习题 12.6 无条件极值
1． 讨论下列函数的极值：
（1）61222),(2244+--+=y x y x y x f ； （2）22442),(y xy x y x y x f ---+=； （3）222),,(z y x z y x f -+=； （4）))((),(42x y x y y x f --=；
（5）y b x a xy y x f 3
3),(++=，其中常数0,0>>b a ；
（6）z
y z x y x z y x f 2
),,(+++= （0,,>z y x ）。
解 (1) 先求驻点。由
3
3
440
8240
x y f x x f y y ?=-=??=-=??， 解得
0,1;0,x y =±=
即函数有9个驻点。再由24(31)xx f x =-，0xy f =，224(1)yy f y =-，可知
2296(31)(1)H x y =--。
应用定理12.6.2。驻点)0,0(，)3,1(，)3,1(-，)3,1(-，)3,1(--满足0H >，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据xx f 的符号，可知函数在)0,0(点取极大值6；在)3,1(，)3,1(-，)3,1(-，)3,1(--四点取极小值13-。
注 本题可使用配方法得到
2222(,)(1)2(3)13f x y x y =-+--，
由此易知)3,1(，)3,1(-，)3,1(-，)3,1(--四点为函数的最小值点，
最小值为13-，函数无最大值，)0,0(点为函数的极大值点，极大值为6。
（2）先求驻点。由
3
3
4220
4220
x y f x x y f y x y ?=--=??=--=??， 两式相减，可解得0,1x y ==±，即驻点为)0,0(，)1,1(，)1,1(--三点。再由2122xx f x =-，2xy f =-，2122yy f y =-，可知
224(61)(61)4H x y =---。
应用定理12.6.2。驻点)1,1(，)1,1(--满足0H >，所以是极值点，再根据xx f 的符号，可知函数在)1,1(，)1,1(--两点取极小值2-。
在)0,0(点，有0H =，且(0,0)0f =。
由于22(,)2(2)f x x x x =-，4(,)2f x x x -=，可知函数在)0,0(点附近变号，所以)0,0(不是极值点。
（3）先求驻点。由
20
2020
x y z f x f y f z ?==?
==??
=-=?， 解得(0,0,0是
唯一的驻点。由(0,0,0)0f =，22(,,0)f x y x y =+，2(0,0,)f z z =-，可知函数在(0,0,0)点附近变号，即(0,0,0)不是极值点，
所以函数无极值点。
注 对于二次多项式()f x ，n ∈R x ，它的Hesse 矩阵H 是常数矩阵，我们有如下结论：
设0x 为()f x 的驻点，则由000()()()()T f f H -=--x x x x x x 可知 （a ）0()f x 为最小值的充分必要条件是H 为半正定矩阵； （b ）0()f x 为最大值的充分必要条件是H 为半负定矩阵； （c ）0()f x 不是极值的充分必要条件是H 为不定矩阵。 本题由于函数(,,)f x y z 的Hesse 矩阵为不定矩阵，所以(0,0,0)不是
(,,)f x y z 的极值点。
（4）先求驻点。由
42
24
2(32)020
x
y f x x yx y f y x x ?=--=??=--=??， 解得0x y ==;1,1x y =±=
;3
8x y ==，即驻点为)0,0(，(1,1)，(1,1)-，
)83,22(
和)8
3
,22(-五点。再由4230122xx f x yx y =--，324xy f x x =--，2yy f =，可知
422(30122)H x yx y =--32(24)x x -+。
应用定理12.6.2。驻点)83,22(
，)8
3
,22(-满足0H >，
所以是极值点，再根据xx f 的符号，可知函数在)83,22(
，)8
3
,22(-取极小值164-。
在(1,1)，(1,1)-点0H <，所以(1,1)，(1,1)-不是极值点。
在)0,0(点0H =，且(0,0)0
f =。由于352(,)(1)f x x x x =--，易知函数在)0,0(点附近变号，所以)0,0(不是极值点。
（5）先求驻点。由
3
23
200x y a f y x b f x y ?=-=??
??=-=??
， 解得22,a b b a ?? ???
是唯一的驻点。再由332xx a f x =，1xy f =，3
32yy b f y =，可知
33
3341a b H x y
=-。
应用定理12.6.2。由于在驻点22,a b b a ??
???
有0H >，再根据xx f 的符号，
可知函数在),(2
2a
b b a 点取极小值3ab 。
（6）先求驻点。由
2
221010120x y
z
y f x z f x y f y z ?=-=??
?=-=???=-=??
， 解得唯一的驻点1134242,2,2?? ???。由于函数在113
4242,2,2?? ???
点的Hesse 矩阵 3
142
11124
11
422022
2022-
----??- ?
?
?-- ? ?- ?
?
?
是正定的，所以函数在)2,2,2(432141取极小值1442?。 2．设xz xy z y x z y x f 2223),,(222+-++=，证明函数f 的最小值为0。 证 先求驻点。由
2220620
420
x y z f x y z f y x f z x ?=-+=?
=-=??
=+=?， 解得唯一驻点(0,0,0)，由于函数在(0,0,0)点的Hesse 矩阵222260204-??
?
- ? ???
是正定的，所以函数在(0,0,0)点取极小值(0,0,0)0f =。
注 本题可使用配方法得到
222111
(,,)(2)(2)222
f x y z x y x z y =-+++，
由此可知函数在(0,0,0)点取最小值(0,0,0)0f =。
3. 证明函数y y y x y x f e cos )e 1(),(-+=有无穷多个极大值点，但无极小值点。 证 由
(,)(1e )sin 0
(,)e cos (1)e 0
y
x y y
y f x y x f x y x y ?=-+=??=-+=??，
解得x k π=,cos 1y k π=-，所以驻点为
(,cos 1)k k ππ-，0,1,2,k =±± 。
由(1)cos y xx f e x =-+，sin y xy f e x =-，e cos (2)e y y yy f x y =-+，可知在驻点(,cos 1)k k ππ-处，
cos (1)y y H k e e π=+，
所以当k 为奇数时0H <，(,cos 1)k k ππ-不是极值点；当k 为偶数时0H >，再由0xx f <，可知(,cos 1)k k ππ-是极大值点。所以函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。
4．求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f +-+=在闭区域
}2,0,0|),{(π≤+≥≥=y x y x y x D
上的最大值与最小值。 解 由
cos cos()0
cos cos()0x y
f x x y f y x y =-+=???
=-+=??， 得到cos cos cos()x y x y ==+。在{}(,)|0,2x y x y x y π=<<+ 得到2x y x y π==--，即2 2 ,33 ππ?? ?? ? 是函数在区域内部唯一的驻点。由于在区域边界上，即当0x =或0y =或2x y π+=时，有(,)0f x y =，而在 区域内部唯一的驻点上取值为2 2(,)03 3 f ππ=>， 根据闭区域上连续函数的性质，可知函数的最大值为2 3 3max = f ，最小值为0min =f 。 5．在]1,0[上用怎样的直线b ax +=ξ来代替曲线2x y =，才能使它在平方误差的积分 ?-=1 02)(),(dx y b a J ξ 为极小意义下的最佳近似。 解 1 220(,)()J a b x ax b dx =--?221 1(2)523 a a b ab b =-+-++ 是,a b 的二次多项式，它的Hesse 矩阵21 312?? ? ? ??? 是正定的，所以有最小 值（见第1题（3）的注）。对参数,a b 求导， 21032 2203a b J a b J a b ?=-+=??? ?=+-=?? ， 得到11,6a b ==-，即1 1,6 ?? - ?? ? 是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因此最佳直线为6 1 -=x ξ。 6．在半径为R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。 解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为123,,ααα，则三角形的面积为 22 1231212[sin sin sin ][sin sin sin()]22 R R S ααααααα=++=+-+， 由第4题知12323 π ααα===时面积最大，这时圆内接三角形为正三角形，2 max 4 33R S = 。 7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H ，及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？ 解 由帐幕的体积2213V R H R h ππ=+，得到21 3 V H h R π=-，于是帐幕的表面积为 2223 V Rh S RH R ππππ=+= -+ 对R 与h 求偏导数，得到 2 22032203S R h S V h R R ππ??=-+=??? ???=--+=???。 由第一个方程， 得到2R = ， 再将2 R h =与2213V R H R h ππ=+代入第 二个方程，得到12 H h =，所以当 2 15 h H R == 时，布料最省。 8．求由方程12222=++y xy x 所确定的隐函数)(x y y =的极值。 解 由 02'=++- =y x y x y , 得到0=+y x , 再代入12222=++y xy x 得到12=y ，由此可知隐函数 )(x y y =的驻点为1x =±，且当1x =±时有1y = 。 由于在驻点有 2 1'()1 ''(12')2(2)y x y y y x y x y y ++=- ++=-++， 根据"(1)y ±的符号可知)(x y y =在1x =-取极大值1，在1x =取极小值1-。 注 本题也可由 222222()1x xy y x y y ++=++=， 得到11y -≤≤，由此可知)(x y y =在1x =-取极大值1，在1x =取极小值 1-。 9．求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极 值。 解 由 401284(2)0128z x x z y z y z y z y ??==??--? ? ?+?==??--?, 得到0=x 与02=+z y , 再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到 0872=-+z z 即8 1,7 z =-。由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与 16 (0,)7 。 224128z x z y ?=?--，20z x y ?=??，22 4 128z y z y ?=?--， 可知在驻点(0,2)-与16 (0, )7 有0H >。 在(0,2)-点，1z =，因此 224 015 z x ?=>?，所以(0,2)-为极小值点， 极小值为1z =；在16(0,)7点，87z =-，因此 224 015 z x ?=- 极大值点，极大值为8 7 z =-。 注1 原方程可以改写为 2222(2)(1)(78)x y z z z ++=-+， 由左边非负可得(1)(78)0z z -+≥，即87 z ≤-或者1z ≥。 注 2 在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连的部分组成。其中之一开口向上，最小值1z =，另一个开口向下，最 大值87 z =-。 10．在O xy 平面上求一点，使它到三直线0=x ，0=y ，和0 162=-+y x 的距离的平方和最小。 解 平面上点(,)x y 到三直线的距离平方和为 222 (,)D x y x y =++。 对,x y 求偏导数， 22(216)0,5 42(216)0,5x y D x x y D y x y ? =++-=????=++-=??， 得到8 16,5 5x y == ，所以函数只有一个驻点816 (,)55 。 |(,)|lim (,)x y D x y →∞ =+∞， 可知函数(,)D x y 在驻点816 (, )55 有最小值。 11．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。 证 设圆半径为1，外切三角形的两个顶角为α2与β2，则三角形的面积为 cot cot cot()cot cot tan()2 S π αβαβαβαβ=++--=+++。 由 22 22csc sec ()0,csc sec ()0,S S ααβα βαββ ??=-++=??????=-++=???， 得到2 π αβαβ== --，所以 6 π βα= =， 即外切正三角形的面积为最小。 12．证明：圆的所有内接n 边形中，以正n 边形的面积为最大。 证 设圆半径为1，圆内接n 边形的各边所对的圆心角为 k α),,2,1(n k =，则n 边形的面积为 )]sin(sin sin [sin 2 1 121121--+++-+++=n n S αααααα 。 由 11211 [cos cos()]02 n k S ααααα-?=-+++=? ，)1,,2,1(-=n k ， 推出 1211212()n n αααπααα--====-+++ ， 所以 2k n π α= ，(1,2,,)k n = ， 即内接正n 边形的面积为最大。 13．证明：当+∞<<< 1e )1(-<-x yx y 。 证 令)1(),(x yx y x f y -=，对y 求偏导， (1)(1ln )0y f x x y x y ?=-+=?， 解得x y ln 1-= 。对固定的)1,0(∈x ，根据f y ??在x y ln 1-=附近的符号变化，可知(,)f x y （作为y 的函数）的极大值点为x y ln 1 -= ，极大值为x e x x ln ) 1()(--= ?。再对)(x ?求导，得到 21 '()(1ln )ln x x x x ex x ?=-+。 记 ()1ln ,(0,1)g x x x x x =-+∈， 则'()ln 0g x x =<，(0)1,(1)0g g +=-=，所以()0g x >，于是)(x ?严格单调 增加。再由11lim ()x x e ?-→- =，得到 1(,)()f x y x e ?-≤< (01,0)x y <<<<+∞。 14．某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万 尾），收获时两种鱼的收获量分别为 x y x )3(βα-- 和 y y x )24(αβ-- （0>>βα） 。 求使产鱼总量最大的放养数。 解 鱼总产量为 22(3)(42)2234P x y x x y y x xy y x y αββααβα=--+--=---++。 对,x y 求偏导数， 2230, 2440,x y P x y P x y αββα=--+=??? =--+=??， 解得 22223βαβα--= x ，2 22434β αβ α--=y 。 因为222234P x xy y x y αβα=---++是二次多项式，由 222(2)(4)(2)4(2)0H ααβαβ=---=->，20xx P α=-<， 可知其Hesse 矩阵是负定的，所以函数有最大值，即当2 2223β αβ α--= x ，2 22434β αβ α--= y 时产鱼总量最大。 12.6 计算实习题 （在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算）1．某种机器零件的加工需经两道工序，x表示零件在第一道工序中出现的疵点数（疵点指气泡、砂眼、裂痕等），y表示在第二道工序中出现的疵点数。某日测得8个零件的x与y如下： y+ =， ax b 并画出拟合曲线。 解程序代码为 hold off x=[0,1,3,6,8,5,4,2]; y=[1,2,2,4,4,3,3,2]; plot(x,y,'b*') hold on A=[x',ones(size(x'))]; B=y'; x1=A\B; a=x1(1);b=x1(2);y=a*x+b; plot(x,y,'r') string=['拟合直线y=',num2str(a),'*x+',num2str(b)]; text(0.5,3.5,str,'FontSize',16) 运行后，得拟合曲线= 0.37845+1.2531 y x。图形为 2．某品种大豆的脂肪含量(%) x与蛋白质含量(%) y的测定结果如下表 画出这些数据的散点图，找出它们之间关系的经验公式，并画出拟合曲线。 解程序代码为 hold off x=[16.5,17.5,18.5,19.5,20.5,21.5,22.5,23.5,24.5]; y=[43.5,42.6,41.8,40.6,40.3,38.7,37.2,36.0,34.0]; plot(x,y,'b*') hold on A=[x',ones(size(x'))]; B=y'; x1=A\B; a=x1(1);b=x1(2);y=a*x+b; plot(x,y,'r') str=['拟合直线y= ',num2str(a),'*x+',num2str(b)]; text(18,44,str,'FontSize',16) 运行后，得拟合曲线= 1.1483+62.9519 。图形为 y x 3．某种产品加工前的含水率（%）与加工后含水率（%）的测试结 y x 解程序代码为 hold off x=[16.7,18.2,18.0,17.9,17.4,16.6,17.2,17.7,15.7,17.1]; y=[17.5,18.7,18.6,18.5,18.2,17.5,18.0,18.2,16.9,17.8]; plot(x,y,'b*') hold on A=[x',ones(size(x'))]; B=y'; x1=A\B; a=x1(1);b=x1(2);y=a*x+b; plot(x,y,'r') str=['拟合直线y=',num2str(a),'*x+',num2str(b)]; text(15.6,18.5,str,'FontSize',16) 运行后，得拟合曲线= 0.73979+5.2286 y x。图形为 4．盛钢水的钢包，在使用过程中由于钢水对耐火材料的浸蚀，容积会不断增大。在生产过程中，积累了使用次数与钢包容积增大之间的以下16组数据。画出这些数据的散点图，找出使用次数x与钢包容积增大y之间的关系，并画出拟合曲线。 + =2 y+ bx c ax 解程序代码为 hold off x=2:17; y=[6.42,8.20,9.58,9.50,9.70,10.00,9.93,9.99,10.50,10.59,10.60,10.63,10.6 0,10.90,10.76,10.80]; plot(x,y,'b*') A=[x.^2',x',ones(size(x))']; a=A\y' hold on y=a(1)*x.^2+a(2)*x+a(3) plot(x,y,'r') string=['拟合直线y=', num2str(a(1)),'*x^2+',num2str(a(2)),'*x+',num2str(a(3))]; text(5,8,string) 运行后，得拟合曲线2 =-++，图形为 y x x 0.0257460.68829 6.2507 5．在研究化学反应速度时，得到下列数据。找出实验开始后的时间t t 3 6 9 12 15 18 21 24 m57.6 41.5 31.2 22.9 15.4 12.1 8.9 6.4 m t bt = m e a 解程序代码为 hold off x=3:3:24; y=[57.6,41.5,31.2,22.9,15.4,12.1,8.9,6.4]; plot(x,y,'b*') hold on y1=log(y); A=[x',ones(size(x))']; a=A\y1'; y=exp(a(2))*exp(a(1)*x)； plot(x,y,'r') string=['拟合直线m=',num2str(exp(a(2))),'*e^{',num2str(a(1)),'*t}']; text(8,28,string ,'FontSize',16) 运行后，得拟合曲线-0.10443t m=78.448e，图形为 数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续. 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0< 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3. 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z= x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3 4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。数学分析试卷及答案6套
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