章末检测
一、选择题
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是
( )
A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c
2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥β
B ．α∥β
C ．α与β相交但不垂直
D ．以上都不对
3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为
( )
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD → ＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→
等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c
D ．－a ＋b ＋c
5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是
( )
A ．cos θ＝n·a
|n||a |
B ．cos θ＝|n·a|
|n||a |
C ．sin θ＝n·a
|n||a |
D ．sin θ＝|n·a|
|n||a |
6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →
＝0，则△BCD 是
( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
7．在以下命题中，不．
正确的个数为
( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →
，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
8.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ， PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是
( )
A.PC →与BD →
B.DA →与PB →
C.PD →与AB →
D.PA →与CD →
9．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是
( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
10.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ?面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ， BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为
( )
A ．1
B ．2 C. 2
D. 3
11．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD
的中点，则AE →·AF →的值为
( )
A ．a 2
B.1
2
a 2 C.1
4
a 2 D.
34
a 2 12.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线 EF 和BC 1的夹角是
( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
二、填空题
13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB
→＋λOC →
，则λ＝________.
14．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的
坐标是_______________________．
15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与
平面β所成二面角的大小为______．
16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈????0，π
2)， AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M 内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________． 三、解答题
17.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中 点，问向量PA →、MB →、MD →
是否可以组成一个基底，并说明理由． 18.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1， AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝1
2FC 1，试证
明ME ∥NF .
19.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上 一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面
AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值． 21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．
(1)证明：MN ∥平面ABCD ；
(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平 面角的余弦值．
22.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的 结论．
答案
1．B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10．C 11．C 12．B 13．－2 14．(5,0,2) 15．60°或120° 16.3－2cos θ
17．解 PA →、MB →、MD →
不可以组成一个基底，理由如下：
连接AC 、BD 相交于点O ，∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 、BD 的中点，
在△BDM 中，MO →＝12
(MD →＋MB →
)，
在△PAC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12PA →，即PA →＝MD →＋MB →
，
即DA →与MD →、MB →
共面．
∴PA →、MB →、MD →
不可以组成一个基底． 18．证明 由平行六面体的性质
ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E → ＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A → ＝－12AB →－AD →－13AA 1→，
NF →＝NB →＋BC →＋CF → ＝12AB →＋AD →＋13CC 1→ ＝12AB →＋AD →＋13
AA 1→， ∴ME →＝－NF →
，又M ，E ，N ，F 不共线， ∴ME ∥NF .
19.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，
B (1,1,0)，P (0,1，m )，
C (0,1,0)，
D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， D 1(0,0,1)．
则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →
＝(－1,1，m )， AC →
＝(－1,1,0)．
又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知， AC →
为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →
〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|
＝
22＋m 2·
2 依题意得
22＋m 2·2
＝sin 60°＝
32，解得m ＝6
3
. 故当m ＝
6
3
时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．解 以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．
又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的
角为∠DBA ＝
30°，
又AB ＝2，∴AD ＝23
3，
从而易得D ???
?
0，233，0.
易知平面AA 1B 1B 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量，
BF →＝(－1,0,1)，BD →
＝???
?－2，233，0，
则?????
n ·BF →＝0n ·
BD →＝0，
即?
????
－x ＋z ＝0－2x ＋23
3y ＝0，
令z ＝1，可得n ＝(1，3，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝
m·n
|m||n |＝155
. 即二面角A —BF —D 的余弦值为
15
5
. 21．(1)证明 连接BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，
所以MN 是△PBD 的中位线， 所以MN ∥BD .
又因为MN ?平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .
(2)解 连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， 得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AC .在直角△PAC 中， AC ＝23，PA ＝26，AQ ⊥PC ， 得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：
A (－3，0,0)，
B (0，－3,0)，
C (3，0,0)，
D (0,3,0)P (－3，0,26)， M ?
???－
32，－32，6，N ???
?－32，32，6，
Q ??
??
33
，0，
263.
设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量， 由AM →
＝????32，－32，6，
AN →
＝????32，32，6知
???
32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋
6z ＝0.
取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，
由QM →
＝????－536，－32，63，QN →＝????－536，32，
63知 ???
－536x －32y ＋6
3
z ＝0，－536x ＋32y ＋6
3z ＝0.
取z ＝5，得n ＝(22，0,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33
33
.
所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为
33
33
. 22．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→
为单位
正交基底建立空间直角坐标系Oxyz .
(1)依题意，得B (1,0,0)，E ????0，1，1
2，A (0,0,0)，D (0,1,0)， 所以BE →＝????－1，1，12，AD →
＝(0,1,0)． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，
所以AD →
是平面ABB 1A 1的一个法向量． 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，
则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝13
2
×1
＝2
3.
故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2
3.
(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：
依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →
＝?
???－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →
＝0，
得?
????
－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋1
2z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝1
2z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，
则F (t,1,1) (0≤t ≤1)．
又B 1(1,0,1)，所以B 1F →
＝(t －1,1,0)．
而B 1F ?平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ?B 1F →
·n ＝0?(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t －1)＋1＝0?t ＝1
2?F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，
使B 1F ∥平面A 1BE .