重难点05 概率与统计(解析版)

重难点05 概率与统计

【高考考试趋势】统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注

【知识点分析以及满分技巧】

1抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）

一、单选题

1．（2019·广西高考模拟（理））中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）

A．18种B．24种C．36种D．54种

【答案】D

【分析】

分两类求解：(1)甲选《春秋》；(2)甲不选《春秋》；分别求出可能的选择情况，再求和即可得出结果.

【详解】

(1)若甲选《春秋》，则有13

3318

C A=种情况；

(2)若甲不选《春秋》，则有23

3336

A A=种情况；

+=种情况.

所以5名同学所有可能的选择有183654

故选D

【点睛】本题主要考查计数原理，熟记排列组合的概念等即可，属于常考题型. 2．（2020·重庆巴蜀中学高三月考（理））新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：

针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）

A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍

C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同

【答案】B

【分析】

设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.

【详解】

设2016年参加考试x人，则2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：

由图可知A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B. 【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.

3．（2019·广东高考模拟（理））己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：

若求得其线性回归方程为 6.5?y

x a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为 A ．42万元 B ．45万元

C ．48万元

D ．51万元

【答案】C 【分析】

根据上表中的数据，求得样本点中心(),x y ，代入回归直线的方程，求得a 的值，得到回归直线的方程，即可求解. 【详解】

由题意，根据上表中的数据，可得2x =，22y =，即回归方程经过样本点中心(),x y ，

又由线性回归方程为 6.5?y

x a =+，所以22 6.52a =?+，解得9a =， 所以 6.59?y

x =+，当6x =时，?48y =，故选C. 【点睛】

本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程的性质，求得归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4．（2019·横峰中学高考模拟（理））已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项 的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n

n a x a x +?+,若12242n a a a ++?+=,

则4()x x

λ

+展开式中常数项( )

A ．32

B ．24

C ．4

D ．8

【答案】B 【分析】

先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出n ；再由

2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++?+求出λ，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.

【详解】

因为(1)n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， 所以23

n n C C =，因此5n =，

又5205125

(1)x a a x a x a x λ+=+++?+，所以01a =， 令1x =，则01525

(1)a a a a λ+=+++?+，

又125242a a a ++?+=，所以55

(3)3124λ+==，因此2λ=， 所以4

2

()x x +展开式的通项公式为44214422k k k k k k k k T C x x C x ---+==，

由420k -=得2k =，

因此4

2()x x

+展开式中常数项为2234224T C ==.

故选B

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 5．（2019·山东高三月考）2

5

21(2)(1)x x

+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2-

C ．2

D ．3

【答案】D 【详解】

的展开式通项为：

，由2100r -=得=5r ，

所以的常数项系数为

；由2102r -=-得4r =，所以

的 项系数为

，所以

的展开式的常数项是

,

故选D.

6．（2019·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，

假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被

选中的概率为（）

A．27

64

B．

9

16

C．

81

256

D．

7

16

【答案】B

【分析】

根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可得结果.

【详解】

4名同学去旅游的所有情况有：44256

=种

恰有一个地方未被选中共有：

21

13

42

43

2

2

144

C C

C A

A

??=种情况

∴恰有一个地方未被选中的概率：

1449

25616 p==

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查古典概型计算概率的问题、排列组合中的分组分配问题；关键是能够利用排列组合的知识准确求解出恰有一个地方未被选中的情况种数；易错点是忽略了分组分配中的平均分配问题.

二、解答题

7．（2020·四川高三期末（理））随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市

市民网购与性别有关？

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．

参考公式：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①49

60

；②数学期望为6，方差为2.4. 【分析】

（1）完成列联表，由列联表，得2

25

8.333 6.6353

K =

≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70

107100

?=人，偶尔或不用网购的有30

103100

?

=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22?列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：

120

0.6200

=，由题意100.6X B :（，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ． 【详解】

解：（1）完成列联表（单位：人）：

由列联表，得：

()2

2

2005030507025

8.333 6.63512080100100

3

K ??-?=

=

≈>???， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70

107100

?=人， 偶尔或不用网购的有30

103100

?

=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

2137373

104960

c c c P c +==． ② 由22?列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：120

0.6200

=， 将频率视为概率，

∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，

由题意()100.6X B :，

， ∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =?=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =??=． 【点睛】

本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

8．（2020·四川高三期末（理））某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析.经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16 名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.

(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中a b c 、、的值.

(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记ξ为身高在(]

1.501.70

，的学生人数,求ξ 的分布列和数学期望；

(Ⅲ)若变量S 满足-<+)>0.6826P

S （μσμσ≤且22)0.9544P S μσμσ-≤+（,则称变量S 满足近似于正态分布2

(,)N μσ的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布(1.6,0.01)N 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由. 【答案】(I) 见解析;（Ⅱ）见解析；(Ⅲ) 见解析. 【解析】

分析: (I)先求出身高高于1.70米的人数,再利用概率公式求这批学生的身高高于1.70 的概率.分别利用面积相等求出a 、b 、c 的值. (II)先求出从这批学生中随机选取1名，身高

在[]

1.501.70

，的概率，再利用二项分布写出ξ的分布列和数学期望. (Ⅲ)先分别计算出-

S μσμσ-<≤+（，再看是否满足-<+)>0.6826P S μσμσ≤（且22)0.9544P S μσμσ-<≤+>（,给出判断.

详解： (I)由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15. 记X 为学生的身高，结合图1可得:

2

(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100f X f X <≤=<≤=

=， 13

(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100f X f X <≤=<≤==,

1

(1.50 1.60)(1.60 1.70)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-?-?=,

又由于组距为0.1,所以0.2a =， 1.3 3.5b c ==， （Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，

可得: 从这批学生中随机选取1名，身高在[]

1.501.70

，的概率 (1.50 1.70)(1.50 1.60)+(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤<≤=.

因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ，

故ξ的分布列为

:()3()?0.3?0.70,1,2,33

n n n

P n C n ξ-===

=00.027+10.189+20.441+30.343=2.1E ξ????（）（或=30.7=2.1E （））ξ?

(Ⅲ)由 1.60.01N （，）

，取=1.60=0.1μσ， 由（Ⅱ）可知，-

P X μσμσ≤<≤=>（）（, 又结合(I)，可得:-2

P X μσμσ≤<≤（）（ =2 1.70（）（，

所以这批学生的身高满足近似于正态分布(1.60.01N ，）的概率分布，应该认为该市高

一学生的身高发育总体是正常的.

【点睛】：(1)本题不难，但是题目的设计比较新颖，有的同学可能不能适应. 遇到这样的问题,首先是认真审题，理解题意，再解答就容易了. (2)在本题的解答过程中，要灵活利用频率分布图计算概率.

9．（2019·陕西西北工业大学附属中学高考模拟（理））2017年3月智能共享单车项目正

式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；

“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为

34，23，1

2

，三人租车时

间都不会超过60分钟

.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．

()1求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；

(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

【答案】(1)7

24

;(2)见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率即可；

（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望．

【详解】

（I）由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为．记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A．则

，

答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为，

（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，

∴；；

；

，

．

甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为：

∴．

【点睛】

本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望

的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.

10．（2019·江西高三月考（理））据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：

（1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

【答案】(1)72；（2）2 .

【解析】

【分析】

(1)由题意得持“应该保留”态度的人为120x

+,占总人数3600的0.05,列出对应的概率等式即可算得60

x=,再利用分层抽样的方法求解在持“无所谓”态度的人中抽取多少人即可.

(2)由分层抽样可求得在校学生为4人,社会人士为2人,再利用超几何分布的方法列出分布列求解期望即可.

【详解】

（1）因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,

所以120

0.05

3600

x

+

=，所以60

x=.

所以持“无所谓”态度的人数共有3600210012060060720

----=,

所以应在“无所谓”态度抽取360

720723600

?

=人. （2）解：由（Ⅰ）知持“应该保留”态度的一共有180人， 所以在所抽取的6人中，在校学生为120

64180

?=人， 社会人士为

60

62180

?=人， 则第一组在校学生人数1,2,3ξ=

1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===,30423

61

(3)5

C C P C ξ===, 即ξ的分布列为:

所以131

1232555

E ξ=?+?+?=. 【点睛】

本题主要考查分层抽样的一般方法与超几何分布的一般方法.同时也考查了分布列与数学期望的方法,属于中等题型.

11．（2019·深圳市高级中学高考模拟（理））某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx

y ae =的附近．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线μμμw

v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为μμμ1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i w w v v w v v v β

α

β==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数μ2

2

1

2

1

()1()n

i

i i n i

i y

y R y

y ==-=-

-∑∑ ．

③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．

表中10

1

1ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) $0.11235x y e = (2)见解析 【解析】 【分析】

（1）对bx

y ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的

线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得

10

10

2

2

1

1

30407

14607

()

()

i

i

i i y y y y ==>

--∑∑，从而得22

12R R < ，进而可得结果.

【详解】

（1）对bx

y ae =取对数，得ln ln y bx a =+，

设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，

()()

()

10

1

10

2

1

9.00

0.10883

i

i

i i

i x x u u b

x x ==--==

≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c

u bx =-≈-?=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$

∴模型②的回归方程为$0.11235x y e =

（2）由表格中的数据，有30407>14607，即

10

10

2

2

1

1

30407

14607

()

()

i

i

i i y y y y ==>

--∑∑，

即

10

10

2

2

1

1

30407

14607

11()

()

i

i

i i y y y y ==-

<-

--∑∑，22

12R R <

模型①的相关指数21R 小于模型②的2

2R ，说明回归模型②的拟合效果更好.

2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ?==≈?=（万人） 【点睛】

本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.

12．（2019·湖南高考模拟（理））在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部60人,B 镇有基层干部60人,C 镇有基层干部80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从

,,A B C 三镇共选40名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,

[)[)[)[)[]5,15,15,25,25,35,35,45,45,55,绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1) 求这40人中有多少人来自C 镇,并估计,,A B C 三镇的基层干部平均每人走访多少 贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从,,A B C 三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．

【答案】（1）40人中有16人来自C 镇，28.5户（2）见解析 【分析】

（1）先确定抽样比，再由C 镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组

的中间值乘以该组的频率再求和即可；

（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知X 服从二项分布，进而可求出结果. 【详解】

解：（1）因为,,A B C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取40

8016200

?=（人）， 所以这40人中有16人来自C 镇

因为100.15200.25300.3x =?+?+? 400.2500.128.5+?+?=， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户

（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35

显然X 可取0，1，2，3，且33,5X B ??~ ???

，则

()32805125P X ??=== ???， ()12

133236155125P X C ????=== ? ?

????， ()2

1

233254255125P X C ????=== ? ?????， ()3

32735125

P X ??=== ??? 所以X 的分布列为

所以数学期望()8365427901231251251251255

E X =?+?+?+?= 【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.

概率论试题(含解析)

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ?==，则P(AB) 2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数 ()f x 非负。 3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而 （A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。 答：（ A ） 6、某人投篮，每次命中的概率为2 3 ，现独立投篮3次，则至少命中3次的概率为. 7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0, x Ae x f x --??≥=???其它，则常数A = . 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0 (,)0,x y x y F x y --?-->>=?? 其它，则概率 P(Y>2)= . 9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则D(X+Y)= 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=,说明什么？ 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第5次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）C 14P 2（1-p ）3 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。 一、已知男人中有8%是肝病患者，女人中有0.35%是肝病患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是肝病患者，问此人是男性的概率是多少？ 四、 11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1. 顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字） 解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品， 0,1,2i =，则所求概率为 2 ()(|)()...............................................................................(5') 1918171618171615 0.810.10.1...........................(9')2019181720191817 0.9i i i P B P B A P A ==??????=?+? +???????≈∑43...................................................................................................(10')

大学物理物理知识点总结

y 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

概率统计试题和答案

题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投

学而思第4讲盈亏问题教师版

第4 讲盈亏问题 教学目标本讲主要学习三种类型的盈亏问题： 1. 理解掌握条件转型盈亏问题： 2. 理解掌握关系互换性盈亏问题; 3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。经典精讲盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈” “两亏”。 1. “盈亏”型例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多9 粒，如果每人分5 粒则少6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分4 粒就多9 粒，，第二种每人分5 粒则少6 粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15 1 15 （位），糖果的粒数为： 4 15 9 69 （粒）。 2. “盈盈”型 例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10 个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11个桃则多出2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

分析：老猴子的第一种方案盈9 个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：7 1 7 （只），老猴子有7 10 9 79 （个）桃子。 3. “亏亏”型例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有7 1 7 （人）书有7 10 9 61（本）。根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式： （盈+亏）两次分得之差=人数或单位 数 （盈-盈）两次分得之差=人数或单位数 （亏-亏）两次分得之差=人数或单位数条件转化型的盈亏问题这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题。 【例1】军队分配宿舍，如果每间住3 人，则多出20 人；如果每间住6 人，余下2 人可以每人住一个房间，现在每间住10 人，可以空 出多少个房间？ 【分析】每间住6 人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少6 2 2 10 （人），那么两次分配方案人数相差20+10=30（人），即可以空出10-50 10 5 （间）房间。 【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34 人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4 个房间。求学生宿舍有多少间，住

【北京理工大学】大学物理1(上)知识点总结

一 质 点 运 动 学 知识点： 1． 参考系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。 2． 位置矢量与运动方程 位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。位矢用于确定质点在空间的位置。位矢与时间t 的函数关系： k ?)t (z j ?)t (y i ?)t (x )t (r r ++== 称为运动方程。 位移矢量：是质点在时间△t 内的位置改变，即位移： )t (r )t t (r r -+=?? 轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。 3． 速度与加速度 平均速度定义为单位时间内的位移，即： t r v ?? = 速度，是质点位矢对时间的变化率： dt r d v = 平均速率定义为单位时间内的路程：t s v ??= 速率，是质点路程对时间的变化率：ds dt υ= 加速度，是质点速度对时间的变化率：dt v d a = 4． 法向加速度与切向加速度 加速度 τ?a n ?a dt v d a t n +==

法向加速度ρ=2 n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。 切向加速度dt dv a t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。 在圆周运动中，角量定义如下： 角速度 dt d θ = ω 角加速度 dt d ω= β 而R v ω=，22 n R R v a ω== ，β==R dt dv a t 5． 相对运动 对于两个相互作平动的参考系，有 ''kk pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a += 重点： 1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的 物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。 2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。 3. 理解伽利略坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。 难点： 1．法向和切向加速度 2．相对运动问题 三、功和能 知识点： 1. 功的定义 质点在力F 的作用下有微小的位移d r （或写为ds ），则力作的功定义为力和位移的标积即 θθcos cos Fds r d F r d F dA ==?= 对质点在力作用下的有限运动，力作的功为 ? ?=b a r d F A 在直角坐标系中，此功可写为 ???++=b a z b a y b a x dz F dy F dx F A

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

重难点05 概率与统计(解析版)

重难点05 概率与统计 【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍. 【热点预测以及解题技巧】 热点一：“统计”背景下的“概率”问题 这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率. 热点二：样本分析并通过样本分析作决策 进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策. 热点三：线性回归分析 根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算. 热点四：独立性检验 寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.

小学奥数盈亏问题题库教师版

小学奥数盈亏问题题库教师版

盈亏问题 知识点说明： 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数 (亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意1.条件转换2.关系互换

板块一、直接计算型盈亏问题 【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2 块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少 块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541 -=（块）．第一种余7块，第二种少2 块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729 +=（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先 队员919 ?+=（块）． ÷=（人）．共有砖：49743 【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那 么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多 少？ 【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个 桃子？

大学物理(下)知识点、重点及难点

光 的 干 涉 和 衍 射 知识点： 1. 获得相干光的基本原理：把一个光源的一点发出的光束分为两束。具体方法有分波阵面法和分振幅法。 2. 杨氏双峰干涉：是分波阵面法，其干涉条纹是等间距的直条纹。 条纹中心位置： 明纹：,...,2,1,02=±=k a D k x λ 暗纹：,...,2,1,02 2)12(=+±=k a D k x λ 条纹间距：λa D x 2= ? 3. 光程差δ 4. 位相差 δλ π φ2= ? 有半波损失时，相当于光程增或减 2 λ ，相位发生π的突变。 5. 薄膜干涉 （1）等厚干涉：光线垂直入射，薄膜等厚处为同一条纹。 劈尖干涉：干涉条纹是等间距直条纹. 对空气劈尖： 明纹：,...2,12 2==+k k ne λλ 暗纹：,...,2,1,02 ) 12(2 2=+=+ k k ne λ λ 牛顿环干涉：干涉条纹是以接触点为中心的同心圆环. 明环半径：,...2,1)21-(== k n R k r λ 明 暗环半径：,...,2,1,0== k n kR r λ 暗 （2）等倾干涉：薄膜厚度均匀，采用面广元，以相同倾角入射的光，其干涉情况一样， 干涉条纹是环状条纹。 明环：,...2,12 sin 22 2 12 2==+-k k i n n e λλ 暗环：,...,2,1,02 ) 12(2 sin 22 2 12 2=+=+ -k k i n n e λ λ 6. 迈克尔逊干涉仪 7. 单缝夫朗和费衍射 用半波带法处理衍射问题,可以避免复杂的计算.

单色光垂直入射时,衍射暗纹中心位置: ,...2,12 2sin =±=k k a λ φ 亮纹中心位置: ,...,2,1,2 ) 12(sin =+±=k k a λ φ 8. 光栅衍射 9. 光学仪器分辨率 重点： 1. 掌握用半波带法分析夫朗和费衍射单缝衍射条纹的产生及其亮暗纹位置的计算. 2. 理解光栅衍射形成明纹的条件,掌握用光栅方程计算谱线位置。 3. 理解光程及光程差的概念.，并掌握其计算方法；理解什么情况下反射光有半波损失。 4. 掌握劈尖、牛顿环干涉实验的基本装置，会计算干涉条纹的位置，并了解其应用。 难点： 1．光栅衍射及谱线位置的计算。 光 的 偏 振 知识点： 1. 光波是横波,自然光、线偏振光、部分偏振光等的定义和描述。 2. 偏振片的起偏和检偏 3. 马吕斯定律 4. 反射和折射时光的偏振 5. 双折射现象 重点： 1. 从光的偏振说明光是横波,理解用偏振片起偏和检偏的方法. 2. 掌握马吕斯定律,能熟练应用它计算偏振光通过检偏器后光强的变化. 3. 掌握用反射和折射现象获得偏振光的方法. 4. 理解光轴的概念，理解寻常光与非常光的区别。 难点： 1. 光轴的概念，寻常光与非常光。 量 子 光 学 基 础 知识点： 1. 光电效应 方程 A h v m m e -=ν22 1 2. 康普顿散射 3. 玻尔氢原子理论 4. 激光 重点： 1. 理解入射光频率对光电效应的影响,会利用光电效应公式计算有关的物理量. 2. 理解康普顿效应,会计算散射波长等有关物理量。

实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章

。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

大学概率论习题五详解(1)

正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比 雪夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不 超过0.01？ 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩

盈亏问题计算公式+例题分析(打印版)

数学运算:盈亏问题计算公式 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。 如果物体还有剩余，就叫盈; 如果物体不够分，就叫亏。 凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题的常见题型为给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体数量和参与分配的对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果的组合，这里以一道典型的盈亏问题对三种情况的几种组合加以说明。 注意：公司中两次每人分配数的差也就是大分减小分 一、基础盈亏问题 1. 一盈一亏（不够）【一次有余（盈），一次不够（亏）】可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略) 测试：如果每人分9 个苹果，就剩下10 个苹果;如果每人分12 个苹果，就少20 个苹果。 2. 两次皆盈（余），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人） 45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略） 测试：如果每人分8 个苹果，就剩下20 个苹果;如果每人分7 个苹果，就剩下30 个苹果。 3. 两次皆亏（不够），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略） 测试：如果每人分11 个苹果，就少10 个苹果;如果每人分13 个苹果，就少30 个苹果。

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

概率论和数理统计考试试题和答案解析

一.填空题（每空题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、 第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4， Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则： =-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N （8 ， 8/13 ）， ~16252 S )25(2χ， ~5 2/8s X - )25(t 。

_盈亏问题讲解

盈亏问题 【知识要点】 1．概念：所谓“盈”是物品有多余，所谓“亏”是指物品不足。把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，每人少分，则物品有余；每人多分则物品不足。已知所余（所盈）和不足（所亏）的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。 2．解答盈亏问题的关键：弄清楚盈、亏与两次分配差的关系。 数量关系：（1）一盈一亏类型：份数=（盈+亏）÷两次分配差 双盈类型：份数=（大盈－小盈）÷两次分配差 双亏类型：份数=（大亏－小亏）÷两次分配差 （2）总数量=每次分的数量×份数+盈 总数量=每次分的数量×份数－亏 【典型例题】 例1、某校乒乓球队有若干名学生。如果少一个女生，增加一个男生，则男生为总数的一半；如果少一个男生，增加一个女生，则男生为女生人数的 一半，乒乓球队共有多少个学生？ 例2、幼儿园老师给小朋友分梨子，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？有多少个梨子？ 例3、小红把自己的一些连环画借给她的几个同学。若每人借5本，则差17本；若每人借3本，则差3本。问小红的同学有几人？她一共有多少本连环画？

例4、幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？ 例5、全班去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？ 智慧湾 从前，一个农夫带了一只狗，一只兔子和一棵青菜，来到河边，他要把这三件东西带过河去。那儿仅有一只很小的旧船，农夫最多只能带其中的一样东西上船，否则就有沉船的危险。刚开始，他带了菜上船，回头一看，调皮的狗正在欺侮胆小的兔子。他连忙把菜放在岸上，带着狗上船，但贪嘴的兔子又要吃鲜嫩的青菜，农夫只好又回来。他坐在岸边，看着这三件东西，静静地思索了一番，终于想出了一个渡河的办法。同学们，你知道农夫是怎么做的吗？ 随堂小测 姓名成绩 1、老师将一批铅笔奖给三好学生，每人4支多10支；每人6支多2支。问：三好学生有多少人？铅笔有多少支？

大学物理学习知识重点(全)

y 第一章 质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。