第三章 恒定电场
3.0 概述
1 本章的主要内容
(1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场；
(3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压
2 恒定电场的知识结构图 (见PPT)
3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场
一、导电媒质中的恒定电场
恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。
两种情况：
1．导电媒质中的恒定电场
2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。
电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密
度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。只要利用E
γδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。
二、 局外场强与电动势
局外场强（局外力设想为一等效场强） q F
E e e =
电动势 l d q
F C l d E C e e
?=?=??+-+
-11ε
局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。e 与电荷数量即电流无关。
3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式
1．电流密度失量（电流面密度矢量）
I dt
dq t q t ==??→?0lim
电流强度 A 标量 对面而言 通量
dS dI
S I S =??=→?0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数
δ
~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S
?=?δ电流场——电流线描述
电流线密度矢量
n e dl dI K = A/m
2．欧姆定律的微分形式
导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 E
γδ=
γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。
3．焦尔楞次定律的微分形式
导电媒质中，每点所消耗的功率2E E p γδ=?=
W/m 3 电势能转化为热能 适用场均匀、不均匀
３．３ 恒定电场的积分形式定理
一、电流连续性方程
电荷守恒原理
q S d ?-=?
δ
恒定电流场有0=??t
q
0=??S
S d
δ
单位时间内，流入闭合面的电荷量 等于 流出闭合面的电荷量
二、E 的环路定理
电荷分布不随时间改变，电场不随时间改变，电场能量也不随时间改变。
积分路径经过电源 ε+=?+?=?+???0)(l
e l
l
e l d E l d E l d E E ε=?+?l
e l d E E
)(
积分路径不经过电源 0=??l
l d E
３.４ 媒质分界面上的边界条件
两种不同导电媒质分界面上 由0=??S
S d δ 0=??l
l d E
导出
t
t n
n E E 2121==δδ
分界面上电流线不连续（δ1δ2大小方向不等）
恒定电场折射定理
2
1
212
2
1
1
2211γγααγαγαγγ=
=
=tg tg tg tg E E n
n 一、良导体（γ1=∞）和不良导体
不良导体侧的E 近似垂直分界面~故分界面视等位面～不良导体中的恒定电场视静电
γ1
2γ2
E 12
γ2小
22
二、导电媒质与理想电介质（γ=0）
1
1
11111111212222000
0γδγδγδδδγδγ==
=========t t n n n n n E E E E E
导体一侧只有切线分量的电流和电场强度
σ
εσ====-n n n n n D E D D D 2111120 导体与理想介质分界面上有面积电荷分布
1
2122220E E E E E t t n n n ==≠=γδ
理想介质侧的E 近似垂直分界面~故分界面视等位面～理想介质中的恒定电场视静电场。
两种不同导电媒质的交界面，不存在自由电荷的要求
σ
δδ=-=n n n
n D D 1221
交界面不存在自由电荷的要求
2
2
111112222112211)(γεγεδγεγεσσ
εεγγ=
-==-=n n n n
n E E E E
γ1 2γ2 E 12
γ2=0 E 2
分界面近视为等位面～媒质１视为静电场
３.5 基本定理微分形式和拉氏方程
一、基本定理的微分形式
0lim 0=??=???→?δδ
V S
d S V E
δ是无源场 ，δ 线闭合线
均匀线性媒质中
0=??=??=??E E γγδ
0=??E
一般导电媒质中：自由电荷
==??=??=??ρρ
εεE E D
表明：均匀媒质中存在着怛定电流时，其内部的净体电荷密度处处等于0。
（均匀媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上，实际也正是这些表面电荷激发了媒质内外的恒定电流场。）
0lim 0=??=???→?E n S
l d E l
S E
无旋场（δ 线不是旋涡状分布） 二、恒定电场的拉氏方程
0)()(2=???-?-=??-?=??=???γ?γ?γγδE
均匀媒质0=?γ 则02=??
恒定电场：调和场（无源、无旋）
例：I E U →→→→δ?
2
12
222
010
)
(C C d d r +===?=α?α?
?α?? 边界条件
02
00====παα??U
1
20
1200
00
ln
2ln
2221221R R h I
U R R R h U dzdr r U S d I E
e
r
U e r grad E U U R R S γπ
πγπγδγδπα??απ
?α==
==?===??-=-=+-
=??
３.6 导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟
静电场（ρ=0处） 导电媒质中恒定电场（电源外）
??==?==??-?==??S
S
d D q E D D E E
)
(02?ε? ??==?==??-?==??S
S
d I E E E
δ?γδδ?0
0)(02
边界条件
n
n n
n t
t t t D D E E E E 21212121δδ====
只要将δ 与D
、γ与ε相互置换，恒定电场的场方程就变为静电场的场方程。
因为两种场的电位函数均满足拉氏方程，因此如果两种场满足相同的边界条件，即两种场中媒质内导体电极的形状、尺寸、相对位置、赋值相同，媒质分布区域相同，且系数满足ε1/γ1=ε2/γ2=ε3/γ3，由唯一性定理知，两种场的E φ是相等的。D 场与δ场相似。
例：一种媒质时 q
γ
电介质中的静电场 00
221
===?
ΓΓ??
?U 导电媒质中的恒定电场 0
221
===?ΓΓ??
?U
电极间的电阻
??????=??==S
l
S
l S d E l d E S d l d E I U R γδ ?????'?'=?'?==l
S l
S l
d E S d E l d E S d D U q C ε
设两种情况U 相同，则E E '=
R
d L R d L
C G G C /ln /ln πγπεεγεγγε===
=
例 二种媒质
（当ε1/γ1=ε2/γ2=ε3/γ3时，两种场相同。）
R
R R R R
U E R
R R R R
U E )ln ln ()ln ln (2
311220
22
311220
2γγγεεεγε+=
+=
当
2
2
11γεγε=
时，即ε1=γ 1 （或2γ1） ε2=γ2（或2γ2）时 E E =
R 0 R 0
ε U γ
R 0 R 0 U E D ??δ→=-?→→相同相同相似相似
2
3
11222
1ln ln 2R R R R
C εεεεπ+=
当
2
2
11γεγε=
时，即ε1=γ 1 ε1=γ2时 两种场（静电场、恒定电场）的E 场相同 静电比拟
γ
ε=G C C →G 、
ε1→γ 1
、ε2→γ
2
2
3
11222
1ln ln 2R R R R
G γγγπγ+=
３.7 接地电阻的计算
一、接地体的接地电阻
I
U R =
?
δδ?γ
??-?====??-==?E n
U
n n )
0(00
212土壤
球
两种场的E 场相等 导体球电容 C=επ04R 导体球电阻
041
4R R C R G C πγγπεεγεγ
ε=
==
= 半球电阻 0
21
2R R R πγ=='
二、管形接地电阻
d
l l
C 4ln 4πε=
d
l l C R R 4ln 212
2πγγε==='
三、 接地球的接地电阻
h
R R q C h
R R q
h q R q A 2/182)21(424400000+=
=+=+=
πε?πεπεπε?
γε
=
G C
R ˊ=2R 四、 跨步电压
2
2
22)
(2222x Ib U b x I x
I dl E x I
E x S d I x b x BA b
x x
x x x x
S
x πγ??πγ?πγ?πγδπδ≈
-=-=
=
==
=?=--∞
??
当0U U AB =时，A 点就成为危险区的边界
202x Ib U U BA πγ≈
= 0
2U Ib x πγ=
b
a a U ab
x a
I ?πγ?=
=2
第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e
20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。
第三章习题解答 3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。 解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为 33[]4q R R π+- +- = -=R R D 22322232 () (){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 d d z z S S S Φ====??D S D e 22322232 ()[]2d 4()()a q a a r r r a r a ππ--=++? 2212 01)0.293()a qa q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通 过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π?? =- ??? D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12 4r Ze r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33 3434a a Ze Ze r r ρππ=- =- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3223 4344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π??=+=- ???D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两 圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分 的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆 柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为 0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场 的叠加。 在b r >区域中，由高斯定律 d S q ε= ? E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012 0022r a a r r πρρπεε' -''==-''r E e 题3.1 图 题3. 3图( )a
第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。
12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间 的关系为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别 为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别 为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=?????
第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E= 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E=
第四章 准静态电磁场 4．1 准静态电磁场 1．电准静态场 由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。此时，时变电场满足 ρ =??≈??D 0E 称为电准静态场。可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数? ，即 ?-?=E 且满足泊松方程 ε ρ?-=?2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0 t =????+ =??B D E H γ 2．磁准静态场 由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。此时，时变磁场满足 0=??≈??B J H c 称为磁准静态场。可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即 A B ??= 且满足矢量泊松方程 c J A μ-=?2 与磁准静态场对应的时变电场满足 ρ =????- =??D B E t
例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容 器填充εr =5.4的云母介质。忽略边缘效应，极板间外施电压 t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。 [解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。 在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电 准静态场。在如示坐标系下，得 ()()()V/m t 31410113t 31410 501102d u z 4z 2z e e e E -?=-??=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由 ()z z 20r 4S l t 31431410113d t H 2d e e S D l H ?-π??-=???=π=???ρεερφsin . 极板间磁场为 φφφρe e H t 314103352H 4sin .-?== A/m 也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下 t t 0r ??=??=??E D H εε 展开，得 t 314106694H 14sin .)(-?=??φρρ ρ 解得 φφφρe e H t 314103352H 4sin .-?== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有 t t ??-=??-=??H B E 0μ 展开，得 t E z 314cos 103.231440ρμρ -??-=??- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-?= V/m 可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。 图 平板电容器
电磁场理论 第一章静电场1.1 电场强度电位 4 2 2 了解：定义法求解带电体电场强度和电位方法 掌握：库仑定律、电场强度、电位的定义及定义式 掌握：静电场环路定律及应用，叠加法计算电场强度和电位 知识点：库仑定律；电场强度定义；电位定义；叠加法计算；电力线；等 位线（面）；静电场环路定律；电场强度与电位关系的微分表示及意义；电偶 极子定义及其在远区场的电场强度和电位． 重点：静电场环路定律，电场强度与电位关系 难点：静电场环路定律的微分表示，电场强度与电位关系的微分表示及意义 1. 从学生比较熟悉的大学物理中的电场强度和电位的积分式及意义引出 其微分式及意义；=-?? E 2. 从高等数学中的Stocks定理讲解静电场环路定律．0 ??= E 《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社） P13 1-1-1 直接应用1.1节三个例题（均匀带电直导线、平面、球面）的结果简化运算 1-1-3 =-?? E的应用 上机编程：用数值积分法研究静电场场分布（2学时，地点：新实验楼B215）
电磁场理论 1.2 高斯定律 2 2 了解：静电场中导体和电介质的性质 掌握：各向同性线性电介质中，电极化强度、电通量密度与电场强度的关系掌握：高斯定律积分式、微分式及应用 知识点：静电场中导体的特点；静电场中电介质的特点；电极化强度；电通量密度；高斯定律 重点：高斯定律 难点：电极化强度、电通量密度与电场强度的关系 用高斯定律计算电场强度 1. 从高等数学中的高斯定理讲解高斯定律．??=ρ D 2. 应用高斯定律计算1.1节三个例题，和本节例1-8, 并总结均匀带电直导线、平面、球面、球体的电场强度和电位特点． 《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社） P13 1-1-1 直接应用1.1节三个例题（均匀带电直导线、平面、球面）的结果简化运算 1-1-3 =-?? E的应用
O 0=φ 4.1 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为S ρ，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。 4.2 设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度 r A =ρ )(b r a <<,其中a 和b 分别为内、外导体的半径，A 为常数。设内导体维持在电位0V ，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域b r a <<内的电位分布。 4.3 通过解电位的泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域b r ≤≤0，有均匀的体电荷密度0ρρ-=；在电子云外部区域b r >中，0=ρ。 4.4 一电荷量为q 质量为m 的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h 。求q 的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设m h kg m 02.0,1023=?=-)。 4.5 一个点电荷q 与无限大导体平面距离为d ，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？ 4.6 两点电荷Q 和Q -位于一个半径为a 的导体球直径的延长线上，分别距球心D 和D -。 (1) 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为232D Q a (2) 令D 和Q 分别趋于无穷，同时保持 2 D Q 不变，计算球外的电场
题 4.6 图 4.7 半径为a 的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别1d 和2d ，设墙和地面都视为理想导体，且a d >>1，a d >>2。试求此导线对地的单位长电容。 4.8 半径为a 的接地导体球，离球心1r (a r >1)处放置一个点电荷q ，如图所示,用分离变量法求电位分布。 4.9 在一个半径为a 的圆柱面上，给定其电位分布： ? ??=00U φ 00<<-<
第一章习题解答 给定三个矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解（1） （2） （3）－11 （4）由，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为 ，， 则，， 由此可见 故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 求点到点的距离矢量及的方向。 解，， 则 且与、、轴的夹角分别为 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。 解与之间的夹角为 在上的分量为 给定两矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量为 证明：如果和，则； 解由，则有，即 由于，于是得到 故 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。
解由，有 故得 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解（1）在直角坐标系中、、 故该点的直角坐标为。 （2）在球坐标系中、、 故该点的球坐标为 用球坐标表示的场， （1）求在直角坐标中点处的和； （2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。 解（1）在直角坐标中点处，，故 （2）在直角坐标中点处，，所以 故与构成的夹角为 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 解由 得到 一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。 解 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 解在圆柱坐标系中 所以 又 故有 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解（1） （2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）对此立方体表面的积分 故有 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。 解 又在球坐标系中，，所以 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 又
第三章 恒定电场 3.0 概述 1 本章的主要内容 (1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场； (3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压 2 恒定电场的知识结构图 (见PPT) 3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场 一、导电媒质中的恒定电场 恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。 两种情况： 1．导电媒质中的恒定电场 2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。 电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密 度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。只要利用E γδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。 二、 局外场强与电动势
局外场强（局外力设想为一等效场强） q F E e e = 电动势 l d q F C l d E C e e ?=?=??+-+ -11ε 局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。e 与电荷数量即电流无关。 3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式 1．电流密度失量（电流面密度矢量） I dt dq t q t ==??→?0lim 电流强度 A 标量 对面而言 通量 dS dI S I S =??=→?0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数 δ ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S ?=?δ电流场——电流线描述 电流线密度矢量 n e dl dI K = A/m 2．欧姆定律的微分形式 导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 E γδ= γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。 3．焦尔楞次定律的微分形式 导电媒质中，每点所消耗的功率2E E p γδ=?= W/m 3 电势能转化为热能 适用场均匀、不均匀 ３．３ 恒定电场的积分形式定理 一、电流连续性方程 电荷守恒原理 q S d ?-=? δ
第三章答案 3-1 ①有磁 ?? ? ??==??? ? ??==1112221 122212121sin sin cos cos tan tan δθδθθθδ δθθJ J J J J J n n 代入已知参数得： m A J /58.03 1 30cos 213011=== = θ ② 由静电场边界条件：21n n s D D -=ρ 由磁场边界条件：E J σ=，即222111n n n n E J E J σσ== 又因为E D 0ε=，可以得到：222111n r n n r n E D E D εε== 因此，02 2 2 1 1 121=-=-=σεσερn r n r n n s J J D D 3-2 当a z ≤时，由恒定磁场的基本方程的积分形式可得： I z B dl B l 2μπ=?=? 再由 ?= S dS J I 以及 H B μ=，可得 2 00002z J dS J z B S πμμπ==?? 2 00z J B μ= μ μ200z J H = 当a z >时，有： 200002a J dS J a B S πμμπ==??
2 00a J B μ= μ μ200a J H = 3-3 设导线中的电流为I ，则其产生的磁场为r I B πμ20= 做积分，得出磁通量 c b c Ia dr r Ia dS B b c c +===ψ??+ln 2200πμπμ 因此，它们之间的互感为 c b c Ia M +=ln 20πμ 3-5 取环上一微元，??a bd l d = ，z r a z a b R +-= ，则： R a bd R l d ?=?)(?? ?d a bz a b R l d r z )(2 +=? 由毕萨定律得： z r z r z a z b I b d R a Ibz d R I a b d R I a bz a b B 2 3 222020 20 3 032020 320 )(244)(4+=+=+=? ? ?μ?π μ?π μ?π μπ π π ① 环心处的磁通密度 当0=z 时，005.22μμ==z a b I B ② 环轴10m 处的磁通密度 当m z 10=时，02 322 201.0) 10(210μμ=+= z a b b B 3-6 NI a NI B B a NI B NI a B 0000000524842μμμμ== ==?= 3-8 由毕萨定律，得：
第一章矢量分析与场论 1 源点是指 _______________________________ 。 2场点是指________________________________ 。 3 距离矢量是 _____________________________ ,表示其方向的单位矢 量用_______ 表示。 4标量场的等值面方程表示为_____________ ，矢量线方程可表示成坐标形式_______________ ，也可表示成矢量形式 _______________________ 。 5梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示__________________ ，梯度的方向表示________________ 。 6方向导数与梯度的关系为_________________ 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ________________________ 。 8矢量A在曲面S上的通量表示为___________________ 。 9散度的物理含义是_______________________________ 。 10 散度在直角坐标系中的表示为 A ______________________ 。 11高斯散度定理_______________________ 。 12矢量A沿一闭合路径I的环量表示为___________________ 。 13旋度的物理含义是_______________________________ 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为 A ______________________ 。 15矢量场A在一点沿e方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系为
1—1 试回答下列各问题： (1)等位面上的电位处处一样，因此面上各处的电场强度的数值也句话对吗，试举例说明。 L』J米处吧议g＝u，囚此那里Bg电场C＝一vg＝一V 0＝0。对吗? (3)甲处电位是10000v，乙处电位是10v故甲处的电场强度大于乙处的 电场强度。对吗? 答此三问的容基本一致，均是不正确的。静电场中电场强度是电位函数的梯度，即电场强度E是电位函数甲沿最大减小率方向的空间变化率。P的数值大小与辽的大小无关，因此甲处电位虽是10000v，大于乙处的电位，但并不等于甲处的电场强度大于乙处的电场强度。在等位面上的电位均相等，只能说明沿等位面切线方向，电位的变化率等于零，因此等位面上任一点的电场强度沿该面切线方向的分量等于军，即fl＝0。而电位函数沿等位面法线方向的变化宰并不一定等于零，即Zn不一定为零，且数值也不一定相等。即使等位面上g；0，该面上任一点沿等位面法线方向电位函数的变化串也不一定等于零。例如：静电场中导体表面为等位面，但导体表面上电场强度召垂直于导体表面，大小与导体表面各点的曲率半径有关，曲率半径越小的地方电荷面密度越大．电场强度的数值也越大o 1—2 电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹(设此点电荷电场力外 不受其它力的作用)? 答电力线仅表示该线上任—点的切线方向与该点电场强度方向一致，即表示出点电荷在此处的受力方向，但并不能表示出点电荷在该点的运动方向，故电力线不是点电荷在电场中的运动轨迹。 1—3 证明：等位区的充要条件是该区域场强处处为零。 证明若等位区某点的电场强度不为零，由厦；一v9可知v9乒0．即此点的电位函数沿空间某方向的空间变化率不为零，则在此方向上电位必有变化．这与等位区的条件矛盾。若等位区处处电位相等，则等位区任—数的空间变化率为零，即仟·点的电场强度为零。由此可知命题成立 1—4 下例说法是否正确?如不正确，请举一反例加以论述o (1)场强相等的区域，电位亦处处相等u(2)电位相等处，场强也相等。 (3)场强大处，电位一定高。 (4)电场为零处，电位一定为零c (5)电位为零处、场强一定等于零。 苔根据电场强度和电位的关系B＝—v9可知： (1)不正确。因厦相等的区域Pg必为空间坐标的函数。电容器场强相等，但其部电位却是变化的。 (2)不正确。因9相等处，不等于v甲相等。如不规则带电导体表面上：钎点电位均相等，们表面上—各点处的场强并不相等。 (3)不正确。因x大的地方．只表明甲的梯废大．而不是9位高。如上例中导体尖端处场强大，但表面1—各处电位相等并不—定高．电位位与参考点所选位置有关。 (4)不正确。阅5—＝o，说明v69＝o，即开＝t：。如高电压带电导体球，其部电场等于零，但该球任一点的电位却不为零，而为菜—常数f (5)不正确。因严＝o处，不一亿vP＝0所以五不—’定为零c如充电平行板电容器中，一个极板接地电位为零，但该极板相对另’—极板的表面上电场强度不为零。 1—5 两条电力线能否相切?同一条电力线上任意两点的电位能否相等?为什么? 答电力线的疏密表示电场强度的弱或强，电力线越密，说明该处的场强越大。因此，若两条电力线相切，在切点处两条电力线无限靠近，即表东切点处的场强趋于无限大，这是不符合实际的，所以电力线不能构切。因为严＝j五dj，说明间—”条电力线上任意两点的电位不能相等，沿电力线方向电位在减小。 1—6 不同电位的两个等位面能否相交或相切7同一等位面任意两点的场强是否一定相等?场强在等位面上的切向分量是否—定等于零?电依在带电面两侧会不会突变? 答不同电位的两个等位面不能相交或相切，否则在交点或切点上的电位特有两个不同的电位值。第2，3问可参见思考题1—t的解答。电位函数在分界面上的衔接条件
工程电磁场知识点总结 第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为 7 梯度在直角坐标系中的表示为?u?。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为?? 9 散度的物理含义是 10 散度在直角坐标系中的表示为??A?。 11 高斯散度定理。 12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。 13 旋度的物理
含义是 14 旋度在直角坐标系中的表示为??A?。 15 矢量场A在一点沿el方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关 系为。 16 斯托克斯定理 17 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,ez的线元分别为， 18 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,e?的线元分别为， 19 ?1111???'??2eR?2e'R RRRR ???20 ??????'??'???????4??(R)?R??R??11?0(R?0)( R?0) 第二章静电场 1 点电荷q在空间产生的电场强度计算公式为。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E。
4 已知空间电场强度分布E，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P处的电位?P。 5 一球面半径为R，球心在坐标原点处，电量Q均匀分布在球面上，?则点?,,??处的电位等于。 222??RRR 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的。 11 无限长直导线，电荷线密度为?，则空间电场E。 12 无限大导电平面，电荷面密度为?，则空间电场E。 13 静电场中电场强度线与等位面 14 两等量异号电荷q，相距一小距离d，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩p= 。 15 极化强度矢量P的物理含义是
第0章矢量分析 Vector Analysis 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式
场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。 例如，在直角坐标下： 0.1 标量场和矢量场 ])2()1[( π45),,(222z y x z y x +++-= ?标量场 z y x xyz z x xy z y x e e e ++=222),,(A 矢量场 如温度场、电位场、高度场等； 如流速场、电场、涡流场等。 Scalar Field and Vector Field
const ),,( z y x h 其方程为: 图0.1.1 等高线 (1) 标量场--等值线(面) 形象描绘场分布的工具——场线 思考 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
z A y A x A z y x d d d ==三维场 二维场 y A x A y x d d =图0.1.2 矢量线 矢量场--矢量线 d =?l A 其方程为： 在直角坐标下：
0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 设一个标量函数? (x ，y ，z )，若函数 ? 在点 P 可微，则 ? 在点P 沿任意方向 的方向导数为 l )cos ,cos ,(cos ),,(γβα???????????=??z y x l ),z ,y ,x (??????=???g )cos ,cos ,(cos γβα=l e 设 式中 , , 分别是任一方向 与 x , y , z 轴的夹角 αβγl ),cos(||l l l e g g e g =?=???则有： 当 ， 最大 0) , (==g e θ??
第一章 1、电荷与电荷之间的作用力是通过电场传递的。 2、电场强度定义： ①没有电场中某P点，置一带正点的实验电荷q0,电场对他的作用力为F，则电场强度（简称场强）E=lim q0→0F/q0 ②电场密度③电位：在静电场中，沿密闭合路径移动的电荷，电场力所作的功恒为零。 3、均匀球面电荷在球内建立的电场恒为零（判断） 4、功只与两端点有关。电场力所作用的功也是与路径无关的。 5、静电场，电场强度的环路积分恒等于零（判断） （非保守场不等于0，保守场（静电场）恒为零，静电场是保守场） 6、等位面和E线是到处正交的。在场图中，相邻两等位面之间的电位差相等，这样才能表示出电场的强弱。等位面越密，外场强越大。 7、静电平衡状态： 第一，导体内的电场为零，E=0。 第二，静电场中导体必为一等位体，导体表面必为等位面。———— 第三，导体表面上的E必定垂直于表面。 第四，导体如带电，则电荷只能分布于其表面（不是分布在内部） 8、静电场中的电介质不是导体也不是完全绝缘介质。 9、电介质对电场的影响可归结为极化后极化电荷或电偶极子在真空中产生的作用。 10、任意闭合曲面S上，电场强度E的面积分等于曲面内的总电荷q=∫v pdv的1/e0(希腊字母)倍（v是s限定的体积） 11、静电场积分方程：∮S D·ds=∫V pdv微分方程：▽﹒D=p ∮l E·dv=0 ▽×E=0 12、D2n-D1n=0 E1t=E2t称为静电场中分界上的衔接条件。 n垂直，t水平 13、电位——的泊松方程：———— 在自由电荷密度——的区域内，——（电位——的拉普拉斯方程）（看空间中有无自由电荷） 14、在场域的边界面S上给定边界条件的方式有以下类型： ①已知场域辩解面S上各点的电位值，即给定————，称为第一类边界条件 ②已知场域边界面S上各点的电位法向导数值，即给定————，称为第二类边界条件。 ③已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定————，称为第三类边界条件。 15、静电场的唯一性定理表明，凡满足下述条件的电位函数——，是给定静电场的唯一解。 ①在场域U中满足微分方程————（或————）。对于分区的均匀的场域V，应满足每个分场域中的方程。
物理与电子工程学院
注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须 另加附页。 总结： 1、E P χε0= （1）极化率χ各点相同，为均匀介质 （2）τ ?=∑i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 ()τ ρ??- ='? ?-='?='????S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0='='ρq （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密 度0000q ρρ''===，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 ()n P P ?12?-=' σ 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P =?='? σ n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空或 金属的法向单位矢。
例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极 坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： A n P ??=' σ 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷σ'的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即σ'是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P θσcos ?=?=' 任一点有： θσcos P =' 所以极化电荷分布： ()()()140230030 22P θσθσθθπσππθθσ?'>? ?'
第三章恒定电场 概述 1 本章的主要内容 (1)导电媒质中的电流； (2)电源电动势与局外电场； (3)恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4)导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5)接地电阻和跨步电压 2 恒定电场的知识结构图 (见PPT) 导电媒质中的恒定电场、局外电场 一、导电媒质中的恒定电场 恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。 两种情况： 1．导电媒质中的恒定电场 2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。 电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。如库仑定律、高斯定理、E的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。
如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密度ρ，那么静电场中的所有公式对 恒定电流场都是成立的。只要利用E γδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。 二、 局外场强与电动势 局外场强（局外力设想为一等效场强） q F E e e = 电动势 l d q F C l d E C e e ?=?=??+-+ -11ε 局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。e 与电荷数量即电流 无关。 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式 1．电流密度失量（电流面密度矢量） I dt dq t q t ==??→?0lim 电流强度 A 标量 对面而言 通量 dS dI S I S = ??=→?0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数 δ ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S ?=?δ电流场——电流线描述 电流线密度矢量 n e dl dI K = A/m 2．欧姆定律的微分形式 导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 E γδ= γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。 3．焦尔楞次定律的微分形式 导电媒质中，每点所消耗的功率2E E p γδ=?= W/m 3 电势能转化为热能 适用场均匀、不均匀
4．3题、已知在无源的空气中 90.1sin(10)cos(610)y x kz ππ=?-H e 利用波动方程求k 。 解：在无源的空气中，磁场强度应满足的波动方程为： 220020t με??-=?H H 而 229229[0.1sin(10)cos(610)] [(10)]0.1sin(10)cos(610)y y x kz k x kz πππππ?=??-=--?-H e e 22 9229290.1sin(10)cos(610) (610)0.1sin(10)cos(610) y y x kz t t x kz πππππ??=?-??=-??-H e e 代入 220020t με??-=?H H 得到， 2292900{[(10)](610)}0.1sin(10)cos(610)0 y k x kz πμεπππ--+??-=e 于是：229200[(10)](610)0k πμεπ--+?= 得到：k == 4．8题、给定标量位x ct ?=-及矢量位()x x t c =-A e ，式中c =。（1）证明：00t ? εμ??=-? A ；（2）求B 、H 、E 和D ；（3）证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。
解：（1 ）1()x A x t x x c c ???==-==?? A 同时，()x ct c t t ???=-=-=?? 因此：00001t ?εμεμ?--=-=? 所以：00t ? εμ??=-? A （2）0x x y z A A z y ??=??=-=??B A e e 0μ==0B H ()0x x x x x t t x t c ?????=-?-=---=-+=???A E e e e e （3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。 4．9自由空间中的电磁场为： (,)100cos() /x z t t kz V m ω=-E e (,) 2.65cos() /y z t t kz A m ω=-H e 式中0.42/k rad m ==。求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量；（3）任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体（长1m 、横截面积为0.25m 2）中的净功率。
12 本章内容 1.1 矢性函数 1.2 标量场 1.3 矢量场的通量及散度 1.4 矢量场的环量及旋度 1.5 亥姆霍兹定理 1.6 三种常用的正交曲线坐标系
3 1.1 矢性函数标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。1. 标量和矢量 A v 矢量的几何表示 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示：A e A e A A A r r r r ==常矢量：大小和方向均不变的矢量。 变矢量：大小和方向之一或两者都在 变化的矢量。4 2. 矢性函数 矢性函数的定义:设t 是一数性变量，为变矢，对于某一区间G ［a, b ］内的每一个数值t, 都有一个确定的矢量与之对应，则称为数性变量t 的矢性函数，记为 : A v ) (t A v A v ) (t A A v v =矢性函数的表示: ) ()()()(t A e t A e t A e t A z z y y x x v v v v ++=矢性函数的矢端曲线: 设所有的起点 都在坐标原点，这样，当t 变化时，的终点M 就描绘出一条曲线l 。 ) (t A v )(t A v
5 3. 矢性函数的导数定义:对于矢性函数)(t A v t t A t t A t A dt A d t t Δ?Δ+=ΔΔ=→Δ→Δ) ()(lim lim 00v v v v 计算:dt dA e dt dA e dt dA e dt A d z z y y x x r r r v ++=几何意义: 是矢端曲线在t 处的切向矢量，指向t 增大的一方 6 运算法则: 设，和可导，则有： )(t A A v v =)(t B B v v =)(t u u =
第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （ 4 ）由 cos AB θ = ==A B A B g ，得 1 cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ = =A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 10145 02 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123 PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。