一些数学的体积和表面积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高
平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/( 2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径
圆锥[编辑] 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 一个正圆锥和一个斜圆锥。 圆锥也称为圆锥体，是一种三维几何体，是平面上一个圆以及它的所有切线和平面外的一个定点确定的平面围成的形体。圆形被称为圆锥的底面，平面外的定点称为圆锥的顶点或尖端，顶点到底面所在平面的距离称为圆锥的高。通常“圆锥”一词用来指代正圆锥，也就是圆锥顶点在底面的投影是圆心时的情况。正圆锥可以定义为一个直角三角形绕其中一条直角边旋转一周得到的几何体，这个直角三角形的斜边称为圆锥的母线。顶点在底面的投影不在圆心，这样的圆锥称为斜圆锥。正圆锥可以由平面截圆锥面得到，斜圆锥则不能。倾斜平面截取圆锥面得到的几何形体叫做椭圆锥。 目录 [隐藏] ? 1 性质 o 1.1 体积 o 1.2 表面积和侧面积 o 1.3 体重心 ? 2 参考资料 ? 3 参见 性质[编辑] 正圆锥是基本的旋转体之一，由直角三角形以其中一条直角边所在的直线为旋转轴进行旋转得到。三角形的斜边长称为圆锥的斜高。 体积[编辑] 设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，底面圆面积为，体积为，那么圆锥体的体积可以通过以下公式计算： 其中底面圆面积： 圆锥的体积公式可以从祖暅原理推出。祖暅原理说明，如果两个高度相同的立体形体在所有等高截面上面积都相等，那么它们体积相等。以圆锥底面为基准面，放置一个底面积为
的正方锥，那么，在任何的高度上，与基准面平行的平面截圆锥的截面面积 都等于截正方锥的截面面积。所以圆锥的体积等于正方锥的体积，也就是。[1]另外， 用现代的定积分方法也可以直接计算圆锥的体积公式。 表面积和侧面积[编辑] 正圆锥的侧面可以展开为平面上的一个扇形。这个扇形所在的圆半径就是圆锥的斜高，对应的圆弧长为底部圆形的周长。设圆锥的斜高为，斜高可以表示为：。设圆锥的表面积为，侧面积为，侧面积（也就是扇形的面积）可以用以下公式计算： 表面积等于侧面积与底面圆面积的和，也就是： 体重心[编辑] 若实心正圆锥的质量平均分布，其质心位于底面圆心与顶点连线上离顶点处。 参考资料[编辑] 1.^应用祖暅原理求圆锥曲线绕轴旋转所得旋转体的体积. 参见[编辑] ?棱锥：底面不同
圆台的侧面积公式怎样推出来的？ S=∏（r1+r2)L 其中r1,r2分别为上、下底半径，L为母线 如图 左边为圆台补成圆锥的图；右边为沿该圆锥的母线（也即是圆台的母线）剪开后得到的扇形图。图中阴影部分即是圆台的侧面积左图中 设上面的小圆锥的母线长为l 那么，根据相似三角形可以得到：r1/r2=l/(l+L) 所以，l=r1L/(r2-r1) 右图中展开后，大圆锥的侧面积S=(1/2)*(l+L)*(2∏r2) =∏r2(l+L)=∏r2*[r2L/(r2-r1)]=∏r2^2L/(r2-r1) 小圆锥的侧面积s=(1/2)*l*(2∏r1)=∏r1*l=∏r1^2*L/(r2-r1) 所以，阴影部分面积（圆台侧面积）=S-s =∏L*[(r2^2-r1^2)/(r2-r1)] =∏L*[(r2+r1)(r2-r1)/(r2-r1)] =∏L(r1+r2) 圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.) 证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体 积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1) 现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥 P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2. 两边同时开平方并取正值得 √S/√S'=(H+X)/X 依分比定理有 (√S-√S')/√S'=H/X 将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得 (S-S')/[S'+√(SS')]=H/X 故X=H[S'+√(SS')]/(S-S') (2) 将(2)代入(1)式的右边并整理,即得 v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] 圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.) 证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1) 现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥 P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2. 两边同时开平方并取正值得 √S/√S'=(H+X)/X 依分比定理有 (√S-√S')/√S'=H/X 将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得 (S-S')/[S'+√(SS')]=H/X 故X=H[S'+√(SS')]/(S-S') (2) 将(2)代入(1)式的右边并整理,即得 v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 圆柱、圆锥和圆台的表面积 1.3.1 圆柱、圆锥和圆台的表面积授课者： 张楚音三维目标： （1）知识与技能： 掌握和运用圆柱、圆锥和圆台的表面积计算公式（2）过程与方法： 重视从实际出发，从具体到抽象，通过丰富的实物模型呈现几何体，在此基础上引导学生观察、归纳、抽象、概括从而得出结论。 （3）情感态度： 根据几何体的结构特征并结合他们的展开图，推导他们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体。 教学重点： 对圆柱、圆锥和圆台表面积计算公式的应用教学难点： 对圆柱、圆锥和圆台表面积计算公式的推导与理解教学过程： 一、创设情境，引入新课拿圆柱的实物模型，并将其表面展开呈现给学生看。 OOOOOOOOOOrrrrrllll2 r2 r2 r2 r2 rl l 二、新课讲解圆柱： 侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S圆柱侧=2 rl，S圆柱表=2()r rl+，其中为 r 圆柱底面半 1 / 3
径， l 为母线长。 练习： 1.一个圆柱形锅炉的底面半径为 1m，侧面展开图为正方形， 则它的表面积为__________ . 2.一个圆柱的轴截面是一个边长 为 2m 的正方形，则它的表面积为。 圆锥： 侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底 面周长，， S圆锥侧= rl， S圆锥表=()r rl+，其中为 r 圆锥 底面半径， l 为母线长。 练习： 3. 已知圆锥的底面半径为 2cm，母线长 3cm。 它的展开图的形状为________。 该图形的弧长为_____cm，半径为______cm，所以圆锥的侧面 积为______cm2。 OO2 2 2 cm15cm20cm154.以直角边长为 1 的等腰直角三 角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为 ___________. 圆台： 侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长)rR l+， S圆台表=等于圆台下底周长， S圆台侧= (22()rrlRlR+++. 练习： 5.如图，一个圆台形花盆盆口直径 20cm，盆底直径为 15cm， 底部渗水圆孔直径为 1.5cm，盆壁长 15cm．为了美化花盆的外观，
一些数学的体积和表面积计算公式长方形的周长=（长+宽） ×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷ 2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、 圆柱体）的体积=底面积×高 平面图形名称符号周长 C 和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形 a 和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长h－a 边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s- c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长h－a 边的高α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a 和b－上、下底长 h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径
C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形r—扇形半径a—圆心角 度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α －圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S 和体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积h－高V＝Sh 棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3 棱台S1 和S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6
教学目的： 1.掌握棱台。圆台的体积，并灵活的应用。 2.了解球的表面积公式的推导过程，了解球的体积公式的推导过程，体会其基本思想方法； 3.会用球的体积公式343 V R π=解决有关问题，会用球的表面积公式24S R π=解决有关问题 教学重点和难点： 球的表面积公式、球的体积公式及其应用.棱台，圆台的体积的运算。 授课类型：新授课 1 球的表面积： 设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ??? 表示，则球的表面积: S =12i S S S ?+?+++? 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ?可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积13 i i i V h S =??，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积: 11221(3 )i i V h S h S h S ≈??+??++??+ ， 又∵i h R ≈，且S =12i S S S ?+?+++? ∴可得13 V R S ≈ ?， 又∵343V R π=，∴13R S ?343R π=， ∴2 4S R π=即为球的表面积公式 2．球的体积： 如图，把垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积圆柱的高就是“薄圆片”的厚度R n ，底面就是“薄圆片”的下底面 由勾股定理可得，第i 层（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是 22[(1)]i R r R i n =-?-，1,2,3,,i n = ， ∴第i 层“薄圆片”的体积是
椭圆面积公式的推导 韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000） 椭圆面积公式S=πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考. 定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 . 注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略. 方法一：设椭圆C 的方程为122 22=+b y a x （a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2, 且一直线L ：y = m （b m b ≤≤-）与两曲线相交,交点分别为M （x 1 , m ）、 N （x 2 , m ）及P （x 3 , m ）、Q(x 4, m)，如图1. 由?????=+=1222 2b y a x m y 解得 x 2 1、=22m b b a -±， 此时，21x x - = 22 2m b b a -； 由???=+=2 22b y x m y 解得x 4,3=±22m b -, （图1） 此时， 43x x -=222m b -. 01、当22m b =,即b=|m|时，交点为（0，b ）或（0，-b ）；
02、当22m b ≠，即b ≠|m|时，有 b a x x x x = --4 321 . 显然01是一种特殊情况，即直线L 与两曲线C 、C ' 交于一点，此时与求椭圆C 的面积无影响，故可忽略；在情况02下，即椭圆C 的弦长|MN|与圆C '的弦长|PQ|比恒为定值 b a 时，则当设椭圆C 与圆C '的面积分别为S 、S '时，由定理1得'S S =b a ，又圆C '的面积S '=π b 2，故有 S = b a S '=b a πb 2=πab . 所以椭圆C 的面积公式为S =πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）. 注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线 的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积. 定理2.若一平面图形M '是另一凸平面图形M 的射影，且凸平面图形M 与射 影平面图形M '所成角为α, 则射影平面图形M '的面积与凸平面图形M 的面积比为cos α. 证明：设平面图形M '是平面图形M 的射影 .10当平面图形M 是凸曲边行时，如图2，将平面图形M 的边缘进行n+1等分， 设分点分别为A 1、A 2、A 3、…、A i 、A 1+i 、 …、A n 、A 1+n ，它们分别在平 面图形M '上的射影为A ' 1、A '2 …、A 'i 、A '1+i 、…、A 'n 、A '1+n ,