数学题解决策略已整理)

第三章高考热点问题和解题策略

数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导思想，严格遵循“考试说明”的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识，特别是突出考查数学学科的思维能力。

函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。

三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用，以常规题居多。

解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背景为不等式的性质、定理；立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。

数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）数列的概念与计算公式；数列、极限的概念与求法。

线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知识背景为线面间的平行、垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。

圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法。

1993年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考查的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能力多题渗透。

今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题5分，但适当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比99年高考，2000高考将适当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。

进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线等），淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何等），做好向新高中教材过渡的准备。

应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题仍以归纳猜想为主要形式。

一、应用问题

应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：

1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。

2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。

3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解。

对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。

求解应用题的一般步骤是（四步法）：

1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；

2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；

3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。

在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。

Ⅰ、再性性题组：

1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成______。

A. 511个

B. 512个

C. 1023个

D. 1024个

2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长

为定值L，这块场地的长为_______时，场地面积最大，最大面积是_________。

3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是_______。

A. (L

6

)3π B.

1

9

(

L

2

)3π C. (

L

4

)3π D. 2(

L

4

)3π

4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_______。(精确到0.1m)

5.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有_______种承包方式。

【简解】1小题：答案B ；2小题：设长x ，面积S ＝x ×l x -3≤13(l 2)2，答案：长为l

2

，最大面积l 212；

3小题：V ＝πr 2

l r -42＝πr 2(l

2

－2r)≤π(r r l

r ++

-223

)3，选A ；4小题：由30h ＝tg60°得h ＝103≈17.3；

5小题：C 83

C 51

C 42

＝1680。

Ⅱ、示范性题组：

例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （96年全国高考）

（粮食单产＝总产量耕地面积

； 人均粮食产量＝总产量总人口数

）

分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策。

【解】1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P ＝

粮食单产×耕地面积总人口数

， 主要关系是：P 实际

≥P 规划 。 2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x 公顷，现在粮食单产为a 吨／公顷，现在人口数为m ，则现在占有量为a m

×104

，

10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)10，耕地面积为（104

－10x ）。

∴ a x m (.)()(.)102210101001410

+-+≥a m

×104（1＋0.1） 即 1.22（104－10x ）≥1.1×104×（1＋0.01）10 3.求解： x ≤103

－

11122..

×103

×（1＋0.01）10 ∵ （1＋0.01）10

＝1＋C 101

×0.01＋C 102

×0.012＋C 103

×0.013＋…≈1.1046 ∴ x ≤103－995.9≈4（公顷） 4.评价：答案x ≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）

【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数； 而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量

2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x 公顷，现在粮食单产为a 吨／公顷，现在人口数为m ，则现在占有量为a m

×104

，10

年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)10

，耕地面积为（104－10x ）。

∴ a(1＋0.22)×(1O 4

－10x)≥a m

×104

×(1＋0.1)×m(1＋0.01)10

3.求解： x ≤103－11

122..

×103×（1＋0.01）10

∵ （1＋0.01）10＝1＋C 101×0.01＋C 102×0.012＋C 103×0.013＋…≈1.1046∴ x ≤103

－995.9≈4（公顷）

4.评价：答案x ≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）

【注】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。

在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.0110

≈1,算得结果为x ≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.0110的近似计算上。

例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m 2，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m 2，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？（91年上海高考）

【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。

【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝

总住房面积

总人口数

2.建模：2000年底人均住房面积为100105101010

100101244410

??+????+()％

3.求解：化简上式＝

6

10210

.， ∵ 1.0210＝1＋C 101

×0.02＋C 102

×0.022＋C 103

×0.023＋…≈1.219 ∴ 人均住房面积为

6

10210

.≈4.92 4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m 2。

【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还

是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此种题型属于应用问题中的数列模型。

例3．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米／时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元。

① 把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域； ② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ （97年全国高考）

【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。 【解】（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，

（建模）有y ＝(a ＋bv 2)

S v

（解题）所以全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：y ＝S(a

v

＋bv)，其中函数的定义域是v ∈(0,c]。

整理函数有y ＝S(a v ＋bv)＝S(v ＋a

b v

)，由函数y ＝x ＋k x (k>0)的单调性而得： 当

a b

b

≥c 时，则v ＝c 时，y 取最小值。 综上所述，为使全程成本y 最小，当

a b

b

≥c 时，行驶速度应为v ＝c 。 【注】对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特

别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v 的范围，一旦忽视，将出现解答不完整。此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型。

例4．如图，假设河的一条岸边为直线MN ，AC ⊥MN 于C ，点B 、D 在MN 上，现将货物从A 地经陆地AD 于水陆BD 运往B 地，已知AC ＝10km ，BD ＝30km ，又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D 点应选在距C 点多远处？

【分析】设∠ADC ＝α后，将AD 、BC 用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运费最小值等。

【解】设∠ADC ＝α，则AD ＝

10

sin α

，BD ＝30－10ctg α， 设水路每km 的运费为1，则运费y ＝(30－10ctg α)＋2×

10sin α＝10(3－cos sin αα＋2sin α)＝10(3＋2-cos sin α

α

)

设t ＝

2-cos sin αα

，即t ×sin α＋cos α＝2,有t 2

1+sin(α＋θ)＝2,

∴t 2

1+≥2即t ≥3。

当t ＝3时，2－cos α＝3sin α即32sin α＋1

2

cos α＝1, ∴ sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。

∴ CD ＝10ctg α＝

1033km 综上所述，D 点应选在距C 点103

3

km 时运费最少。 【注】作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海航空等应用题都可以转化为三角函数

来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解答，此种题型属于应用问题中的三角模型。

在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型。此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型。

Ⅲ、巩固性题组：

1.某商品降价10％后，欲恢复原价，则应提价为______。

A. 10％

B. 9％

C. 11％

D. 1119

％

2.某工厂去年12月的月厂值为a ，已知月平均增长率为P ，则今年12月厂值比去年同期增加的倍数是______。 A. (1＋P)12－1 B. (1＋P)12 C. (1＋P)11 D. 12P

3.将一半径为R 的木球加工成一正方形木块，则木块的最大体积为______。 A. 8

27

3R 3

B.

8

9

3R 3 C. 89R 3 D. 38

3R 3

4.在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50°与140°的圈上，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离为______。 A. 12

πR B. 13

πR C. π4

R D. 22

πR

5.某种商品分两次提价，有三种提价方案，方案甲是：第一次提价p ％，第二次提价q ％；方案乙是：第一次提价q ％，第二次提价p ％；方案丙是：第一次提价p q +2

％，第二次提价p q +2

％，已知p>q>0，则上述三个方案中______。

A.方案甲提价最多

B.方案乙提价最多

C.方案丙提价最多

D.以上都不对

6.假设国家收购某种农产品的价格是120元／担，其中征税标准为每100元征8元（叫税率8个百分点，即8％），计划可收购m 万担。为了减轻农民负担，决定把税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点。 ① 写出税收y （万元）与x 的函数关系式； ② 要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x 的范围。

7.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150万元，以后每月的这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1％。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？

8.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，

OA ＝1.25米，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 的距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（97年上海高考）

9.电灯挂在圆桌的正中央上空，光学定律指出：桌边A 处的照度I 与射到点A 的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，与点A 到光源的距离的平方成反比。已知桌面半径r ＝0.5米，当电灯离桌面1米时，桌边A 处的照度为I 0。 ① 试把照度I 表示为角θ的函数； ② 怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌边处最亮？

10.国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米、宽68米，足球门宽7.32米、高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（边锋在足球场地长边上移动，最佳射门位置应使边锋看足球门的水平视角θ最大）。 （精确到1米）

A

M C D B

A

O 水面

二、探索性问题

近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。

一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。

探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。

猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n 有关数学问题。

存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。

分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。

探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。

Ⅰ、再现性题组：

1.是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()

+112

(an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。 （89年全国理）

2.已知数列8113

2

2

··，8235

2

2

··…，8212122

··n n n ()()-+，…。S n 为其前n 项和，求S 1、S 2、S 3、S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）

【简解】1题：令n ＝1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a ＝3、b ＝11、c ＝10，猜测a 、b 、c 的值对所有的n ∈N 都成立，再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题）

2题：计算得到S 1＝89、S 2＝2425、S 3＝4849、S 4＝8081，观察后猜测S n ＝()()211212

2

n n +-+，再运用数学归纳法进行证明。

Ⅱ、示范性题组：

【例1】已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。 【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx 2＋y 2＝4的特点，对参数k 分k>1、k ＝1、0

【解】由方程kx 2

＋y 2

＝4，分k>1、k ＝1、01时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上，a ＝2，b ＝2k

;

② 当k ＝1时，表示圆，圆心在原点，r ＝2；

③ 当0

，b ＝2；

④ 当k ＝0时，表示两条平行直线 y ＝±2；

⑤ 当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y 轴上。

所有五种情况的简图依次如下所示：

【例2】给定双曲线x 2

－y 2

2

＝1， ① 过点A(2,0)的直线L 与所给双曲线交于P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；

② 过点B(1,1)能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1、Q 2，且点B 是线段Q 1、Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。（81年全国高考题）

【分析】两问都可以设直线L 的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。

【解】① 设直线L ：y ＝k(x －2)

∴ y k x x y =--=????

?()22122

消y 得(2－k 2)x 2＋4k 2x －(2＋4k 2)＝0 ∴ x 1＋x 2＝4222k k - ∴x p ＝222

2k k - 代入直线L 得：y p ＝422k k - ∴ x k k y k k =-=

-?????

??2242222 消k 得2x 2－4x －y 2＝0即()x -1122－y 22＝1

线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是：()x -11

2

2

－y 2

2

＝1

② 设所求直线m 的方程为：y ＝k(x －1)＋1

∴ y k x x y =-+-=????

?()112122 消y 得(2－k 2)x 2＋(2k 2－2k)x ＋2k －k 2－3＝0 ∴ x 1＋x 2＝22222k k k --＝2×2 ∴k ＝2 代入消y 后的方程计算得到：△<0， ∴满足题中条件的直线m 不存在。

【注】本题综合性比较强，将解析几何知识进行了横向综合。对于直线与曲线的交点问题和有关交点弦长及其中点的问题，一般可以利用韦达定理和根的判别式求解。本题属于存在型问题，其一般解法是：假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。在解题思路中，分析法与反证法起了关键作用。这类问题一般是先列出条件组，通过等价转化解组。

【例3】设{a n }是正数组成的数列，其前n 项的和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项。 ① 写出数列{a n }的前3项； ② 求数列{a n }的通项公式（写出推证过程）； ③ 令b n ＝1

2

（a a n n +1＋a a n

n +1

） (n ∈N)，求lim n →∞

(b 1＋b 2＋…＋b n －n)。(94年全国高考题)

【分析】由题意容易得到

a n +2

2

＝2S n ，由此而求得a 1、a 2、a 3，通过观察猜想a n ，再用数学归纳法证明。求出a n 后，代入不难求出b n ，再按照要求求极限。

【解】① ∵

a 12

2

+＝21S ＝21a ∴ a 1＝2

∵a

2

2

2

+

＝2

2

S＝2(

12

a a

+)＝22

2

()

+a∴ a

2

＝6

∵a

3

2

2

+

＝2

3

S＝2

123

()

a a a

++＝28

3

()

+a∴a

3

＝10 所以数列{a

n

}的前3项依次为2、6、10。

②由数列{a

n }的前3项依次为2、6、10猜想a

n

＝4n－2，下面用数学归纳法证明a

n

＝4n－2：

当n＝1时，通项公式是成立的；

假设当n＝k时结论成立，即有a

k

＝4k－2，

由题意有a

k

+2

2

＝2S

k

,将a

k

＝4k－2代入得到：S

k

＝2k2；

当n＝k＋1时，由题意有a

k+

+

1

2

2

＝2

1

S

k+

＝2(

1

S a

k k

+

+

)

∴ (a

k+

+

1

2

2

)2＝2(a

k+1

＋2k2) 即a

k+1

2－4a

k+1

＋4－16k2＝0 由a

k+1

>0，解得a

k+1

＝2＋4k＝4(k＋1)－2，

所以n＝k＋1时，结论也成立。

综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。

③设c

n ＝b

n

－1＝

1

2

（

a

a

n

n

+1＋

a

a

n

n+1

）－1＝

1

2

（

42

42

n

n

+

-

＋

42

42

n

n

-

+

－2）＝

1

2

[（21

21

n

n

+

-

－1）＋(21

21

n

n

-

+

－1)]＝1

21

n-

－1

21

n+

b 1＋b

2

＋…＋b

n

－n＝c

1

＋c

2

＋…＋c

n

＝（1－

1

3

）+（

1

3

－

1

5

）＋…＋(

1

21

n-

－

1

21

n+

)＝1－

1

21

n+

∴lim

n→∞(b

1

＋b

2

＋…＋b

n

－n)＝lim

n→∞

(1－

1

21

n+

)＝1

【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特殊的情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第③问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，设立新的数列c

n

具有一定的技巧性。

此外，本题第②问数列通项公式的求解，属于给出数列中S

n 与a

n

的函数关系式求a

n

，对此类问题我们还可以直接求解，

解答思路是由a

n+1＝S

n+1

－S

n

的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的

解答过程是：

由题意有a n+2

2＝2S

n

，整理得到S

n

＝

1

8

(a

n

＋2)2，所以S

n+1

＝

1

8

(a

n+1

＋2)2，

∴ a

n+1＝S

n+1

－S

n

＝

1

8

[(a

n+1

＋2)2－(a

n

＋2)2]

整理得到(a

n+1＋a

n

)( a

n+1

－a

n

－4)＝0

由题意a

n >0可以得到：a

n+1

－a

n

－4＝0,即a

n+1

－a

n

＝4

∴数列{a

n }为等差数列，其中a

1

＝2，公差d＝4，即通项公式为a

n

＝4n－2。

【例4】已知x

1>0，x

1

≠1，且x

n+1

＝

x x

x

n n

n

()

2

2

3

31

+

+

(n∈N)，比较x

n

与x

n+1

的大小。(86年全国理)

【分析】比较x n 与x n +1的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。

【解】x n +1－x n ＝x x x n n n ()

22331

++－x n ＝213122x x x n n n ()-+

由x 1>0及数列{x n }的定义可知，x n >0，所以x n +1－x n 与1－x n 2的符号相同。 假定x 1<1，当n ＝1时，1－x 12>0；假设n ＝k 时1－x k 2>0，那么当n ＝k ＋1时， 1－x k +1

2

＝1－[x x x k k k ()22

331

++]2＝()()1312322-+x x k k >0，因此对一切自然数n 都有1－x n 2

>0,即x n 1，当n ＝1时，1－x 12<0；假设n ＝k 时1－x k 2<0，那么当n ＝k ＋1时， 1－x k +1

2

＝1－[x x x k k k ()22331

++]2＝()()1312322

-+x x k k <0，因此对一切自然数n 都有1－x n 2

<0,即x n

【注】本题对1－x n 2的符号的探讨，由于其与自然数n 有关，考虑使用数学归纳法解决。一般地，探索性问题与自然数n 有关时，我们可以用归纳→猜想→证明的方法解出。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。 ①. 证明： lg lg S S n n ++22

0，使

得lg()lg()S c S c n n -+-+22

2.已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝100。

①.求数列{b n }的通项； ②.设数列{a n }的通项a n ＝lg(1＋1b n

)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与12

lgb n +1的

大小，并证明你的结论。（98年全国高考题）

3.是否存在a 、b 、c ，使得a n ＝an 2

＋bn ＋c ，且满足a 1＝1,3S n ＝(n ＋2)a n ，对一切自然数n 都成立（其中S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ）？试证明你的结论。

4.已知P n ＝(1＋x)n

，Q n ＝1＋nx ＋n n ()-12

x 2

，n ∈N ，x ∈(-1,+∞)，比较P n 和Q n 的大小。

5.已知数列{a n }满足关系式a 1＝a (a>0)，a n ＝2111

a a n n --+ (n ≥2，n ∈N)。

① 用a 表示a 2、a 3、a 4； ② 猜想a n 的表达式，并证明你的结论。

6.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且b 、a 、c 成等差数列，b ≥c 。已知B(-1,0)、C(1,0)。 ① 求顶点A 的轨迹L ； ② 是否存在直线m ，使m 过点B 并与曲线L 交于不同的两点P 、Q 且|PQ|恰好等于原点O 到直线m 距离的倒数？若存在，求出m 的方程；若不存在，说明理由。

7.如图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。 ①求证：MN ⊥AB ； ② 若平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由。

P

N B M A C D

三、选择题解答策略

近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本策略是准确、迅速。

准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。

选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项A 、B 、C 、D 组成。

选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推理等解答过程，在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷简捷，评分客观，在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力；选择支中往往包括学生常犯的概念错误或运算、推理错误，所有具有较大的“迷惑性”。

一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。

Ⅰ、示范性题组： 一、 直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。

【例1】（96年高考题）若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是______。

A ．{x|2k π－34π

C. {x|k π－

π4

【解】直接解三角不等式：由sin 2

x>cos 2

x 得cos 2

x －sin 2

x<0,即cos2x<0，所以：

π

2

＋2k π<2x<32π＋2k π，选D ；

【另解】数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出单位圆：

利用三角函数线，可知选D 。

【例2】（96年高考题）设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)等于______。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5

【解】由f(x ＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B 。

也可由f(x ＋2)＝－f(x)，得到周期T ＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5。

【例3】（87年高考题）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是_____。 A. 1440 B. 3600 C. 4320 D. 4800

【解一】用排除法：七人并排站成一行，总的排法有P 77

种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×P 66

种。因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：P 77

－2×P 66

＝3600,对照后应选B ；

【解二】用插空法：P 55

×P 62

＝3600。

直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的

基础上，否则一味求快则会快中出错。

二、 特例法：

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。

【例4】(97年高考题)定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)

【解】令f(x)＝x ，g(x)＝|x|，a ＝2，b ＝1,则：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正确；f(a)－f(-b)＝2－（－1）＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正确。所以选C 。

【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，从而①式正确；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，从而③式正确。所以选C 。

【例5】（85年高考题）如果n 是正偶数，则C n 0

＋C n 2

＋…＋C n n -2

＋C n n

＝______。

A. 2n

B. 2n -1

C. 2n -2

D. (n －1)2n -1

【解】用特值法：当n ＝2时，代入得C 20

＋C 22＝2,排除答案A 、C ；当n ＝4时，代入得C 40＋C 42＋C 44

＝8,排除答案D 。所以选B 。

【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C n 0

＋C n 2

＋…＋C n

n -2

＋C n n

＝2n -1，选B 。

当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得愈简单愈好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略。近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右。

三、 筛选法:

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确判断的方法叫筛选法或剔除法。

【例6】（95年高考题）已知y ＝log a (2－ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____。

A. [0,1]

B. (1,2]

C. (0,2)

D. [2,+∞)

【解】∵ 2－ax 是在[0,1]上是减函数，所以a>1，排除答案A 、C ；若a ＝2，由2－ax>0得x<1，这与[0,1]不符合，排除答案C 。所以选B 。

【例7】（88年高考题）过抛物线y 2

＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段PQ 中点的轨迹方程是______。 A. y 2＝2x －1 B. y 2＝2x －2 C. y 2＝－2x ＋1 D. y 2＝－2x ＋2

【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A 、C 、D ，所以选B ；

【另解】直接法：设过焦点的直线y ＝k(x －1)，则y kx y x =-=???

142，消y 得：

k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0,中点坐标有x x x k k y k k k k =+=+=+-=?????

??12222

222

212()，消k 得y 2＝2x －2，选B 。 筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾

的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％。

四、 代入法：

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。

【例8】（97年高考题）函数y=sin(

π3－2x)＋sin2x 的最小正周期是_____。 A ．π

2

B. π

C. 2π

D. 4π

【解】代入法：f(x ＋

π2)＝sin[π3－2(x ＋π2)]＋sin[2(x ＋π

2

)]＝－f(x)，而 f(x ＋π)＝sin[

π

3

－2(x ＋π)]＋sin[2(x ＋π)]＝f(x)。所以应选B ； 【另解】直接法：y ＝

32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin(2x ＋π

3

)，T ＝π，选B 。 【例9】（96年高考题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角?等于_____。

A.

22

3

π B.

233π C. 2π D. 263π 【解】代入法：四个选项依次代入求得r 分别为：23、33、22、63，再求得h 分别为：73、63、22

、3

3，

最后计算体积取最大者，选D 。

【另解】直接法：设底面半径r ，则V ＝13πr 2

12-r ＝23π

r 2r 2

12-r ≤…

其中

r 2

＝12

-r ，得到r ＝23，所以?＝2π23／1＝

263π，选D 。 代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

五、 图解法：

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法。

【例10】（97年高考题）椭图C 与椭圆()x -39

2＋()

y -242

＝1关于直线x ＋y ＝0对称，椭圆C 的方程是_____。

A ．()x +242＋()y +392

＝1 B. ()x -29

2

＋

()y -342＝1 C. ()x +29＋()y +342

＝1 D. ()x -242＋()y -39

2＝1 【解】图解法：作出椭圆及对称的椭圆C ，由中心及焦点位置，容易得到选A 。

【另解】直接法：设椭圆C 上动点(x,y)，则对称点(－y ，－x)，代入已知椭圆方程得()--y 392

＋()--x 24

2

＝1，整理即得所

求曲线C 方程，所以选A 。

【例11】（87年高考题）在圆x 2

＋y 2

＝4上与直线4x ＋3y －12=0距离最小的点的坐标是_____。 A. （8

5，

65） B. (85,－65) C. (－85,65) D. (－8

5

,－65) 解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x 2

＋y 2

＝4和直线4x ＋3y －12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A 。

【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得。 【例12】已知复数z 的模为2，则 |z －ｉ| 的最大值为_______。 A. 1 B. 2 C. 5 D. 3

【解】图解法：由复数模的几何意义，画出右图，可知当圆上的点到M 的距离最大时即为|z －ｉ|最大。所以选D ； 【另解】不等式法或代数法或三角法：|z －ｉ|≤|z|＋|ｉ|＝3,所以选D 。

数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；97年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右。

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不管是什么方法，甚至可以猜测。但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确理由与错误的原因，这样，才会在高考时充分利用题目自身的提供的信息，化常规为特殊，避免小题作，真正做到熟练、准确、快速、顺利完成三个层次的目标任务。

Ⅱ、巩固性题组：

1.（86年高考题）函数y ＝（15

）-x ＋1的反函数是______。

A. y ＝log 5x ＋1 （x>0）

B. y ＝log x 5＋1 （x>0且x ≠1）

C. y ＝log 5(x －1) (x>1)

D. y ＝log 5x －1 (x>1)

2.（90年高考题）已知f(x)＝x 3＋ax ＋bx －8,且f(－2)＝10，那么f(2)等于_____。 A. －26 B. －18 C. －10 D. 10

3.一个凸多边形的最小内角为23

π,各内角成等差数列，公差为π36

,则此多边形的边数为_____。

A. 9

B. 16

C. 9或16

D. 16或25

4.设a 、b 、c 为实数，且cos2x ＝acos 2x ＋bcosx ＋c 恒成立，则a 2＋b 2＋c 2＝______。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则______。

A. a 2>b 2

B. b a

<1 C. lg(a －b)>0 D. （12

）a <(12

)b

6.如果方程x 2＋ky 2

＝2表示焦点在y 轴上椭圆，那么实数k 的取值范围是_____。 A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 7.中心在原点，准线方程为x ＝±4，离心率为12

的椭圆方程是______。

A. x 24

＋y 23＝1 B. x 23＋y 24＝1 C. x 24＋y 2＝1 D. x 2＋y 2

4

＝1

8.已知正三棱台上、下底面边长分别为2和4,高为23，它被中截面截得的较大部分体积是_____。 A. 372

B. 1114

C. 194

D. 374

9.若α＝arg(2＋ｉ)，β＝arg(－3＋ｉ)，则β－α等于______。 A. 54

π B. 34

π C. －π4

D. －34

π

10. (95年高考题)等差数列{a n }、{b n }前n 项和分别是S n 和T n ，若S T n n

＝231

n n +，则lim n →∞

a b n n

等于______。

A. 1

B. 63

C. 23

D. 49

四、填空题解答策略

填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。

填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等。

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。

填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法。

Ⅰ、示范性题组： 一、直接推演法：

直接法就是根据数学概念，或者运用数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，进行推理或者计算得出结果后，将所得结论填入空位处，它是解填空题最基本、最常用的方法。

【例1】（94年高考题）已知sin θ＋cos θ＝15

，θ∈(0,π)，则ctg θ的值是 。

【解】已知等式两边平方得sin θcos θ＝－

1225，解方程组得sin θ＝45，cos θ＝35，故答案为：－3

4

。

【另解】设tg

θ

2

＝t ，再利用万能公式求解。 【例2】（95年高考题）方程log 2(x ＋1)2＋log 4(x ＋1)＝5的解是 。 【解】由换底公式得4log 4(x ＋1)＋log 4(x ＋1)＝5，即log 4(x ＋1)＝1,解得x ＝3。

二、特值代入法：

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论证的过程。

【例3】（89年高考题）已知(1－2x)7

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 7x 7

，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。

【解】令x ＝1，则有（－1）7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。 【例4】（90年高考题）在三棱柱ABC —A ’B ’C ’中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB ’C ’F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2＝ 。

【解】由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V ＝4，而V 1＝13（1＋4＋4）=

7

3

，V 2＝V －V 1＝53，则V 1:V 2＝7:5。

三、图解法：

一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。 【例5】不等式25x +>x ＋1的解集是 。

【解】如图，在同一坐标系中画出函数y ＝25x +与y ＝x ＋1的图像，

由图中可以直观地得到：－5

2

≤x<2，所以所求解集是[－

5

2

,2)。

【例6】（93年高考题）若双曲线

x

k

2

2

9

－

y

k

2

2

4

＝1与圆x2＋y2＝1没有公共点，则实数k的取值范围是。

【解】在同一坐标系中作出双曲线

x

k

2

2

9

－

y

k

2

2

4

＝1与圆x2＋y2＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到|3k|>1,故求得

实数k的取值范围是k>1

3

或k<－

1

3

。

六年级奥数题列方程解应用题

六年级奥数题列方程解应 用题 Prepared on 22 November 2020

列方程解应用题训练 1.一个分数约分后将是 54,如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后将是9 4.那么原分数是 . 2.八个自然数排成一行,从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是3,第八个数是180,那么第二个数是 . 3,□,□,□,□,□,□180 3.一个长方形的长与宽之比是14:5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米.原长方形的面积是 平方厘米. 4.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱,与按每个11元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是 元. 5.粮店中的大米占粮食总量的 73,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的3 1.这个粮店原来共有粮食 千克. 6.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是 . 7.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水,则浓度变为25%.那么原有40%的食盐水 克. 8.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:2:3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需 工时. 9.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:每套运费以元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费元,那么,在运输过程中共损坏.

最新2019年(新人教版)二年级数学应用题大全下

2019年(新人教版)二年级数学应用题大全下 学校：姓名： 1、二班有男生28人，女生25人，其中有27人参加乒乓球比赛，还有多少人没参加？ 2、我今年8岁，爸爸今年35岁，我今年16岁时，爸爸的岁数是多少岁？ 3、停车场有小汽车37辆，大客车比小汽车多6辆，两种车一共有多少辆？ 4、商店运47筐苹果，上午卖了12筐，下午卖28筐，还有多少筐？（用两种方法来解答） 5.动物园有熊猫4只，有猴子是熊猫的3倍.问一共有熊猫和猴子多少只？ 6、小华和爸爸、妈妈一起去“世界大观”玩，（成人票8元，儿童票4元）一共要多少元？ 7、二年级有4个班，每个班做8个作品，送给幼儿园小朋友25个，还有多少个作品？ 8、有24个桃子，平均分给4只小猴，每只小猴分多少个？ 如果分给6只小猴，每只小猴有多少个？ 如果每只小猴分3个桃，可以分给多少只小猴？ 9、二（2）班有54个同学，6个同学为一组，可以分成几组？ 如果平均分成9组，每组有几人？

10、4个铅笔盒24元，买6个要多少元？ 11、二年级有男生和女生各18人参加跑步比赛，比赛的同学平均分成6组，每组分成多少人？ 12、小明做了8朵花，小丽做是小明的3倍，小红做的比小丽少8朵. （1）小丽做了多少朵？ （2）小红做了多少朵？ （3）小红做了是小明的几倍？ 13、有一种胃药，每天吃3次，每次吃3片，一个疗程63片，可以吃多少天？ 14、动物园有16只白马，24只黑马，每8只住一个房. （1）一共需要多少个房？ （2）你还能提出什么问题？（除法） 15、图书馆里有45本故事书，图画书比故事书多15本，图画书有多少本？ 16、黑兔的只数是白兔的5倍，白兔有6只，黑兔有多少只？ 17. 一小桶牛奶5元钱，一大桶牛奶是一小桶的4倍，买一大一小两桶牛奶共需要多少钱？

超难奥数题之数论专题：穷举用技巧

穷举用技巧 【例1】 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是。 【例2】 如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。 【例3】 黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。 ⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ ⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？ 【例4】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？

测试题 【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。 【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 答案： 【例1】【分析】 由于30235=??，从质数的观点看整除，如果自然数N 能被30整除，那么自然数N 至少含有三个质因数2，3，5。设：312235r r r N =???。自然数N 恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：12311130235r r r +?+?+?==??（）（）（）。注意 到235??是三个约数之积，由此可知自然数N 中质因数的个数恰好有3个。因此 123111235r r r +?+?+=??（）（）（），由此可知123r r r （，，）必是 124（，　，　）的一个排列。 综上所述，所求的自然数有：24235??，42235??，24235??，42235??，42235??，24235??。 【例2】【分析】 6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下： 222222222222222232527211213217219223 8323537311 45253 2721???????????????种种种种 所以符合条件的自然数一共有1842116++++=(种)。

二年级数学练习题大全

二年级数学练习题大全 30＋9= 0÷6=－6= ×5=＋8=69－10=×2=32÷4=＋7= 1－5=×6=9－20= 二、填一填。 1、要判断一个角是锐角还是钝角，可以用三角板上的角比一比。 2、一条红领巾有个角，中间的角是角，两端的角是角。 3、根据角的大小我们把角分为类：一类是直角，比直角小的角为一类，我们把它叫做角；比直角大的角为一类，叫做角。 4 ）个锐角，个钝角， 个直角。 三、 我会判断，在锐角下面画“√” ，在钝角下面画“×”，直角下面画“○” 。 四、回家。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

⑧ 四、 数一数。 1 、）个锐角，个钝角。）个锐角，个直角。 3、）个角。五、画一画，并标出各部分的名称。 画出一个锐角。画出一个钝角。 课题： 日期： 月 日 备课教师：陈晓艳 24 ＋8＋16－37＝＋ 5× 5＋ 10－ 156 ×3 ＋25 ×8－42×﹙72－70﹚＝98－﹙36－8 ﹚＝二、我会用“＞”

、“＜” 、“＝” 。 45－ 45＋ ＋ ﹙68 －25 ﹚ ＋ 24＋ － ﹙37＋182三、想一想，填一填。 1、一共有54把?，顾客买走了32块，还剩把。又运来了 24把，现在共有把?。2、有8个桃子，苹果是桃子的3倍，苹果有个。3、在一个算式里，如果有括号，应该先算。 4、一只青蛙4条腿，9只青蛙条腿。 5、8个8的和是。 6、计算91－﹙4×4﹚时，我们要先算法，再算。四、看图列式。 1、36本本4本2、 ＋ ＋五、在正确算式后面的括号里打“√”。

1、儿童节，5个班的同学做小红花，每班做8朵，送给幼儿园小朋友15朵，还剩多少朵？5×8＋15×8－1515＋8＋5 2、一本漫画书有15页，第一天看了15页，第二天又看了8页，还剩多少页没看？5×8－15×8＋1515－﹙5＋8﹚六、解决问题。 1、我原有18元钱，妈妈又给了我16元钱。买一本《故事大全》后，小明还剩多少元钱？ 2、学校篮球队、排球队、足球队共有队员83人。篮球队有21人，足球队有35人。排球队有多少人？ 排球队、足球队两队的人数之和比篮球队多多少人？ 课题：《第二单元平均分》日期：月日备课教师：陈晓艳学生：知识小博士：每份分得同样多，叫。一、填一填。 1、把10个面包平均分成5份，每份有个面包。 2、把12枝花插在3个花瓶里，每个花瓶里可以插枝花。 3、有18根香蕉，平均分给6只小猴，每只小猴分个；如果平均分给9只小猴，每只小猴分个。 4、有12根小棒，平均分成6份，每份是根。二、小小裁判员，是平均分的打“√”，不是平均分的打“×”。△△△ △△ △△△ ○○ ○○ ○○ ○○ ◇◇◇◇

小学二年级数学题库：小学二年级下册数学应用题精选

小学二年级数学题库：小学二年级下册数学 应用题精选 应用题是小学阶段数学环节中的一个重要组成部分。学习方法网小编为大家整理的小学二年级数学应用题练习，希望能帮助到你。 小学二年级数学题库：小学二年级下册数学应用题精选 小学数学二年级下册应用题精选 （1）1.爸爸、妈妈和我分别掰了9个玉米，小弟弟掰了6个。问我们全家一共掰了多少个玉米？ 2.小兔种了5行萝卜，每行9个。送给邻居兔奶奶15个，还剩多少个？ 3.王师傅做了80个面包，第一次卖了17个，第二次卖了25个，还剩多少个？ 4.妈妈买了15个苹果，买的橘子比苹果少6个，问一共买了多少个水果？ 5.动物园有熊猫4只，有猴子是熊猫的3倍。问一共有熊猫和猴子多少只？ 6.图书馆有90本书。一年级借走20本，二年级借走17本。问图书馆还有多少本书？ 7.二。一班有女生15人，男生比女生多11人，问二。一班有学生多少人？ 8.小汽车每辆能坐4人，大客车能坐25人，有3辆小汽车和

1辆大客车。问一共能坐多少人？ 9.商店里有4盒皮球，每盒6个，卖出20个，还剩多少个？ 10.小明有6套画片，每套3张，有买来4张，问现在有多少张？11.学校买回3盒乒乓球，每盒8个，平均发给二年级4个班，每个班分得几个乒乓球？ 12.小熊捡了9个玉米，小猴检的是小熊的4倍，他们一共捡了多少个玉米？ 13.食品店有85听可乐，上午卖了46听，下午卖了30听，还剩多少听？ 14.操场上原有16个同学，又来了14个。这些同学每5个一组做游戏，可以分成多少组？ 15.小明买了3个笔记本，用去12元。小云也买了同样的6个笔记本，算一算小云用了多少钱？ 16.体育室有60副羽毛球拍。小明借走了15副，小亮借走了26副，现在还剩多少副？ 17.一小桶牛奶5元钱，一大桶牛奶是一小桶的4倍，买一大一小两桶牛奶共需要多少钱？18.一本故事书，小明每天看5页，看了9天，还剩28页，这本书共有多少页？ 19.王老师在文具店买了5张绿卡纸，15张红卡纸。红卡纸是绿卡纸的多少倍？20.二年级一班有20名男生，22名女生，平均分成6个小组，每组有几名同学？ 21、一辆空调车上有42人，中途下车8人，又上来16人，

小学五年级经典奥数题：列方程解应用题

小学五年级经典奥数题：列方程解应用题 1、有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元，问10分和20分邮票各有多少张? 2、小兔妈妈采蘑菇，晴天每天可采16只，雨天每天只能采11只，它一共采了195只，平均每天采13只，这几天中有几天下雨?几天晴天? 3、五年一班有52人做手工，男生每人做3件，女生每人做2件，已知男生比女生多做36件，求五年一班男女生各有多少人? 4、学校组织暑假旅游，一共用了10辆车，大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐了520人，问大小客车各几辆? 5、一架飞机飞行于两城之间顺风需要6小时30分，逆风时需要7小时，已知风速是每小时26千米，求两城之间的距离是多少千米? 6、甲、乙两人分别从AB两地同时出发，如果两人同向而行，经过13分钟，甲赶上乙。如两人相向而行，经过3分钟两人相遇。已知乙每分钟行25千米，问AB两地相距多少米? 7、有大、中、小卡车共42辆，每次共运货315箱，已知每辆大卡车每次能运10箱，中卡车每辆每次运8箱，小卡车每辆每次可运5箱，又知中卡车的辆数和小卡车同样多，求大卡车有多少辆? 8、蜘蛛有8只脚，晴蜓有6只脚和2双翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫共16只，共有110条腿，14对翅膀，问每只小虫各有多少只?

9、学校组织新年联欢会，用于奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，价值100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。三种笔各值多少元? 10、一个两位数，个位数是十位上的数的3倍，若把这个十位上的数与个位上的数对调，那么所得的两位数比原来的大54，求原两位数。 11、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字和为10，如果把十位的数字与个位上数字对调，新数就比原数少36，求原来的两位数? 12、有一个三位数，其各位数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字之和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数在594，求原数?

二年级下数学应用题大全

博雅学堂二年级数学应用题专项练习 ： 1、二（1）班有男生28人，女生25人，其中有27人参加乒乓球比赛，还有多少人没参加？ 2、我今年8岁，爸爸今年35岁，我今年16岁时，爸爸的岁数是多少岁？ 3、停车场有小汽车37辆，大客车比小汽车多6辆，两种车一共有多少辆？ 4、商店运47筐苹果，上午卖了12筐，下午卖28筐，还有多少筐？（用两种方法来解答） 6、小华和爸爸、妈妈一起去“世界大观”玩，（成人票8元，儿童票4元）一共要多少元？ 7、二年级有4个班，每个班做8个作品，送给幼儿园小朋友25个，还有多少个作品？ 8、有24个桃子，平均分给4只小猴，每只小猴分多少个？ 如果分给6只小猴，每只小猴有多少个？ 如果每只小猴分3个桃，可以分给多少只小猴？ 9、二（2）班有54个同学，6个同学为一组，可以分成几组？ 如果平均分成9组，每组有几人？ 10、4个铅笔盒24元，买6个要多少元？ 11、二年级有男生和女生各18人参加跑步比赛，比赛的同学平均分成6组，每组分成多少人？

12、小明做了8朵花，小丽做是小明的3倍，小红做的比小丽少8朵。 （1）小丽做了多少朵？ （2）小红做了多少朵？ （3）小红做了是小明的几倍？ 13、有一种胃药，每天吃3次，每次吃3片，一个疗程63片，可以吃多少天？ 14、动物园有16只白马，24只黑马，每8只住一个房。 （1）一共需要多少个房？ （2）你还能提出什么问题？（除法） 15、图书馆里有45本故事书，图画书比故事书多15本，图画书有多少本？ 16、黑兔的只数是白兔的5倍，白兔有6只，黑兔有多少只？ 17、爸爸、妈妈和我分别掰了9个玉米，小弟弟掰了6个。问我们全家一共掰了多少个玉米？ 18、小兔种了5行萝卜，每行9个。送给邻居兔奶奶15个，还剩多少个？ 19、妈妈买了15个苹果，买的橘子比苹果少6个，问一共买了多少个水果？ 20、小汽车每辆能坐4人，大客车能坐25人，有3辆小汽车和1辆大客车。问一共能坐多少人？

奥数题定义新运算的解决办法讲解.doc

奥数题定义新运算的解决办法讲解 【摘要】小学数学的学习至关重要，广大小学生朋友们一定要掌握科学的学习方法，提高数学的学习效率。以下是小学频道为大家提供的奥数题定义新运算的解决办法，供大家复习时使用! 例题1.规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数.若(A○5+B△3)(B○5+A△3)=96，且A、B均为大于0的自然数，AB的所有取值有( )个。 定义新运算解析：共5种，分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有33=9种不同的组合，我们分别讨论。 1)当A3，B3，则(5+B)(5+A)=96=616=812，无解; 2)当3A5，B3时，则有(5+B)(5+3)=96，显然无解; 3)当A5，B3时，则有(A+B)(5+3)=96，则A+B=12. 所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4)当A3，3B5，有(5+3)(5+A)=96，无解; 5)当3A5，3B5，有(5+3)(5+3)=96，无解; 6)当A5，3B5，有(A+3)(5+3)=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们的乘积有27与36两种; 7)当A3，B5时，有(5+3)(B+A)=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种;

8)当3A5，B5，有(5+3)(B+3)=96。此时有B=9.不符; 9)当A5，B5，有(A+3)(B+3)=96=812。则A=5,B=9，乘积为45。 所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种。 科学的学习方法和合理的复习资料能帮助大家更好的学好数学这门课程。希望为大家准备的奥数题定义新运算的解决办法，对大家有所帮助!

方程奥数题

方程提高训练 一、计算 解方程 1. 4(x-1)+2-2=2(4-x)-6 2. (0.1x-0.2)/0.02+(x-1)/0.5=3 3. (x-3)/0.5+(x+4)/0.2=1.6 4. (x-3)/2-(4x+1)/5=1 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。 二、应用题 例1：笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共有320条，问鸡兔各有多少只? ①有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元，问10分和20分邮票各有多少张? ②小兔妈妈采蘑菇，晴天每天可采16只，雨天每天只能采11只，它一共采了195只，平均每天采13只，这几天中有几天下雨?几天晴天? 例2：已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔脚多16条，问鸡兔各有多少只? ①五年一班有52人做手工，男生每人做3件，女生每人做2件，已知男生比女生多做36件，求五年一班男女生各有多少人? ②学校组织暑假旅游，一共用了10辆车，大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐了520人，问大小客车各几辆?

例3：一条船从码头顺流而下，再逆流而上，打算在8小时内回到原出发的码头，已知船的静水速度是每小时10千米，水流速度是每小时2千米，问此船最多走出多少千米就必须返回才能在8小时内回到原码头? ①一架飞机飞行于两城之间顺风需要6小时30分，逆风时需要7小时，已知风速是每小时26千米，求两城之间的距离是多少千米? ②甲、乙两人分别从AB两地同时出发，如果两人同向而行，经过13分钟，甲赶上乙。如两人相向而行，经过3分钟两人相遇。已知乙每分钟行25千米，问AB两地相距多少米? 例4：一群公猴，母猴和小猴共38只，每分钟共摘桃266个。已知一只公猴每分钟摘桃10个，一只母猴每分钟摘桃8个，一只小猴每分钟摘桃5个，已知公猴比母猴少4只，那么这群猴中公猴、母猴、小猴各有多少只? ①有大、中、小卡车共42辆，每次共运货315箱，已知每辆大卡车每次能运10箱，中卡车每辆每次运8箱，小卡车每辆每次可运5箱，又知中卡车的辆数和小卡车同样多，求大卡车有多少辆? ②蜘蛛有8只脚，晴蜓有6只脚和2双翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫共16只，共有110条腿，14对翅膀，问每只小虫各有多少只? ③学校组织新年联欢会，用于奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，价值100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。三种笔各值多少元?

小学二年级奥数题及答案

小学二年级奥数题及答案 1．妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？ 2．小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？ 3．一张长方形彩纸有四个角，沿直线剪去一个角后，还剩几个角？（画图表示） 4．晚上停电，小文在家点了8支蜡烛，先被风吹灭了1支蜡烛，后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支蜡烛？ 5．有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏，已经捉住了9人，藏着的还有几人？ 6．19名战士要过一条河，只有一条小船，船上每次只能坐4名战士，至少要渡几次，才能使全体战士过河？ 7．布袋里有两只红袜子和两只黑袜子，至少拿出几只，才能保证配成一双同样颜色的袜子？ 8．布袋里有形状大小完全一样的篮球和黄球各4个，要保证一次拿出两种颜色不相同的球，至少必须摸出几个球？ 9．跷跷板的两边各有四个铁球，这时跷跷板保持平衡。如果拿掉一个铁球，跷跷板上还有几个铁球？ 10．一根电线，对折再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有几段？ 答案 1．16-11+6=11（岁） 2 、4个人一起到从学校步行到少年宫所用的时间等于小明1个人从学校步行到少年宫所用的时间，需要25分钟。 3．根据不同的剪法，可以剩下5个角、4个角或3个角 4．1+2=3（支） 5．16－9 －1=6（人） 6．19－4=15（名）4－1=3（名）15÷3=5（次）5+1=6（次） 7．如果一次摸出2只恰好是不同颜色，再摸1只一定和其中1只颜色相同。所以一次至少要摸出3只才能保证配成一双颜色相同的袜子。 8．如果一次摸出的4个是同一种颜色的球，再摸一个一定是另一种颜色的球，所以一次至少摸出5个球才能保证得到两种颜色不同的球。 9．如果拿掉一个铁球，翘翘板上一个铁球也没有了。 10．对折后再对折，从中间剪开，有三头是连着的，所以一共有8－3=5（段） 按规律找数字 ①1、2、5、8、（11）、（14）、17②8、8、10、6、12、4、（14）、（2） ③1、2、3、2、3、4、3、4、5、（4）、（5）④16、3、8、9、4、（27）、（2） 2、东东做一道加法题时，把个位上的1看成7,把十位上的6看成9,结果是75,可是正确的

最新的奥数题——有理数运算技巧同步练习题

同步练习题 有理数的巧算 计算下列各式： 1. 953821164153136.(|...|)----+- 2. |()|()|()|-++-+--73 84121814612 3. {||[||(||||)]} ----++--637236 4. 16252334342 31213141 6 12075.().+?÷? --+?- 5. ()()9 14725212112318432015485253112 -?-+--÷ 6. 计算20051121231341200320041 20042005 ??+?+?++?+?() 7. 计算()()34567813141516171 8 ?????+++++ 8. 计算：1213231424341200622006200420062005 2006 +++++++++++()()() 9. 计算().(.)(.)7956362753614 36-?+?-+?-

10. 计算：()()()()11213141213141511213141512131 4 ++++++-++++++ 绝对值 1．x 是什么实数时，下列等式成立： (1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜； ( 2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)． 2．化简下列各式： (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜． 3．若a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y 的最大值． 5．设T=｜x-p ｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p ＜15，对于满足p ≤x ≤15的x 来说，求T 的最小值 6．已知a ＜b ，求｜x-a ｜+｜x-b ｜的最小值． 7．不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果｜a-b ｜+｜b-c ｜=｜a-c ｜，那么B 点应为( )． (1)在A ，C 点的右边； (2)在A ，C 点的左边； (3)在A ，C 点之间； (4)以上三种情况都有可能

二年级上册数学应用题大全(100题)

二年级上册数学应用题大全(100题) 篇一：二年级上册数学应用题100例子 二年级上数学应用题练习 1、美术组有25人，唱歌组比美术组多17人。两个组一共有多少人？ 2、妈妈今年32岁，比聪聪大24岁。聪聪多少岁？ 3、一根绳子对折再对折，每段是5米，这根绳子长多少米？ 4、一块布60米，每次剪5米，剪了9次，还剩多少米？ 5、学校买1个足球用了20元，买一个篮球29元，一个篮球比一个足球贵多少元？ 6、果园里有27棵苹果树，梨树比苹果树多17棵，梨树有多少棵？ 7、小明看一本故事书，第一天比第二天少看6页，第二天看了30页，第一天看了多少本？ 8、弟弟今天9岁，哥哥15岁，再过10年哥哥比弟弟大多少岁？ 9、把一根木头锯成5段，每锯一次需要5分钟，一共要多少分钟？ 10、奶奶买回不到20块糖，3块3块的数还余2块，5块5块的数还余2块，奶奶到底买了多少 块糖？ 11、商店有7盒钢笔，每盒8只，卖了28只，还剩多少只钢笔？ 12、每间房住4人，26人住7间房够吗？ 13、小芳借了一本70页的书，借期是一周，她计划每天看9页，她能

按期看完吗？如果不能还差 几页？ 14、小明今年的7岁，妈妈比小明大21岁，爸爸的年龄是小明的5倍，妈妈今年几岁？爸爸呢？ 15、二（3）班有女生28人，男生比女生少12人，男生有多少人？男生和女生一共有多少人？ 16、同学们今天上午种了25棵树，下午种了19棵，昨天种了38棵，今天比昨天多种几棵？ 17、长安第一小学原来有男教师39人，女教师25人，调走了8人，现在长安第一小学还有多少 个教师？ 18、花坛里前、后、左、右都种了8棵柳树，一共种了多少棵柳树？ 19、小红看一本书90页，平均每天看8页，看了9天，还剩多少页？ 20、小花有5袋糖，每袋6粒，还多了3粒，小花一共有多少粒糖？ 21、有25名男生，21名女生，两位老师，50座的车够坐吗？ 22、某大楼共十层，每层4米，小明站在8楼阳台，他离地面多少米？ 23、小蜗牛有6只，蚂蚁是它的3倍少2只，蚂蚁有多少只？ 24、梨有36箱，苹果有37箱，小货车一次能运70箱，这些梨和苹果能一次运完吗？ 25、一条大毛巾38元，给售货员50元，应找回多少元？

初一奥数题——有理数运算技巧简便计算

有理数的运算技巧 姓名 有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。 下面介绍几种运算技巧。 一. 巧用运算律 例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题） 求和 ()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++++++++++++++++++++ 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。 解：原式=+++++++++++1213231424341602603605960 ()()() = ++3+++=++++=?+?=1222242592 12 1235912159592 885 ()() 二. 巧用倒序法 例2. 计算12003220033200340052003 ++++ 解：设A =++++12003220033200340052003 ，把等式右边倒序排列，得 A =++++40052003400420032200312003 将两式相加，得 2120034005200322003400420034005200312003 A =++++++()()() 即224005A =?，所以A =4005

所以原式＝4005 三. 巧用拆项法 例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题） 计算11121123112341123100 +++++++++++++++= ________ 分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为 14950，15050，而14950150992991002992100=?=?=- 同理，1505021002101 =- 那么本题就不难解决了。 解：原式=++++++1262122 2029900210100 =-+-+-++-+-211212131314199110011001101 () =-=211101200101 () 说明：形如1n n a ()+的分数，可以拆成111a n n a ()-+的形式。 四. 巧用反序相加减的方法 例4. （第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 计算121323142434155354515025048504950 2+++++++++++++++=()()()() _____ 分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行。 解：设S =+++1++++++++++++121323424341525354515025048504950 ()()()() 又S =+++++++++1+++++1223133424144535255495048501 50 ()()()() 两式相加得2123449S =+++++ 又249484721S =+++++ 上面两式相加得450492450S =?=

二年级下册数学应用题精选100题

二年级下册数学应用题精选100题 题目：商店原来有25筐桔子，卖出18筐后，又运进40筐，这时商店有桔子多少筐? 题目：商店上周运进童车50辆，这周又运进48辆，卖出17辆．现在商店有多少辆童车? 题目：校园里有8排松树，每排7棵．37棵松树已经浇了水，还有多少棵没浇水? 题目：商店有7盒钢笔，每盒8支，卖了28支，还剩多少支?

题目：（1）学校买来54盒粉笔，用去34盒，还剩多少盒?（2）学校买来了30盒白粉笔，24盒彩色粉笔，用去34盒，还剩多少盒? 题目：水果店运来一批苹果，上午卖出16筐，下午卖出18筐，还剩12筐．运来多少筐? 题目：果园里有4行苹果树，每行8棵，还有12棵梨树，一共有多少棵果树? 题目：学校买来54盒粉笔，用去34盒，还剩多少盒?（2）学校买来了30盒白粉笔，24盒彩色粉笔，用去34盒，还剩多少盒? 题目：同学们参加劳动。二（1）班去了26人，二（2）班去了38人，每8人编成一组，可以编几组？

题目：有45人去东湖游玩。其中15人去参观植物园，剩下的去划船，每条船坐6人，需要几条船？ 题目：李老师有50元钱。买3个小足球用去了36元，剩下的钱正好买2副球拍，每副球拍多少钱？ 题目：商店卖出5包白糖和2包红糖，平均每包3元钱，一共卖了多少钱？ 题目：老师有4盒乒乓球，每盒6个，借给同学8个，老师现在还有几个?（写综合式）

题目：饲养员养了10只公鸡，14只母鸡，每4只放入一个笼子，需要多少个笼子?（写综合式） 题目：妈妈买来9个桃，爸爸买来15个桃，把这些桃平均放在4个盘里，每盘放几个桃?（写综合式） 题目：妈妈买一双皮鞋花52元，买一双布鞋花12元，付给售货员100元，应该找回多少元?（用两种方法解答） 题目：小白兔有72只，小狗有9只，小白兔的只数是小狗的几倍？ 题目：56个桃子平均分给7只小猴，每只小猴分几个？

六年级奥数题列方程解应用题精编WORD版

六年级奥数题列方程解应用题精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

列方程解应用题训练 1.一个分数约分后将是 54,如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后将是9 4.那么原分数是 . 2.八个自然数排成一行,从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是3,第八个数是180,那么第二个数是 . 3,□,□,□,□,□,□180 3.一个长方形的长与宽之比是14:5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米.原长方形的面积是 平方厘米. 4.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱,与按每个11元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是 元. 5.粮店中的大米占粮食总量的 73,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的31.这个粮店原来共有粮食 千克. 6.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是 . 7.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水,则浓度变为25%.那么原有40%的食盐水 克. 8.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:2:3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需 工时.

9.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:每套运费以1.6元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费3059.6元,那么,在运输过程中共损坏 套茶具. 10.摄制组从A 市到B 市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭.由于道路堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一.过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从C 市到这里的二分之一,就到达目的地了.那么A ,B 两市相距 千米. 11.A 、B 两地相距30千米.甲骑自行车从A 到B ,开始速度为每小时20千米,一段时间后减速为每小时15千米.甲出发1小时后,乙驾驶摩托车以每小时48千米的速度也由A 到B ,中途因加油耽误了10.5分钟.结果甲乙两人同时到达B 地.甲出发后多少分钟开始减速的? 12.一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的 101,第二班取走200棵又取走剩下树苗的101.第三班取走300棵又取走剩下树苗的10 1,照此类推,第i 班取走树苗100?i 棵又取走剩下树苗的10 1.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵?有几个班?每个班取走树苗多少棵? 13.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了31的时间走上坡路,然后用了31的时间走下坡路,最后用了3 1的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离. 14.兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下

人教版二年级上册数学应用题大全100题

二年级上册数学应用题大全(100题) 1、食堂有3袋大米，重300千克，两袋面粉重120千克，食堂里的3袋大米比两袋面粉重多少千克? 2、会议室里有6张3人沙发和15张单人沙发，此会议室一共可以坐多少人? 3、一堆木材运走20根，还剩25根，这堆木材原有多少根? 4、兔子有3只，鹅的只数是兔子的2倍，鸡的只数是兔子的4倍。鹅和鸡各有多少只? 5、小明家养7只小鸡，养鸭的只数是鸡的4倍，小明家养鸭多少只?养鸭的只数比养鹅少5只，小明家养鹅多少只? 6、小毛今年7岁，爸爸的年龄是他的5倍。爸爸明年多少岁? 7、冬冬家有2只白兔，灰兔的只数是白兔的7倍。冬冬家养兔多少只? 8、张老师带着5名同学去校外参观，每张车票5角钱。来回共需多少钱? 9、学校要在操场旁种一排树，每隔8米种1棵。 (1)从第1棵到第5棵相隔多少米? (2)一共种了9棵树，这个操场有多长?

10、小红、小英、小方三人踢毽子，小红一次踢18个，小英一次踢2个，小方一次踢6个，小红一次踢的是小方的多少倍? 11、小红今年9岁，妈妈的年龄是小红的4倍，奶奶比小红大56岁。妈妈和奶奶各是多少岁? 12、小明、小华、小丽三人互相赠送了1张卡片。他们一共赠送了张卡片? 13、班里有48人，平均分成6个劳动小组，每个小组有多少人? 14、一根绳子长97米，先用去了28米，又用去了45米。 (1)这根绳子比原来短了多少米? (2)还剩多少米? 15、一个玩具熊50元，一辆玩具汽车20元。小明拿100元钱，买了1个玩具熊和1辆玩具汽车用去多少元? 16、屋里有10支点燃的蜡烛，被风吹灭了4支。此时屋里还有多少支蜡烛? 17、屋里有10支点燃的蜡烛，被风吹灭了4支。到明天早晨还有多少支蜡烛? 18、爸爸、妈妈和我分别掰了9个玉米，小弟弟掰了6个。问我们全家一共掰了多少个玉米? 19、小兔种了5行萝卜，每行9个。送给邻居兔奶奶15个，还剩多少个?

初一奥数题有理数的运算技巧简便计算

e l usrnot for commeciah tna personl use oly in sudy andresearc; rFo 巧算技运有理数的肁 姓名袀 有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。只要认真分析和研究题目的芆运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。 下面介绍几种运算技巧。膄 一. 巧用运算律螂 例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）羂 求和蚈 9533583111112222233 )(? ?? ?)?????)?(?? ???(?? ?)?(?袇 0059664935234960455604659 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。 11212312359?(?)?(??)? ??(??? ?)解：原式薂60606060444332 92?541?????? 222221951??2?3??) (2蝿9(11?59)?5??225?88 螇 二. 巧用倒序法芆 4005123??? ?例2. 计算节2003200320032003 1234005?????A 设解：，把等式右边倒序排列，得螁2003200320032003 4005400421A????? 腿2003200320032003 将两式相加，得蚆 1400524004400512A?(?)?(?)? ?(?)肃 200320032003200320032003 2A?2?4005A50?40即，所以袂 所以原式＝4005 芇 巧用拆项法. 三肅． 例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）螃 1111? ??1???________ 计算虿 0?2?3??10?21?21??31?2?341 分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍

奥数列方程解应用题

列方程解应用题 列方程解应用题的一般步骤是： ①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，； ②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未 知数； ③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； ④解方程； ⑤将结果代入原题检验。 概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”. 列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不 变量”找等量关系。 一些基本概念： （1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元一次方程； （2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组； （3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.

【例1】 （难度系数：★★）解下列方程： （1）357x x +=+ （2）452x x -=- （3）12(3)7x x +-=+ （4）132(23)5(2)x x --=-- （5）51 18()2352x x ????-=??? ? （6） 1123 x x +-= （7）5 27x y x y +=??+=? （8）2311 329x y x y +=?? +=? 分析：（1） 375,22,21.1x x x x x -=-===移项得：注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：等式两边同时除以可得：把代入原式满足等式. 以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验. （2）2541.x x x -=-=， （3）16277730.x x x x +-=+-==，， （4）13465219471974123 4.x x x x x x x x -+=-+-=--==，，-=，， （5）51115410410110 4()410.3523 6333333x x x x x x x x x x ??????-=?-=-=-===????????， ，，，， （6）312633263.x x x x x +=+-==（）-，， 请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。 （7）法1：加减消元法 （8） 51272212132 3 x y x y x y x y +=??+=? ===?? =? （） （）（）式-（）式可得：，代入（）式可得：， 所以 23111329212153,1.1 3 x y x y y y x x y +=??+=???====?? =? （） （）（）3-（）2可得：5，将其代入（1）式可得：所以可得： 法2：代入法.

小学二年级数学选择题大全

选择题大全 1、1张可以换 （）张 (A) 1 (B) 10 (C) 100 (D) 9 2、一只玩具熊要45（）。 (A)元 (B)角 (C)分 3、我有5元钱，买一本 用了3元，要找回（）钱。 (A)3元 (B)8元 (C)2元 （D）15元

4、1米和（）厘米一样长 (A)1 (B)10 (C)100 5、 这支铅笔的长度是（）厘米。 (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 6、笑笑的身高是127（）。 (A) 米 (B) 厘米 7、+ =（） （A）2元 （B）7元 （C）6元

（D）10元8、 （A）18厘米 （B）17厘米 （C）16厘米 （D）15厘米 9、下列图形是对称图形的是（） （A）（B） （C）（D） 10、将一张纸沿虚线对折后，剪出以 下图案，展开这张纸后的完整图案是（） 厘米 3厘米 厘米 ）厘米

（A ） （B ） （C ） （D ） 11、与图中箱子的运动一样的是（ ）。 （A ）呼啦圈 （B ）转圈的芭蕾舞演员 （C ） 竹蜻蜓 （D ） 抽拉抽屉 12、与汽车车轮的运动一样的是（ ）

（A）缆车的运动（B）分针的运动 （C）升旗（D）推拉窗户 13、△△△△△△ ○的个数是△的8倍, ○有（）个。 （A）40 （B）48 （C）42 （D）49 14、乘数是7，另一个乘数5,积是（） （A）7 （B）14 （C）28 （D）35 15、☆÷4=8，☆＝（） （A）32 （B）2 （C）12 （D）4 16、（）×6＜40，括号里最大能填

( )。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 17、把21个苹果平均分给3个同学，每人分到（）个。 （A）3 （B）7 （C）6 （D）4 18、☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 一共有（）颗星。 （A）4×5＝20 （B）5×5＝25 （C）4×4＝16 （D）5×3＝15 19 列式错误的是（） （A）4×2＝8 （B）2×2＋2×2＝8 （C）2＋2＋2＋2＝8 （D）2×2＋2＝6