习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只
球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】
35
35
24
35
3,4,51
(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6
C X P X P X P X ======
====
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图； (3)
133
{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.
【解】
3
1331512213
3151133
150,1,2.
C 22
(0).
C 35C C 12(1).
C 35
C 1
(2).C 35
X P X P X P X ==========
（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0
当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=
2235
当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435
当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数
0,
022
,0135
()34,12351,2x x F x x x
?≤
(3)
1122
()(),
2235333434
(1)()(1)0
223535
3312
(1)(1)(1)2235
341
(12)(2)(1)(2)10.
3535
P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=
<<=--==--=
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.
312
32
2
3
3(0)(0.2)0.008
(1)C 0.8(0.2)0.096
(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512
P X P X P X P X ============
0,
00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x
=≤
≥??
(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==
4.（1） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=!
k a
k
λ，
其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，
试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知
1()e !
k
k k P X k a a k λλ∞∞
======∑∑
故 e
a λ
-=
(2) 由分布律的性质知
1
1
1()N
N
k k a
P X k a N
======∑∑
即 1a =.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)
(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+
(3,3)P X Y ==
331212
33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++
222
23333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+
0.32076=
(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==
123223
33
C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 332212
33(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各
飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，
则有
()0.01P X N ><
即 200
200200
1
C (0.02)(0.98)0.01k k k
k N -=+<∑
利用泊松近似
2000.02 4.np λ==?= 41
e 4()0.01!k
k N P X N k -∞
=+≥<∑
查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）
(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=
0.1
0.11e
0.1e --=--?
8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则
14223
55C (1)C (1)p p p p -=-
故 1
3
p =
所以 4
4
51210(4)C ()
3
3243
P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）
5
553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k
k k k P X -=≥==∑
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）
7
773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑
10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分
布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）3
2
(0)e
P X -== (2) 52
(1)1(0)1e
P X P X -
≥=-==-
11.设P {X =k }=k
k k p p --22)
1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m
m m p p --44)
1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5
9
，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=
，故4(1)9
P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-
故得 2
4
(1),9p -=
即 1
.3
p =
从而 4
65
(1)1(0)1(1)0.8024781
P Y P Y p ≥=-==--=
≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,
20000.0012np λ==?=
得 25
e 2(5)0.00185!
P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为
34，失败的概率为1
4
.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =
113
()()44
k P X k -==
(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+ 321131313
()()444444
k -=++++ 21314145
1()4
==-
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为
(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤
由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有
514
e 5(15)10.000069!k
k P X k -=>≈-≈∑
(2) P (保险公司获利不少于10000)
(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤
510
e 50.986305!k
k k -=≈≈∑
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤
55
e 50.615961!k
k k -=≈≈∑
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X 的密度函数为
f (x )=A e -|x |, -∞ 求：（1）A 值；（2）P {0 ()d 1f x x ∞ -∞ =? 得 ||0 1e d 2e d 2x x A x A x A ∞ ∞ ---∞ ===?? 故 1 2 A = . (2) 11 011(01)e d (1e )22 x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+??? 11e 2 x -=- 故 1e ,0 2 ()11e 0 2 x x x F x x -? ?-≥?? 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为 f (x )=?????<≥.100, 0,100,1002 x x x 求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】 （1） 150 2 1001001 (150)d .3P X x x ≤= =? 33128 [(150)]()327 p P X =>== (2) 12 23124C ()339 p == (3) 当x <100时F （x ）=0 当x ≥100时()()d x F x f t t -∞= ? 100 100 ()d ()d x f t t f t t -∞=+? ? 2 100100100 d 1x t t x = =-? 故 100 1,100()0, 0x F x x x ?- ≥?=?? 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为 1 ,0()0, x a f x a ?≤≤?=???其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时0 1()()d ()d d x x x x F x f t t f t t t a a -∞ ====? ?? 当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数 0,0(), 01, x x F x x a a x a ?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即 1 ,25 ()3 0, x f x ?≤≤?=???其他 53 12 (3)d 33 P X x >==? 故所求概率为 22333321220C ()C ()33327 p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1 ()5 E .某顾客在窗口 等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5 X E ，即其密度函数为 5 1e ,0 ()5 0,x x f x -?>?=??≤? x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25 101(10)e d e 5 x P X x -∞ ->==? 2~(5,e )Y b -,即其分布律为 225525 ()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5 (1)1(0)1(1e )0.5167 k k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--= 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则 406040(60)(2)0.9772710 10x P X P Φ--?? <=<== ??? 若走第二条路，X~N （50，42），则 506050(60)(2.5)0.99384 4X P X P Φ--?? <=<== ???++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N （40，102），则 404540(45)(0.5)0.691510 10X P X P Φ--?? <=<== ??? 若X~N （50，42），则 504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--?? <=<=- ??? 1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X ~N （3，22）， （1） 求P {2 <≤=<≤ ??? 11(1)(1)1220.841310.69150.5328 ΦΦΦΦ????=--=-+ ? ? ????=-+= 433103(410)2 22X P X P ----?? -<≤=<≤ ??? 770.999622ΦΦ???? =--= ? ????? (||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<- 323323222215151122220.691510.99380.6977 X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ? ???????????? =--+-=+- ? ? ? ?????????=+-= 333 (3)( )1(0)0.522 X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品, 求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.06 0.06X P X P ?-? ->=> ??? 1(2)(2)2[1(2)]0.0456 ΦΦΦ=-+-=-= 23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200 ＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---?? <≤=<≤ ??? 404040210.8ΦΦΦσσσ-??????=-=-≥ ? ? ??????? 故 40 31.251.29 σ≤ = 24.设随机变量X 分布函数为 F （x ）=e ,0, (0),00.x A B x , x -?+≥>? （1） 求常数A ，B ； （2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）. 【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞ →+ →-=???=??得11A B =??=-? （2） 2(2)(2)1e P X F λ -≤==- 33(3)1(3)1(1e )e P X F λ λ-->=-=--= (3) e ,0 ()()0, 0x x f x F x x λλ-?≥'==? 25.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=,01,2, 12,0,x x x x ≤ -≤ 其他. 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）. 【解】当x <0时F （x ）=0 当0≤x <1时0 ()()d ()d ()d x x F x f t t f t t f t t -∞ -∞ = =+? ? ? 2 0d 2 x x t t ==? 当1≤x<2时()()d x F x f t t -∞= ? 1 1 1 1 22 ()d ()d ()d d (2)d 13222221 2 x x f t t f t t f t t t t t t x x x x -∞==+=+-=+--=-+-? ???? 当x ≥2时()()d 1x F x f t t -∞ = =? 故 22 0,0,01 2 ()21,1221, 2 x x x F x x x x x 26.设随机变量X 的密度函数为 （1） f (x )=a e - |x |,λ>0; (2) f (x )=? ????<≤<<. ,0,21,1 ,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由 ()d 1f x x ∞ -∞ =? 知||0 21e d 2e d x x a a x a x λλλ ∞∞ ---∞ === ?? 故 2 a λ = 即密度函数为 e ,02 ()e 02 x x x f x x λλλλ-?>??=??≤?? 当x ≤0时1()()d e d e 22 x x x x F x f x x x λλλ -∞ -∞===? ? 当x >0时0 ()()d e d e d 2 2 x x x x F x f x x x x λλλ λ --∞ -∞ = =+? ?? 11e 2 x λ-=- 故其分布函数 11e ,02 ()1e ,02 x x x F x x λλ-?->??=??≤?? (2) 由12 20 1 11 1()d d d 22 b f x x bx x x x ∞ -∞ = =+=+? ?? 得 b =1 即X 的密度函数为 2,011(),120, x x f x x x < =≤ 当x ≤0时F （x ）=0 当0 ()()d ()d ()d x x F x f x x f x x f x x -∞-∞ = =+? ? ? 2 d 2 x x x x = =? 当1≤x <2时0120 1 1()()d 0d d d x x F x f x x x x x x x -∞ -∞ ==++???? 312x = - 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为 20,0,01 2 ()31,1221,2 x x x F x x x x ≤???< 27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>= 即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得 1()0.003z αΦ-= 即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得 /21()0.0015z α-Φ= 即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 求Y =X 的分布律. 【解】Y 可取的值为0，1，4，9 1(0)(0)5 117(1)(1)(1)61530 1(4)(2)511 (9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X === = ===-+==+====-= ==== 故Y 的分布律为 29.设P {X =k }=( 2 )k , k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ?=?-? 当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+ 242111 ()()()222 111()/(1)443 k =++++=-= 2 (1)1(1)3 P Y P Y =-=-== 30.设X ~N （0，1）. （1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度. 【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤= 当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ ln ()d y X f x x -∞ = ? 故 2/2 ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -= ==> (2)2(211)1P Y X =+≥= 当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤= 当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤ 2 12y P X P X ?-??=≤=≤ ? ? ?? ()d X f x x = 故 d ()()d Y Y X X f y F y f f y ? ?==+? ??? (1)/4 ,1y y --=> (3) (0)1P Y ≥= 当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤= 当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y X y f x x -= ? 故d ()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y = =+- 2/2 ,0y y -= > 31.设随机变量X ~U （0,1），试求： （1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<= 故 (1e e )1 X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤= 当1 ln 0 d ln y x y ==? 当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数 0, 1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤?? =< 故Y 的密度函数为 1 1e , ()0,Y y y f y ?< =??? 其他 （2） 由P （0 (0)1P Z >= 当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤= 当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤ /2 (ln )(e )2 z z P X P X -=≤-=≥ /2 1 /2e d 1 e z z x --= =-? 即分布函数 -/2 0, 0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0 故Z 的密度函数为 /2 1e ,0 ()20, z Z z f z z -?>?=??≤?0 32.设随机变量X 的密度函数为 f (x )=22,0π,π0, .x x ?< 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<= 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤= 当0 (0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππy y x x x x -= +?? 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（） 2 arcsin π y = 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为 201π()0,Y y f y ?< 其他 33.设随机变量X 的分布函数如下： ??? ??≥ <+=. )3(, )2(, )1(,11 )(2 x x x x F 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞ =知②填1。 由右连续性+ 0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。 从而③亦为0。即 2 1 ,0()11, 0x F x x x ? =+??≥? 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P (A i )= 1 6 .且A 1与A 2相互独立。再设C ={每次抛掷出现6点}。则 121212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+- 111111666636 = +-?= 故抛掷次数X 服从参数为11 36 的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X 为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则 X~b (n ,0.1) 00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9n n P X P X ≥=-==-≥ 即 (0.9)0.1n ≤ 得 n ≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 F （x ）=???? ? ????≥<≤+<. 2 1,1,21 0, 21,0,0x x x x 则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数. （A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型. 【解】因为F （x ）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞ = lim ()1x F x →+∞ =,所以F （x ）是一个分布函数。 但是F （x ）在x =0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ） 37.设在区间[a ,b ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=sin x ，而在[a ,b ]外，f (x )=0，则区间 [a ,b ] 等于（ ） (A ) [0,π/2]; (B ) [0,π]; (C ) [-π/2,0]; (D) [0,π2 3]. 【解】在π[0,]2 上sin x ≥0，且 π/2 sin d 1x x =? .故f (x )是密度函数。 在[0,π]上π sin d 21x x =≠? .故f (x )不是密度函数。 在π [,0]2- 上sin 0x ≤，故f (x )不是密度函数。 在3[0,π]2上，当3 ππ2 x <≤时，sin x <0，f (x )也不是密度函数。 故选（A ）。 38.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为2 1 3 ~(0,),(13)( )X X N P X P σσ σ σ <<=< < 3 1 ()()()g σσσ =Φ-Φ令 利用微积分中求极值的方法，有 22 3 311 ()()()()g σσ σσσ '''=- Φ+Φ 22 2 2 9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----== -=令 得2 04ln 3σ= ,则 0σ= 又 0()0g σ''< 故0σ< 故当σ= X 落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P （λ），每个顾客购买某种物 品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律. 【解】e (),0,1,2,! m P X m m m λλ-== = 设购买某种物品的人数为Y ，在进入商店的人数X =m 的条件下，Y ~b (m ,p )，即 (|)C (1) ,0,1,,k k m k m P Y k X m p p k m -===-= 由全概率公式有 ()()(|)m k P Y k P X m P Y k X m ∞ ======∑ (1)e C (1)!e (1)!()!()[(1)]e ! ()!()e e ! ()e ,0,1,2,! m k k m k m m k m k m k m k k m k m k k p k p p p m p p k m k p p k m k p k p k k λλ λ λλλλλλλλλ-∞ -=∞ --=-∞ -=---=-=---=-===∑∑∑ 此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为 22e ,0 ()0, 0x X x f x x -?>=? ≤? 由于P （X >0）=1，故0<1-e -2X <1，即P （0 当y ≤0时，F Y （y ）=0 当y ≥1时，F Y （y ）=1 当0 1 ln(1)220 1 (ln(1)) 22e d y x P X y x y ---=≤--==? 即Y 的密度函数为 1,01 ()0,Y y f y < ?其他 即Y~U （0，1） 41.设随机变量X 的密度函数为 f (x )=???? ?????≤≤≤≤., 0,63,9 2 ,10,31 其他x x 若k 使得P {X ≥k }=2/3，求k 的取值范围. (2000研考) 【解】由P （X ≥k ）= 23知P （X 3 若k <0,P (X 若0≤k ≤1,P (X d 333k k x =≤? 当k =1时P （X 3 若1≤k ≤3时P （X d d 39933 k x x k +=-≠?? 若k >6,则P （X 故只有当1≤k ≤3时满足P （X ≥k ）=2 3 . 42.设随机变量X 的分布函数为 F (x )=???????≥<≤<≤--<.3, 1,31,8.0,11,4.0,1, 0x x x x 求X 的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为 43.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. 【解】令X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P （A ）=p ,则 X ~b (3,p ) 由P （X ≥1）=1927知P （X =0）=（1-p ）3=827 故p = 1 3 44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？ 【解】 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为， 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 习题七 1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 f （x ,θ）=22 (),0, 0, .x x θθθ?-< (2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ-==<<∏g ,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = ?0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21 ()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有 ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6， 求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计. 北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (= 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x §1.3 条件概率 条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。 1. 条件概率的定义及计算 在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件B 发生了，这时对另外一个事件A 发生的概率往往需要重新给出度量.称事件A 的这个新概率为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率,记为)|(B A P .为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义,我们先看一个例子. 例1 一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表 甲车间 乙车间 合计 正品 465 510 975 次品 15 10 25 合计 480 520 1000 从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 %5.21000 25= 现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是 %5.2，而是 %125.3480 15= 在本例中，设B 表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件A 的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算出的事件A 的概率是在有了 “事件B 发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为无条件概率。经过简单计算有 ) ()(1000/4801000/1548015)|(B P AB P B A P === 这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义.受由启发,我们可以在一般的样本空间中给出条件概率的数学定义. 定义 设B A ,是样本空间Ω中的两个事件，且0)(>B P ，在事件B 发生的条件下，事件A 的条件概率定义为 ) ()()|(B P AB P B A P = 根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理： （1）非负性：对任一事件B ，有0)|(≥A B P ； （2）规范性：1)|(=ΩA P ； 习题四 1.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 2 求E （X ），E （X 2 ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0 0.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 且已知E （X ）=,E (X 2 )=,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白 球的概率是多少 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑全概率公式 1 {}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】12 20 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ 4X . 习题二 2?设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； ⑶ 1 3 3 P{X -}, P{1 X -}, P{1 X }, P{1 X 2}. 2 2 2 【解】 X 0,1,2. C ；3 22 P(X 0) J C 15 35 1 2 C ； 12 P(X 1) J — C 15 35 C 1 1 P(X 2) 3 C 15 35 故X 的分布律为 X 0 \ 1 2 P 22 12 1 .Z ........... 35 35 / 35 (2)当 x<0 时，F (x ) =P (X w x ) =0 当0 w x<1时， F (x ) =P (X w x ) \ Z 22 =P(X=0)=—— 35 2, 3, 4, 5，在其中同时取 3只，以X 表示取出的3只 X 的 分布律. X 3,4,5 P(X 1 3) -3 0.1 / P(X 3 4) -3 0.3 2 / P(X 5) C 3 0.6 C ； 故所求分布律为 1?一袋中有5只乒乓球，编号为1， 球中的最大号码，写出随机变量 【解】 4.( 1)设随机变量X 的分布律为 当1 < x<2时, F (x ) =P (X W x ) =P(X=0)+P(X=1)=34 35 当 x >2 时，F (x ) =P (X W x ) =1 故X 的分布函数 0, x 0 F(x) 22 35 34 35 1, x 2 22 35 3 3 34 34 P(1 X ) F(：) F(1) 0 2 2 35 35 3 3 12 P(1 X -) P(X 1) P(1 X -)- 2 2 35 34 P(1 X 2) F(2) F(1) P(X 2) 1 - 35 1 0. 35 3?射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求 3次射击中击中目标的次数的分布 律及分布函数，并求 3次射击中至少击中2次的概率? 【解】 设X 表示击中目标的次数?则X=0，1，2，3. P(X 0) (0.2)3 0.008 P(X 1) C ；0.8(0.2)2 0.096 P(X 2) C 3(0.8)20.2 0.384 P(X 3) 3 (0.8) 0.512 X \ 0 1 2 3 P 分布函数 0, x 0 0.008, 0 x 1 F(x) 0.104, 1 x 2 0.488, 2x3 1, x 3 P(X 2) P(X 2) P(X 3) 0.896 P(X F(2) 故X 的分布律为 习题七 1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 f （x ,θ）=22 (),0, 0, .x x θθθ?-< 所以θ的极大似然估计量为1 ?X θ =. (2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 】 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x = =- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有 ￥ ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为和. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：,,,,,,,，求θ的矩法估计 和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则 概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案 1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率． (1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率； (2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)． 解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有 30)(=X E ，1.29)(=X D ， 由切比雪夫不等式，得 ) 3040303020()4020(-<-<-=< 习题七 1.设总体Ｘ服从二项分布b (n ，p ），n 已知，X 1,X 2，…,X ｎ为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此n ｐ＝X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 ｆ（x ,θ）＝22 (),0, 0, .x x θθθ?-< (２) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1，２,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=，即有 ?σ=于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.９4和0.９66. ５.随机变量Ｘ服从［0,θ]上的均匀分布,今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0．2,0.8,０.4,0.４, ０.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1） ()2 E X θ = ,令()E X X =,则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计. 概率论与数理统计课后习题及答案 第1章 三、解答题 1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确. 2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ， 又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以 (1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6. (2) 1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )． 解：因为)()(B A P AB P ， 即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ， 所以 .1)(1)(p A P B P 4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ． 解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P . 5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n 种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：15C k 24C 212 )(C +25C 其中：2 122 41 5)(C C C 为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：! 21 61815 C C C k +2 5C 其中：! 216 1815 C C C 为恰有1双配对的方法数 法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C 其中：)(142 8 1 5C C C 为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2 815C C k -25C 法五：考虑对立事件：410C k -45C 4 12)(C 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{ =B （正，正），（反，反） } {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 习题三 1.将一硬币抛掷三次， 以 X 表示在三次中出现正面的次数， 以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值 .试写出 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 C 3 2228 C 3 222 3/ 8 3 1 0 1 1 1 1 8 2 2 2 8 2.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y C 32 C 22 3 C 33 C 12 2 C 74 35 C 74 35 1 C 13 C 12 C 22 6 C 32 C 12 C 12 12 C 33 C 12 2 C 4 35 C 4 35 C 4 35 7 7 7 2 P(0 黑,2 红,2 白)= C 13 C 22 C 12 6 C 32 C 22 3 0 C 22 C 22 / C 74 1 C 74 35 C 74 35 35 3.设二维随机变量（ X ， Y ）的联合分布函数为 π π F （ x ， y ） = sin x sin y, 0 x 2 ,0 y 2 0, 其他 . 求二维随机变量（ X ， Y ）在长方形域 0 π π y π 内的概率 . x , 6 3 4 【解】 如图 P{0 X π π Y π 4 , }公式 (3.2) 6 3 π π F ( π π F (0, π F (0, π F ( , ) , ) 3) ) 4 3 4 6 6 练习2： (),(0,),(0,1),()X t Vt b t b V N X t =+∈∞设随机过程为常数，～求的一维概率密度、均值和相关函数。 解：X(t)服从正态分布，故可通过求其均值和方差写出X(t)的一维概率密度 2 [()]()[()]()E X t E Vt b b D X t D Vt b t =+==+= 故X(t)的一维概率密度为 22 ()2()x b t x f t --= 均值函数[()]()E X t E Vt b b =+= 相关函数121212222 121212(,)[()()][()()][]R t t E X t X t E Vt b Vt b E V t t bVt bVt b t t b ==++=+++=+ 练习3： -()()(0,0),()Yt Y f y X t e t Y X t =>>设随机变量具有概率密度，令求随机过程的一维概率密度、均值和相关函数。 解：由随机变量函数的概率密度公式知，X(t )的一维概率密度 (){()}{}ln() {ln()}{} Yt X F t P x t x P e x x P Yt x P Y t -=≤=≤=-≤=≥- ' ln()' ()()'()ln()ln()ln()/,0x t X t f x F t f y dy x x x f f tx t t t t +∞-?? ==?? ?? ?????? =---=-> ??? ??????? ? 因为' ()()x a f y dy f x ??=???? ? X(t)的均值函数和相关函数分别为： [()]()()Yt yt E X t E e f y e dy ∞ --==? 1212()12120 (,)[()()][]()Yt Yt y t t X R t t E X t X t E e e e f y dy ∞---+===? 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点 . （1） 掷一颗骰子，出现奇数点 . （2） 掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，； {}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6, (12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1), (22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,), C =正正正反反 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ， C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生， C （3） A ，B ，C 都发生； （4） A ，B ， C （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ， C （7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生 . 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC （4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC 习题三 1、将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值、试写出X 与Y 的联合分布律、 2、盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数、求X 与Y 的联合分布律、 3、设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率、 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).=--+=g g g g 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4、设随机变量(X ,Y )的分布密度 f (x ,y )=???>>+-., 0,0,0,)43(其他y x A y x e 求:(1) 常数A ; (2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}、 【解】(1) 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5、设随机变量(X ,Y )的概率密度为 f (x ,y )=? ? ?<<<<--.,0, 42,20),6(其他y x y x k (1) 确定常数k; (2) 求P {X ＜1,Y ＜3}; (3) 求P {X <1、5}; (4) 求P {X +Y ≤4}、 【解】(1) 由性质有 2 4 2 (,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞ -∞ -∞ =--==?? ? ? 故 1 8 R = (2) 13 {1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞ <<= ??北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
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