12.3 角的平分线的性质（2）（杨香胜）
一、教学目标
（一）学习目标
1.了解角的平分线的判定定理；
2.理解角平分线性质和判定的区别与联系；
3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
（二）学习重点
角平分线的判定及其应用.
（三）学习难点
灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上（2）角平分线判定定理的符号语言：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
2.预习自测
（1）到角的两边距离相等的点在上.
（2）到三角形三边的距离相等的点是三角形（）
A.三条边上的高线的交点
B. 三个内角平分线的交点
C.三条边上的中线的交点
D.以上结论都不对
（3）在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=5cm,BD=3cm,则D到AB的距离是________，∠B=40°，则∠CDA= .
预习自测答案：（1）角平分线（2）B （3）2cm，65°
(二)课堂设计
1.知识回顾
（1）角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？
[生] 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.
（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？
[生]证明垂线段相等
（3）填空如图：
∵OC平分∠AOB，
OA⊥AC,OB⊥BC .
∴AC=BC（角平分线性质定理）
A
O
C
2. 问题探究
探究一角平分线的判定
●活动①（回顾旧知，回忆类活动）
把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？由学生抢答，然后师生归纳：到角两边距离相等的点在角平分线上；它是正确的. 【设计意图】由性质到判定强化二者的关系
●活动②证明上面的猜想
学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.
展示学生的学习成果：
已知： OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP
求证： OC平分∠MON
∴∠OAP=∠OBP =90° 在Rt △AOP 和Rt △BOP 中
?
?
?==BP AP OP
OP ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP （HL ） ∴∠1=∠2 ∴OC 平分∠MON
【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定. ●活动③
归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB
∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）
【设计意图】培养学生的归纳概括能力. 探究二 角平分线性质和判定的区别与联系 ●活动①
现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？
已知： CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC 求证： OC 平分∠AOB
C
∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中
?
?
?==BC AC OC
OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）
∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB
证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC
∴OC 平分∠AOB （角平分线判定定理）
先让学生回答，最后老师归纳：两种方法都正确，“方法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理. 【设计意图】让学生体会角平分线判定定理的作用. ●活动②
学生结合图形完善表中内容，教师对个别学生教学指导
.
题设 结论 作用 角平分线性质
角平分线判定
题设
结论 作用 角平分线性质
∠1＝∠2（OP 平分∠MON ），PA ⊥OM ，
PB ⊥ON
PA ＝PB
证明垂线段相等
角平分线判定PA⊥OM，PB⊥ON，
PA＝PB
∠1＝∠2（OP平分
∠MON）
证明角相等（平分
角）
●活动③
提问：角平分线的性质和判定之间有什么关系？
先让学生回答，最后由师生归纳：角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.
【设计意图】培养学生的归纳概括能力.
探究三利用角平分线的判定进行证明与计算
●活动①（基础性例题）
今天我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
【知识点】角平分线的性质和判定.
【思路点拨】由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是
∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．
【解题过程】
证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），
∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．
又∵AC＝AC′（已知），
∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
∴∠ABC＝∠ABC′．
（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，
∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）
即∠BAC＝∠BAC′，
∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，
∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
【设计意图】区别角平分线的性质和判定.
练习：如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.
求证：BD=DC
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定和性质.
【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定），则△ADB≌△ADC，所以BD=CD
【解题过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF
∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴BD=CD
【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.
●活动2 （提升型例题）
例2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.
【思路点拨】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.
【解题过程】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平
分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=1
2
∠ABC，∠BCO=∠
ACO=1
2
∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°?40°=140°，
∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°?70°=110°故选A.
【答案】A
【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.
练习：如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=52°，则∠BOC=（）
A．128°B．116°C．75°D．52°
【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.
【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．
【解答过程】解：如图，∵∠A=52°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°， ∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴点O 是△ABC 角平分线的交点，
1
2
1
128642
OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=??=?（）
，
在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-64°=116°． 故答案为：116°． 【答案】B
【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.
例3. 已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点.
求证：O 在∠C 的平分线上.
B
【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.
【思路点拨】由AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，可以得到垂线段OG 与ON 相等，OG 与OM 相等，再由垂线段ON 与OM 相等，得到O 在∠C 的角平分线上. 【解题过程】
证明：过O 作OG ⊥AB ，OM ⊥BC ，ON ⊥AC ， ∵AO 平分∠BAC ，∴OG=ON ， ∵BO 平分∠ABC ，∴OG=OM ， ∴ON=OM ，
∴O 在∠C 的平分线上.
【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.
练习：如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP
是△ABC的外角平分线．
【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.
【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF，PD=PE，由此可得PE=PF，根据角平分线的判定可得PC平分∠BCE
【解题过程】
证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，
∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系
●活动3 （探究型例题）
例4. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
【知识点】全等三角形的判定和性质；角平分线的判定定理.
【思路点拨】由BE=CF ， DB=DC ，可得Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD 是∠BAC 的平分线． 【解题过程】
证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ， ∴∠BED=∠CFD ，
∴△BDE 与△CDF 是直角三角形，
??
?==CD BD CF BE
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ， ∴DE=DF ，
∴AD 是∠BAC 的平分线．
【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.
练习：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BE ＝CF. 求证：AD 是△ABC 的角平分线.
A
B
C
D
E F
【知识点】角平分线的判定；三角形全等.
【思路点拨】由D 是BC 的中点，BE ＝CF ，可得Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ）则DE=DF ， 所以AD 是△ABC 的角平分线. 【解答过程】
证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴△BDE 和△CDF 是直角三角形．
?
?
?==CF BE CD
BD ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）， ∴DE=DF ，
又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 是角平分线．
【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等. 3. 课堂总结
知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）
（1）能证明角平分线判定定理； （2）理解角平分线的性质和判定的关系；
（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.
重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）
（1）理解角平分线性质与判定的关系；
（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题. （三）课后作业 基础型 自主突破
1．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD=CE ，则∠DOC=_________.
【知识点】角平分线的判定
【思路点拨】由CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=CE ，可得∠AOC=∠BOC=30° 【解答过程】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=CE ， ∴∠AOC=∠BOC ∵∠AOB =60°，
1
60302
DOC ∴∠=??=?
【答案】30°
2.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,∠A=40°，DE ⊥AC 且DB=DE,则∠BCD=______.
A
【知识点】角平分线的判定；三角形内角和定理。
【思路点拨】由∠B=90°,∠A=40°，可得∠ACB=50°由DE ⊥AC ，AC ⊥DE ,DB=DE,可得∠ACD=∠BCD=25°
【解答过程】∵∠B=90°,∠A=40°， ∴∠ACB=50°，
∵DE ⊥AC ，AC ⊥DE ,DB=DE,
∴∠ACD=∠BCD=25°， 即∠BCD=25° 【答案】25°
3．（1）如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则 ． （2）已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且DE = DF ，则 ．
【知识点】角平分线的性质和判定定理
【思路点拨】（1）由角平分线的性质可得DE=DF ；（2）由角平分线的判定可得∠1=∠2.
【解答过程】（1）∵∠1 =∠2，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，
∴DE=DF ．
（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， DE = DF ， ∴∠1 =∠2.
【答案】DE=DF ．∠1=∠2．
2
1
A
B C
D
E
F
4.已知PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．
求证：P在∠A的平分线上（如图）．
【知识点】角平分线的性质和判定.
【思路点拨】过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．由PB，PC分别是△ABC 的外角平分线可得PE=PH，PH=PG，所以PE=PG，由此可得P点在∠A的平分线上．【解答过程】
证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．
∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PE=PH，PH=PG，
∴PE=PG．
∴P点在∠A的平分线上．
5. 如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．
【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；平行线的性质；三角形内角和定理.
【思路点拨】由点P到AB、BC、CD距离都相等可得BP、CP分别是∠ABC和
∠BCD 的平分线，再由AB ∥CD ，可得∠ABC+∠BCD=180°，即∠CBP+∠BCP=90°，所以∠P=90°．
【解答过程】∵点P 到AB 、BC 、CD 距离都相等， ∴BP 、CP 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线， ∴∠CBP=
12∠ABC,∠BCP=1
2
∠BCD ∴∠CBP+∠BCP=1
2
（∠ABC+∠BCD ） ∵AB ∥CD ，
∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠CBP+∠BCP=
1
2
×180°=90°， ∴∠P=180°-（∠CBP+∠BCP ）=180°-90°=90°． 【答案】90
6. 如图，△ABC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，有下列四个结论：
①DA 平分∠EDF ； ②AB=AC ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等； ④到AE ，AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等． 其中正确的结论有（ ） A ．1个
B ． 2个
C ． 3个
D ．
4个
F
E D
A
B
C
【知识点】角平分线的性质和判定、三角形全等
【思路点拨】由AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE=DF,再由AD=AD, DE=DF,可得△ADE ≌△ADF 可得∠EDA=∠FDA.
【解答过程】∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE=DF,
又∵AD=AD
∴△ADE≌△ADF（HL）
∴∠EDA=∠FDA
即①正确；
∴AD上的点到DE和DF的距离相等，
∵AD上的点到AE和AF的距离也相等，
即④正确
根据已知条件不能证明AB=AC, AD上的点到B、C两点的距离相等也不成立. 【答案】B
能力型师生共研
1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为
【知识点】角平分线的性质、直角三角形的性质、点到直线的距离
【思路点拨】根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的长度最小，易证∠ABD=∠CBD，根据角平分线的判定定理可得AD=DP，即DP长的最小值为5
【解答过程】
解：当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠B DC=90°，又∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，
∴AD=DP，又AD=5，
∴DP=5．
【答案】5
∠．
2．已知：如图，90
B C
∠=∠=，M是BC的中点，DM平分ADC
（1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论． （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．
【知识点】角平分线的性质和判定；平行线的性质和三角形内角和定理 【思路点拨】（1）过点M 作ME ⊥AD 于点E ，再根据角平分线的性质得到MC=ME ，由M 为BC 的中点可得MC=MB 即得ME=MB ，再结合MB ⊥AB ，ME ⊥AD 即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质可得11
22
ADM ADC DAM BAD ∠=∠∠=∠，，由∠B=
∠C=90o可得AB//CD ，即可得到∠ADC+∠BAD=180o，再根据角平分线的性质求解即可. 【解答过程】
（1）AM 平分DAB ∠．
证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ．
12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥，
ME MC =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又MC MB =∵，ME MB =∴．
MB AB ∵⊥，ME AD ⊥，
∴AM 平分DAB ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）AM DM ⊥，理由如下：
90B C ∠=∠=∵，
CD AB ∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）
． 180CDA DAB ∠+∠=∴（两直线平行，同旁内角互补）
又112CDA ∠=∠∵，1
32DAB ∠=∠（角平分线定义）
2123180∠+∠=∴，1390∠+∠=∴，
2
1 3 4
D C
A
2 1
3
4
Ｄ
Ｃ
Ｍ
Ｂ ＡＥ
90AMD ∠=∴．即AM DM ⊥．
探究型 多维突破
1.如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线BP 、CP 交于P ，PE ⊥AC 于E ，若△ABC 的周长为12，PE=2，S △BPC =3，则S △ABC =______．
【知识点】角平分线的性质和三角形面积. 【数学思想】利用割补法求三角形面积.
【思路点拨】过点P 作PF ⊥BC 于F ，作PG ⊥AB 于G ，根据角平分线的性质可得
PF=PG=PE=2，△BCP 的高为2，则BC 长为3，AC+AB=9,则四边形ABPCD 的面积为9（把四边形ABPCD 沿AP 分成两个三角形—割补法），从而S △ABC=6 【解题过程】
如图，过点P 作PF ⊥BC 于F ，作PG ⊥AB 于G ， ∵∠ABC 和∠ACB 的外角平分线BP 、CP 交于P ， ∴PF=PG=PE=2， ∵S △BPC=3，
∴2
1
BC?2=3，解得BC=3， ∵△ABC 的周长为12，∴AC+AB=12-3=9，
∴S △ABC=S △ACP+S △ABP-S △
BCP=2
1
×9×2-3 =9-3=6． 故答案为：6．
2.如图，PB 丄AB ，PC 丄AC ，且PB=PC ，D 是AP 上的一点， 求证：∠BDP=∠CDP
C
B
P
A
D
【知识点】角平分线的判定定理；全等三角形的判定和性质.
【思路点拨】去证明∠BDP 和∠CDP （或∠BDA 和∠CDA ）所在的两个三角形全等.【解题过程】
证明:∵PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，PB=PC ∴∠BAD=∠CAD
在Rt △ABP 和Rt △ACP 中，
∵?
??==PA PA PC PB
∴Rt △ABP ≌Rt △ACP （HL ）， ∴AB=AC
在△ABD 和△ACD 中，
∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）， ∴∠BDA=∠CDA ∴∠BDP=∠CDP
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点【知识点】角平分线的判定定理.
【思路点拨】到角两边的距离相等的点在角平分线上.
【解答过程】解：如图，∵OE=OF,OE⊥BC,OF⊥AB
∴O在∠B的平分线上，
同理可得O在∠A的平分线上，O在∠C的平分线上，
∴O为三条角平分线的交点.
【答案】D
D
E
F
O
B
A C
2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（）
A.∠1=∠2 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2 D．无法确定
【知识点】角平分线的判定定理和三角形全等的性质和判定
【思路点拨】易证△PCA≌△PDB(AAS)，由此可得CP=DP,根据角平分线的判定定理可得∠1=∠2.
【解答过程】∵AD⊥OB，BC⊥OA，
∴∠ACP=∠BDP=90°
∵∠APC=∠BPD,CP=DP
∴△PCA≌△PDB(AAS)，
∴∠1=∠2.
【答案】A
3．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC ＝30°，则∠PCA＝．
【知识点】角平分线的判定；三角形的外角性质
【思路点拨】由PA⊥ON，PB⊥OM，PA＝PB，可得∠NOP=∠MOP=25°, 则∠PCA=∠NOP+∠OPC=55°
【解答过程】解：∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA＝PB，
∴∠NOP=∠MOP=25°,
∵∠PCA=∠NOP+∠OPC=25°+30°=55°
【答案】55°
4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是50、60、70，其三条角平分线将△
ABC分成三个三角形，则S
△ABO ：S
△BCO
：S
△CAO
等于______．
【知识点】角平分线的性质定理和三角形的面积.
【思路点拨】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，O是三角形三条角平分线的交点，可得OD=OE=OF，OE,OF,OD分别是△ABO，△BCO，△CAO的高，则这三个三角形的面积正比就是对应底的比.
【解题过程】