2009-2010学年第一学期《线性代数》考试试卷--1
同济大学课程考核试卷 2009 — 2010学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名：
课号： 课名：线性代数 考试考查：
此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷
年级 专业 学号 姓名 任课教师
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
得分
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）
一、填空题（每空3分，共24分）
1、设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=,
()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 。
2. 设分块矩阵A O C O B ??
=????
, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 4 。
(A). 若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B). 若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C). 若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D). 若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化.
3、设23413
451
45617891
D =
，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 。 4、设向量组(I):12,,,r ααα"可由向量组(II):12,,,s βββ"线性表示，则 D 成立。(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关
(C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相关
5、已知方阵A 满足2
23A A O +=, 则()
1
A E ?+=2A E +。
6、当矩阵A 满足下面条件中的 A, B, C 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立。
（注：此题可多选） (A).A 可逆 (B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠ 7、设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为A 的特征值，B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2, 6 。
8、设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 。 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ????
=???????
.
矩阵P ，X 满足PA B =,PX C =. 求矩阵X .
解：1
P BA ?=，11
X P C AB C ??==,
1
100012025B ???
??=????????
, 224191131P ????=?????????
三、（10分）设线性方程组12312312
330
4235
x x x x x ax b x x x ??=??
??=???+=? ， 问当参数,a b 取何值时，
(1). 此方程组无解?
(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?
解：设A 为该方程组的系数矩阵，B 为此方程组增广矩阵。
13101
31
01
310140
110
11121350555002-13
21323132215
B a b a b a b r r r r r r r r r ?
????????????
?
?
??
??=????????→???????→??
???????????+??
?
???
+??
由此可知：
(1). 当2,1a b =≠时，()2,()3,()()R A R B R A R B ==≠，此方程组无解。 (2). 当2,a ≠时，()3R A ==未知量个数， 此方程组有唯一解。 (3). 当2,1a b ==时，()()23R A R B ==<，此方程组有无穷多解。
四、（10分）设A 为4阶方阵，4维列向量0b ≠，()2R A =。若1234,,,p p p p 都是非齐次方程组Ax b =的解向量，且满足
1223342322
1
,
,
010421p p p p p p ??
????????????????+=+=+=??????????????????
(1).(6分) 求齐次方程组0Ax =的一个基础解系。
(2).(4分) 求Ax b =的通解。 解：
(1). 1234,,,p p p p 都是非齐次方程组Ax b =的解向量知
113122323120,02()()11422p p p p p p ξ????????????????????=
??????????????????+??=?=+= 22423341()()132101
10121p p p p p p ξ????????????
????????=?=+?=??????????????????
+=
为0Ax =的两个线性无关的解向量，由A 为4阶矩阵，()2R A =知12,ξξ构成0Ax =的基础解系。
(2). 由()121211()22
A p p Ap Ap b +=+=知12111()022p p η??
?=+?????????
=为该非齐次方程的一个解， 从而 Ax b =的通解为1122x k k ξξη=++，其中12,k k 为任意常数。
五、（16分）将二次型222
123123121323(,,)46448f x x x x x x x x x x x x =+++++ 用正交变换化为标准型。
解：此二次型的对称阵为 122244246A ????
=??????
由(
10)(1)A
E λλ
λλ?=???解得A 的三个特征值为1，0， 10
解方程组()0A E x ?=求得1λ=的一个特征向量为()12,4,5T
ξ=，单位化得
1
,,15153T
p ??=??????
解方程组0Ax =求得0λ=的一个特征向量为()22,1,0T
ξ=?，单位化得2,55T
p ??=???????
解方程组()100A E x ?=求得10λ
=的一个特征向量为()
3
1,2,2
T
ξ=?，单位化得3122,,333T
p ??
=?????
取正交变换x Py =， 其中()123245,,6
3015P p p p ??
?
?
==????，把此二次型化成标准型 2213
10f y y =+
六、（14分）设V 为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间。定义V 上的变换T 如下：对任意
X V ∈，()T
T X AX X A =?，其中1221A ??=??
???
，T X 表示X 的转置矩阵． (1). (6分)证明T 是V 上的一个线性变换； (2). (8分) 求T 在V 的基1112212210010000,,,00001001E E E E ????????====????????????????
下的矩阵。 解：
(1). 对任意V 中的两个矩阵,B C ， 任意实数k 有：
()()()()()()()()
()()()()
T T T T T T T T T T B C A B C B C A AB AC B C A AB AC B A C A
AB B A AC C A T B T C T kB A kB kB A kAB kB A kT B +=+?+=+?+=+??=?+?=+=?=?=
故T 是V 上的一个线性变换。
(2).11122102()2220T E E E ???==???
????， 1212212201()414T E E E E ??
==????????
2111122141()410T E E E E ???==?+????， 22122102()2220T E E E ??
==+????
从而T 在这组基下的矩阵为004
0211
22112040
0??
?
????
??????
????
。
七、(1). (8分)已知向量组12,,,n a a a "线性无关,向量组12,,,n b b b "满足：112
223111
n n n
n n b a a b a a b a a
b a a ??=+??=+??
??=+?=+??#
， 分别讨论当4n =和5n =时，向量组12,,,n b b b "是否线性相关？
(2). (8分)设12,λλ为方阵A 的两个不同的特征值， 12,αα为A 相应于1λ的两个线性无关的特征向量，34,αα为A 相应于2λ的两个线性无关的特征向量，证明向量组1234,,,αααα线性无关。
（1）解：由12,,,n b b b "由12,,,n a a a "的线性表出关系式可知B AK =，其中
()1
2
3n A a a a a ="，()1
2
3n B b b b b ="， 10011
1000
1100010000
1K ??
??????=???????
?
"%%"，
设123n x x x x x ??????
??=????????
#，则由12,,,n a a a "线性无关知0Bx AKx ==当且仅当0Kx =。
从而当1
1(1)0n K +=+?=时，即n 为偶数时，0Kx =有非零解， 12,,,n b b b "的线性相关。
当1
1(1)
0n K +=+?≠时，即n 为奇数时，0Kx =只有零解， 12,,,n b b b "的线性无关。
所以当4n =时, 12,,,n b b b "的线性相关。当5n =时, 12,,,n b b b "的线性无关。 （2）. 证:设1234,,,k k k k 使得112233440k k k k αααα+++=, 再设11223344,
k k k k αααβαα=+=+.
由12,αα为A 相应于1λ的两个线性无关的特征向量，34,αα为A 相应于2λ的两个线性无关的特征向量可知
112233441112123234241200()0A A k k k k k k k k ααααλαλαλαλαλαλβ==+++=+++=+=,从而
112λαλβλβ=?=?, 由12,λλ为方阵A 的两个不同的特征值可得0β=, 由0αβ+=有0β=. 由12
,αα线性无关, 34,αα线性无关可知1234,,,k k k k 均为0, 所以向量组1234,,,αααα线性无关。
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
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第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - ; 解 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2) b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ; 解 2 2 2 1 1 1 c b a c b a =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y3-(x +y)3-x3 =3xy(x +y)-y3-3x2 y -x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n); 解 逆序数为 2)1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n(n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2