解直角三角形
一.选择题
1.（xx?江苏苏州?3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC的长）为（）
A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里
【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；
【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，
由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，
∵PA=AB?tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．
2.（xx?江苏无锡?3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）
A．等于B．等于
C．等于D．随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．
设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG===．
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．
3. （xx·黑龙江哈尔滨·3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tan ∠ABD=，则线段AB的长为（）
A ．B．2 C．5 D．10
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
4.（xx?贵州贵阳?3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan BAC 的值为（ B ）
（A）1
（B）1 （C）
2
3
（D）3
3
【解】图解
2.
二.填空题
1.（xx?江苏无锡?2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15
或10．
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD.BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB.AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD===，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；
②如图2，当AB.AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD﹣CD=4，
∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
2.（xx?江苏苏州?3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=．将△ABC绕点A
按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=．
【分析】根据勾股定理求出AC，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，求出B′M、CM，根据勾股定理求出B′C，根据三角形面积公式求出AN，解直角三角形求出即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==5，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′=AB=2，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，
∴CM=AB=2，AM=BC=，∴B′M=2﹣=，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C===5，
∴S△AB′C==，∴5×AN=2×2，解得：AN=4，
∴sin∠ACB′==，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
3.（xx?山东济宁市?3分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km 的A，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上，从B 站测得船 C 在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．
【解答】解：过点C作C D⊥AB 于点D，根据题意得：∠CAD=90°﹣
60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在
3. （xx?广西南宁?3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°==，
解得：CD=40（m），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．
4. （xx·黑龙江齐齐哈尔·3分）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17 ．
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
故答案为：17．
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.（xx?贵州铜仁?4分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D.E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB= 4 ．
【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE.∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．
【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CD平分∠BCE，
∴∠DCE=∠DCB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ACB=30°，
∴∠A=60°，
∴AB===4．
故答案为：4．
三.解答题
1. （xx·湖北随州·8分）随州市新?水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，xx年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索DE的长；
（2）求最长的斜拉索AC的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；
（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE=BE=×6=3．
答：最短的斜拉索DE的长为3m；
（2）作AH⊥BC于H，如图2，
∵BD=DE=3，
∴AB=3BD=5×3=15，
在Rt△ABH中，∵∠B=45°，
∴BH=AH=AB=×15=15，
在Rt△ACH中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=30．
答：最长的斜拉索AC的长为30m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
2. （xx·湖南郴州·8分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD.BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．
【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD?tan∠CAD=AD，BD=AD?tan∠BAD=AD，
∴BC=CD﹣BD=AD=30，
∴AD=15≈25.98．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD.BD=AD是解题的关键．
3.（xx?江苏宿迁?10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，）
【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）树PQ的高度约为15.8m.
【分析】 (1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC 中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；
（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.
【详解】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，∴∠BPQ=30°；
（2）设CQ=x，
在Rt△QBC中，
∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，∴BQ=2x，BC=x，
又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，
由（1）知∠BPQ=30°，∴PQ=BQ=2x，∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，
又∵∠A=45°，∴AC=PC，即3x=10+x，解得：x=，
∴PQ=2x=≈15.8（m），
答：树PQ的高度约为15.8m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.
4.（xx?江苏淮安?8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BP D，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：作PD⊥AB于D．
设BD=x，则AD=x+200．
∵∠EAP=60°，
∴∠PAB=90°﹣60°=30°．
在Rt△BPD中，
∵∠FBP=45°，
∴∠PBD=∠BPD=45°，
∴PD=DB=x．
在Rt△APD中，
∵∠PAB=30°，
∴CD=tan30°?AD，
即DB=CD=tan30°?AD=x=（200+x），
解得：x≈273.2，
∴CD=273.2．
答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
5.（xx?江苏徐州?5分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
【分析】利用锐角三角函数，在Rt△CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽．
【解答】解：在Rt△CDE中，
∴DE=sin30°×DC=×14=7（m），
∵sin∠C=，cos∠C=
，
CE=cos30°×DC=×14=7≈12.124≈12.12，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m
在Rt△ABF中，∵∠B=45°，∴DE=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．题目难度不大，求BF的长即可利用直角等腰三角形的性质，也可利用锐角三角函数．
6.（xx?江苏无锡?8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．解Rt△AEB，得出BE=AB?cos∠ABE=，AE==，那么AF=AE﹣EF=．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=．解Rt△ADF，即可求出AD==6．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．
在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，
∴BE=AB?cos∠ABE=，∴AE==，∴AF=AE﹣EF=﹣10=．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC=，∴sin∠ADF=cos∠ABC=．
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，∴AD===6．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sin∠ADF=是解题的关键．
7.（xx?江苏宿迁?10分）如图，AB.AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O 的切线与OD的延长线交于点P，PC.AB的延长线交于点F.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5.
【分析】试题分析：（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．
试题解析：（1）、连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，，
∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）、∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，∴∠C OF=60°，
∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF==10，
∴BF=OF﹣OB=5．
【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形
9.（xx?山东烟台市?8分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87.BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．
【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，
在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，
则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，
∴该汽车的实际速度为=11m/s，
又∵40km/h≈11.1m/s，
∴该车没有超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．
10.（xx?山东济宁市?8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊?胜一筹!”的推出，现代农
业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角