第一章
3.如果排列n x x x 21是奇排列,则排列11x x x n n -的奇偶性如何？
解：排列11x x x n n -可以通过对排列n x x x 21经过(1)
(1)(2)212
n n n n --+-+++= 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2
)
1(-n n 为偶数时，排列11x x x n n -为奇排列，当
2
)
1(-n n 为奇数时，排列11x x x n n -为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13a 且带负号的项.
解：含元素13a 的乘积项共有13223144(1)t
a a a a -，13223441(1)t
a a a a -，13213244(1)t
a a a a -，
13213442(1)t a a a a -，13243241(1)t a a a a -，13243142(1)t a a a a -六项，各项列标排列的逆序数分别
为(3214)3t τ==，(3241)4t τ==，(3124)2t τ==，(3142)3t τ==，(3421)5t τ==，
(3412)4t τ==， 故所求为132231441a a a a -，132134421a a a a -，132432411a a a a -。
5.按照行列式的定义,求行列式n
n 0
00010020
0100
-的值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有1,12,21,1(1)t
n n n nn a a a a ---- ， 其中(1)(2)
[(1)(2)21]2
n n t n n n τ--=--= ，故行列式的值等于：
(1)(2)
2
(1)
!n n n ---
6. 根据行列式定义,分别写出行列式
x
x
x x x
1
11
12
3111212-的展开式中含4x 的项和含3
x 的项.
解：展开式含4x 的乘积项为0
4
11223344(1)(1)22t
a a a a x x x x x -=-???= 含3
x 的乘积项为1
3
12213344(1)(1)1t
a a a a x x x x -=-???=-
8. 利用行列式的性质计算下列行列式：
解： (1)
41
131123421
1234
1111
1111
410
2341
2341012110310()341234120121
2412341230321
r r r r r r r r r r r -÷--+++------
424332
11
11111130121012110
10
1011(4)(4)160
0040004
100
4
4000
4r r r r r r +--+=???-?-=----- (2)
2
60
5
232112131412
-12
3121
1
24112411321
05622021320350
0562
5
6
2
c c r r r r -?-=--+（第二行与第
四行相同）
(3)2
22
31132
2
2
22
21
11111122220
2221
1
1
0a ab b r a r a
a b b r r a a b b
b a
b a r ar a ab
b ab a b a -+?-+------ 233211
111
1()()01
2
()01
2
()000b a b a r ar b a a b a b a b a
=------=-+-
(4)
342
1211110011001111111
1111
1111100001
1
111111111
1
11x
x x r r x x x x r r x x x x
x x
+----=-+---
412
2
44321
1
1001
100011011001
1
001
10
110
0r r x x x
r r x
x r r x x
----=---
9.若
5
40030087654
321x =0,求.x
解：
1234
1500567826001544(512)00
337
426
35
0045
4835
x x x x =?=--转置
即有：124(512)05
x x --=?=
11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式： 解： (2)
12431001
0110(1)(1)0
10110
1
10
1
1a a a a a D a D a a a a a a
a
+----=
-+--------按第一行展开 11323212(1)(1)(1)(1)(1)]n n n a D a D a D aD D a D aD +--=----=-+=-+[一般地有 221221(1)[(1)](1)(1)a a D aD aD a a D a a D =--++=-++-，其中： 2221(1)11
1a a D a a a a a
-=
=-+=-+--，111D a a =-=-.带入上式即可。
12. 设4阶行列式c
d b a a c
b d
a d
b
c
d c b
a D =
4，求44342414A A A A +++ .
解：显然，行列式
111
1
a b
c c b
d d
b
c a b
d 按第四列展开，即得44342414A A A A +++。注意到该行列
式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故142434440A A A A +++=.
14. 当λ、μ取何值时，齐次线性方程组???
??=+
+=++
=++0
2003
2
1
32
1
32
1x x x x x x x x x μμλ 有非零解？
解：当系数行列式1
1
1120
112110
0(1)00121121
D λ
λμλμ
μμμλμ
μμ----==-==--=-时，齐次线性方程组有非零解，于是要求10λμ==或
B
15.计算下列行列式:
(1)
1
1221111111011111101111
1
10
111n
n a a a a a a +++=+++
（加边法）
1
112211111111110000010000010
n
i i
n
n
a a a a a a a =+-=-=-∑
（第二列的
1
1
a 倍……第1n +列的1
n a 倍都加到第一列）1211(1)n
n i i
a a a a =+∑ 按第一列展开 (2)
1
000000
000000(1)0000
n n x y x y y x y x x y D x y x y x y
y
x
+=?
+?-
按第一列展开1(1)n n n x y +=+-
(3) 12122212222222
222
222
23212
232023
22
22220
22c c n
n
n
---?
展开
11
21
122122132012
2
2
2(2)!1
2
2
n r r n r r n
n --=--=----
(4) 1111111
111(1)()(1)(1)()()[(1)]1()[(1)]1
1
1
n
n
n
n n n n n n n n
n
n
a a a n a n a n a a a a n D a n a n a a a a n a n a n a ---+----------==
--------
记121,(1),n x a n x a n x a +=-=--= ，由范德蒙行列式的结论可知，11()n j i n
D i j +≤<≤=-∏
.
第二章 矩阵
1（本题为类似题）．设111111111A ?? ?=- ? ?-??， 123124,051B ??
?=-- ? ???求32.T
AB A A B -及
解:32AB A -1111233111124111051???? ???=--- ??? ???-????1112111111??
?--
? ?
-?
?
0583056290?? ?=- ? ???1112111111??
?-- ? ?-??
21322217204292-??
?=-- ? ?-??
111123111124111051T A B ???? ???=--- ??? ???-????058056290??
?=-
? ?
?
? 2（部分原题，部分类似题）．计算下列乘积：
(1)
431712325701????
? ?- ? ? ? ?????； (2)()31,2,321??
?
?
???； (3)()211,2
3??
?- ? ?
??
；
(4)13121400121134131402?? ?
-?? ? ? ?--??
?-??
；
(5)1112131123122223213
23
333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ???
???????
. 解:(1)431712325701???? ? ?- ? ? ? ?????47321117(2)231577201?+?+??? ?=?+-?+? ? ??+?+???35649??
?= ? ???
(2) ()31,2,321??
?
? ???(132231)(10)=?+?+?=
(3) ()211,23?? ?- ? ???2(1)221(1)123(1)32?-??? ?=?-? ? ??-???241236-?? ?=- ? ?-??
(4) 13121400121134131402??
?
-?? ? ? ?--?? ?-??6782056-??= ?--??
(5) 111213112312
2223213
23
333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ????
??? ???
???????
()
111122133121222233131232333a x a x a x a x a x a x a x a x a x =++++++123x x x ??
? ? ???
222
111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++
(6) 1210103
101010
12100210
023********???? ???-
??
? ???- ??
?-????1
25
201240
0430
009??
?- ?= ?
-
?
-??
3．求,n
A 其中n 为自然数，????
??????=100010011A
解：2=n 时，????
?
?????=?????????????????????=1000100211000100111000100112
A
3=n 时，???
???????=?????????????????????=1000100311000100111000100213A
设k n =时，??????????=10001001k A k
；则1+=k n 时，有
????
??????+=?????????????????????=+100010011100010011100010011
k k A k
故：由数学归纳法知，对任意的自然数n ，有????
?
?????=10001001n A n
4．矩阵A 称为反对称矩阵，若T
A A -=。已知A 为n 阶反对称矩阵，
B 为为n 阶对称矩阵，
试问BA-AB 是对称矩阵还是反对敌矩阵？试证明你的结论。
答：BA-AB 是一个对称矩阵。证明如下：
因为：()()()()AB BA A B B A A B B A T
T
T
T
T
T
-=---=-==)(AB -BA AB -BA T
所以：BA-AB 是对称矩阵。
5（部分原题，部分类似题）．求下列矩阵的逆矩阵（请注意伴随矩阵的计算公式）：
(1)1225?? ???； (2)
cos sin sin cos θ
θθθ-??
???
； (3)
121342541-??
?- ? ?-??
； (4)12
00000
n a a
a ?? ?
? ?
???
12
(0)n a a a ≠ 解：(1) 10A =≠
，故1A -存在
112112225,2(1),2(1),1A A A A ==?-=?-=
11
2112
225221A
A A A A *-????
∴== ? ?-??
?? 1
1A A A -*∴==5221-??
?-??
(2) 10A =≠
，故1A -存在
11211222cos ,sin ,sin ,cos A A A A θθθθ===-= 11
2112
22cos sin sin cos A A A A A θ
θθθ*
????
∴==
? ?-??
??
11A A A -*∴=
cos sin sin cos θ
θθθ??
= ?-??
(3) 20A =≠ ，故1A -存在
1121314,2,0
A A A =-==
，
12223213,6,1
A A A =-==-，
13233332,14,2A A A =-==-
11A A A -*
∴=210420113113613222321421671-??
-?? ? ? ?=--=-- ? ? ?
-- ?
??--??
(4)由对角矩阵的性质知12
11
0101n a a A a -?? ? ?
?=
? ? ? ??
?
6（部分原题，部分类似题）．解下列矩阵方程：
(1) 25461321X -????=
? ?????； (3) 142031121101X ??????
= ? ? ?---??????
； (2) 211113210432111X -??
-??
?= ? ?
?? ?-??
； (4)
010100143100001201001010120X -?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-??????
. 解：(1)1
25461321X --????= ? ?????35461221--????= ???-????22308-??
= ?
??
； (2)
1
211113210432111X --??
-?? ?= ? ?
?? ?
-??
10111312324323330??-?? ?=-- ? ??? ?-??2218253
3-??
?= ?--??； (3)1
1
143120120111X --??????= ? ???---??????243110111011212-??????= ?????-??????
66101301212????= ???????11104?? ?= ?
??
； (4)11
010*********
201001001120010X ---??????
? ???=- ? ??? ? ???-??????
010143100100201001001120010-?????? ?????=- ????? ?????-??????210134102-??
?=-
? ?
-?
? 7．设k A O =(k 为正整数)，证明121()k E A E A A A ---=++++ .（请注意证明过程
的逻辑性要正确）
证明：由于k
A O =，于是有
2231()()()()k k E E A A A A A A A -=-+-+-++- 21()()()()k E A A E A A E A A E A -=-+-+-++- 21()()k E A A A E A -=++++-
两端同时右乘1
()E A --得
121()k E A E A A A ---=++++
8．设矩阵??????
? ??------=1111111111111111A ；（1）求2A ；（2）证明矩阵A 可逆，并求出1
-A
；（3）求()
1
*-A
解：
（1）???
?
??
?
?
?=??????? ??------???????
??------==4000040000400004111111111111111111111111111111112
A （2）因为,044
000040000400
00442
≠==
?=A A A 所以，0≠A ，故A 可逆。
又因为
===?=??
???
??
??=-44;44000040000400004
1
2A A E ，A A E A 故即???
???
? ??------4/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14
/14/1
（3） E E A A A 16*
==；
(
)
()
E E A A A
A 16116111
*
11
*
==
=∴----，∴()A A 161
1*=- 9（本题为类似题）．设方阵A 满足2
2A A --，证明A 及2A E +都可逆，并求
1
A -及1
(2
)
A E
-+.
证明：由2
2A A E O --=得2
2A A E -=
于是2
2A A -=，即2A A E -=，故0A ≠，所以A 可逆；
又由22A A E O --=得2
2A E A +=
于是2
2
20A E A A +==≠，故2A E +也可逆. 由
22A A E O --=()2A A E E ?-=11()2A A A E A E --?-=11
()2
A A E -?=-；
又
由
22A A -
-(A E
?+(A ? 11(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --?++-=-+11
(2)(3)4
A E E A -?+=
-. 10．利用逆矩阵解下列线性方程组（注：第一题的方程次序不同，但方程组是同一个方程，请注意用逆矩阵解法，不可以用消元法）:
(1) 123123123231,2252,353;x x x x x x x x x ++=??++=??++=? (2) 1231231232,231,3250.x x x x x x x x x --=??
--=??+-=?
解：(1)方程组矩阵表示形式为123123122523513x x x ??????
??? ?
= ??? ? ??? ???????
记方程组为：b x A =，则b A x 1
-=，
又()
????
???????→?
??????????=010000101001315325221321,r
b A ， 故1
123123112252035130x x x -????????
? ? ? ?== ? ? ? ?
? ? ? ?
????????
，所以有 12
3100x x x =??=??=?
(2) 方程组矩阵表示形式为123111221313250x x x --??????
??? ?
--= ??? ? ??? ?-??????
记方程组为：b x A =，则b A x 1
-=，
又()
????
???????→?
??????????-----=310000105001052313122111,r
b A ，
故1
123111252131032503x x x ---????????
? ? ? ?=--= ? ? ? ?
? ? ? ?
-????????
，从而有12
3503x x x =??=??=? 11．设033110123A ??
?
= ? ?-??
，2AB A B =+，求B .（注：请注意矩阵的左乘与右乘的单边性，
不可搞乱）
及 解:由2AB A B =+可得(2)A E B A -=，故
1(2)B A E A -=-1
233033110110121123--???? ? ?=- ? ? ? ?--????
又
()[]????
?
?????-?→
???????????----=-011100312010330001321121011011330332,2r
A E A ，
故：1
(2)B A E A -=-033123110??
?=- ? ???
12．设A 和X 满足X A E XA -=+2
，其中????
?
?????=765043021A ，求矩阵X
解：由X A E XA -=+2
得E A E A X -=+2
)(
又由于????
??????=+865053022E A ，所以032≠=+E A ，故A+E 是可逆矩阵。 从而有：()
()
()()()
()E A E A E A E A E A E A X -=++-=+-=--1
1
2
=????
?
?????665033020
12．（本题是第12题的类似题，请注意区别解法的不一样，再次提醒注意矩阵左乘和右乘
的区别，不可随意左乘和右乘）．设101020101A ??
?
= ? ???
，且2AB E A B +=+，求B ．
解：由2AB E A B +=+得2
()A E B A E -=-．
由于001010100A E ??
?
-= ? ???
，于是10A E -=-≠，故A E -可逆．所以
121()()()()()201030102B A E A E A E A E A E A E --=--=--+=+?? ?= ?
???
13．设m 次多项式n
n x a x a x a a x f ++++= 2210)(，其中00≠a ，记
n n A a A a A a E a A f ++++= 2210)(，则)(A f 为矩阵A 的设m 次多项式。
（1）若)(A f =0；证明矩阵A 可逆，并求出1
-A ； （2）设A=1
-ΛP P ；证明：=k
A 1
-ΛP P k
；)(A f =()1
-ΛP
Pf ；
解：（1）0)(=A f ；∴有 02
210=++++n
n A a A a A a E a
E A A a a A a a A a a E a a n n
=???
?
?????? ??-++???? ??-+???? ??-+?
??
? ??-?-10
20302
01 且可逆，A ?1-A =1
02030201-???
? ??-++???? ??-+???? ??-+???? ??-n n A a a A a a A a a E a a （2） A=1
-ΛP P ；
∴ 有=k
A (
)()()()
个括号相乘
k k
P P P P P P P
P 1
1
1
1----ΛΛΛ=Λ=1
-ΛP
P k
而n
n A a A a A a E a A f ++++= 2210)( (
)()()()1
1
2
2
1
1
1
0----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP
a n
n
()
()11
2
210--Λ=Λ++Λ+Λ+=P Pf P a a a E a P n
n
14．设矩阵A 的伴随矩阵是*
A ，证明：
（1）若
0||;0||*
==A A 则 ； (2) 1
n A A
-*=.
证明:(1)用反证法证明．假设0A *≠则有1
()A A E **-=
又由于AA A E *
=
所以1
11()
()0()A AE AA A A E A E A O *
*-*-*-====?=
A O *∴=，这与0A *≠矛盾
故当0A =时，有0A *
=.
(2) 由于1
1A
A A
-*=
， 则AA A E *=，于是 n
A A A *= 若0A ≠ 则1
n A A
-*
=；若0A =，则由(1)知0A *
=，此时命题也成立.故有
1
n A A
-*=.
15．设矩阵A=??
?
???221211
A O
A A
，其中j i ij n n A ?是矩阵，证明矩阵A 可逆的充要条件是：2211,A A 均可逆。并求A 1
-。
证明：因为A=??
?
?
??221211
A O A A ，其中j i ij n n A ?是矩阵， 所以：=||A 2211A A ?，故?≠0||A 002211≠≠A A 且。即矩阵A 可逆的充要条件是：2211,A A 均可逆。
设X=
???
???22211211X X X X ，其中j i ij n n X ?是矩阵；且AX=E ；则 =AX ??????221211
A O
A A
??????2221
1211X X X X =E X A X A X A X A X A X A =??
?
??
?++222221222212121121
121111 解得：
;021=X ;12222-=A X ;11111-=A X ;1
221211112---=A A A X
即：A 1
-=??
????-=??????----1221
22
121111
11
2221
1211
0A A A A A X X X X
。
16．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 均可逆，求1
00
-??
?
?
??B A 。 解：因为：设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 均可逆；所以：。B A 均存在及1
1
--设 X=???
?
??2221
1211
X X X X ，其中11X 是s s ?方阵；22X 是n n ?方阵；且
??
????00
B A ??????2221
1211X X X X =E ；即E BX BX AX AX =??
?
???1211
2221
1，显然可取：
0;;22111
121
21====--X X B X A X ，故
1
00
-??????B
A =??
?
???--00
1
1A
B
17．已知A ，B 为三阶对称矩阵，且满足;421
E B B A -=-其中E 为三阶单位矩阵。
证明：（1）矩阵A-2E 可逆，并求出()1
2--E A
（2）若矩阵???
?
????-=200021
021B ，求矩阵A 。 证明：（1） 又 ;421
E B B A -=-
∴A 可逆，二边同时左乘A 知：;42A AB B -=
E BA E A A B E A A B E A A B AB =-?=-?=-?=-?-4
)2(4)2(4)2(421
)2(E A -?可逆，且4
)
2(1
1
--=-BA E A 又 A ，B 为三阶对称矩阵；∴B B A A T
T
==, ；而且又已知
;421E B B A -=-
∴
()
()
()
()E B E B E B BA A B A B B A T T T
T
T
t T
444222211
1
1
-=-=-====----
即：241
E B BA -=
-。故8
4)2(1
E B E A -=--
（2） ????????-=200021021B ，∴4-B E=???
?
????----200021023，
故=--1
)
2(E A ???
?????
----20002102381?=-)2(E A 81
200021023-????????---- ????????----100010001200021023??
→??2
1r r ????
????----100001010200023021 ??? ??-?+??→?21331
2r r r ?
?????
?????
?---2100031010100080021 212281r r r +??
? ??-????→????????
????????
?
----210
008381041
411
00010001；
故：=-)2(E A 8????????----=??????
?
????????
?---
-40003102
2210
008381
041
41， ???
?????---=+????????----=?20001102
024********E A
说明：本题解题切记要用上对称矩阵的概念和性质，多余的结论不用证明，只做题目要求的内容。如B 可逆是不必要在此提出的。
18．设矩阵X 满足X B A X A 21
*
+=-，其中
????????---=111111111A ；???
?
????-=100111B ，求矩阵X
解： ????????---=111111111A ；???
?????-=100111B ；X B A X A 21*+=-
∴ (
)
(
)(
)
B X A AA B X E A A B A X E A =-?=-?=--222*
*
1
*
()B X A E A =-2
=---=1111111
11A 4，
所以代入上式得：B X =???
?
????---22
222222
2 =?X B 1
22
2222
222
-???
????
?---；
由于???
?
????----1022201222
11222???→?行初等变换????
??
??
??
?
?-0411004141010412
1
01
所以????????-=?????
???????-=01111241
0414*******X
19．设三阶矩阵A ，B 满足E B A B A =--2
，其中E 为三阶单位矩阵，???
?
????-=102020101A ，
求|B|。
解： E B A B A =--2
； ∴(
)
E A B E A +=-2
； 又
E
A -2=
???
?
????---=????????-????????---=????????-????????-?????????-204030202100010001104040201100010001102020101102020101 ∴0362≠=-E A ，所以E A -2是可逆矩阵；
故E A B E A +=?-2
?2
1
36182==
-+=
E
A E A
B 20．设A ，B 均为三阶矩阵，E 为三阶单位矩阵，已知AB=2A+B ；???
?
????=202040202B ，求
()1--E A 。
解： ()()()E E A B E A A B E A B A AB 22222+-=-?=-?+=
()()E E B E A =--?22；所以()E A -可逆，且()???
?
????=-=
--0010101002
21
E B E A 习题三
２．设βα+=)4,0,1,3,2(-，βα-=)4,1,11,8,6(-．求α，β． 解：[]1111(2,3,1,0,4)(6,8,11,1,4)2,,5,,4222α??
=
-+-=-
???， []151(2,3,1,0,4)(6,8,11,1,4)4,,6,,0222β?
?=---=--- ??
?。
３．设αααααα2)(2)(3321-=++-，其中)1,3,2,1(1=α，)1,1,2,0(2--=α，
)1,2,0,1(3-=α，求α．
解
：
由
αααααα2)(2)(3321-=++-1
2
332αα
α
?-+
４．把向量β表示为向量组4321,,,αααα的线性组合：
(1) )1,1,1,1(1=α，)0,1,1,1(2=α，)0,0,1,1(3=α， )0,0,0,1(4=α，)1,0,2,0(-=β； 解：设11223344k k k k ααααβ+++=
1234112321234123
140121(1)12(2)0212
k k k k k k k k k k k k k k βαααα+++==-????++==?????=-?+?+?+-???+==????=-=-??
(2) T 1)1,1,1,1,1(=α，T 2)1,3,1,2,1(=α,T 3)0,1,0,1,1(=α，T 4)0,0,0,2,2(=α，
T )0,1,0,1,0(=β．
解：设11223344k k k k ααααβ+++=
1234112342
1234123123
41220122111(1)1(1)0
12311
02k k k k k k k k k k k k k k k k k k k βαααα+++=?=-???
+++==???????=-?+?+-?+?+=??=-??
++=??=?+=???
５．设n a a a ,,,21 是互不相同的数，),,,,1(1
12111-=n a a a α，
),,,,1(1
22222-=n a a a α， ，. ),,,,(121-=n n n
n n a a a α．证明：任一n 维行向量都可由向量组n ααα,,,21 线性表示．
解：设()12,,n b b b β= 为任意的n 维行向量，并设1122n n k k k αααβ+++= ， 由此得到一个以12,,n k k k 为未知量，n 个方程的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式，且不等于0（因为n a a a ,,,21 是互不相同的数），由克莱姆法则知，该线性方程组有唯一解，故β可由12,,,n ααα 线性表示，且表示方法唯一。 ６．判断下列向量组的线性相关性：
(1) )0,0,1,1(1=α，)0,1,0,1(2=α，)1,1,0,0(3=α，)1,0,0,1(4=α； 解
：
设
10k k k ααα+
++
1211212333440000,,,000
0k k k k k k k k k k k k αααα++==????==????∴??+==????+==??线性无关。
(2)
T
1)1,1,1,3,4(--=α，
T
2)5,2,3,1,2(--=α，
T
3)2,1,0,3,1(--=α，
T 4)6,2,2,5,1(-=α．
解：仿（1）。
７．
证明：上三角矩阵???
?
?
??=f e d
c b a 000A 的行向量组线性相关的充要条件是主对角线上的元素至少有一个为零．
解：矩阵A 的行向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组1121
23000
ak bk dk ck ek fk =?
?
+=??++=?有非零解，
而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式00
00a D b
d adf c
e
f
===，故矩阵A 的行向量线性相关的充要条件是A 的主对角线上的元素至少有一为零。
８．设 211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=．证明向量组
4321,,,ββββ线性相关．
解：要证明4321,,,ββββ线性相关，就要找到不全为零的数1234,,,k k k k ，使得112233440k k k k ββββ+++=
上
式
的
左
端
可
写
成
11223344112223334441()()()()k k k k k k k k ββββαααααααα+++=+++++++
()()()()141122
23334
4
k k k k k k k k αα
αα=+++++++ 令141223340
000
k k k k k k k k +=??+=??+=??+=?，由于其系数行列式100111000,01100011
D =
=故有非零解。即存在不全
为零的数1234,,,k k k k ，
使
()()()()1411222333440
k k k k k k k k αααα+++++++=成
立
，
亦
即
112233440k k k k ββββ+++=成立，
所以，4321,,,ββββ线性相关。
９．设向量组321,,ααα线性无关．证明：向量组21αα+,32αα+,13αα+也线性无关． 证明
：
设
112
22()()()0
k k k αααααα++++
+=，
即()(
)
(
)
131
1
2
22
3
3
0k k k k
k k ααα++
+++
=
， 因为321,,ααα线性无关131223000k k k k k k +=???+=??+=?，解得123
00k k k =??
=??=?，故向量组
21αα+,32αα+,13αα+线性无关。
１０．判断下列各命题是否正确：
（1）若向量组n ααα,,,21 是线性相关的，则向量1α可由向量组,,2 αn α线性表示．（错）
（2）若向量β不能由向量组m ααα,,,21 线性表示，则向量组m ααα,,,21 ,β线性
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=
第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应 满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________． 三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
2017年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)试卷 (课程代码04184) 本试卷共4页,满分100分,考试时间150分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑 3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4.合理安排答题空间,超出答题区域无效。 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，* A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式，r(A)表示矩阵A 的秩。第一部分选择题 一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。 1.设B A ,是n 阶可逆矩阵，下列等式中正确的是 A.() 111---+=+B A B A B.()111---=B A AB C.()111----=-B A B A D.()111 ---=A B AB 2.设A 为3阶矩阵且???? ? ??==100610321,1)(B A r 则=)(BA r A.0 B.1 C.2 D.3 3.设向量组),6,3,1(),1,0,0(),2,1,0(),3,2,1(321====βa a a 则 A.β,,,321a a a 线性无关 B.β不能由321,,a a a 线性表示 C.β可由321,,a a a 线性表示，且表示法惟一
22.已知()31212322213212224,,x x x tx x x x x x x f -+++=为正定二次型，（1）确定t 的取值范围；（2）写出二次型()321,,x x x f 的规范形。 四、证明题：本题7分。 23.证明矩阵????? ??=111011001 A 不能对角化。
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
2006年10月高等教育自学考试课程代码：2198 1．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ） A ．-4|A| B ．-|A| C ．|A| D ．4|A| 2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ） A ．（2A ）T =2A T B ．（3A ）-1=3A -1 C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]T D ．（A T ）-1=A 3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=??? ??--2173，则A=（ ） A ．??? ??--3172 B ．??? ??3172 C ．?? ? ??--3172 D ．?? ? ??2173 4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ） A ．α1，α2，α1+α 2 B ．α1，α2，α1-α2 C ．α1-α2，α2-α3，α3-α 1 D ．α1+α2，α2+α3，α3+α1 5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4） C ．（1，1，0） D ．（0，-1，0） 6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ） A ．无解 B ．有唯一解 C ．有无穷多解 D ．解的情况不能确定 8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ） A ．（-1，0，1） B ．21 （-1，0，1） C ．（1，0，-1） D ．21 （1，0，1） 9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ） A ．??? ? ??003021311 B ．??? ? ??111121111
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=
2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( A ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( D ) A.0 B.(1,-1) C. ???? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( C ) A.21- ???? ??--1234 B. 21- ??? ? ?? --4321 C. 21- ???? ?? 4321 D. 21- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是(A ) A.????? ??000010101 B. ???? ? ??0010101 00 C. ????? ??100030001 D. ???? ? ?? 102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( B ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( D ) A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示 C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
2014年10月全国高等教育自学考试 线性代数（经管类）试卷及答案 课程代码：04184 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特
征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关， 则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数 为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
高数选讲线性代数部分作业 1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 . 2．设n阶方阵满足 的代数余子式，则为（）。 3．已知n阶方阵 ，则A中所有元素的代数余子式之和为（）。 4．设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组必有一个特解是（） 5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组＝0与＝0有相同的基础解系，则在下列方程组中以为基础解系的是（） (A) (B) (C) (D) 6．设A、B为四阶方阵，( ) （A）1．（B）2. （C）3. （D）4 7．设n阶矩阵A与B等价，则（）成立。 (A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0，则必有detB0(D) detA=－detB 8．设是四维非零向量组，是的伴随矩阵，已知方程组 的基础解系为k（1，0，2，0）T,则方程组的基础解系为（） (A) (B) (C) (D) 9．设A是矩阵，则下列命题正确的是：（） （A）若R(A)＝m，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （B）若R(A)＝n，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （C）若m 11．四元非齐次线性方程组的通解为 x＝（1，－1，0，1）T＋k（2，－1，1，0）T,k为任意常数，记 则以下命题错误的是 （A） (B) (C) (D) 12．知线性方程有无穷多解，求的取值并求通解。 13．设A是阶方阵，是A的两个不同的特征值，是A的对应于的线性无关特征向量，是A的对应于的线性无关特征向量，证明线性无关。14．已知矩阵的秩为1，且是的一个特征向量，（1）求参数; （2）求可逆矩阵和对角矩阵，使得 15．设5阶实对称矩阵满足，其中是5阶单位矩阵，已知的秩为2，（1）求行列式的值；（2）判断是否为正定矩阵？证明你的结论。 （2）的特征值全为正数，所以是正定矩阵。 16．． 17． 18． 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
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