（I）由题意可得：a n=a1+2（n﹣1），=b1b3，=a1（a1+24），解得a1=3．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
设等比数列{b n}的公比为q，则q====3．
∴数列{b n}的前项和B n==．
（Ⅱ）由（I）可得：S n==n2+2n．
∴==．
∴数列的前项和为T n=++…
++
=
=﹣．
18．如图1已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边AD、AB的中点，将△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE，如图2，点G为AC的中点
（Ⅰ）求证：DG∥平面ABE；
（Ⅱ）求椎体G﹣ABE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）连结EF，FG，则可证四边形EFGD是平行四边形，故GD∥EF，从而GD∥平面ABE；
（II）利用等面积法求出Rt△ABE斜边上的高h，则h为三棱锥A﹣BDE的高，于是V G﹣ABE=V D
=V A﹣BDE．
﹣ABE
【解答】证明：（I）连结EF，FG，
∵F，G分别是AB，AC的中点，
∴FG∥BC，FG=，
又在图1中，四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴DG∥EF，又DG?平面ABE，EF?平面ABE，
∴DG∥平面ABE．
解：（II）∵DG∥平面ABE，
∴V G﹣ABE=V D﹣ABE=V A﹣BDE．
∵AB=2，AE=1，∴BE=，
∴Rt△ABE的斜边BE上的高h=．
∵平面ABE⊥平面BCDE，
∴A到平面BCDE的距离d=h=．
∴V A﹣
===．BDE
19．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽
取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：
分数段（分）[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150] 总计频数 b
频率 a 0.25
（Ⅰ）求表中a，b 的值及成绩在[90，110）范围内的个体数，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在[90，150]内为及格）；
（Ⅱ）设茎叶图中成绩在[100，120）范围内的样本的中位数为m，若从成绩在[100，120）范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．
【分析】（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，由此能估计这次考试全校高三数学成绩的及格率．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，列出一切可能的结果组成的基本事件空间，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，求出A包含的基本事件个数，由此能求出∴取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，
∴a=，b=3，
成绩在[90，110）范围内的频率为1﹣0.1﹣0.25﹣0.25=0.4，
∴成绩在[90，110）范围内的样本数为20×0.4=8，
估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：
p=1﹣0.1﹣0.25=0.65．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，
一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，共21个基本事件组成，
设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，
则A={，，，，，，，}，
共由个基本事件组成，
∴P（A）=．
20．如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂
直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线A1M的斜率为
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C的长轴长为4，点P（1，1），则在椭圆C上是否存在不重合两点D，E，使=（+）（O是坐标原点），若存在，求出直线DE的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义．
【分析】（Ⅰ）推导出M（c，），A1（﹣a，0），从而=，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）由e=，2a=4，求出椭圆C的标准方程为=1，假设椭圆C：
上存在不重合的两点D（x1，y1），E（x2，y2）满足=
（+），则P（1，1）是线段DE的中点，由此利用点差法能求出在椭圆C上存在不重合两点D，E，使=（+，并能求出直线DE的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）左顶点为A1，右焦点为F2，
过点F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线A1M的斜率为，
∴M（c，），A1（﹣a，0），∴=，
解得a=2c，
∴椭圆C的离心率e==．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得e=，
又2a=4，解得a=2，c=1，∴b2=4﹣1=3，
∴椭圆C的标准方程为=1，
假设椭圆C：上存在不重合的两点D（x1，y1），E（x2，y2）满足=（+），则P（1，1）是线段DE的中点，即，
两式相减，得+=0，
∴，
∴直线DE的方程为3x+4y﹣7=0，
∴在椭圆C上存在不重合两点D，E，使=（+），此时直线DE的方程为3x+4y﹣7=0．
21．已知函数f（x）=ax﹣lnx有极小值1+ln2
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），讨论g（x）单调性；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．
【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调性，利用函数f（x）=ax ﹣lnx有极小值1+ln2
求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），利用导数的正负可得函数的单调性；
（Ⅲ）由（II）可知g（x）在（0，1）内单调递减，g（x）＞g（1）=0恒成立，由此证明：＜2x2．
【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=a﹣，
∴当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减区间为（0，e），无极值；
当a＞0时，f′（x）=a﹣=0，x=，
f（x）单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），
∴x=时，函数取得极小值1+ln2=1﹣ln，∴a=2；
（Ⅱ）解：g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x）=x﹣2lnx﹣1，定义域为（0，+∞），g′（x）=，
∴g（x）单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）；
（Ⅲ）证明：由（II）可知g（x）在（0，1）内单调递减，
∴g（x）＞g（1）=0恒成立，即x﹣2lnx﹣1＞0，x﹣1＞2lnx①
∵0＜x1＜x2，∴0＜＜1，
∴①化为﹣1＞2ln=2（lnx1﹣lnx2），
∵lnx1＜lnx2，∴＜2x2．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP．
（Ⅰ）证明：CP是圆E的切线；
（Ⅱ）求的值．
【考点】圆的切线的判定定理的证明．
【分析】（Ⅰ）证明：CP是圆E的切线，只需证明CP⊥PE即可；
（Ⅱ）证明FD=FP，利用勾股定理，即可求的值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接PB，PE，则EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∴∠CPB+∠EPB=∠CBP+∠EBP=90°，
∴CP⊥PE，
∵PE是圆E的半径，
∴CP是圆E的切线；
（Ⅱ）解：由题意，PF⊥CP，EP⊥CP，
∴E，P，F三点共线，
∵FD为圆的切线，
∴FD=FP．
∵PE=EB，
∴Rt△EAF中，AF2+AE2=EF2，
∴（AD﹣PF）2+（）2=（PF+）2，
∴AD=3PF，
∴AF=2PF，
∴=2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上．已知曲线C1上的点对应的参数为，曲线C2过点．
（Ⅰ）求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P在曲线上C1，求P，C2两点间的距离|PC2|的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）点对应的参数为，代入曲线C1可得，，解得b，a．即可得出曲线C1的直角坐标方程．曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上．可得极坐标方程为ρ=2Rsinθ，把点代入即可得出曲线C2的直角坐标方程．
（II）不妨设P（6cosθ，2sinθ），C2（0，2），则=+，再利用三角函数与二次函数的单调性即可得出．