三角函数图像变换教案
【篇一：三角函数的图像变换教学设计】
（第一课时）
【教学目标】
2、过程与方法目标：培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形
结合的思想；达到从感性认识到理性认识的飞跃。
3、情感、态度价值观目标：通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。【教学重点与难点】
杂问题分解为若干简单问题的方法.
1、物理中简谐振动中平衡位置的位移y随时间x的变化关系图象：
2、交流电的电流y随时间x变化的图象: 观察它们的图象与正弦曲
线有什么关系？
二、建构数学自主探究：
探究一：探索?对y=sin(x+?)，x∈r的图象的影响。问题1：观察
函数y=sin(x+
3
)和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系？那么函数
y=sin(x-
4
)和函数y=sinx的图像又有怎样的关系呢？你会得到那些结论？
问题2：函数y=sin(x+?)和函数y=sinx的图象之间又有着怎样的关系？
结论：函数y=sin（x+?)的图象，可以看作是将函数y=sinx上所有
的点_______
（当?0时）或______________（当?0时）平行移动个单位长度而
得到.
巩固训练1：
2.要得到函数y=sin(x+)的图像，只需将y=sinx的图像向平移单位。 121.函数y=sinx向右平移
3
)和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系？那么函数
y=sin(x+)与y=sinx的图像又有什么样的关系呢？你会得到那些结论？
23
巩固训练2
1.将函数y=sin(x-)的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2
6
倍得到的函数解析式是。 2.要得到函数y=sin3x的图像，只需将函数y=sinx图像上的所有的点纵坐标不
变，横坐标为原来的倍。
问题5：观察函数y=3sin(2x+数y=
3
)和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系？那么函
sin(2x+)与y=sinx的图像又有着怎样的关系？你会得到那些结论？33
变式训练3.1．将函数y=sin(2x+
6
)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的
2倍得到的函数解析式是。 2. 要得到函数y=
sin(x+)的图像，只需将函数y=sin(x+)图像上的所有255
如何由y=sinx得到y=2sin(x-)的图像呢？
36
3
)的图像呢？
y=sinx
y=sin(x-
3
)
y=sin(x-
13
6
)
y=2sin(x-
13
6
)
四、课堂小结
由y=sin2x的图像如何得到y=sin(2x+)图象？思考：1.
3
五、板书设计
教学反思
1、情境引入
数学来源于生活，又服务于生活，通过学生熟悉的实际生活问题引
入课题，为新课的学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学
生的求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2、探究活动
（1）探索?对函数y=sin(x+?)的图象的影响
在对上述四个方面的具体讨论中，先让学生对参数赋值，观察具体
函数图像的特点，获得对变化规律的具体认识，然后让参数“动起来”看看是否还保持了这个规律。授课时使用了几何画板帮助学生更好
地观察规律，最后形成对图像变化的具体认识，然后再推广到一般
情形。这样安排既分散了难点，又使学生形成清晰的讨论线索，从
中能使学生学习如何将复杂的问题分解为简单的问题并“各个击破”，然后“归纳整合”的思想方法，培养有条理地思考的习惯，有利于培
养学生的逻辑思维能力。
（2）函数图像的变换是个复杂的过程，所以学生对它的认识不可能
一下子就十分深刻。因此，进行教学时，除了用几何画板动态的演
示和板书讲解，还在每一个探究之后设置了巩固练习，让学生暴露
出问题，通过引导，使学生逐步加深理解。（3）计算机作图，动态
演示
(4)本节课最后设置一道思考题，目的是曾强学生的思考意思。
【篇二：公开课三角函数图像变换2013.07】
原阳县中小学2012---2013学年第二学期优质课
原阳县第一高级中学公开课教学教案
班级：高一（7）班地点：教学楼1号楼3楼教室课类型：新授
课教者：姚红雨时间：2013-4-20
【篇三：三角函数图象变换教案】
一、新课引入：
师：前面我们学习了正弦函数y=sinx的图象和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间？
生：定义域：r，值域：[-1，1]，奇函数，单增区间：[]单减区间：
[]
师：回答的很好，那么形如偶性、周期及单调区间又如何呢？
（一片茫然，没有学生回答）
函数的定义域、值域、奇
师：大家别着急，今天我们就要来学习它们的图象和性质，并通过它们的图象和性质进一步来探究它们的图象与y=sinx图象会有什么样的关系．
二、动手实验：
下面请大家用图形计算器在同一坐标系分别输入以下几组三角函数的图象，并观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流．
第一组：
第二组：
第三组：
（教师巡视，同时指导学生注意输入中经常出现的几个问题：窗口调节、弧度与度的单位转换、及其如何利用
在同一坐标系同时画图和利用功能键
进行追踪和如何利用其它键进行的放大等等．）
三、师生交流：
师：从下列第一组图1，你有什么体会？
图1
师：的定义域、值域、周期分别是多少？
生：的定义域：x∈r，值域：y［－2，2］，周期：应该与y=sinx 的一样还是
师：不错，那么呢？
生：的定义域x∈r，值域：y∈［－，］，周期：
师：很好，那么它们三者之间的图象有什么关系呢？生：好象它们之间有一定的伸缩关系师：能不能再说得具体一点吗？
生：伸缩倍数是不是与2和有关呢？
师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急．下面请大家先看大屏幕几何画板的动画演示
（老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和利用动画演示有助于验证他们的猜想）
有关，只是猜想不知是否正确，此时，
图2
演示1：拖动点c,请大家观察图象上d、e的运动，在横坐标相同的条件下，纵坐标的变化，同时注
意比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx）
图3
演示2：拖动点b，观察图象y=sinx与y=asinx图象，当a发生变
化时，点d、e的纵坐标的变化，
同时注意比值的变化．（改变a的值，整体对比y=sinx与y=asinx 的关系）
进一步引导,观察,启发：
师：通过上述大家的实验、和我刚才的几何画板演示，你又有什么
体会？
生：函数y=1/2sinx的图象可看作把y＝sinx，x∈r上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)，函数y=2sinx图象可看作
把y＝sinx，x∈r上所有点的纵坐标缩短到原来的2倍而得(横坐标
不变)
师：太好了，回答完全正确．（演示进一步巩固了他们的猜想）教师总结：
一般地，y=asinx，(x∈ra0且a 1)的图象可以看作把正弦曲线
y=sinx上的所有点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0a1)到原来的a倍得到的．我们把这种变换简称为振幅变换．a1)到原来的a倍得到的．我
们把这种变换简称为振幅变换． p
第二组：
师生交流：
师：和第一组一样，你们有什么体会？
图4
师：与的定义域、值域、周期分别是多少？
生：与的定义域：r,值域：[-1，1]，和y=sinx的都
一样，周期是多少看不出来，反正它们的周期显然不一样．
（学生从图形计算器屏幕看到的的确如此，它们的周期明显不一样）师：是的，他们的图象差别太大，但是可以看出一个周期较小，一
个较大．（教师想通过周期的不一样来突破周期变换）
现在我给大家演示两个动画3．
图5
演示1：拖动点a （a、b,它们分别在各自的图象上）在纵坐标相同
的条件下，观察a、b的横坐标
的变化，以及的比值的变化．（对比y=sinx与y=2sinx的关系）
演示2：拖动点b, 改变w的值，再观察上述的变化．（改变w的值，进一步观察y=sinx与y=sinwx的图象关系）
(该环节的演示要慢，要让学生注意观察比值的不变特点)图6
进一步引导, 观察启发:
三角函数图象的平移和 伸缩 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由 ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换 称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >
先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数的图像与性质教案 考纲要求 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(－π 2，π 2)上的性质. 要点识记 1个必会思想——整体思想的运用 研究y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、值域、对称轴(中心)时，首先把“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sin x的图象和性质求解． 2个重要性质——三角函数的周期性与单调性 (1)周期性：函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最 小正周期为π |ω|. (2)单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两个三角函数单调区间的不同： ①y＝sin(π 4－x)，②y＝sin(x－ π 4)． 教材回归 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)． (1)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(×) (2)y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1 . (×) (3)y＝cos(x＋π 3)在[0，π]的值域是[－1， 1 2]．(√) (4)y＝sin(2x＋5 2π)是非奇非偶函数．(×) 考向一三角函数的定义域、值域 例1(1)[2014·天津高考]函数f(x)＝sin(2x－π 4)在区间[0， π 2]上的最小值为() A. －1 B. － 2 2 C. 2 2 D. 0 (2)函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．
[解析] (1)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，34π]， ∴y ∈[－22，1]，选B 项． (2)由题意，得????? 2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即????? sin x >12，cos x ≤12， [2k π＋π3，2k π＋56π)(k ∈Z ) 变式练习 1.已知f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) ______． 2.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为 __2__． 3.函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为____[－9,1]____． [易错点拨] 求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出现错误． 三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 考向二 三角函数的单调性 例2 (1)[2014·唐山模考]已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个
三角函数图像题 ---图像求解析式及平移变换 一．根据图像求解析式 1.图 1 是函数π2sin()2y x ω??? ?=+< ???的图象上的一段，则（ ） A.10π116ω?= =， B.10π116ω?==-， C.π 26ω?==， D.π 26 ω?==-， 2．已知函数()sin()f x A x ω?=+，x ∈R （其中2 2 ,0,0π π ω< <->>x A ），其部 分图像如图5所示．求函数()f x 的解析式； 3.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) A.sin()6y x π=+ B.cos(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.sin(2)6y x π=- 4.已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω= = B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω= = D. 6 ,2π ?ω- == 5.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 A.sin 6y x π?? =+ ?? ? B.sin 26y x π?? =- ?? ? C.cos 43y x π?? =- ?? ? D.cos 26y x π?? =- ?? ? 6.函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。（其中 π?πω<<->>,0,0A ） 7.已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象如图所示，求函数的解析式； 二．图像平移变换问题 1.为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像（ ） A.向左平移4π B.向右平移4π C.向左平移2π D.向右平移2 π 图5 y x 2 -1-0 1 -1 1 2345 6
高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草
图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
【百度参赛】《三角函数的图像及性质复习教案》 教学设计方案 设计者：郝春菊 设计者单位：通榆县实验高中 一、教学内容概括 1、《三角函数的图像及性质》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时. 2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、教学目标分析 1、知识与技能：（ 1）．能画出y =sin x , y =c os x 的图像，了解三角函数的周期性； （2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点及奇偶性等）； （3）．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 图像性质及常见问题的处理方 法 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 教 学 重 点：使学生掌握三角函数图像及性质，并能应用解决问题 教学难点、关键：正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时 三 导言：预测2011年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换； 一、复习提问： 1、什么叫做正弦函数，余弦函数？定义域，值域各是什么？ https://www.doczj.com/doc/a110026132.html,/view/536305.htm https://www.doczj.com/doc/a110026132.html,/view/536314.htm 2、正弦函数，余弦函数都有那些性质？正弦函数，余弦函数图像如何？ https://www.doczj.com/doc/a110026132.html,/upfiles/ztjj/jyrjdjs/11/gzkj/015.ppt#321,3,幻灯片 3
三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移． 周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ω π 2=T ，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变)，故有“变T 数倒系数议”之说． 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说． 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决． 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x ， 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可．故选(B)． 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=，即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可．故选(B)． 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可 见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ，故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ，π 处．易知要平移的数值是： 3 )4 (12 π π π = - -，方向是向 右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法． 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( ) (A) 5 2π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位，横、纵坐标都伸
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，及2π-，4π-， 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x 成立，函 数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩：
将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.
三角函数图像的平移、变换 一、 引入 以简单函数为例，讲解“左加右减、上加下减”。讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ； 二、三角函数图像的平移之历年高考真题 1、（2010全国卷2理）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像， 只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像（ ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π 个长度单位 2、（2010四川理）（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5y x π =- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220 y x π =- 3、（2010天津文）（8） 5y Asin x x R 66ππω??? =∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只 要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解 析式是( ).A.cos 2y x = B.2 2cos y x = C.)4 2sin(1π++=x y D.2 2sin y x =
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
3 得 y =A sin( x + )的图象? 向 ?上平 ( ? 移 k k ? 个 )或 单 向? 位 下长 ? (k 度 ?) → 得 y = A sin(x + )+k 的图象． y = sin x 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/3 个单位 纵 坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2 y = sin(x + ) y = sin(2 x + ) 横坐标不变 纵坐标伸长为原 来的3倍 先伸缩后平移 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1) y =sin x 的图象 ??? ??????→ y = 3sin(2x + 三角函数图象的平移和伸缩 函数y = A sin(x + ) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ， ， ，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状， ，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由 引起的变 换称周期变 换，它们都是伸缩变换；由 引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左( >0)或向右( 0) y = sin x 的图象 ??平 ? 移 ? 个单 ? 位长 ? 度 ?→ 得 y = sin(x +)的图象 横坐标伸长(0<<1)或缩短 (>1) 到原来的1(纵坐标不变) 得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0 横坐标伸长(0 1)或缩短(1) ????????→ 到原来的 1 (纵坐标不变) 向左( 0)或向右( 0) 得 y = A sin(x ) 的图象 ???平移 ?个 ? 单位 ??→ 得 y = A sin x ( x + )的图象??平 ?移 k ?个单 ?位长 ?度 ?→得 y = A sin( x +)+k 的图象． 纵坐标不变 y = sin x 横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标 向左平移 π/6 个单位 横坐标不变 y = 3sin(2x + ) 纵坐标伸长为原 3 来的3倍 例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin 2x + π +1的图象． 解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π 的图象；②将所得 图象的 横坐标缩小到原来的1，得y =sin 2x +π 的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin 2x + π 的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin 2x + π +1的图象． 方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐 标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2 x + π 的 2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin 2x + π +1的图象． 得 y = A sin x 的图象 y = sin2 x y = sin(2x + ) 1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页 6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 1 三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >
三角函数图像的变换
三角函数的图像与性质优秀教案
高一三角函数图象的平移和伸缩
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