人力资源分配问题
①. 某快餐店坐落在一个旅游景点中，这个旅游景点远离市区，平时游客不多，而在
每个星期六游客猛增，快餐店主要为旅客提供低价位的快餐服务，该快餐店雇佣了两名正式职工，正式职工每天工作8小时，其余工作由临时工来担任，临时工每班工作4小时，在星期六，该快餐店从上午11时开始营业到下午10时关门，根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数（包括正式工和临时工）如表所示：
时，另一名正式职工13点开始上班，工作4小时，休息1小时，而后再工作4小时，又已知临时工每小时的工资为4元。
（1）在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？
（2）这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少临时工的班次？请用剩余变量来说明应该安排一些临时工的3小时工作时间的班次，可使得总成本更小。
（3）如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小
①设第i点钟需要的临时工人数为xi个，i=1,2,....11；x1表示第11点需要的临时工数，……，x11表示第21点需要的临时工数。
目标函数： Min z= 16（x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 +x8+x9+x10+x11) 约束条件：s.t. X1+1≥9
X1+x2+1≥9
X1+x2+x3+2≥9
X1+x2+x3+x4+2≥3
X2+x3+x4+x5+1≥3
X3+x4+x5+x6+2≥3
X4+x5+x6+x7+2≥6
X5+x6+x7+x8+1≥12
X6+x7+x8+x9+2≥12
X7+x8+x9+x10+1≥7
X8+x9+x10+x11+1≥7
xi≥0(i=1,2....11)
求解如图：
（1）可知第一班次招临时工8人，第三班次招临时工1人，第五班次招临时工1人，第六班次招临时工4人，第八班次招临时工6人，从而可使得成本最低为320元（2）这时付给临时工的工资总额为320元，一共需要安排20个临时工的班次。因为临时工的工作时间为4 小时，而实际工作仅需要3 小时。在13：00－14：00 招用的临时工，剩余变量为2；在16：00－17：00 招用的临时工，剩余变量为5。都是因为实际工作要求达不到4 小时，这部分费用为4 小时工作时长的不合理多支出的成本。因此建议安排3 小时工作时长的临时工，可以使成本更小。（由下图所得）
（3）需要4小时临时工的人数为6个，需要3小时临时工的人数为14个，则最少时间为66小时，可以比问题1中少用14小时。
生产计划优化问题
②. 教材P67 2.20题,
解：设x ijk表示第i 种产品，在第j 种工序上的第k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:
s.t. 5x111 + 10x211 ≤ 6000 （设备 A1）
7x112 + 9x212 + 12x312≤ 10000 （设备 A2）
6x121 + 8x221≤ 4000 （设备 B1）
4x122 + 11x322≤ 7000 （设备 B2）
7x123≤ 4000 （设备 B3）
x
+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等）111
x
+ x212- x221 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等）211
x
- x322 = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）312
x
≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
ijk
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：
利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -（每台时的设备费用*设
备实际使用的总台时数）之和。
这样得到目标函数：
Max=0.1.5x111+1.5506x112+2.3x221-0.5778x212+3.8296x312-0.75x121-x221-0.8279x122-2.4609x322-0.7x123
③. 教材P91 3.11题
③ Max z=14.8X1+23.8X2+9.7X3+14.6X4+24.3X5+24X6+25X7
s.t. 0.80 X1+0.65X2+0.95X3+1.10X4+0.60X5+0.65X6+0.80X7≤42000
0.085X1+0.090X2+0.090X3+0.095X4+0.1X5+0.08X6+0.09X7≤5000 0.05X1+0.03X2+0.05X3+0.05X4+0.04X5+0.06X6+0.04X7 ≤3600
(24X1+22.5X2+28.5X3+21X4+15X5+16.5X6+19.5X7)/3≤350000
X1≥1000
X2≥1000
X3≥1000
X4≥1000
X5≥1000
X6≥1000
X7≥1000
X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7≥0
(1)如下图，最有生产方案唯一
（2）产品五的单位价格只要不超过30元，现行生产方案保持最优
（3）增加环织部门的工时，能增加3.333小时，单位费用不超过300是合算的
（4）总利润会增加
（5）从第三个图可以知道，当针织机的工时超过了41056.25小时之后，对最优生产方案都是没有影响的，所以不能通过增加针织机的工时来提高总利润
（6）最优生产方案中，产品6和产品7的产量将增加，总利润也将增加。
④.家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，
所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。问：
（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？
（2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？
（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？
（4）该厂应优先考虑购买何种资源？
（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？
家具类型劳动时间
（小时/件）木材
（单位/件）
玻璃
（单位/件）
单位产品利润
（元/件）
最大销售量
（件）
1 2 4 6 60 100
2 1 2 2 20 200
设四种家具的日产量分别为X1，X2，X3，X4，根据题意可得线性规划模型如下：Max z=60X1+20X2+40X3+30X4s.t. 2X1+X2+3X3+2X4≤4004X1+2X2+1X3 +2X4≤6006X1+2X2+1X3+2X4≤1000X1≤100X2≤200X3≤50X4≤100X1，X2，X3，X4≥0下图是使用QM求解的输出结果：因此生产计划为（X1，X2，X3，X4）=（100,80,40，0）时，日利润最大，最大利润为9200元。
2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？
由上图可知，劳动时间的影子价格为12元，因此家具厂用10元/h加班费雇佣工人时，是有利于家具厂的。
（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？
由下图可知，劳动时间的可变范围是[300,425]，原计划是400小时，且劳动时间的影子价格为12元，当劳动时间变成398时，生产计划不变，日利润将减少（400-398）*12=24元。
（4）该厂应优先考虑购买何种资源？
该厂应该优先考虑购买劳动时间。因为劳动时间的隐含价值最高。
（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？当第一种家具单位利润下降到55元时，仍在家具1的单位利润可变范围内，生产计划不变，因此日利润将减少100*（60—55）=500元。
⑤.某厂生产甲乙两种口味的饮料每百箱甲饮料需用原料6千克，工人10名，可获
利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克，工人20名，可获利9万元。今工厂共有原料60千克，工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
进一步讨论：
（1）若投资0.8万元可增加原料1千克，问应否作这项投资。
（2）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，问应否改变生产计划。
⑤设甲饮料和乙饮料的产量分别为X1，X2百箱，根据题意可得线性规划模型如下：Max z=10 X1+9X2s.t. 6X1+5X2≤6010X1+20X2≤150X1≤800 X1，X2≥0下图是使用QM求解的输出结果：由输出结果可知，当生产计划为（X1，X2）=（6.4286,4.2857）时，获利最大，最大获利为102.8571万元
（1）由下图可知，原料的影子价格为1.5714万元，因此若投资0.8万元增加1千克原料时，该厂可以从中获利，应该作此项投资
（2）由上图可知，甲饮料每百箱的利润可变范围为[4.5,10.8]，若增加1万元，每百箱利润变为11万元，超过可变范围，因此会改变生产计划。
配料问题：
⑥.教材P90 3.10题
（1）解：设x i表示第i 个地点，建立如下的数学模型:
s.t. 10X1+3X2+8X3+2X4>=5 90X1+150X2+75X3+175X4>=100
45X1+25X2+20X3+37X4>=30 X1+X2+X3+X4=1
目标函数：
Min=800X1+400X2+600X3+500X4
下图是使用QM求解的输出结果：因此最优混料配比为（X1，X2，X3，X4）=
（0.2593,0.7037,0.037，0）时，成本最低，最低成本为511.11元。
（2）每吨最有混合料中各种基本元素的含量是：
A元素：10*0.2593+3*0.7037+8*0.037+2*0=5.0001
B元素：90*0.2593+150*0.7037+75*0.037+175*0=131.667
C元素：45*0.2593+25*0.7037+20*0.037+37*0=30.001
（3）如下图，若将基本元素A降低到4.75KG，则最优混料配比和总成比不变若将基本元素A提高到8KG，则最优混料配比变为（X1，X2，X3，X4）=（0.5556,0.2222,0.2222，0），最低成本变为666.67元
（4）据上题图，降低配料基本元素B的最低需要量不能降低成本
（5）如下图，则最优混料配比变为（X1，X2，X3，X4）=（0.2593,0.7037,0.037，0），最低成本变为546.3元
（6）如题3图可知，从地点4运来的矿石的成本至少每吨降低到大约408元。
⑦.某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg
维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表所示。
饲料蛋白质
/g
矿物质
/g
维生素
/mg
价格/元/kg
1 3 1 0.5 0.2
2 2 0.5 1.0 0.7
3 1 0.2 0.2 0.4
4 6 2 2 0.3
5 18 0.5 0.8 0.8
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料方案。
市场应用问题
⑧.教材P66 2.16题
（1）解：设X1、X2、X3、X4分别表示电视白昼时间，电视热门时间，广播和杂志，建立如下的数学模型:
s.t. X1>=3 X2>=2 5<=X3>=10 5<=X4>=10
8000X1+15000X2+6000X3+3000X4<=160000
30000X1+40000X2+20000X3+1000X4>=200000
目标函数：
Max = 40000X1+90000X2+50000X3+2000X4
下图是使用QM求解的输出结果：因此最广告计划为（X1，X2，X3，X4）=（3,4.0667,10，5时，受到影响的总人数最多为996000人。
⑨.超级食品公司的营销部副总裁克莱略·希文生正面临着一项棘手的挑战：如何才
能大规模地进入已经有许多供应商的早点谷类食品市场。值得庆幸的是，该公司的早点谷类食品“Crunchy Start ”有许多受欢迎的优点。克莱略·希文生对这一切都如数家珍，她知道这一食品是能够赢得这次促销活动的。
克莱略已经雇用了一流的广告公司G & J 来帮助设计全国性的促销活动，以使“Crunchy Start ”取得尽可能多的消费者的认可。超级食品公司将根据广告公司所提供的服务付给一定的酬金（不超过100万美元）并以预留了另外的400万美元作为广告费用。
G & J 已经确定了这一产品最有效地三种广告媒介。 媒介1：星期六上午儿童节目的电视广告 媒介2：食品与家庭导向的杂志上的广告 媒介3：主要报纸星期天增刊上的广告
要解决的问题是如何确定各广告活动的使用水平以取得最有效地广告组合。
该问题的三种有限资源分别为： 资源1：广告预算（400万美元）
每次电视广告每份杂志广告每份星期天增刊广告150********广告受众期望量6000001300000成本（美元）
10000040000500000
900003000002.规划预算1.广告预算超级食品公司的广告组合问题的成本和广告受众数据
成本分类
资源2：计划预算（100万美元）
资源3：可获得的电视广告时段（5）
问题：
克莱略决定在电子表格上建立线性规划模型来解决这一问题。
a)请写出该问题的数学模型；
b)写出该问题的对偶问题，并指出最优解；
c)如果广告预算的可得费用增加50万元，目标函数值会发生什么样的变化？
d)每次杂志广告和每次期刊广告的广告受众期望量分别在什么范围内变化时，
该问题的最优解保持不变？
e)每次儿童电视广告的广告受众期望量发生什么样的变化时才可以考虑采用
它？
f)该公司正在考虑采用一种新的电台广告媒介，每次电台广告的广告受众
量为90万，需要使用20万美元的广告预算和4万美元的规划预算，是
否应该采用这种新的广告媒介？
线性规划问题练习题 练习一：一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容5000担的仓库。1月1日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元，估计第一季度杂粮价格如表所示。 如买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且规定“货到付款”。公司希望本季末库存2000担，问应采取什么样的买进卖出的策略使3个月总的获利最大？
练习二、某农场有100hm2（公顷）土地及15000元资 金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如劳动力本身用不了时可 外出干活，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季收入为 1.8元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养 动物时没有奶牛投资400元，每只鸡投资3元。养奶 牛时没头需拨出1.5 hm2中饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬需0.6人日，春夏为0.3人日，年净收入为2元/每只鸡。农场现有鸡舍允许最多样3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。三作物每年需要的人工及收入如表所 1、某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组
来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由5个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们没人实际的有效工作时间分别为42和36h。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作时间为：第一项工作1000h。第二项工作20000h，第三项工作30000h。能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少 2、旭日公司签订了5种产品（i=1，…5）下一年度1~6月份的交货合同。已知这5种产品的订货量（件）、单件售价（元）、成本价（元）及生产每件产品所需工时（h）分别为D i，S i，C i，a i。1~6月的各个月内该厂正常生产工时及最大允许加班工时如表 但加班时间内生产每件产品成本增加C i′元，因生产设备及交货要求，其中产品1最早安排从3月份开始生产，产品3最早在4月底交货，产品4最早可于2月份起生产，并于5月底前全部交货。若产品3和4延期交货，于6月底前每拖一个月分别罚款P3和P i元，全部产品必须于6月底前交货。请为该厂设计一个保证完成合同又使盈利能力为最大的生产计划安排。
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案 第1章线性规划(复习思考题) 1. 什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划(Lin ear Programmi ng , LF)是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯一最优解：只有一个最优点； (2)多重最优解：无穷多个最优解； (3)无界解：可行域无界，目标值无限增大； (4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3. 什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 ' ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业 来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明 “遅 约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4?试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关 系。 答：可行解：满足约束条件 扎—‘丸 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5 ?用表格单纯形法求解如下线性规划 解：标准化 1 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 基可行解 SA] + S 2
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．4 给出线性规划问题 123412341234min 2356232.. 2330,1,2,3,4 j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?+++≥? -+-+≤-??≥=? （1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问 题性质写出原问题的最优解。 解：（1）原问题的对偶问题为： 12 12121212 12max 2322 23.. 35 36 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =--≤??+≤?? -≤??+≤??≥≤? 或者等价变形为： 12 12121212 12max 232223..3536 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤??≥≥? （2）用图解法求解对偶问题 12 12121212 max 2322 23.. 3536 w y y y y y y s t y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤ 如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y * =， 3.8w * =
（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题： 设原问题的最优解为( )1 23 4x x x x x ** ***=。 由于121.60, 0.20y y * * =>=>，故在最优解()12 3 4x x x x x ** * **=处有： 1234 1234232 2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ******** * ?+++=??-+-+=-??≥=?? 又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x * =，代入上式得到： 123 123232 230,1,2,3,4j x x x x x x x j ****** * ?++=??-+-=-??≥=?? 原问题有无穷多个最优解。令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *= 即()1.60.200x * =， 3.8z * = 2．8题解答见课堂讲解。 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2） 123 123123123min 524324 .. 63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥?? ++≥??≥? , 解：先将原问题进行标准形化： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0 z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=?? ++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-?? ---+=-??≥? 列表计算如下：
实验报告 运筹学A（二） 学号：201134010209 姓名：欧阳文娟 专业：物流工程 指导教师：叶鸿 二零一三年四月 实验一：最小树、最短路与最大流问题
（一）实验目的：掌握WinQSB软件求最小树、最短路与最大流问题 （二）内容和要求：用WinQSB软件完成下三例 1. 最小树问题——求下图的最小生成树和最大生成树： 6 V1 V2 6 6 2 2 V6 7 V7 3 V3 8 3 4 3 V5 1 V4 2. 最短路问题——如图所示网络，各线段上的数字代表相应两节点间的距离，请求出从节点1 到节点10之间的最短距离。 网络图 3. 最大流问题——某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这5个人是否都能得到聘书？最多几个得到招聘，招聘后每人从事哪一方面翻译任务？ （三）操作步骤：最小树、最短路和最大流问题的运算程序是Network Modeling。最小树（1）选择Minimal Spanning Tree，输入节点数。两点间的权数只输入一次（上三角）。
（2）点击菜单栏Solve and Analyze，输出表最小树结果；点击菜单栏Results →Graphic Solution,，显示最小部分树形，生成如下运行结果 最短路问题（2）选择Shortest Path Problem，如果是有向图就按弧的方向输数据，本例是无向图，每一条边必须输入两次，无向边变为两条方向相反的弧 （2）点击Solve and Analyze后系统提示用户选择图的起点和终点，点击Result →Graphic Solution，显示最短路线图，生成如下运行结果。
上交作业课程题目可以打印，答案必须手写，否则该门成绩0分。 管理运筹学 作业题 一、名词解释(每题3分，共15分) 1. 可行解：满足某线性规划所有的约束条件（指全部前约束条件和后约束条件）的任意一 组决策变量的取值，都称为该线性规划的一个可行解，所有可行解构成的集合称为该线性规划的可行域（类似函数的定义域），记为K 。 2. 最优解：使某线性规划的目标函数达到最优值（最大值或最小值）的任一可行解，都称 为该线性规划的一个最优解。线性规划的最优解不一定唯一，若其有多个最优解，则所有最优解所构成的集合称为该线性规划的最优解域。 3. 状态：指每个阶段开始时所处的自然状态或客观条件。 4. 决策树：决策树(Decision Tree ）是在已知各种情况发生概率的基础上，通过构成决策 树来求取净现值的期望值大于等于零的概率，评价项目风险，判断其可行性的决策分析方法，是直观运用概率分析的一种图解法。由于这种决策分支画成图形很像一棵树的枝干，故称决策树。 5. 最大最小准则：最大最小准则又称小中取大法或悲观法。为不确定型决策的决策准则之 一，其决策的原则是“小中取大”。这种决策方法的思想是对事物抱有悲观和保守的态度，在各种最坏的可能结果中选择最好的。决策时从决策表中各方案对各个状态的结果选出最小值，即在表的最右列，再从该列中选出最大者。这种方法的基本态度是悲观与保守。其基本思路是首先找出最不利情况下的最大收益。 二、 简答题（每题6分，共24分） 1. 简述单纯形法的基本步骤。 答：（1）把一般线形规划模型转换成标准型；（2）确定初始基可行解；（3）利用检验数j σ对初始基可行解进行最优性检验，若0≤j σ ，则求得最优解，否则，进行基变换；（4）基变换找新的可行基，通过确定入基变量和出基变量，求得新的基本可行解；（5）重复步骤（3）、（4）直至0≤j σ，求得最优解为止。 2. 简述动态规划的基本方程。 答：对于n 阶段的动态规划问题，在求子过程上的最优指标函数时，k 子过程与k+1过程有如下递推关系： 对于可加性指标函数，基本方程可以写为 n k s f x s r s f k k k k k s D x k k opt k k k ,,2,1)}(),({)(11) ( =+=++∈ 终端条件：f n+1 (s n+1) = 0
《运筹学》作业 第2章 1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解） 答：产品1和产品2分别生产15和7.5单位，最大利润是975. 2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解） 答：产品1和产品2分别生产2和6单位，最大利润是3600. 3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题： 1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班； 2）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？ Microsoft Excel 9.0 敏感性报告 工作表 [ex2-6.xls]Sheet1 报告的建立: 2001-8-6 11:04:02 可变单元 格 终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量 $B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20 $C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5 $D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0 $E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30 约束 终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量 $G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100 $G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50
$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200 答：1）因为劳动时间的阴影价格是8，所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）因为允许的增加量是10，所以生产计划不变。 4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如 5. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题： 1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班； 2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？ 3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？ Microsoft Excel 9.0 敏感性报告 工作表 [ex2-6.xls]Sheet1 报告的建立: 2001-8-6 11:04:02 可变单元 格 终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量 $B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20 $C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5 $D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0 $E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30 约束 终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量 $G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100 $G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50 $G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200 答：1）因为劳动时间的阴影价格是8，所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）日利润增加2*8=16 3）因为允许的增加量是10，所以生产计划不变。 第3章 1．一公司开发出一种新产品，希望通过广告推向市场。它准备用电视、报刊两种广告形式。 这两种广告的情况见下表。要求至少30万人看到广告，要求电视广告数不少于8个，
四、图论 1、求下图中从v1到v3最短路。 v 1 v 3 v 5 4 6 从节点 1到节点3的最短路 ************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6 此问题的解为:7 2、最小生成树 电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。 v 1 v 2 v 3 v 4v 5v 6 v 7v 8v 9 v 10v 11v 12 v 13v 14v 15 22 41 1 3 1 4 5 6 4 2 2 3 2 3 1 3 5 1 3 4 此问题的最小生成树如下：
************************* 起点终点距离 ---- ---- ---- 1 4 1 1 2 2 2 5 2 5 8 1 5 6 2 6 3 1 8 7 2 8 9 3 9 12 2 12 11 4 11 10 1 10 13 3 13 14 1 14 15 3 此问题的解为:28 3、最短路问题 例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
v v 7 v 8 v 4 从节点 1到节点2的最短路 ************************* 起点终点距离 ---- ---- ---- 1 2 4 此问题的解为:4 1到3没有路 1到4没有路 从节点 1到节点5的最短路 ************************* 起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 此问题的解为:1
人力资源分配问题 第一题 （1）安排如下： x1=8,x2=0,x3=1,x4=1,x5=0,x6=4,x7=0,x8=6,x9=0x10=0,x11=0。 （2）总额为320，一共需安排20个班次； 因为在13:00—14:00,14:00—15:00,16:00—17:00,分别存在2,9,5个工时的剩余，（例如11:00—12:00）安排了8个员工而在14:00-15：00剩余了九个所以可以安排一些临时工工作3个小时的班次，使得总成本更小。 （3）在18:00—19:00安排6个人工作4小时；在11:00—12:00安排8个人，13:00—14：00安排1个人，15:00—16:00安排1个人，17:00—18:00安排4个人工作3小时。总成本最低为264元。
生产计划优化问题第二题 产品1在A 1生产数量为1200单位，在A 2 上生产数量为230单位，在B 1 上不生产，B 2 上生产数量为 858单位，B 3 上生产数量为571单位；产品2在A1上不生产，在A2上生产数量为500单位，在B1上生产数量为500单位；产品3在A2上生产数量为324单位，在B2上生产数量为324单位。最大利润为2293.29元。
第三题 设Xi为产品i最佳生产量。 （1）最优生产方案唯一，为X1=1000、X2=1000、X3=1000、X4=1000、X5=1000、X6=55625、X7=1000. （2）如上图所示，产品5的单价价格为0-30时，现行生产方案保持最优。 （3）由于环织机工的影子价格为300，且剩余变量值为零，而其他几种资源的影子价格为0，剩余变量均大于0，所以应优先增加环织工时这种资源的限额，能增加3.33工时，单位费用应低于其影子价格300才是合算的。 （4）因为产品2对偶价格= -3.2<0 ，950>933.33，3.2*（1000-950）=160；所以当产品2的最低销量从1000减少到950时，总利润增加160元。 （5）原最优解并没有把针织工时用尽，还有943.75工时的剩余，因此，不能通过增加针织工时来提高总利润。 （6）环织工时为630 - 5003.33时，最优生产方案不变，因为5010>5003.33，因此，若环织机工时的限额提高到5010小时，最优生产方案发生了变化。
答案课后习题运筹学基础] [2002年版新教材 P5 导论第一章区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。、1.——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定性（如果或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析定量——对需要解决的问题没有经验时；用计量过时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，涉及到大量的金钱或复杂的变量组）程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。。举例：免了吧。。？、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些2观察待决策问题所处的环境；. 分析和定义待决策的问题；. 拟定模型；. 选择输入资料；. ；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）实施最优解；. ：3、．运筹学定义其目的是通过定量把复杂功能关系表示成数学 模型，利用计划方法和有关许多学科的要求，分析为决策和揭露新问题提供数量根据P25 预测第二章作业 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使. 1、在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，？是否也带有定性的成分使决策者能够做到心中有数。但单靠定量）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，（1答：调查有些因素难以预料。预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，所以还需要定原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，研究也会有相对局限性，）加权移（2性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 ，试用指数平滑法，取平滑5 个年度的大米销售量的实际值（见下表）2.、某地区积累了4181.96年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为= 0.9，预测第系数α千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
运筹学 一、素材：北方化工厂月生产计划安排 根据经营现状和目标，合理制定生产计划并有效组织生产，使一个企业提高效益的核心。特别是对于一个化工厂而言，由于其原料品种多，生产工艺复杂，原材料和产成品存储费用较高，并有一定的危险性，对其生产计划作出合理安排就显得尤为重要。 现要求对北方化工厂的生产计划作出合理安排。 有关数据 1、生产概况 北方化工厂现有职工120人，其中生产工人105人，该厂主要设备是2套提取生产线，每套生产线容量为800kg，至少需要10人看管，该厂每天24小时连续生产，节假日不停机，从原料投入到成品出线平均需要10小时，成品率约为60%，该厂只有4t卡车1辆，可供原材料运输。 2、产品结构及有关资料 该厂目前的产品可分为5类，所用原料15种，根据厂方提供的资料，经整理得表1-1。 3、供销情况 （1）根据现有运输条件，原料3从外地购入，每月只能购入1车。 （2）根据前几个月的购销情况，产品1和产品3应占总产量的70%，产品2的产量最好不要超过总产量的5%，产品1的产量不要低于产品3与产品4产量之和。
二、建模思路 分析： 设：Xi为产品i=（1、2、3……5）的月生产量，Pi为产品的产品价格，Cj为原料j（j=1…… 15）的原料价格，ａji为原料j在产品i中的含量。 总利润=总收入-总成本 目标函数： 整理得：maxZ=4.44X1+6.09X2+5.30X3+26.95X4+6.95X5 约束条件： ①2套提取生产线，每套容量为800kg，每天24小时连续连续生产，原料投入到成品出线 平均需要10小时，成品率约为60%。 X1+X2+X3+X4+X5=(30×24×800×2×60%)/10 ②原料3从外地购入，每月只能购入1车，4吨卡车1辆。 9.4%X1+5.4%X2+4.5%X3+1.7%X4+8.6%X5≤4000 ③产品1和产品3应占总产量的70% X1+X3=70%(X1+X2+X3+X4+X5) ④产品2的产量最好不要超过总产量的5% X2≤5%（X1+X2+X3+X4+X5） ⑤产品1的产量不要低于产品3与产品4的产量之和。 X1≥X3+X4 三、约束条件 目标函数：maxZ= 4.44X1+6.09X2+5.30X3+26.95X4+6.95X5 约束条件： X1+X2+X3+X4+X5=(30×24×800×2×60%)/10 9.4%X1+5.4%X2+4.5%X3+1.7%X4+8.6%X5≤4000 X1+X3=70%(X1+X2+X3+X4+X5) X2≤5%（X1+X2+X3+X4+X5） X1≥X3+X4 X1,X2,X3,X4,X5≥0 四、求解方法 打开管理运筹学软件，打开软件……选择线性规划……新建……输入数据……解决……输出结果
浙江大学远程教育学院 《运筹学》课程作业 姓名：姜胜超学号：715003322021 年级：15秋学习中心：宁波学习中心————————————————————————————— 第2章 1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润， 产品1 产品2 可用的材料数 原材料A 原材料B 原材料C 1 3 2 2 2 30 60 24 单位产品获利40万元50万元 1. 产品利润为P（万元） 则P=40x+50y 作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：
由约束条件可知0ABCD 所在的阴影部分，即为可行域 目标函数P=40x+50y 是以P 为参数，-54 为斜率的一族平行线 y =- 5 4 x +50P （图中红色虚线） 由上图可知，目标函数在经过C 点的时候总利润P 最大 即当目标函数与可行域交与C 点时，函数值最大 即最优解C=（15，7.5），最优值P=40*15+50*7.5=975（万元） 答：当公司安排生产产品1为15件，产品2为7.5件时使工厂获利最大。 2． 某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所 获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解 产品1 产品2 可用的材料数 原材料A 原材料B 人时 1 0 3 0 2 2 4 12 24 单位产品获利 300万元 500万元 解：设生产产品1为x 件，生产产品2为y 件时，使工厂获利最多 产品利润为P （万元） 则 P=300x+500y 作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：
运筹学试题四 一、对约束条件（20分） ??? ?? ---++=---++=----+=-≥=x x x x x x x x x x x x x x j j 123 56346712474817223241029017,, 说明解X=（1,2,1,0,0,0,0）T 是不是基可行解，假定不是，试找出一个基可行解。 二、已知线性规划问题（20分） ??422m 321321=++-+-=x x x x x x inz 12 五、用动态规划方法求解下列问题（25分）
???? ? max ,,z x x x x x x x j j =++≥≥=349 0123122232 123 六、求解下图的中国邮路问题（20分） 一、解： （1） ??----=1001A 解出 0,01,09431=>=>=x x x 由互补松弛定理：011=?s y x 得2,0211-=+∴=y y y s ① 033=?s y x 得2,0213-=-∴=ky y y s ② ①②联立得k y k k y +-=+-= 14 *,126*21 而**,'*,12*21y y Z Z 将=-=代入③ 12*6*421-=+∴y y ③ 则2*,6*,321=-=-=y y k
综上，3-=k ，对偶问题最优解为T T y y Y )2,6(),(*21-== 三、解：（1）表上作业法求解得： 四、解：用匈牙利法求解 ??????? ? ?46255132433656395132454740274135~ ??601003111571174150203??????? ??80 1200612271090001 ∴最优方案为：肖恩 安 材料准备， 琼 记录
第一部分绪论 第二部分线性规划与单纯形法 1 判断下列说法是否正确： (a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的； (b)线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大； (c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； (d)如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点； (e)对取值无约束的变量x i，通常令其中 ，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现 (f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量； (g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负； (h)单纯形法计算中，选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长； (i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果； (j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示； (k)若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则 也是该线性规 划问题的最优解，其中λ1，λ2可以为任意正的实数； (1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 X ai为人工变量)，但也可写为，只要所有 k i均为大于零的常数； (m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好 为个； (n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解； (o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解； (p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解； (q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优；
运筹学 实验报告 姓名: 学号: 班级:采矿1103 教师: （一）实验目的 (1)学会安装并使用Lingo软件 (2)利用Lingo求解一般线性,运输,一般整数与分派问题 （二）实验设备 (1)计算机 (2)Lingo软件 （三）实验步骤 (1)打开已经安装Lingo软件的计算机,进入Lingo (2)建立数学模型与Lingo语言 (3)输入完Lingo语言后运行得出求解结果LINGO就是用来求解线性与非线性规化问题的简易工具。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言,可以简便地表达大规模问题,利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果。当在windows下开始运行LINGO系统时,会得到类似下面的一个窗口:
外层就是主框架窗口,包含了所有菜单命令与工具条,其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model–LINGO1的窗口就是LINGO的默认模型窗口,建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面就是以一般线性,运输,一般整数与分派问题为例进行实验的具体操作步骤: A:一般线性规划问题 数学模型(课本31页例11) 求解线性规划: Minz=-3x1+x2+x3 x1 - 2x2 + x3<=11 -4x1 + x2 + 2x3>=3 -2x1 + x3=1 x1,x2,x3>=0 打开lingo 输入min=-3*x1+x2+x3; x1-2*x2+x3<=11; -4*x1+x2+2*x3>=3; -2*x1+x3=1; End 如图所示:
然后按工具条的按钮运行出现如下的界面,也即就是运行的结果与所求的解: 结果分析:由longo运行的结果界面可以得到最优解为xb=(x1,x2,x3)T=(4,1,9)T,最优目标函数z=-2、 到此运用lingo解决了一般线性规划问题 B:运输问题 数学模型(课本80页例1) 例1 某公司有三个生产同类产品的加工厂(产地),生产的产品由四个销售点(销地)出售,各加工厂的生产量,各销售点的销售量(假设单位均为吨)以及各个加工厂到各销售点的单位运价(元/吨)就是如下表,问产品如何调运才能使总运费最小？
人力资源分配问题 ①. 某快餐店坐落在一个旅游景点中，这个旅游景点远离市区，平时游客不多，而在每个星期六 游客猛增，快餐店主要为旅客提供低价位的快餐服务，该快餐店雇佣了两名正式职工，正式职工每天工作8小时，其余工作由临时工来担任，临时工每班工作4小时，在星期六，该快餐店从上午11时开始营业到下午10时关门，根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数（包括正式工和临时工）如表所示： 正式职工13点开始上班，工作4小时，休息1小时，而后再工作4小时，又已知临时工每小时的工资为4元。 （1）在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？（2）这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少临时工的班次？请用剩余变量来说明应该安排一些临时工的3小时工作时间的班次，可使得总成本更小。 （3）如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小 生产计划优化问题 ②. 教材P67 2.20题 ③. 家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们 所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？
（2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？ 配料问题： ④. 教材P90 3.10题 ⑤. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。 现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表所示。 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料方案。 市场应用问题 ⑥. 教材P66 2.16题 ⑦. 超级食品公司的营销部副总裁克莱略·希文生正面临着一项棘手的挑战：如何才能大规模地 进入已经有许多供应商的早点谷类食品市场。值得庆幸的是，该公司的早点谷类食品“Crunchy Start”有许多受欢迎的优点。克莱略·希文生对这一切都如数家珍，她知道这一食品是能够赢得这次促销活动的。 克莱略已经雇用了一流的广告公司G & J来帮助设计全国性的促销活动，以使“Crunchy Start”取得尽可能多的消费者的认可。超级食品公司将根据广告公司所提供的服务付给一定的酬金（不超过100万美元）并以预留了另外的400万美元作为广告费用。 G & J已经确定了这一产品最有效地三种广告媒介。
《管理运筹学》作业题参考答案 一、简答题 1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时有错误。 3. 举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。 4. 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。 5. 试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。 （答案参考教材） 二、判断题 1. (√) 2. (√) 3. (×) 4. (√) 5. (√) 三、计算题 1. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。 (a) min z =6x 1+4x 2 (b) min z =4x 1+8x 2 ??? ??≥≥+≥+0,5.1431 2.st 2 12121x x x x x x ??? ??≥≥+-≥+0,101022.st 2 12121x x x x x x (c) min z =x 1+x 2 (d) min z =3x 1-2x 2 ?????? ?≥≥-≥+≥+0 ,4212642468.st 2122 121x x x x x x x ??? ??≥≥+≤+0,4221 .st 2 12121x x x x x x (e) min z =3x 1+9x 2 ????? ????≥≤-≤≤+-≤+0 ,0 5264 2263.st 212 122121x x x x x x x x x 2. (a)唯一最优解，z* =3，x 1=1/2，x 2= 0；(b)无可行解；(c)有可行解，但max z 无界；（d ）无可行解；（c ）无穷多最优解，z*=66；（f ）唯一最优解，z*=.3/8,3/20,3 2 3021==x x
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题： （1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++? ? ++≥??++≤? ? ++≤? ≥≥??无约束，； 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++??++≤??++≤? ?++=? ≥≤≤?? （2）111 1 m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j n ij ij j j ij z c x c x a i m c x b j n x i m j n ====?=? ? ? ==????==??≥==??∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 11m ax 1,,;1,,m n i i j j i j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==? =+???+≤? ?==? ??∑∑ j 无约束，v 无约束 2．2判断下列说法是否正确，为什么？ （1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。 因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题 12 12212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥??≤? ?≥≥?有可行解，但其对偶问题 12 11212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥??+ ≥??≤≥?无可行解。 （2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：错，如（1）中的例子。 （3） 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。 答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。 （4） 任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 答：正确。 2．5给出线性规划问题 123 123123123123m ax 221.. 22 0,0,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =+++-≤? ?-+=?? ++≥??≥≥≥? 写出其对偶问题；（2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值1z ≤ 解：（1）原问题的对偶问题为： 123 123123123123m in 22212.. 10,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥? ?-+≤?? -++=? ?≥≤?无约束 （2）取()011T y =，既1230,1,0y y y ===，经验证，()011T y =是对偶问题的一个可行解，并且1w =。由对偶问题的性质可得1z w ≤= 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2）123 123123 123m in 524324..63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥??++≥??≥? ,
运筹学上机攻略 一、规划求解的预备知识 1、打开Excel软件的工具→→加载宏→→规划求解（选定），单击确定；加载 宏成功后，关闭再重新打开excel。注明：这个宏是office自带的，一般情况下不启用的哦，所以要加载。 2、如果上述方法，不能成功加载成功，请到网上下载规划求解宏solver.xla。 二、规划求解的操作步骤 1、首先将已经建立好的书面数学模型，按照Excel的输入规定，将逻辑公式输 入到打开的工作薄文件的一个电子表格中； 2、然后，打开“工具”→→“规划求解”，出现“规划求解参数”对话框；例： (1)在“设置目标单元格”中输入规划模型的目标函数所在的引用位置（可以手动输入、也可采用捷径操作方法：将鼠标光标放在“设置目标单元格”里，再用鼠标点击“Excel中的目标区“）； (2)选择目标的优化方向，即确定最大值、最小值，还是需要输入特定值； (3)在“可变单元格”中输入每个变量的引用位置或名称（也可采用捷径操作）； (4)鼠标点击“添加”、修改或删除，打开下一级对话框，开始对规划模型的约束对话，并在输入完毕后还回“规划求解参数”主对话框。例： （注意：单元格引用位置也可以采用捷径操作）、约束值手动输入。 (5)鼠标点击“选项”，打开下一级对话框，开始规划模型的选项对话，并在输入完毕后还回“规划求解参数”主对话框。 3、以上工作完毕后，点击“求解”。
三、例子 变量：甲的产量X1，乙的产量X2 目标函数：maxZ（X1，X2）=4X1+5X2 约束条件：X1+X2≤45 2X1+X2≤80 X1+3X2≤90 X1，X2≥0 第一步：在EXCEl中，输入逻辑公式，如下图： 第二步：打开“工具”→→“规划求解”，按步骤2的1-4步操作，出现下图： 【引用位置（$C$6、$C$9、$C$10）等，可以手动输入、也可采用捷径操作方法：将鼠标光标放在“设置目标单元格”里，再用鼠标点击“Excel中的目标区“）】 第三步：求解结果： Microsoft Excel 11.0 运算结果报告 工作表 [Book1]Sheet1 报告的建立: 2011-9-16 17:29:14
0后退" 地址匹I hi ip://wvw.doc in. c om/p-34224062, html 笫2章线性规划的图解法 a 可行城为OABC b ?聲值线为图中W 线所示。 C.IIIRH 可知.加优解为B 点，衆优M ： x, = y x 2 = y , 69 〒 文件匕）編辑电）查看电）版藏逻 工具① 帮 址优JI 杯沥数们:
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