函数的极值和最值
考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。
知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义，
(1)若对于x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值= f (x0) ；
(2 )若对x0附近的所有点，都有f (x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值= f (x0).
极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f(x) ；
③求方程f(x)=0的根；
④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数y= f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.如f(x)=1(x0).
x
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数y= f (x)在闭区间［a,b］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y = f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：
(1)求函数f (x)在(a,b)内的导数f(x)；
(2)求方程f(x)=0在(a,b) 内的根；
(3)求在(a,b)内使f(x) = 0的所有点的函数值和f (x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最大值，最小者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
例 1.已知函数f(x)=mx3+3x2-3x,m R.若函数f (x)在x = -1处取得极值，试求m的值，并求f (x)在点M(1, f (1))处的切线方程；
【解析】f '(x) = 3mx2+6x -3,m R.
因为f (x)在x = -1处取得极值
所以f'(-1)=3m-6-3=0
所以m=3。
又f (1)= 3, f '(1)= 12
所以f (x)在点M (1, f (1))处的切线方程y -3 =12(x -1) 即12x-y-9=0.
举一反三：
【变式1】设a为实数，函数f (x)=e x -2x+2a,x R．
(1)求f( x) 的单调区间与极值；
(2)求证：当a ln2-1且x0时，e x x2-2ax+1．
解析】(1)由f(x)=e x-2x+2a,x R知f(x)=e x -2,x R．
令f(x) = 0 ，得x = ln 2 ．于是当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表：
x(-, ln 2)
(ln2, +)
ln2
f(x)－
0+
f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-,ln2)，单调递增区间是(ln2,+)，
f (x)在x = ln 2处取得极小值，极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明：设g(x) =e x -x2 +2ax-1，x R
于是g(x) =e x -2x+2a，x R 由(1)知当a ln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.
于是对任意x R ，都有g(x) 0，所以g(x)在R 内单调递增．
于是当a ln2-1时，对任意x(0,+)，都有g(x)g(0)．
而g(0) = 0 ，从而对任意x(0, +), g(x) 0．
即e - x +2ax-10，故e x -2ax+1．
【变式2】函数f (x)的定义域为区间(a，b)，导函数f '(x)在(a，b)内的图如图所示，则函数f(x)
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数f (x)的极小值点，故选A。
类型二：利用导数解决函数的最值问题
高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】例 2.已知函数f (x)=(x2-mx+m)e x,其中m R。
(1)若函数f (x)存在零点，求实数m的取值范围；
(2)当m0时，求函数f (x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。
【解析】(1)因为函数f (x)存在零点，则x2-mx+m=0有实根，
=m2-4m0，即m0或m4
(2)当m0 时，函数定义域为R
f( x) = (2 x - m)e x+ ( x2- mx + m)e x = (x2+ 2x - mx)e x
= x(x + 2- m)e x
由f(x) =0，则x =0或x =m-2
由f(x) 0，则x0或x m-2
由f(x) 0，则m-2x0
列表如下：
x
(-,m - 2)m-2
(m-2,0)0(0,+)
f'( x)+
-
+
f(x)
增极大值减极小值增所以f(x)在(-,m-2)，(0,+)上单调增，在(m-2,0)上单调减。
又知当x m - 2且→ -时，f(x)0；x0且→+时，f(x)0；
而f (0) = m0，所以f (x)存在最小值f(0)=m.
举一反三：
【变式】已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y = f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2= 4b时,求函数f (x) + g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1］上的最大值. 【解析】(1)由(1，c)为公共切点可得: f(x)=ax2+1(a0),
则f(x)=2ax,k= 2a,
99
g (x ) = x 3 + bx ,则g (x )=3x 2 +b ,k =3+b ,
2a =3+b ①
又 f (1)=a +1,g (1)=1+b ,
a +1=1+
b ,即a =b ,
当x
2
,+时， f
(x )的最大值为 f
2
=2+2a ；
21
令 +2a
0，得 a - ，
所以，当a
-1时， f (x )在
2
,+
上存在单调递增区间．
代入①式可得: a = 3 b =
(2)Q a 2 = 4b ,
设 h ( x ) = f ( x ) + g (x ) = x 3 + ax 2 + 1 a 2 x + 1 则 h ( x ) = 3x 2+ 2ax + 1 a 2,令 h ( x ) = 0,
解得:x 1=-2,x 2 =-6
Q aa
a 0, - - , -2-6,
原函数在 - ，- a 单调递增,在 - a ，- a 单调递减,在 - a ，+ 上
单调递增
①若-1≤- 2 ,即0 a ≤2时,最大值为h (-1) = a - 4 ; ②若-a 2-1-a 6,即2a 6时,最大值为h
③若-1≥-a 6时,即a ≥6时,最大值为h
a 2 综上所述:当
a
(0，2
时,最
大值为h (1) = a - a
;当a
(2,+)时,最大值为h
例3.设 f ( x ) = - 1x 3+ 1x 2+ 2ax ． 32
(Ⅰ)若 f (x )在(,+)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
Ⅱ)当0
a 2时， f (x )在［1，4］上的最小值为-16 ，求 f (x )在该区间上的最大值．
解析】(Ⅰ)由 f (x )=-x 2
+x +2a =- 2+1
+2a ．
4
1 1.
1.
(Ⅱ)令 f
(x )=0，得两根x 1 =1-1+8a ，x 2 =1+1+8a ． 所以 f (x )在(-,x 1)，(x 2,+)上单调递减，在(x 1, x 2 )上
单调递增． 当0
a 2时，有x 1x 4， 所以 f (x )在［1，4］上的最大值为 f (x 2)．
27
又 f (4)- f (1)=-27
+6a 0，即 f (4) f (1)，
40 所以 f (x )在［1，4］上的最小值为 f (4)=8a -40
举一反三：
变式1】设函数 f (x )= x log 2x + (1- x )log 2(1- x )(0 x 1),求 f (x )的最小值;
解析】函数f(x)的定义域为(0，1)
f '(x ) =(x lo
g 2x )'+[(1-x )log 2(1-x )]'
=log 2 x -log 2(1-x )+ln2-ln2 =log 2 x -log 2(1-x ) 令 f '( x ) =0 得x =1
f '(x )0, ∴ f (x )在区间(0,1)是减函数；
f '(x )0, ∴ f (x )在区间(1,1)是增函数.
2
【变式 2】已知函数 f(x)＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 在 x ＝－ 2
与 x ＝1 时都取得极值
3
(1)求 a 、b 的值与函数f(x)的单调区间 (2)若对x 〔－1，2〕，不等式 f(x)
c 2
恒成立，求 c 的取值
范围。 【解析】(1)f(x)＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，f
(x)＝3x 2
＋2ax ＋b
2 12 4 1
由 f (－ )＝ － a ＋b ＝0，f (1)＝3＋2a ＋b ＝0 得 a ＝－ ，b ＝－2
3 93 2
f
2
x (－
，－ 23)
2
－
3
(－2 ，1)
3
1 (1，＋)
f
(x)
＋
0 －
＋
f(x)
极大值
极小值
22 所以函数f （x ）的递增区间是（－
，－ 2 ）与（1，＋
），递减区间是（－ ，1） 33
2）f （x ）＝x 3
－ x 2
－2x ＋c ，x
〔－1，2〕，
2
2 22 当 x ＝－ 2 时， f （ x ）＝ 22 ＋ c 为极大值，而 f （ 2 ）＝ 2＋ c ，则 f （ 2 ）＝ 2＋ c 为最大值。
3
27
要使 f （x ）c 2
（x
〔－1，2〕）恒成立，只需 c
2
f （2）＝2＋c ，
16 3
得 a =1， x 2
=2，从而 f (x )在［1，4］上的最大值为 f (2)=10 当0
x
1
时，
2 当1 x 1时， 2
∴ f (x )在 x = =-1.
时取得最小值且最小值为
解得 c－1 或 c2。
类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用
例 4. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80立方米，且l2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有3
关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c3）千元．设该容
器的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．【解析】（1）设容器的容积为V，
由题意知V=r2l+34r3，又V=803，
由于l2r，因此0r2．
因此y = 4(c - 2)r2+ 160，0r2．
(2)由(1)得y=8(c-2)r-160=8(c-2)r3- 20 ，0r2．
r2r2c -2
由于c3，所以c-20，