13.4平行线的判定 13.5平行线的性质 要点精讲
（平行线被折线所截问题）
一、平行线被两条折线所截
平行线被折线所截的解题关键在于作与已知直线的平行线，利用平行线的传递性和平行线的三条性质这两个知识点进行解答。 类型一：∠AEC ＝∠A ＋∠C
E EF//AB 1AB//CD AB //E
F //CD
A 1C 212A C AEC A C
∴∴∠∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠∠解：过点作，（如图），（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
＝，＝（两直线平行，内错角相等）＋＝＋即＝＋
类型二：∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°
E E
F //AB AB //CD AB //EF //CD
1A 1802C 180 1A 2C 360A C AEC 360∴∴∠∠?∠∠?∴∠∠∠∠?∠∠∠?
解：过点作，(如图2)，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）＋＝，＋＝（两直线平行，同旁内角互补）＋＋＋＝即＋＋＝ 类型三：∠AEC ＝∠C －∠A 或∠AEC ＝∠A －∠C 如图4，此处省略说明过程.
E EF//AB AB//CD AB//E
F //CD
C 2180A AEF 180 C 2=A AEF C 2=A 1+21A AEC C A.
C
∴∴∠∠
?
∠
∠?∴∠∠∠∠∴∠∠∠∠∠∴∠=∠-∠∠∠∠解：过点作，(如图3)，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）＋＝，＋＝（两直线平行，同旁内角互补）＋＋＋＋即＝－
图1
图2
图3
图4
二、平行线被多条折线所截
类型一：
如图，直线//
m n，根据下列四个图形，分别说出标有号码的角之间的数量关系。
解：如图a，由添加平行线的方法，易得结论：213
∠
=
∠+∠；
如图b，添加两条平行线如图 e ,易得：15,76,84
∠=∠∠=∠∠=∠，由等式性质得178564
∠+∠+∠=∠+∠+∠，即得图b结论：1324
∠+∠=∠+∠；
如图f，同理可得：1895671011
∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，即得图c结论：13524
∠+∠+∠=∠+∠；
如图d，可猜测结论：135n+2=246n+1
∠+∠+∠+∠∠+∠+∠+∠
…………，因此可得：奇数角的和=偶数角的和.
类型二：
如图，直线//
m n，根据下列三个图形，分别说出标有号码的角之间的数量关系。
同学们不妨自己尝试一下！
（答案：1232180(1)
n n
∠+∠+∠+∠+=+?
……）
图a 图b
图c 图d 图e 图f
第二讲平行线的性质及平移 教学目标:1.根据平行线的性质判断角度关系（重点） 2.平行线中添加辅助线和动点问题 3.平行线的性质和实际运用 教学过程： 请同学们回顾下平行的判定方法！ 判定方法:(1) 同角相等,两直线平行; (2)内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行; (4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行. 性质: (1)两直线平行,同位角相等; (2)两直线平行,内错角相等; (3)两直线平行,同旁内角互补. 1.将直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．60° B．50° C．40° D．30° 第1题图第2题图2．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，AC是∠BAD的平分线，则与∠1相等的角(∠1除外)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，则∠C的度数为( ) A．120° B．130° C．140° D．150° 填空题 4．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ________．(只需写出一种情况)
第4题图第5题图 5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________°. 6．用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，理由是________________________． 第6题图第7题图 7.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°. 8.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与绳线的夹角分别是30°和70°，则夹角∠P1OP2＝________°. 第8题图第9题图 9.如图是一小区大门的栏杆示意图，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度． 1.C 2．C 解析：∠DCA，∠ACB，∠EAO，∠EOA，∠BAO都和∠1相等． 3．D 解析：过点B作直线MN∥AE即可． 4．∠1＝∠4(答案不唯一) 5.70 6．内错角相等，两直线平行7.20 8．40 解析：如图，过O作OA∥P2C，则∠AOP2＝∠P2＝70°.由题意，得P1B∥P2C，∴OA∥P1B，∴∠AOP1＝∠P1＝30°，∴∠P1OP2＝∠AOP2－∠AOP1＝70°－30°＝40°. 9．270
平行线 例1 翻折 1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°，则∠1 的度数是 ． 2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ． 例2 旋转 1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置，其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC ，则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为 度． 1 A E D B C 例3 平行线的性质 1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 2、如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=． 3、已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=． 例4 平移 1、如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°
（1）说明OB∥AC成立的理由． （2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值． （4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数． 2、如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是． 例5 作图—应用 1、（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （2）如图2，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方
平行线中的“折线”问题的教与练 一、准确把握教材容，明确教学目的 平行线是最简单、最基本的几何图形之一，它是研究其他图形的基础，且在实际中也有着广泛的应用。 依据新课标标准，可将教学目标分为三部分：1.让学生掌握平行线的性质，并能运用平行线的判定与性质进行角的计算与证明；2.在平行线中的“折线”问题的探究过程中，让学生仔细观察、比较、联想、分析、归纳、大胆猜想和概括；3最后，通过平行线中的“折线”在变化过程中的探究，使学生学会识别基本图形、构建基本图形、理清解题思路，体会图形之间变化及联系，激发学生兴趣，从而增强学生的识图和逻辑推理能力。 二、全面分析课程标准，直指教学的重点和难点 学生在前面的课程中已经学习了平行线的性质与判定，对相应的知识有了一定的了解，但初一的学生刚接触几何，识图能力比较差，缺乏严谨的逻辑推理能力，空间想象能力及规的几何表述能力，所以在讲授平行线中“折线”问题时，重在引导学生先从已知条件出发，带着问题，去认识和分析图形，然后再鼓励学生运用自己的语言说明理由，最后教师用规的格式写出完整的解题过程，从而在与学生教与学的双方互动过程中培养学生良好的几何表达习惯。 三、精心设计例题类型，激发学生求知欲 教师通过对已学知识的复习和梳理，把学生引到本节课的思路上来，为新课学习做好知识铺垫。并在教学过程中，通过设计
不同的题目类型，层层设疑，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲和学习兴趣。 （一）复习旧知，导入新课 1．运用多媒体展示问题： （1）平行线判定的方法有哪几种？ （2）平行线有哪些特殊的性质呢？ （3）它们之间有什么区别与联系？ 2．引入例题：如图1，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（） （A）180°（B）270°（C）360°（D）540° 分析：由AB∥CD，可得∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁角互补） 又由CD∥EF，可得∠ECD+∠CEF=180°（两直线平行，同旁角互补） 所以∠BAC+∠ACD+∠ECD+∠CEF=360° 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°。 这道题目直接给出了平行线，学生很容易发现所求的角恰好是已知平行线被第三条直线所截产生的同旁角，从而联想到利用平行线的性质3：“两直线平行，同旁角互补”来解决问题。 在该例题的讲解过程中，教师应教师要先引导，后鼓励学生自己发挥，最后教师再进行纠错，让学生在“犯错”中学习，从而快而准确地掌握本节课的容。
5.2.1平行线 教学目标： 1．了解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系； 2．掌握平行公理以及平行公理的推论；(重点、难点) 3．会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺作过已知直线外一点画这条直线的平行线．(重点) 教学过程： 一、情境导入 观察下面的图片，你发现了什么？ 以上的图片都有两条相互平行的直线，这将是我们这节课学习的内容． 二、合作探究 知识点1：平行线的概念 同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交． 方法总结：两条线段平行、两条射线平行是指它们所在的直线平行，因此，两条线段不相交不意味着它们所在的直线不相交，也就无法判断它们是否平行．探究1：过直线外一点画已知直线的平行线 课本P12思考（小组合作学习）
探究点三：平行公理及其推论 【类型一】应用平行公理及其推论进行判断 例1：有下列四种说法：(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；正确的有4个．故答案为D. 方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，两者区别在于：对于平行线公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，但过直线上一点不能作已知直线的平行线，垂线的性质中，无论点在何处都能作出已知直线的垂线． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】应用平行公理的推论进行论证 例2：四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那直线a，d的位置关系为________． 解析：由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a ∥d.故答案为a∥d.
1、如图，∠1=∠２,∠３=11０°,求∠4. ２、如图，AB ∥C Ｄ,ＡE 交CD 于点Ｃ,DE ⊥ＡＥ,垂足为Ｅ,∠Ａ=3７°，求∠D 的度数. 3、如图,AB ,C Ｄ是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋固定在A ，C 两点,点E 是橡皮筋上的一点，拽动E 点 将橡皮筋拉紧后,请你探索∠Ａ，∠AE Ｃ，∠Ｃ之间具有怎样的关系并说明理由。(提示:先画出示意图，再说明理由)提示:这是一道结论开放的探究性问题,由于E 点位置的不确定性,可引起对E 点不同位置的分类讨论。本题可分为AB ,C Ｄ之间或之外。 结论：①∠AE Ｃ＝∠A +∠Ｃ ②∠ＡEC +∠A +∠C ＝360°③∠ＡE Ｃ=∠C -∠A ④∠ＡEC ＝∠A -∠C ⑤∠AEC ＝∠A -∠Ｃ ⑥∠AEC =∠Ｃ－∠A . 4、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°,∠2＝5０°,则∠3的度数为( ） ?A 、80 ?B 、5０?C 、３０??Ｄ、20 5、将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α=4３°,则∠β的度数是（ ） A 、43°?? B 、47° ? C 、３0° D 、６0° ６、如图,点A 、B 分别在直线C Ｍ、DN 上,CM ∥D Ｎ. (1）如图1，连结AB ,则∠CAB +∠ＡBD = ； （２）如图2,点1P 是直线CM 、D Ｎ内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证:BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=3６0°； （3）如图３，点1P 、2P 是直线C Ｍ、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2. 试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数； （4)若按以上规律,猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P 5∠+的度数（不必写出过程）. ７、如图,已知直线l 1∥l 2，且l ３和ｌ１、l 2分别交于A 、B 两点,点P 在AB 上. （1）试找出∠1、∠2、∠３之间的关系并说出理由; （２)如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠２、∠3之间的关系是否发生变化? A M B C N D P 1 A M B C N D 图2 P 1 P 2 A M B C N D 图3
5．2 平行线及其判定 5．平行线（杨荣） 教学目标： 1．了解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系； 2．掌握平行公理以及平行公理的推论；(重点、难点) 3．会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．(重点) 课时安排：一课时 教学方法：小组合作探究 教学过程： 一、课堂导入，明确目标 数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么 以上的图片都有两条相互平行的直线，这将是我们这节课学习的内容． 二、自学探究，交流展示 探究点一：平行线的概念 下列说法中正确的有：________．
(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行； (2)在同一平面内不相交的两条直线必平行； (3)在同一平面内不平行的两条线段必相交； (4)在同一平面内不平行的两条直线必相交； (5)在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、相交和垂直． 解析：根据平行线的概念进行判断．线段不相交，延长后不一定不相交，(1)错误；同一平面内，直线只有平行和相交两种位置关系，(2)(4)正确，(5)错误；线段是有长度的，不平行也可以不相交，(3)错误．故答案为(2)(4)． 方法总结：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交．两条线段平行、两条射线平行是指它们所在的直线平行，因此，两条线段不相交不意味着它们所在的直线不相交，也就无法判断它们是否平行． 探究点二：过直线外一点画已知直线的平行线 如图所示，在∠AOB内有一点P. (1)过点P画l1∥OA； (2)过点P画l2∥OB； (3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系． 解析：用两个三角板，根据“同位角相等，两直线平行”来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角，该角与∠O的关系为相等或互补．
学科及章节七年级第五章课题相交线与平行线 课型_复习__ 备课人_徐安阔集体备课时间 _2018.4.1____ 上课时间一、课程标准解读 （一）课标具体要求 探索并掌握相交线、平行线的性质和判定。 （二）课标要求分解 1．理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握他们的性质 2.理解平行线的概念，理解平行公理，能作出已知直线的平行线. 3.掌握平行线的三个特征，探索并证明平行线识别方法. 4.体会平行线的特征与识别的区别，并能运用平行线的识别与特征解决问题. 二、中考聚焦点 （一）中考聚焦点： 本章内容是中考考点之一，中考常以选择题、填空题、解答题等形式呈现。纵观山东省近几年的中考试题，平行线的性质与判定一般不单独出现，通常与三角形，四边形与圆综合出现，是以后学习几何图形的基础. 三、教材分析（教学重点） （一）教材地位与内容分析 1.教材按照先认识相交线和平行线及其相关知识，再探索平行线的条件，最后探索平行线的性质的顺序呈现知识在探索的过程中，训练学生进行简单的说理，并借助平行解决一些简单的问题，进一步发展学生的空间观念。本节难点是利用平行线的识别方法计算或说明.本节知识是以后学习几何图形的基础，它起到承上启下的作用，在初中数学的地位是举足轻重的. 2．本章主要是确认平行的性质和判定，并能解决推理和计算问题，学会合情推理和严谨的数学说理，并学会运用数学中类比思想. （二）教学重点 掌握平行线的判定多种方法和平行线的性质，并能综合运用。 四、学情分析（教学难点、教法与学法） （一）学情分析 学生大多对平行线的性质和判定定理都能说出来，但是在做题过程中具体选用哪个性质和判定不能灵活应用，存在学生审题不严密、说理不严谨和步骤不规范等问题. （二）教学难点 掌握平行线的判定多种方法和平行线的性质，并能综合运用，以及步骤的书写（三）教法与学法 本节课是第七章的复习课，由于第7张前两节在单元检测前就完成了，所以本节课我先要对本章的重点知识以及某些易错知识进行复习，为后面平行的判定和性质做好铺垫。
第五章相交线与平行线 1.如图，BC AC, CB8cm, AC6cm, AB10cm, 那么点 A 到 BC的距离是_____，点 B 到 AC的距离是_______，点 A、 B 两点的距离是_____，点 C到 AB的距离是________． 2.设 a 、b、c为平面上三条不同直线， a)若 a // b,b // c ，则a与c的位置关系是_________； b)若 a b, b c ，则a与c的位置关系是_________； c)若 a // b ， b c，则a与c的位置关系是________． 3.如图，已知 AB、CD、EF相交于点 O，AB⊥ CD，OG平分∠ AOE，∠ FOD＝28°，求∠ COE、∠ AOE、∠ AOG的度数． 4.如图，AOC 与BOC 是邻补角，OD、OE分别是AOC 与BOC 的平分线，试判 断 OD与 OE的位置关系，并说明理由．
5.如图， AB∥ DE，试问∠ B、∠ E、∠ BCE有什么关 系．解：∠ B＋∠ E＝∠ BCE 过点 C作 CF∥ AB， 则B____（） 又∵ AB∥ DE， AB∥ CF， ∴ ____________ （） ∴∠ E＝∠____（） ∴∠ B＋∠ E＝∠1＋∠2 即∠ B＋∠ E＝∠ BCE． 6. ⑴如图，已知∠ 1＝∠ 2求证：a∥b．⑵直线 a // b ，求证：1 2 ． 7.阅读理解并在括号内填注理由： 如图，已知AB∥ CD，∠1＝∠2，试说明 EP∥ FQ． 证明：∵ AB∥ CD， ∴∠ MEB＝∠ MFD（） 又∵∠ 1＝∠ 2， ∴∠ MEB－∠1＝∠ MFD－∠2， 即∠MEP＝∠______
《平行线》教案 教学目标 1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作，交流归纳与活动，进一步发展空间观念.毛 2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论. 3.会用符号语方表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 重点、难点 重点:探索和掌握平行公理及其推论. 难点:对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质. 课前准备 分别将木条a、b与木条c钉在一起，做成图所示的教具. c b 教学过程 一.创设问题情境. 1.复习提问:两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？ 学生回答后，教师把教具中木条b与c重合在一起，转动木条a确认学生的回答.教师接着问:在平面内，两条直线除了相交外，还有别的位置关系吗？ 2.教师演示教具. 顺时针转动木条b两圈，让学生思考:把a、b想像成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动b时，直线b与直线a的交点位置将发生什么变化？在这个过程中，有没有直线b与c 木相交的位置？ 3.教师组织学生交流并形成共识. 转动b时，直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点，并垂合于A点，然后交点变为在A点的右边，逐步远离A点.继续转动下去，b与a的交点就会从A 点的左边又转动A点的左边……可以想象一定存在一个直线b的位置，它与直线a左右两旁都
a C 没有交点. c b a 二.平行线定义，表示法. 1.结合演示的结论，师生用数学语言描述平行定义:同一平面内，存在一条直线a 与直线b 不相交的位置，这时直线a 与b 互相平行.换言之，同一平面内， 不相交的两条直线叫做平行线. 直线a 与b 是平行线，记作“∥”，这里“∥”是平行符号. 教师应强调平行线定义的本质属性，第一是同一平面内两条直线，第二是设有交点的两条直线. 2.同一平面内，两条直线的位置关系 教师引导学生从同一平面内，两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系. 在同一平面内，两条直线只有两种位置关系:相交或平行，两者必居其一.即两条直线不相交就是平行，或者不平行就是相交. 三.画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论. 1.在转动教具木条b 的过程中，有几个位置能使b 与a 平行？ 本问题是学生直觉直线b 绕直线a 外一点B 转动时，有并且只有一个位置使a 与b 平行. 2.用直线和三角尺画平行线. 已知:直线a ，点B ，点C . (1)过点B 画直线a 的平行线，能画几条？ (2)过点C 画直线a 的平行线，它与过点B 的平行线平行吗？ 3.通过观察画图、归纳平行公理及推论. (1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论. (2)在学生充分交流后，教师板书. 平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (3)比较平行公理和垂线的第一条性质. 共同点:都是“有且只有一条直线”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外，两垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外. 4.归纳平行公理推论. (1)学生直观判定过B 点、C 点的a 的平行线b 、c 是互相平行.
小专题（一） 平行线中的“拐点”问题 教材母题：如图，如果////AB CD EF ，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（ ） A.180? B.270? C.360? D.540? 拓展变式：如图，//AB CD ，则A E F C ∠+∠+∠+∠=_____________. 方法指导 当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多丰次利用平行线的性质解决问题. 变式训练 变式1 变“外凸”为“内凹” 1.如图，直线//,36,AB CD C E ?∠=∠为直角，则A ∠等于（ ） A.36? B.44? C.54? D.64?
2.如图，已知//AB CD ，试判断,B BED ∠∠和D ∠之间的关系，并说明理由. 变式2 变“平行线间”为“平行线的外部” 3.已知//AB CD ，点E 为,AB CD 之外任意一点. （1）如图1，探究BED ∠与,B D ∠∠的数量关系，并说明理由 （2）如图2，探究CDE ∠与,B BED ∠∠的数量关系，并说明理由. 变式3 变“一次”为“多次” 4.（1）如图1，//AB CD ，则E G ∠+∠与B F D ∠+∠+∠有何关系？ （2）如图2，若//AB CD ，又能得到什么结论？请直接写出结论.
参考答案 教材母题 C 拓展变式 540 变式训练 1.C 2.解：BED B D ∠=∠+∠.理由如下：过点E 作//EF AB ，则.//B BEF AB CD ∠=∠，//..EF CD DEF D BED ∴∴∠=∠∠=BEF DEF ∠+∠，BED B D ∴∠=∠+∠. 3.解：（1）B BED D ∠=∠+∠.理由如下：过点E 作//EF AB .又//AB CD ， ////.,.EF AB CD BEF B D DEF BEF ∴∴∠=∠∠=∠∠BED DEF =∠+∠， B BED D ∴∠=∠+∠. （2）CDE B ∠=∠+BED ∠.理由如下：过点E 作//EF AB .又 //AB CD ， ////.180,180EF AB CD B BEF CDE DEF ??∴∴∠+∠=∠+∠=. 又,DEF BEF BED CDE BEF BED B BEF ∠=∠-∠∴∠+∠-∠=∠+∠， 即CDE B BED ∠=∠+∠. 4.解：（1）过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，过点G 作//GH CD . //,////////.1,2AB CD AB EM FN GH CD B ∴∴∠=∠∠=3,45,6D ∠∠=∠∠=∠. 125634B D ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠， 即BEF FGD B EFG D ∠+∠=∠+∠+∠.（2）12112n n B F F F D E E E -∠+∠+∠+ +∠+∠=∠+∠++∠.
数学教案－平行线 教学目标1．认识平行线，初步了解平行线的性质，学会用直尺和三角板画平行线．2．培养学生操作的初步技能．3．渗透分类的思想，透过现象看本质的观点．教学重点理解平行线的概念和性质．教学难点1．理解“同一平面”．2．会用三角板和直尺画平行线．教学过程一、导入新课．1．教师谈话：前面我们学习了两条直线互相垂直的位置关系．这节课我们继续研究同一平面内两条直线的位置关系．（板书：同一平面两条直线）2．学生摆小棒．利用手里的小棒，每根小棒代表一条直线，每两根为一组，请你用这些小棒摆一摆，看看在同一平面内两条直线的位置关系你能摆出几种情况．两个同学一组可以互相合作、互相商量．二、探究新知．（一）教学平行线的概念．1．出示下列图形． 2．讨论：你能根据它们的位置关系给它们分分类吗？说出分类的理由．3．持不同分类方法的同学进行辩论．4．教师小结：表面上看起来不相交，如果把两条直线无限延长后相交于一点，看来今后不能先看表面现象，要看到其实质．5．教师讲解： 这两组直线表面不相交，延长后也不相交，这才是真正的不相交，这就是我们今天学习的平行线．（板书课题：平行线）6．学生尝试概括：什么是平行线？7．教师出示长方体：
教师提问：这两条直线延长后相交吗？它们是平行线吗？8．师生进一步概括平行线的定义（给重点处加标记）学生讨论：平行线应具备哪几个条件？9．播放视频“平行线举例”．10．出示练习：下面各图中哪些是平行线；哪些不是？ （二）教学平行线的性质．1．出示图形： 教师提问：你们所说的宽度是指哪一条线段？（板书：平行线间的距离）2．教师小结：两条平行线间的距离处处相等，这是平行线的一个重要性质，这一特性在生活中有广泛的应用．3．实践操作．（1）利用若干小棒摆，变换不同位置、方向，使它们互相平行．（2）小组合作：利用两根皮筋，使它们互相平行、两个小组合作，使其两两平行．三、画平行线．1．学生自学：平行线的画法（见第133页），并尝试画出一组平行线．2．演示视频“平行线画法”．3．教师小结平行线画法：靠紧、画线、平移、画线．4．探索与尝试：你还有其他画平行线的方法吗？ 四、质疑小结．1．让学生看书并提出疑问，组织学生解疑．2．提问：通过今天的学习，你都学会了什么？小结：①定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．②性质：两条平行线间的距离处处相等．③平行线画法：靠紧、画线、平移、画线．五、布置作业．完成第134页第1题．检验下面的各组直线，哪组是平行线，哪组不是平行线？ 完成第134页第2题．检验下面每个图形中哪两条线段是平行的．
4. 如图．已知0是直线AB上一点，∠1=50°，0D平分∠BOC， 则∠2的度数是( ). (A)25° (B)50° (C)65° (D)70° 6．如图．直线a∥b，∠l=70°，那么∠2的度数是( )． (A)50° (B)60° (C)70° (D)80° 11．若∠l和∠2是对顶角，∠1=25°，则∠2的度数是度． 13．如图，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线就可以在工件上找出两条平行线a∥b．木工师傅这样画平行线的方法所依据 教材中的判定方法是． 18.如图，已知CE∥DF，∠ABF=100°，∠CAB=20°,则∠ACE的度 数为度. 24.(本题8分) 完成推理填空： 如图，已知∠l=∠2，∠BAC=70°，∠AGD=110°．将证明EF∥AD的过程填写完整 证明：∵∠BAC=70°, ∠ACD=110° ∴∠BAC+∠AGD=180° ∴∥ ( ) ∴∠1= ( ) 又∵∠l=∠2． ∴∠2=∠3． ∴EF∥AD( ) 26．(本题l0分) 三角形ABC沿直线BC方向平移至三角形DEF的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN. (1)如图1，求证∠AGE=∠GAD+∠ABC;
(2)如图2，∠EDF=∠DAG , ∠CAG+∠CEG=180°，判断AG 与DE 的位置关系， 并证明你的结论. 5.如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是 （ ） A ．∠1=∠2 B ．∠3=∠4 C ．∠5=∠B D ．∠B +∠BDC =180° 8.如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C （∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠1=25°，则∠2的度数等于 （ ） A.25° B.45° C.75° D.65° 10.下列说法正确的个数是 ( ) ①同位角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直 线的距离； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图，已知AB ∥CD ，∠1=60°，则∠2= 度． 18.如图所示，已知AB ∥CD ，∠C ＝70°，∠F ＝30°，则∠A 的度数为 . 19.如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是 . 25．（本题6分）完成下面的证明，并在括号里填上根据． 如图，∠1+∠3=180°，∠CDE+∠B=180°，求证：∠A=∠4． 证明：∵∠1=∠2（ ） 又∵∠1+∠3=180°， ∴∠2+∠3=180°， （第26题图） （第8题图） 1 2 A B C （第14题图） （第18题图）
全章测试(一) 一、选择题 1．在同一平面内，如果两条直线不重合，那么它们( )． (A)平行 (B)相交 (C)相交、垂直 (D)平行或相交 2．如果两条平行线被第三条直线所截，那么其中一组同位角的角平分线( )． (A)垂直 (B)相交 (C)平行 (D)不能确定 3．已知：OA ⊥OC ，∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3，则∠BOC 的度数为( )． (A)30° (B)60° (C)150° (D)30°或150° 4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )． (A)110° (B)115° (C)120° (D)125° 5．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论： (1)∠1＝∠2； (2)∠3＝∠4； (3)∠2＋∠4＝90°； (4)∠4＋∠5＝180° 其中正确的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6．下列说法中，正确的是( )． (A)不相交的两条直线是平行线． (B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． (C)从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离． (D)在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 7．∠1和∠2是两条直线l 1，l 2被第三条直线l 3所截的同旁内角，如果l 1∥l 2，那么必有 ( )． (A)∠1＝∠2 (B)∠1＋∠2＝90° (C) o 9022 1121=∠+ ∠ (D)∠1是钝角，∠2是锐角 8．如下图，AB ∥DE ，那么∠BCD ＝( )．
(A)∠2－∠1 (B)∠1＋∠2 (C)180°＋∠1－∠2 (D)180°＋∠2－2∠1 9．如图，在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有( )． (A)3个(B)2个 (C)1个(D)0个 10．在5×5的方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，那么正确的平移方法是( ) 图1图2 (A)先向下移动1格，再向左移动1格 (B)先向下移动1格，再向左移动2格 (C)先向下移动2格，再向左移动1格 (D)先向下移动2格，再向左移动2格 二、填空题 11．如图，已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝______°. 12．如图，已知直线AB、CD相交于O，如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝(x＋y＋9)°，∠BOD＝(y＋4)°，则∠AOD的度数为______． 13．如图直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2的度数是______． 14．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFD的平分线相交于点P，且∠EFD＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝______度．
平行线的经典题型 一、平行线之间的基本图形 1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线， F 是两条角平分线的交点；求证：1 2 F AEC ∠=∠. 2、已知AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系如何？ 你能找出其中的规律吗？ 3、将题变为如下图：AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFD ∠和D ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ 4、如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？ A B D E A B D E A B C D E A B C E 二、 两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】 1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ． 2、已知：如图,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2, 求证：DO ⊥AB. 3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。 D B C A F E A D F B E C A E F D A E F D C
M N A D B C b 2 1 a E 4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由. 三、两组平行线构造平行四边形 1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ． 求证：AB ∥CD ． 2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC ． 3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。 四、证特殊角 1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ． 2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300 ，则∠PFC ＝_____． 3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求证：DG ∥EF. 4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ． 5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2． 6、 求证：三角形内角之和等于180°． A B C D E F 1 4 2 3 2 1 G F E B C A
平行线的判定教学设计 新学网首页 > 语文 > 数学 > 物理 > 化学 §5.2.2平行线的判定 【教学重点与难点】 教学重点：探索并掌握直线平行的判定方法 教学难点：直线平行的判定方法的应用 【教学目标】 1、经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力。 2、经历探究直线平行的判定方法的过程，掌握直线平行的判定方法，领悟归纳和转化的数学思想方法。 【教学方法】 通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。 【教学过程】 一、复习旧知引入新课
（设计说明：复习同位角、内错角、同旁内角的识别，为探究利用角的关系判断两直线平行做好准备，由平行公理推论自然引入新课。） 1．如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG （1）∠1与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的 ________角. (2) ∠3与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (3) ∠5与∠6是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (4) ∠4与∠7是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. (5) ∠8与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角. 2．如果a∥b ,b ∥c ，那么_______,理由是_____________________. 通过上节课的学习我们知道根据平行公理的推论可以判定两直线平行，除此之外,还有哪些方法可以判定两直线平行呢?这是我们这节课要研究的问题。由此导入新课
直线平行的条件和性质 1. 猪蹄模型 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。 2. 铅笔模型 如图,已知: CD AB ∥,求证: ∠+B ∠D +∠=BED 360°. (至少用三种方法) 3. 其他 4. 角平分线 如图1，在ABC ?中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=?，则BEC ∠= ;若A n ∠=?，求BEC ∠用含n 的代数式表示)
如图3，在ABC ?中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=?，求BOC ∠. 如图5，在ABC ?中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=?，求BEC ∠. 5. “8”字形 如图b 所示的“ ”字型，其也存在着一个等式：1+2=3+4∠∠∠∠，请证明； 6. “A ”字型 如图a 所示的“”字型，我们可称其为“A 字型”或“塔形”，其存在一个等式： 1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；
7. 燕尾形 如图c所示，其也存在着如下等式：D A B C ∠=∠+∠+∠，请证明 一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明． 二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论 1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行； 2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行； 3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直． 三．易错点： 1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”； 2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离． 题型一：猪蹄模型 例1. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（） A． 15° B． 25° C． 35° D． 55° 题型二：铅笔模型 ∠+∠+∠+∠=（） 例2. 如图，AB∥CD，A E F C
平行线及其判定 1、基础知识 (1)在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作______． (2)在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______． (3）平行公理是： 。 (4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______． (5)两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)： ①两条直线被第三条直线所截，如果______，那么这两条直线平行，这个判定方法1可简述为：______，两直线平行． ②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______． ③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简 述为： 2、已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据． (1)如果∠2＝∠3，那么____________.(____________，____________) (2)如果∠2＝∠5，那么____________.(____________，____________) (3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________.(____________，____________) (4)如果∠5＝∠3，那么____________.(____________，____________) (5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________.(____________，____________) (6)如果∠6＝∠3，那么____________.(____________，____________) 3、已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． (1)∵∠B＝∠3(已知)，∴______∥______.(______，______) (2)∵∠1＝∠D(已知)，∴______∥______.(______，______) (3)∵∠2＝∠A(已知)，∴______∥______.(______，______) (4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，∴______∥______.(______，______) 4、作图：已知：三角形ABC及BC边的中点D，过D点作DF∥CA交AB于M，再过D点作DE∥AB交AC于N点． 5、已知：如图，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．（尝试用三种方法） 6、已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2，试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由． (1)问题的结论：DF______AE． (2)证明思路分析：欲证DF______AE，只要证∠3＝______． (3)证明过程： 证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，( ) ∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定义) 又∠1＝∠2，( ) 从而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性质) 即∠3＝______. ∴DF______AE．(___________，___________) 7、已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC．
人教版数学七年级下平行线教学设计 [课时目标] 理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。 教师讲课要求 知识要点：请学生看一下准备上课 1. 平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 注意： （1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提； （2）必须是两条直线； （3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。 两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数m进行 2. 平行线的表示方法 图7 D C B A 平行用“∥”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB 平行于CD。 3. 平行线的画法 4. 平行线的基本性质 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 5. 平行线的判定方法： （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 （4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 （5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6. 平行线的性质： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。 （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。 （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。