第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1 第一型曲线积分与曲面积分
1. 对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。 解：第一型曲线积分的性质:
1（线性性）设?L
ds z y x f ),,(,?L
ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则
[]ds z y x g k z y x f k
L ?+),,(),,(21
存在，且
[]ds z y x g k z y x f k L
?+),,(),,(2
1
??
+=L
L
ds z y x g k ds z y x f k ),,(),,(21;
2 l ds L
=?1,其中l 为曲线L 的长度;
3 (可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则?L
ds z y x f ),,(存在
??1
),,(L
ds z y x f 与?2
),,(L ds z y x f 均存在，且
=?
L
ds z y x f ),,(?1
),,(L ds z y x f +?2
),,(L ds z y x f ;
4 (单调性)若
?
L
ds z y x f ),,(与
?
L
ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有
),()(p g p f ≤则??≤L
L
ds p g ds p f )()(;
5 若?L
ds p f )(存在，则?L
ds p f )(亦存在，且
≤
?
ds p f L
)(?
L
ds p f )(
6 （中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得
l p f ds p f L
)()(0=?
, l 是L 的长度;
第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，
??S
ds p f )(,??S
ds p g )(均存在，则有
1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]??+S
ds p g k p f k )()(21存在, 且
[]??+S ds p g k p f k )()(2
1
????+=S
S ds p g k ds p f k )()(2
1;
2 s ds S
=?1, 其中s 为S 的面积;
3 (可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则??S
ds p f )(存在
???1
)(S ds p f 与??2
)(S ds p f 均存在，且
??S
ds p f )(=??1
)(S ds p f +??2
)(S ds p f
4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则
????≤S
S
ds p g ds p f )()(;
5
??
S
ds p f )(也存在，且
≤??S
ds p f )(??
S
ds p f )(;
6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得
s p
f ds p f S
??=)()(0
，其中s 为S 的面积。
2. 计算下列第一型曲线积分 (1)
ds y x L
?
+)(22,其中L 是以)1,0(),0,2(),0,0(为顶点的三角形;
解：321L L L L ++=
10,0:1≤≤=y x L
20,0:2≤≤=x y L 20,2
1:3≤≤-
=x x
y L 所以
ds y x L
?
+)(22=ds y x L ?+1
)(22ds
y x L ?
+2
)(22ds y x L ?
+3
)(22
dx x x dx x dy y 25
212
2
22
2
1
2
????
????
???
?
??-
+++=
?
??
3
5
53+= (2)
ds y x L
?
+22,其中L 是圆周ax y x =+22; )0(>a
解：L 的参数方程为: πθθθ20,sin 2
;cos 22≤≤=+=
a
y a a x 则 θθθθd a d y x ds a y a x 2
'',cos 2',sin 2'2
2=+==-=
所以
ds y x L
?
+2
2=()θθ
θθθπ
πd a d a a a ?
?=??
? ??+??????+20
2202
22
cos 2sin 2cos 122
2
02222cos 2cos 2a d d a =??
? ??-=??πππθθθθ
(3)
ds xyz L
?
,其中L 为螺线)0(,sin ,cos b a bt z t a y t a x ≤≤===, π20≤≤t ;
解： b z t a y t a x ==-=',cos ',sin '
dt b a dt z y x ds 22222'''+=++=
所以
ds xyz L
?
dt b a t t bt a 22202sin cos +?=?π
?
?
+=
+=π
π
20
20
2
222
2
2
2sin 2
sin cos tdt t b a b a tdt t t b a b a
2222
b a b a +-=π
(4)
ds z y x L
?
++)(222,其中L 与(3)相同;
解：
ds z y x
L ?++)(222
=(
)
???
? ??++=++?232
2
2202
22
2
2382b a b a dt t b a b
a πππ
(5)
ds y x
L
?+)(3
43
4,其中L 为摆线;3
2
3
23
2a y x =+
解：1L 的参数方程为: 2
0,
sin ,cos 3
3
π
≤
≤==t t a y t a x
则 t t a y t t a x cos sin 3',sin cos 3'2
2
=-= tdt t a dt y x ds cos sin 3''22=+=
, 由对称性
所以
ds y x
L
?+)(343
4=ds y x L ?+1
)(43
434
.42sin )2cos 1(320
3
72
3
7?
=+=π
a tdt t a
(6)
ds y L
?
2,其中L 为摆线的一拱, π20),cos 1(),sin (≤≤-=-=t t a y t t a x ;
解： dt t a ds t a y t a x 2sin
2,sin '),cos 1('==-= 所以ds y L ?232203
15
2562sin )cos 1(2a dt t t a =-=?π
(7)
ds xy L
?
,其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线;
解： 注意到L 关于z y x ,,的对称性, 有
ds xy L
?
??==L
L
ds zx yzds
所以
ds xy L
?
[]
d s z y x z y x ds zx yz xy L
L ??++-++=++=
)()(61)(312222 3
22
223
16
)(61a ds a ds z y x L
L π-=-
=++-=??
(8)
ds zx yz xy L
?++)(,其中L 同(7);
解：
ds zx yz xy L
?
++)([]
d s z y x z y x L
?++-++=
)()(21
2222 3
2
2
a
ds a L
π-=-
=?
(9)
ds xyz L
?
,其中L 是曲线)10(2
1
,232,23≤≤==
=t t z t y t x ; 解： t z t y x ==
=',2',1'2
1
所以dt t dt t t dt z y x ds )1(21'''2222+=++=++=
ds xyz L
?=143
216)1(2123222
3
1
0=+????dt t t t t (10)
ds z y L
?
+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周;
解：L 的参数方程是?
??-±==2
22y a z y x ，a y a 22
22≤≤- 2222
22222,22'''a z y dy y a a dy z y x ds =+-=
++=
所以
ds z y L
?
+2
22?
-=a y a
dy a
2
2
22
2
2
2 =?
20
2
2π
θd a
（令θ=
sin 2
2a y ）
2
a π= 3. 计算下列第一型曲面积分: (1)
ds y x
S
??+)(22
，其中S 是立体122≤≤+z y x 的边界曲面;
解：
ds y x S
??+)(22=ds y x S ??+1
)(22+ds y x S ??
+2
)(2
2 其中1S 是锥面1,2222≤++=
y x y x z ，而2S 是平面1,122≤+=y x z .
所以1S 与2S 在xoy 面上的投影区域均为1:2
2
≤+y x D . 对
ds y x S ??
+1
)(2
2, 2122=++y x z z 对
ds y x
S ??+2
)(22
, 112
2=++y x
z z θsin 2
2
a y =
所以
ds y x S ??
+1
)(222
22)(1
3
202
2π
θπ==+=????dr r d dxdy y x D
ds y x S ??
+2
)(2
22
)(1
32022π
θπ==+=????dr r d dxdy y x D
所以
ds y x S
??+)(2
2)21(2
+=π
(2)
??
+S
y
x ds 2
2,其中S 为柱面2
22R y x =+被平面0=z 和H z =所截取的部分; 解：前半柱面1S 的方程为H z R y R y R x ≤≤≤≤--=
0,,22
所以2
2
2
22
2
1,
0,y
R R x x x y
R y x z
y z y -='+'+='--
='
后半柱面2S 的方程为H z R y R y R x ≤≤≤≤---=0,,22 所以2
2
2
22
2
1,0,y
R R x x x y
R y x z
y z y -='+'+='-=
'
??
+S
y x ds 22=??+122S y x ds +??+2
2
2S y x ds
????-?+-?=yz yz D D y R Rdydz R
y R Rdydz R 2222221
1 R H H R ππ22=?= (3)
ds z y x S
??
23,其中S 是曲面22y x z +=被平面1=z 割下部分;
解：1:,
)(411222
2
2
2
≤+++=++y x D y x z z xy y x
所以
ds z y x
S
??23
dxdy y x y x y x D
)(41)(222223++?+=??
dr r r d ??
+=1
2820
2
341sin cos θθθπ
dr r r 2
1084115
8+=
? (4) ds z S
??2
, 其中S 是螺旋面的一部分:v u y v u x sin ,cos ==,)20,0(π≤≤≤≤=v a u v z
解：???
? ??-=???? ??1cos sin 0sin cos v u v u v v z y x
z y x v v
v
u u u
所以 1222=++=u u u z y x E , 12
222+=++=u z y x G v v v
0=++=v u v u v u z z y y x x F
因此
??????+=-=a
D
S
du u dv v dudv F EG v ds z 0
22022221π
)]1ln(1[3
4223
++++=a a a a π (5)
??
+S
ds y x 2
2, S 是球面2222R z y x =++ 解：S 的参数方程为：
??
?
??===??θ?
θcos cos sin sin cos R z R y R x ，πθ20≤≤，π?≤≤0 ???
?
??--=????
????
θ?
θ?θ?θ??
?
θθθ
sin sin cos cos 0
sin cos sin sin R os R R R R z y x z y x ?θθθ2222sin n R z y x E =++=，2
R G =，0=F
所以
????=+D
S
d d R R ds y x ?θ??sin sin )(42222 4
320
4
3
8sin R d d R π??θπ
π
=
=??
4. 设曲线L 的方程为
t e x t cos =，t e y t sin =，t
e z = )0(0t t ≤≤，
它在每一点的密度与该点的矢经形成反比，且在点)1,0,1(处为1，求它的质量. 解： )(),,(2
2
2
z y x k z y x ++=ρ，由2
11)1,0,1(=?=k ρ 所以 )(2
1),,(222
z y x z y x ++=
ρ 它的质量为：ds z y x ds z y x M L L ??++==)(21),,(2
22ρ
?+=00
2223)(21t t
t t dt e e e
)1(3
33
30
3-=
=?
t t t e dt e 5. 设有一质量分布不均匀的半圆弧 θcos r x =，θsin r y =)0(πθ≤≤，其线密度θρa = （a
为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力.
解：设引力F
在x 轴上的投影为x F ，在y 轴上的投影为y F .任取弧长微元ds ，它对原点处质量为m
的质点的引力为 02r ds r
k F d
?=
ρ
其中k 是引力常数，0r 是向经的单位矢量{}θθsin ,cos --，将θρa =，θrd ds =
代入，得F d
在y x ,轴上的投影为
θθθθθθd r ka rd r
ka dF x cos )cos (2
=-?=
， θθθθθθd r ka
rd r
ka dF y sin )sin (2-=-?=
故 πθθθπr ka
d r ka F x 2cos 0=-=?
πθθθr
ka
d r ka F y 2sin -=-=?
所以 F 的大小为222
2πr ka F F y x =+，方向为??????-22,2
2
??????
--=????
??
-=)4sin(),4cos(4sin
,4
cos
ππππ
，即方向沿x 轴顺时针旋转4
π
6. 求螺线的一支L ：t a x cos =，t a y sin =，t h
z π
2=
)20(π≤≤t 对x 轴的转动惯量?+=L
ds z y I )(22. 设此螺线的线密度是均匀的.
解： 不妨设线密度为1
dt h a t h t a ds z y I L
2
22
20
2222
2
2
24)4(sin ()(π
ππ
+?+=+=?
? 222
24)3
22(
h a h a ++=π 7. 求抛物面壳)(2
122
y x z +=，10≤≤z 的质量，设此壳的密度z =ρ. 解： dxdy y x y x zds ds M D
S
S
2
222)(2
1++===
??????ρπθπ5
2421204
20==??dr r d 8. 计算球面三角形2
22a z y x =++，0>x ,0>y ,0>z 得围成的重心坐标，蛇线密度1=ρ.
解： 由对称性，设重心坐标为),,(),,(t t t z y x =
??++==?3
212
3
L L L L xds xds t a π
1L ：222a y x =+，0=z ；2L ：222a z y =+，0=x ；3L ：222a z x =+，0=y
所以：220
cos 1
a ad a xds L =?=
?
?π
θθ
0020
2=?=?
?π
θad xds L
220
cos 3
a ad a xds L =?=?
?π
θθ 所以：
2222)(a z y L
ds =+?
所以： a a a
t π=π=34
2322
，故重心坐标为)34,34,34(a a a π
ππ. 9. 求球壳2
2
2
2
a z y x =++)0(≥z 时z 轴的转动惯量.
解：不妨设面密度为1=ρ，则均匀球壳2
2
2
2
a z y x =++)0(≥z 时z 轴的转动惯量为： ?????=?+=20
22220
2
2
sin sin )(π
π
???θρd a a d ds y x
I S
z
4
3
4a π=
10. 求均匀球面2
2
2
y x a z --=),0,0(a y x y x ≤+≥≥的重心坐标.
解：由对称性可设重心坐标为),,(l k k ，则可不妨设1=ρ
由于
dx y
x a x dy a dxdy y
x a a x ds x z
a a D
S
?
?????---=--?
=0
2
2
2
2
2
2
ρ
)2
21(4
3
-
=
a π
32
222
222
1a dxdy y x a a y x a ds z D
S
=
--?--=????ρ
)2
21(2
2
2
220
2
22-
=
--=--=?
???
??-a y x a dy dx a dxdy y x a a ds x
a a
D
S
πρ 所以 a ds ds
x k D
S
42=
=
????ρρ a ds ds
z l D
S
π
ρρ1
2+=
=
????
所以：重心坐标为)12,42,42(
a a a π
+ 11. 若曲线以极坐标给出：)(θρρ=)(21θθθ≤≤，试给出计算
ds y x f L
?
),(的公式，并用此公式
计算下列曲线积分. （1）?
+L
y x ds e
2
2，其中L 是曲线a =ρ)4
0(π
θ≤
≤；
（2）?
LL xds ，其中L 是对称螺线kv
ae
=ρ)0(>k 在圆a r ≤内的部分.
解：因为)(θρρ=
所以 ?
?
?====θθρθρθ
θρθρsin )(sin cos )(cos y x ， 21θθθ≤≤
θθρθθρθθρθθρθ
sin )(cos ()sin )((cos )(-'=-+'='x θθρθθρθ
cos )(n si )(+''='y )()(2222θρθρθθθ
+'='+'=d y x ds 所以
θθρθρθθρθθρθθd f ds y x f L
)()()sin )(,cos )((),(222
1
'+=??
（1）L ：a =ρ，故θθρρad d ds ='+=22
a L
a y x ae ad e ds e
440
2
2π
θπ
=
=?
?+
（2）L ：θ
ρk ae =)0(>k 在圆a r =内的部分
θ
ρk ae
=与a r =的交点坐标为),0(a
θ
θρk ake =')(
所以 θθd k ae ds k 21+=
所以
θθθ
θd k ae
ae xds k k L
20
1cos +?=?
?∞
- =1
41
2cos 12
220
22
2
++=+?
∞
-k k k a d e
k
a
k θθθ
12. 求密度0ρρ=的截圆锥面?cos r x =，?sin r y =，r z =)0,20(a r b ≤≤<≤≤πκ对位于曲
面顶点)0,0,0(的单位质点的引力〉当0→b 时，结果如何？ 解：对应于半径r 处取斜交为ds 的锥面带，其面积为 rdr rds ds ππ222==
它与顶点)0,0,0(的单位质点的引力在ox 轴和oy 轴上合力的射影显见为0. 而在oz 轴上的射影为
r dr k z
r z
z r rdr k dZ 02222022πρρπ=+?+=
于是，截圆锥面吸引单位质点（在)0,0,0(处）的引力在坐标轴上的射影为
b
a k r dr k Z Y X b
a
ln ,
0,
000πρπρ====?
当+
→0b 时，由于+∞→b
a
ln
，故在Z 坐标轴上引力的射影趋于∞+ 13. 计算ds z y x f t F S
??
=
),,()(，其中S 是平面t z y x =++，而
?
??>++≤++---=1,01
,1),,(2
22222222z y x z y x z y x z y x f 当当 解：显然，平面3±=++z y x 是球面12
22=++z y x 的两个切平面，于是
??
???>≤---=3,03
,1),,(2
22t t z y x z y x f 若若
由方程组 ?
?
?=++=++12
22z y x t z y x 得椭圆方程2
1)(2
2
2
t y x t xy y x -=+-++，记其围成区域为Ω，则
[]
{
}dxdy y x t y x t F 3)(1)(2
22
??Ω
+----=
[
]
??Ω
++-+--=
dxdy y x t xy y x t )(22)(213222
作平移变换 3
,3t
y y t x x +'=+
'= 则椭圆方程变为???
?
??-=''+'+'312122
2
t y x y x (1) Ω相应的区域为Ω'，而函数为y x y x t f ''-'+'--=2)(23
1222
，于是
y d x d y x y x t t F ''???
??
?''-'+'--=??Ω'2)(2313)(222
再作旋转变换：,2
;2
y x y y x x ''+''=
'''-''=
'则(1)变为标准方程
13131312
22
2
22
=???
?
?
?-''+
???
?
?
?-
''t y t x
记相应的区域为Ω''，而函数为)3(3
1222
y x t f ''+''--=, 于是(
)y d x d y x t t F ''''??
???
?''+''--=??Ω''2
22
3313)(
最后，作广义极坐标变换，即??sin 31,cos 313
1
2
2r t y r t x -=''-=''
则有：()
dr r r t d t t F 3
1022023131)(-???? ?
?-???? ??-=??π? ()
()2
21
320
2
2
318
3
1t dr r r d t -=
-???
? ?
?-=??
π
?π
其中,3≤t 而当3>t 时，则有.0)(=t F
考虑到函数()+∞<<∞-=t t F u )
(，则
??
???>≤-=3
,03,
)3(18
)(22t t t t F π
§2 第二型曲线积分与曲面积分
1. 计算下列第二型曲线积分: (1) dy dx y a L
+-?)2(，其中L 为摆线)sin (t t a x -=,)cos 1(t a y -=)20(π≤≤t 沿t 增加的方
向; 解：
[]{}?
?
-+?--=+-L
dt t a t a t a a dy dx y a π
20
)cos 1(sin )cos 1(2)2(
)1(2+=a a π (2)
?++-L y x ydy xdx 22,其中L 为圆周2
22a y x =+依逆时针方向;
解：L 的参数方程为：θcos a x =,θsin a y =, πθ20≤≤ 所以
?++-L y x ydy xdx 22θθθθθπd a
a a a a ??+-?-=202
cos sin )sin (cos 0cos sin 20
==?
θθθπ
d
(3)
?++L
zdz ydy xdx ,其中L 为从)1,1,1(到)4,3,2(的直线段;
解：L 的参数方程为：t x +=1,t y 21+=,t z 31+=, 10≤≤t 所以 ?
++L
zdz ydy xdx []?=+++++=1
13)31(3)21(2)1(dt t t t
(4)
?-+-L
dy xy y dx xy x
)2()2(22
,其中L 为2x y =从)1,1(到)1,1(-的一段; 解： ?
-+-L
dy xy y dx xy x )2()2(2
2=[]
15
22)2()2(1
1
3422=
?-+?-?-dx x x x x x x (5)
dz y x xdy ydx L
?
++-)(22,其中L 为曲线at z e y e x t t ===-,,从)0,1,1(到),,(1a e e -;
解：
dz y x xdy ydx L
?
++-)(22=[]
d t a
e e e e e e t t t t t t ??++-?-?---1
22)()(
[]
d t
e e
a t t
?-++=
10
22)(2
)(2
222
--+
=e e a 2sinh 2a += (6)
dy y x dx y x
L
)()(2222
-++?,其中L 为以)1,1(),1,2(),0,2(),0,1(D C B A 为顶点的正方形沿逆时
针方向.
解：DA CD BC AB L +++=
其中 ,21,0:≤≤=x y AB 起点对应;1=x ,10,2:≤≤=y x BC 起点对应;0=y ,21,1:≤≤=x y CD 起点对应;2=x ,10,1:≤≤=y x DA 起点对应.1=y
所以
dy y x dx y x L
)()(2222-++?
=
dx x dy y dx x ???
++-+12
210
22
1
2)1()4(?-+0
1
2)1(dy y =2
2. 计算曲线积分
dz y x dy x z dx z y
L
)()()(222222
-+-+-?.
(1)L 为球面三角形0,0,0,12
2
2
≥≥≥=++z y x z y x 的边界线，从球的外侧看去，L 的方向为逆时针方向;
(2) L 是球面2
2
2
2
a z y x =++和柱面)0(2
2
>=+a ax y x 的交线位于oxy 平面上方的部分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向. 解：(1) 321L L L L ++=
10,1,0:2
1≤≤-==y y z x L ,起点对应;1=y ,10,1,0:22≤≤-==x x z y L 起点对应;0=x ,10,1,0:2
3≤≤-==x x y z L 起点对应.1=x 所以
dz y x dy x z dx z y L
)()()(222222-+-+-?
dx x x
x x dy y y y y ??
??
????--?
+--+???
????
?--?
-+-=
102
2201
2
22122)1(122)()1( ?
??
??
?
?--?-+-+
1
222122)()1(dx x x x x 0=
(2) 21L L L +=,其中 ,0,,:221a x ax a z x ax y L ≤≤-=-=
起点;a x =
,0,,:222a x ax a z x ax y L ≤≤-=
--=起点.0=x
所以 =
I dz y x dy x z dx z y
L
)()()(222222
-+-+-?
=
dz y x dy x z dx z y L )()()(2222221
-+-+-?
dz y x dy x z dx z y L )()()(2222222
-+-+-+?
dx ax a a ax x x ax x a x ax a a x ax a ??????
?--?-+----+--=0
2
2
222222)2(22)(2 dx ax a a
ax x x ax a x x ax a a x ax a ???????--?-+----+--+02
2222222)2(22)(2 dx x
ax a x x ax a a
2
0222)(--?
--=?
令
,t x
x
a =- 则0=x 时, +∞=t ; a x =时, .0=t dt t at
dx t a x 2
22
)1(2,1+-
=+=
, 代入上式得
()()()dt t t t t a I ???
? ?
?++
+++-+=?∞+4
2322220
312
1113112 ()()()???
? ??+++++-+-=????∞+∞+∞+∞+000042322223
1121111312dt t dt t dt t t dt a )23(243213
I I I I a ++--=
其中 ()
.4,3,2,1,10
2=+=
?+∞
n t dt
I n
n
由递推公式 111
2)
1(23
2)1(2320)1()1(21-----=--+∞++?-=
n n n n I n n I n n t t n I 最后得 3
2
3
a I π-=
3. 求闭曲线L 上的第二型曲线积分
?
+-L
y x xdy
ydx 2
2.
(1) L 为圆,2
22a y x =+逆时针方向;
(2) L 为椭圆,122
22=+b
y a x 顺时针方向;
(3) L 为以)0,0(为中心, 边长为a , 对边平行于坐标轴的正方形, 顺时针方向;
(4) L 是以)1,0(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形, 顺时针方向.
解：(1) L 的参数方程为:πθθθ20,sin ,cos ≤≤==a y a x , 起点对应0=θ
所以
?
+-L
y x xdy ydx 22=[]θθθθθπ
d a a a a a
??--?20
2
cos cos )sin (sin 1
πθπ
220
-==
?
d
(2) L 为椭圆，其参数方程为：,20,sin ,cos πθθθ≤≤==b y a x 起点对应.2πθ= 所以
?
+-L
y x xdy
ydx 22θθ
θθθθθπd b a b a a b ?+?--?=022222sin cos cos cos )sin (sin )(tan tan 20
222θθπ
d b a ab
?
+=
)(tan tan 4
20
222θθ
π
d b a ab
?
+=
ππθ202tan arctan 4=??
? ??=a b
(3) 4321L L L L L +++=, 其中
,22,2:1a y a a x L ≤≤--
= 起点;2a
y -= ,22,2:2a x a a y L ≤≤-= 起点;2a
x -=
,2
2,2:3a y a a x L ≤≤-= 起点;2a
y =
,2
2,2:4a x a a y L ≤≤--= 起点.2a
x =
所以
?
+-L
y x xdy ydx 2
2224321y x xdy ydx L L L L +-??? ??+++=???? ?
-+=
22
2242a
a y a dy a +?-+222242a a a x dx a +?-+-222242a a y a dy a +?-+-222242a a a x dx a π2222arctan 42211
4
22
2=-=??
?
????
? ??+=?
-a a a y a y d a y a a (4) 321L L L L ++=, 其中
,11,1:1≤≤--=x y L 起点;1=x
,01,12:2≤≤-+=x x y L 起点;1-=x ,10,12:3≤≤+-=x x y L 起点.0=x
所以
?
+-L
y x xdy ydx 2
222321y x xdy ydx L L L +-??? ??++=??? ?
-+-=
1
1
21
x dx
[]?-++?-++0122)12(2)12(x x dx x x []?+-+-?-+-+1022)12()2()12(x x dx x x ?
-+++=0
121452
x x dx π
?+-+102145x x dx
2arctan 22
+=
π
4. 求力场F
对运动的单位质点所作的功, 此质点沿曲线L 从A 点运动到B 点:
(1) )2,2(22y x y xy x F --= ,L 为平面曲线2
x y =, );1,1(),0,0(B A
(2) ),(xy y x F +=
,L 为平面曲线x y --=11, );0,2(),0,0(B A
(3) ),,(x z z y y x F ---= ,L 的矢量形式为,)(32k t j t i t t r
++=);1,1,1(),0,0,0(B A (4) ),,(2
22x z y F = ,L 的参数形式为 t z t y t x γβα===,sin ,cos γβα,,(为正数),
)2,0,(),0,0,(πγααB A .
解：(1) dy y x y dx xy x F W L
L
)2()2(2
2-+-=?=??
[]
d x x x x x
x ??-+-=10
423
2)2()2(
=
6
1 （2） s d F W L
?=?
xydy dx y x L
++=?)(
dx x x dx x
x ??-?-+++=1
2
1
2
)]1()2(2[)2(
3
8=
（3）dt t t t t t t t t s d F W L
???-+?-+-==1
2
3322]3)(2)()[(
601=
（4）??++==L
L
dz x dy z dx y s d F W 2
22
dt t t t t ?
++-=
π
γαβγαβ20
2232]cos cos sin [
γπα2
=
5. 设P ，Q ，R 在L 上连续，L 为光滑弧段，弧长为l ，证明
Ml Rdz Qdy Pdx L
≤++? 其中
{}
222
),,,(max
R Q P
M L
z y y x ++=
∈.
证明： 取弧长s 作为参数，得L 的本性方程
??
?
??===)()()(s z z s y y s x x ， l s ≤≤0
所以
??+=++l
L
s dy s z s y s x Q s dx s z s y s x P Rdz Qdy Pdx 0
)())(),(),(()())(),(),((
)())(),(),((s dz s z s y s x R +
?++≤l
s dz s z s y s x R s dy s z s y s x Q s dx s z s y s x P 0
)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((
Ml ds M dz dy dx R Q P l
l
=≤++++≤??
222222
6. 设光滑闭曲线L 在光滑曲面S 上，S 的方程为),(y x f z =，曲线L 在oxy 平面上的投影曲线为l ，函数),,(z y x P 在L 上连续，证明：
dx y x z y x P dx z y x P l
L
??=)),(,,(),,(
证明： 取x 作为参数，则L ：x x =,)(x y y =，))(,(x y x z z =
l ：x x =,)(x y y =，21x x x ≤≤，起点时应1x x =
所以 ??
=2
1
)))(,(),(,(),,(x x L
dx x y x z x y x P dx z y x P
而 ??=21
)))(,(),(,()),(,,(x x l
dx x y x z x y x P dx y x z y x P
因此 ??=L
l
dx z y x P dx y x z y x P ),,()),(,,(
7. 计算 ?
=L
xyzdz I ，其中L ：12
22=++z y x 与z y =相交的圆，其方向按曲线依次经过8
,7,2,1卦限.
解：L ：12
2
2
=++z y x 与z y =相交的圆，故方程为???==+z
y y x 1
22
令：θcos =x ，θsin 2
1=
y ，则θsin 2
1=
z ,πθ20≤≤，起点对应0=θ.
从而
θθθθθθθπ
πd d xyzdz L ?
??=??=20
222
20
cos sin 2
21cos 21sin 21cos 216
π
=
8. 计算下列第二曲面积分： （1）
??+++-S
dxdy xz y dzdx x
dydz z x y )()(22
，其中S 为0===z y x ，
a z y x ===，六个平面所围的正立方体边界的外侧； 解：后前右左下上S S S S S S S +++++= 而
????
+=+++-xy
D 2
S 2
2dxdy )ax y (dxdy )xz y (dzdx x dydz )z x (y 上
????-=+++-xy
D S dxdy y dxdy xz y dzdx x
dydz z x y 222
)()(下
????-=+++-xz
x z x )()(2
22D S d d dxdy xz y dzdx x dydz z x y 左
????=+++-xz
x z x )()(222D S d d dxdy xz y dzdx x dydz z x y 右
????
-=+++-yz
z y z)a (y )()(22D S d d dxdy xz y dzdx x dydz z x y 左
????-=+++-yz
z y )yz ()()(22D S d d dxdy xz y dzdx x dydz z x y 后
所以
??+++-S
dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(2
2 xz)dx (y dzdx x dydz +++???
?
??
+++++=????????????22S S S S S S
后
前右左上
????+=
yz
xy
D D aydydz axdxdy
???
?+=a a
a
a dz ydy a dy xdx a
4
a = （2）
dxdy x z dzdx z y dydz y x S
)()()(+++++??，其中S 是以质点为中心，边长为2的正立方
体表面的外侧；
解: 同（1）把后前右左下上S S S S S S S +++++=
则
dxdy x z dzdx z y dydz y x S
)()()(+++++??
dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(S S S S S S
+++++???
?
??
+++++=????????????后
前右左上
)(
2??????++=zx
yz
xy
D D D dydz dzdx dxdy
24342=??=
（3）??S
yzdx ，S 为122
2222=++c z b y a x 的上半部分的上侧；
解: 右左S S S +=，其中
左S ：22
221c z a x b y ---=，xz D ：12222≤+c z a x ，左侧
右S ：22
221c
z a x b y --=， xz D ：12222≤+c z a x ，右侧
所以
??????+=右
左
S S yzdzdx yzdzdx yzdzdx S
?????--+?----=xz xz D D zdzdx c z a x b zdzdx c z a x b 22
2222221)1(
??--=xz
D dxdz c z a x z b 22
2212
01sin 21
2220
2
=-=??
r r d abc π
θθ
（4）
ydzdx xdydz zdxdy S
++??
，S 为柱面12
2=+y x 被平面0=z 及3=z 所截部分的外侧； 解: 由于S 在xoy 平面上的投影为曲线12
2=+y x ，故
0=??S
zdxdy
对于
??????+=后
前
S S xdydz xdydz xdydz S
??
??
---
-=
yz
yz
D D dydz y dydz y )1(12
2 π3121
1
3
2
=-=?
?-dz dy y
而
??????+=右
左
S S ydzdx ydzdx ydzdx S
??
??-+
--
-
=zx
zx
D D dzdx x dzdx x 221)1(
π3123
11
2
=-=??-dz dx x
所以 π6=++??ydzdx xdydz zdxdy S
（5）
xzdxdy yzdzdx xydydz S
++??，S 是由平面0===z y x 和1=++z y x 所围的四面体表
面的外侧；
解: 由积分表达式及S 关于z y x ,,的轮换对称性，知
????=++S
S
xzdxdy xzdxdy yzdzdx xydydz 3
而 4321S S S S S +++=，其中： :1S 0=z ，,10,10≤≤≤+≤x y x 下侧； :2S 0=y ，,10,10≤≤≤+≤x z x 左侧；
:3S 0=x ，,10,
10≤≤≤+≤y z y 后侧；
:4S 1=++z y x ，,10,10≤≤≤+≤x y x 上侧；
而在1S ，2S ，3S 上，??i
S xzdxdy =0，
（3,2,1=i ） ∴??S
xzdxdy =??4
S xzdxdy =??--xy
D dxdy y x x )1(=?
?---x
dy y x xdx 10
1
)1(=
24
1
（6）
dxdy z dzdx y dydz x S
333++??，S 为球面2222
a z y x
=++的外侧；
解: 由对称性，知
dxdy z dzdx y dydz x S
333++??=3dxdy z S
??3=3（dxdy z S ??上
3
+dxdy z S ??下
3） =3（
dxdy y x a
xy
D ??--2
3
)(2
2
2
—dxdy y x a xy
D 32
22])([2
1??---）
=6dxdy y x a xy
D ??--2
3)(2
22
=
5
5
12a π （7）
dxdy z dzdx y dydz x S
2
22++??
，S 为球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-的外侧； 解: 先计算：
第一章 定量分析的误差和数据处理 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1） 天平两臂不等长，属于系统误差。可对天平进行校正或者更换天平。 （2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca 2+。属于系统误差。可更换蒸馏水，或作空白试验，扣 除蒸馏水中Ca 2+对测定的影响。 1-3 填空 （1） 若只作两次平行测定，则精密度应用相对相差表示。 （2）对照试验的目的是检验测定中有无系统误差，空白试验的目的是判断测定中的系统误差是否因试剂、 蒸馏水不纯等所致。 （3）F 检验的目的是检验两组测定结果的精密度有无显著性差异。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用t 检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d 1~d 6分别为0、+0.0003、-0.0002、-0.0001、+0.0002，则d 6为-0.0002。 （提示：一组平行测定，各单次测定结果偏差的代数和为0） 1－4解：%3.0mL 50.6mL 02.01r ±=±= E %08.0mL 65.25mL 02.02r ±=±= E 上述计算说明为减小滴定管的体积误差，应适当增大取液的体积。 1- 5解： 纯FeSO 4·7H 2O 试剂中w (Fe)的理论值是： %09.20mol g 0.278mol 55.85g O)H 7FeSO (Fe)(Fe)(-124=??=?=M M w %06.20%4 05 .2004.2003.2010.20=+++= x d i 分别为：0.04%,-0.03%,-0.02%,-0.01% %03.0%4 01 .002.003.004.0=+++= =d 平均偏差 %2.0% 06.20%03.0=== x d d r %03.0%09.20%06.20-=-=-=T x Ea %2.0% 06.20%03.0-=-== x Ea E r %03.01 401.002.003.004.02 222=-+++=S
管理定量分析复习 一、单项选择题（每小题1分） 3．外生变量和滞后变量统称为（）。 A．控制变量B．解释变量C．被解释变量D．前定变量4．横截面数据是指（）。 A．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据B．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据 C．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据D．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据 5．同一统计指标，同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C）。 A．时期数据B．混合数据C．时间序列数据D．横截面数据6．在管理定量模型中，由模型系统内部因素决定，表现为具有一定的概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量影响的变量是（）。 A．内生变量B．外生变量C．滞后变量D．前定变量7．描述微观主体经济活动中的变量关系的管理定量模型是（）。 A．微观管理定量模型B．宏观管理定量模型C．理论管理定量模型D．应用管理定量模型 8．经济计量模型的被解释变量一定是（）。 A．控制变量B．政策变量C．内生变量D．外生变量 9．下面属于横截面数据的是（）。 A．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值 B．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值
C．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数D．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值10．经济计量分析工作的基本步骤是（）。 A．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型 C．个体设计→总体估计→估计模型→应用模型D．确定模型导向→确定变量及方程式→估计模型→应用模型 11．将内生变量的前期值作解释变量，这样的变量称为（）。 A．虚拟变量B．控制变量C．政策变量D．滞后变量 12．（）是具有一定概率分布的随机变量，它的数值由模型本身决定。 A．外生变量B．内生变量C．前定变量D．滞后变量 13．同一统计指标按时间顺序记录的数据列称为（）。 A．横截面数据B．时间序列数据C．修匀数据D．原始数据 14．管理定量模型的基本应用领域有（）。 A．结构分析、经济预测、政策评价B．弹性分析、乘数分析、政策模拟 C．消费需求分析、生产技术分析、D．季度分析、年度分析、中长期分析 15．变量之间的关系可以分为两大类，它们是（）。 A．函数关系与相关关系B．线性相关关系和非线性相关关系 C．正相关关系和负相关关系D．简单相关关系和复杂相关关系 16．相关关系是指（）。 A．变量间的非独立关系B．变量间的因果关系C．变量间的函数关系D．变量间不确定性
一、 选择题 1、用同一NaOH 滴定相同浓度和体积的两种弱一元酸，则a K Θ 较大的弱一元酸（B ） A 消耗NaOH 多；B 突跃范围大；C 计量点pH 较低；D 指示剂变色不敏锐。 2、滴定分析要求相对误差±0.1%，万分之一的分析天平绝对误差为±0.0001g ，则一般至少称取试样质量为（B ） A0.1g ；B0.2g ；C0.3g ；D0.4g. 3、以HCl 溶液滴定某碱样，滴定管的初读数为0.25±0.01ml ，终读数为32.25±0.01ml ，则用去HCl 溶液的准确体积为（D ） A32.0ml ；B32.00ml ；C32.00±0.01ml ；D32.00±0.02ml 。 4、指示剂的变色范围越窄，则（A ） A 滴定越准确； B 选择指示剂越多； C 变色敏锐； D 滴定越不准确。 5、溶液pH 降低，EDTA 的配位能力会（B ） A 升高；B 降低；C 不变；D 无法确定。 6、用KMnO 4法测定Ca 2+离子，所采用的滴定方式是（B ）法 A 直接滴定法；B 间接滴定法；C 返滴定法；D 置换滴定法。 7、不同波长的电磁波，具有不同的能量，其波长与能量的关系为（B ） A 波长愈长，能量愈大；B 波长愈长，能量愈小；C 波长无能量无关。 8、在酸性条件下，莫尔法测Cl -，其测定结果（B ） A 偏低；B 偏高；C 正好；D 无法确定。 9、下列有关配体酸效应叙述正确的是（B ） A 酸效应系数越大，配合物稳定性越大；B 酸效应系数越小，配合物稳定性越大；CpH 越高，酸效应系数越大。 10、酸性介质中，用草酸钠标定高锰酸钾溶液，滴入高锰酸钾的速度为（B ） A 同酸碱滴定一样，快速进行；B 开始几滴要慢，以后逐渐加快； C 始终缓慢；D 开始快，然后逐渐加快，最后稍慢。 11、酸碱滴定中，选择指示剂可不考虑的因素是（D ） ApH 突跃范围；B 要求的误差范围；C 指示剂的变色范围；D 指示剂的结构。 12在硫酸—磷酸介质中，用17221.06 1 -?== L mol O Cr K c 的K 2Cr 2O 7滴定121.0)(-+?≈L m o l Fe c 硫酸亚铁溶液，其计量点电势为0.86V ，对此滴定最适合的指示剂 为（C ） A 邻二氮菲亚铁V 06.1=' Θ ?； B 二苯胺V 76.0=' Θ ? ； C 二苯胺磺酸钠V 84.0=' Θ ?； D 亚甲基蓝V 36.0=' Θ ? 13、在1mol·L -1HCl 介质中，用FeCl 3(V Fe Fe 77.023/=+ +Θ ?)滴定SnCl 2(V Sn Sn 14.024/=++Θ?) 终点电势为（D ）
物流管理定量分析模拟 试题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
《物流管理定量分析方法》模拟试 题 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 若某物资的总供应量（ B ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。 (A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过 2. 某物资调运问题，在用最小元素法编制初始调运方案过程中，第一步安排了运输量后，其运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：百元/吨）如下表所示： 运输平衡表与运价表 第二步所选的最小元素为（ C ）。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3．某物流公司有三种化学原料A 1，A 2，A 3。每斤原料A 1含B 1，B 2，B 3三种化学成分的含量分别为0.7斤、0.2斤和0.1斤；每斤原料A 2含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.1斤、0.3斤和0.6斤；每斤原料A 3含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.3斤、0.4斤和0.3斤。每斤原料A 1，A 2，A 3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B 1成分至少100斤，B 2成分至少50斤，B 3成分至少80斤。为列出使总成本最小的
线性规划模型，设原料A 1，A 2，A 3的用量分别为x 1斤、x 2斤和x 3斤，则化学成分B 2应满足的约束条件为（ A ）。 (A) 0.2x 1＋0.3x 2＋0.4x 3≥50 (B) 0.2x 1＋0.3x 2＋0.4x 3≤50 (C) 0.2x 1＋0.3x 2＋0.4x 3＝50 (D) min S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3 4. 设? ? ????=??????-=721,7421x B x A ，并且A ＝B ，则x ＝（ C ）。 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 5．设运输某物品的成本函数为C (q )＝q 2＋50q ＋2000，则运输量为100单位时的成本为（ A ）。 (A) 17000 (B) 1700 (C) 170 (D) 250 6. 某产品的成本函数、收入函数、利润函数分别为C (q )，R (q )，L (q )，则下列等式成立的是（ C ）。 (A) )0(d )()(0C q q L q L q +'=? (B) )0(d )()(0 C q q C q C q -'=? (C) ?'=q q q R q R 0 d )()( (D) )0(d )()(0 L q q L q L q -'=? 二、填空题（每小题2分，共10分） 1. 设某平衡运输问题有4个产地和5个销地，则用最小元素法编制的初始调运方案中填数字的格子数为 8 。 2．某物资调运方案如下表所示： 运输平衡表与运价表 则空格(A 2，B 1)对应的检验数为__4__。
《定量分析简明教程》 第三章习题答案 3-1 EDTA 在水溶液中是六元弱酸（H 6Y 2+），其p K a1~p K a6分别为0.9、1.6、2.07、2.75、6.24、10.34、则 Y 4-的pK b3为： p K b3=p K w －p K a4=14－2.75=11.25 3-2解： 99.010 8.110 108.1/)H ()Ac (5 7 5 - =?+?= += ---Θ + a a K c c K x x (HAc) = 1－0.99 = 0.01 c (Ac －) = 0.99?0.1mol·L －1 = 0.099 mol·L － 1 c (HAc) = 0.01?0.1mol·L －1 = 0.001 mol·L －1 3-3 (1) H 3PO 4 的PBE ：c (H +)=c (H 2PO 4－)+2c ([HPO 42－]+3c ([PO 43－]+c (OH － ) (2) Na 2HPO 4的PBE ：c (H +)+c (H 2PO 4－)+2c ([H 3PO 4]= c ([PO 43－]+c (OH － ) (3) Na 2S 的PBE ：c (OH -)=c (HS － )+2c (H 2S)+c (H +) (4) NH 4H 2PO 4的PBE ：c (H +)=c (NH 3)+2c (PO 43－)+c (HPO 42－) +c (OH － ) － c (H 3PO 4) (5) Na 2C 2O 4的PBE ：c (OH －)=c (HC 2O 4－ )+2c (H 2C 2O 4)+c (H +) (6) NH 4Ac 的PBE ：c (H +)+c (HAc)=c ( NH 3) +c (OH － ) (7) HCl+HAc 的PBE ：c (H +)=c (OH －)+c (HCl)+ c (Ac － ) (8) NaOH+NH 3的PBE ：c (OH － )=c (NH 4+)+c (H +)+c (NaOH) 3-4解： 一元弱酸HA 与HB 混合溶液的PBE ：c (H +)=c (A －)+c (B －)+c (OH － ) （1） 将有关平衡关系式代入质子等衡式中得到计算c (H +)的精确式： w /H B )()HB (/HA)()HA (/)H (/)H (/)H (/(HB))HB (/)H (/HA)()HA (/)H (K c c K c c K c c c c K c c c c K c c c c K c c w +?+?= + ?+ ?=Θ Θ Θ + Θ + Θ + Θ Θ + Θ Θ + (1) 由PBE ：c (H +)=c (A － )+c (B － )+c (OH － ) ，若忽略c (OH － ),则：c (H +)=c (A － )+c (B － )，计算c (H +)的近似公式为： Θ Θ + ?+?= c c K c c K c /H B )()HB (/HA)()HA ()H ( (2) 再若{c (HA)/c }/K Ha ，{c (HB)/ c }/K HB 均较大，则c eq (HA)≈c 0(HA)， c eq (HB)≈c 0(HB)，计算[H +]的近似公式为： )H B ()H B ()H A ()H A ()H (00c K c K c ?+?= + 3-5计算下列溶液的pH 值： (1),c (H 3PO 4)= 0.20mol ?L － 1 因为K a1/K a2>10，(c /c )/K a2>102.44，∴只考虑H 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K a1>10-12.61, (c /c )/K a1=29<102.81，∴用近似式计算： 034 .02 2 .010 9.64)10 9.6(10 9.62 /4/)H (3 23 3 1211=???+?+?-= ++-= ---Θ Θ + c c K K K c c a a a pH=1.47 (3) c (Na 3PO 4)=0.1mol ?L － 1 Na 3PO 4 K b1=2.1?10－2， K b2=1.6?10－7 , K b3=1.4?10－ 12 因为K b1 /K b2>10，(c /c )/ K b2>102.44，∴只考虑Na 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K b1>10－ 12.61，(c /c )/K b1<102.81，∴用近似式计算：
管理定量分析习题 1.人力资源分配的问题、 例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? 解：设 xi 表示第i 班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0 例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 班次 时间 所需人数 1 6：00 —— 10：00 60 2 10：00 —— 14：00 70 3 14：00 —— 18：00 60 4 18：00 —— 22：00 50 5 22：00 —— 2：00 20 6 2：00 —— 6：00 30 时间所需售货员人数 星期日 28星期一 15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0 §2 生产计划的问题 例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？ 解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15 产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13 产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9 产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。 通过以上分析,可建立如下的数学模型: 目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0 甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件) 64812000装配工时(小时/件) 32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56--机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件) 231816
《物流管理定量分析》作业试题(doc 24页)
《物流管理定量分析》 第一次作业 （物资调运方案的优化的表上作业法） 1．将下列某物资的供求不平衡运输问题（供应量、供求量单位：吨；单位运价单位：元/吨）化为供求平衡运输问题： 供需量数据表 销 地产地I II III IV 供应量
2．将下列某物资的供求不平衡运输问题（供应量、供求量单位：吨；单位运价单位：元/吨）化为供求平衡运输问题： 供需量数据表 销 地产地I II III IV 供 应 量 A 15 18 19 13 50 B 20 14 15 17 40 C 25 16 17 22 60 需 求 量 70 60 40 30 解因为供小于求，所以增设一个虚产地，得供求平衡运输问题如下： 销I II III IV 供 应
量 地 产 地 A 15 18 19 13 50 B 20 14 15 17 40 C 25 16 17 22 60 D 0 0 0 0 50 需 70 60 40 30 200 求 量 3．甲、乙两产地分别要运出物资1100吨和2000吨，这批物资分别送到A,B,C,D四个仓库中收存，四仓库收进的数量分别为100吨、1500吨、400吨和1100吨，仓库和发货点之间的单位运价如下表所示： 运价表单位：元/吨 收 A B C D 点发
点 甲15 37 30 51 乙20 7 21 25 试用最小元素法确定一个初始调运方案，再调整寻求最优调运方案，使运输总费用最小。 解用最小元素法编制初始调运方案如下： 运输平衡表与运价表 收 点发 点 A B C D 发货量 A B C D 甲10 10 00 1100 1000 1 5 3 7 3 5 1 ⑤ 乙15 00 40 10 2000 500 100 2 7 2 1 2 5 ④ 收货量10 15 00 40 11 00 10 00 3100 ②①③
浙江财经学院2013～2014学年第一学期 《管理定量分析》课程期中考试试卷 考核方式：开卷 考试日期：2013年10月28日 适用专业、班级：11社保11公管 一、填空（共24分） 1.下面是对15名参加一年德语强化培训班的学员所进行的一次测验的成绩：89，73，97， 58，47，61，62，84，73，79，88，73，92，44，80。试填写如下的统计表。(共4分) 2.下图是一张母亲的职业频率表，请把空缺的频率和百分比填补完整。(6分) 3.多重排序中，第一个指定的排序变量称为__________，其他依次指定的变量分别称为___________等。 4.SPSS 数据文件是一种___________结构的数据文件。 5.SPSS 软件有___________种基本使用方式。 （以下每空2分） 6.调用数据文件“工厂职工信息.sav ”请将年龄最小、工资最高的工人的信息填在下面空中（姓名、工资）__________、__________。(每空2分，共4分) 7.某国对该国博士的子女数量做了一项调查，结果如下表：(每空2分，共6分)
请计算子女数的样本均值 A 方差 B 标准差 C （保留小数点后两位） 二．判断对错(每题1分，共10分) (1)对于一个字符型或数值型变量，SPSS用户缺失值可以是1至3个特定的离散值。 (2)定序级的数据不能选择均值作为集中特征指标。 (3)横向合并数据文件时两数据文件必须至少有一个名称相同的变量。 (4)饼图适合于所有测度水平的数据。 (5)“12My”为合法变量名。 (6)SPSS有默认的变量名,以字母“VAR”开头，后面补足5位数字。 (7)按变量值自动定位时要选择Data→Go to case。 (8)取值于一个区间，或者取值为比率的连续变量应设置为Scale测度。 (9)定序级的数据可以用茎叶图来表示。 (10)饼图要求不同的观测量的个数不能太多。 三、单项选择题：（每小题1分，共25分） 1. 有人设计了一种提高记忆力的训练方法。为评估这种训练方法的有效性，随机抽取了9名学生参加训练。先记录下训练前的记忆力数据，训练完成后，再记录下训练后的记忆力数据。问：在0.05的显著性水平上，训练方法是有效的吗？你打算采用以下哪种过程解答？（） A．单个样本T检验 B．独立样本T检验 C．配对样本T检验D．Means过程 2. 以下属于合法变量名的有（）。 A．&ab345 B．My_ C．With-1 D．My age 3．某工艺研究所研究出一种自动装罐机，它可以用来自动装罐头食品，并且可以达到每罐的标准重量为500g。为检验它的性能随机抽取10罐来检查机器工作情况,你打算采用以下哪种过程解答？（） A．单个样本T检验 B．独立样本T检验 C．配对样本T检验D．Means过程 4. SPSS中变量值标签的用途是（）。 A.注明变量的含义 B.注明变量的取值范围，超出该范围的值将被作为缺省值处理
教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修
《定量分析简明教程》 第二章习题答案 2-2 （6） 答：分析纯NaCl 试剂若不作任何处理就用以 标定AgNO 3溶液的浓度，结果会偏高，原因是NaCl 易吸湿，使用前应在500~600?C 条件下干燥。如不作上述处理，则NaCl 因吸湿，称取的NaCl 含有水分，标定时消耗AgNO 3体积偏小，标定结果则偏高。 H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，标定NaOH 浓度时，标定结果会偏低。因H 2C 2O 4?2H 2O 试剂较稳定，一般温度下不会风化，只需室温下干燥即可。若将H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，则会失去结晶水，标定时消耗NaOH 体积偏大，标定结果则偏低。 2-3 （1） H 2C 2O 4?2H 2O 和KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O 两种物质分别和NaOH 作用时， －△n (H 2C 2O 4?2H 2O):－△n (NaOH)=1:2 ； －△n (NaOH): －△n (KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O)=3:1 。 （2）测定明矾中的钾时，先将钾沉淀为KB(C 6H 5)4，滤出的沉淀溶解于标准EDTA —Hg(II )溶液中，在以已知浓度的Zn 2+标准溶液滴定释放出来的 EDTA ： KB(C 6H 5)4+4HgY 2-+3H 2O+5H +=4Hg(C 6H 5)++4H 2Y 2-+H 3BO 3+K + H 2Y 2-+Zn 2+=ZnY 2-+2H + K +与Zn 2+的物质的量之比为1:4 。 2-4解： m (NaOH)=c (NaOH)v (NaOH)M (NaOH)=0.1mol ·L -1?0.500L ?40g ·mol -1=2g 1-1-142424242L mol 8.17mol g 9895%L 1840)SO (H )SO H ()SO H )SO H (?=???==?g M w c （浓ρ c (H 2SO 4稀)v (SO 4稀)=c (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓) 0.2mol ?L -1?0.500L=17.8mol ?L -1? V (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓)=5.6mL 2-5解： 2HCl+Na 2CO 3=2NaCl+H 2O+CO 2 －△n (Na 2CO 3)=－(1/2)△n (HCl) S s m M V c w m V T w V m T ) CO Na ((HCl)HCl)(2 1)CO Na (%30.58g 2500.0mL 00.25mL g 005830.0HCl)(HCl)/CO Na ()CO Na (mL g 005830.0mL 1mol 106.0g L 001.0L mol 1100.021HCl)()CO Na (HCl)/CO Na (32321-32321 -1-13232==??==?=?????==?或：
《物流管理定量分析》 第一次作业 （物资调运方案的优化的表上作业法） 1．将下列某物资的供求不平衡运输问题（供应量、供求量单位：吨；单位运价单位：元/吨）化为供求平衡运输问题： 供需量数据表 解因为供大于求，所以增设一个虚销地，得供求平衡运输问题如下：
2．将下列某物资的供求不平衡运输问题（供应量、供求量单位：吨；单位运价单位：元/吨）化为供求平衡运输问题： 供需量数据表 解 因为供小于求，所以增设一个虚产地，得供求平衡运输问题如下： 3．甲、乙两产地分别要运出物资1100吨和2000吨，这批物资分别送到A,B,C,D 四个仓库中收存，四仓库收进的数量分别为100吨、1500吨、400吨和1100吨，仓库和发货点之间的单位运价如下表所示： 运价表 单位：元/吨 试用最小元素法确定一个初始调运方案，再调整寻求最优调运方案，使运输总费用最小。 解 用最小元素法编制初始调运方案如下： ⑤ ④
填有数字的格子数 = 2+4-1 = 5 用闭回路法计算检验数： 4725513712=-+-=λ，0172125513013<-=-+-=λ 因为有负检验数，所以此方案不是最优的，需进一步调整，调整量为： {}4001000,400m in ==θ 调整后的调运方案是： 求最新调运方案的检验数： 4725513712=-+-=λ，312551152021=-+-=λ 172551302123=-+-=λ 因为所有检验数均大于0，所以此方案最优，最小运输费用为： 671002550071500516003040015100=?+?+?+?+?=S （元） 4．设某物资要从产地321,,A A A 调往销地321,,B B B ，运输平衡表（单位：吨）与运价表（单位：元/吨）如下表所示： 运输平衡表与运价表 试用最小元素法编制初始调运方案，并求最优调运方案。
第六章 不定积分 在不定积分的计算中，有很多方法是机械性的：有很多固定的模式和方法，还有一些常用的公式。在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外，还有6个很有用的式子，罗列如下： 22 22 2211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ; 4.ln ; 5.ln ; 26.arcsin . 2dx x a C x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+? ? 这六个公式在答案中的使用次数很大，使用的时候没有进行说明，敬请读者仔细甄别。当然答案计算过程中不免有不少错误，敬请原谅并修改。 第一节 不定积分的概念 1.求下列不定积分： 33 5 3 64642 2112111(1)(. 4643*4646 x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+? 3341 (2)(5)(5)(5)(5). 4 x dx x d x x C -=---=--+?? 11421131 3333222223 (3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++?? 2242 4242 422 311111(4)()()(1)1111 arctan . 3 dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++??????
22 233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++?? 113 2222 (6)().3x x dx x C -=+=+? (7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+? 22 1 (8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x -=- =-+?? 222 22sin 3cos 1 (9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++??? 22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x +-==-+?? 2 22sin tan 11 cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22 x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-??? 22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos . cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--??? 2221 (13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2 dx dx dx x C x x x x ===+++-? ?? 22 252(14)(51)(52*51)5. 2ln 5ln 5x x x x x dx dx x C +=++=+++?? 121(15)(2()). 35ln 2ln 335 x x x x x x e e dx C +-=--+? (16)(1( . x x x x e dx e dx e C -=-=-?? 221 (17)(cos sin 2arctan arcsin . 14 x dx x x x C x - =--++? 1 137 2 4 4 44(18). 7x x dx x dx x C ===+ ?? 2 12(19)2312.ln12 x x x x dx dx C ==+?? 3 (20)sin )sin )arcsin cos .2 x dx x dx x x C +=+= -+??
管理定量分析复习题 一、单项选择题（本大题共小题，每小题分，共分） 1．以下哪种不是预测误差的来源（） A．误差项的随机性B．参数估计量偏离真值 C．测量误差D．模型确认失误 2．在多元回归中，调整后的2R与2R的关系有（） A．< B．> C．= D．与的关系不能确定 3．根据2R与F统计量的关系可知，当2R＝1时有（） A．F＝－1 B．F＝0 C．F＝1 D．F＝∞ 4．根据样本资料估计得出人均消费支出Y对人均收入X的回归模型为 ln?Y=2.00+0.75lnX，这表明人均收入每增加1％，人均消费支出将增加（）A．0.2% B．0.75% C．2% D．7.5% 5．DW检验法适用于检验（） A．异方差性B．序列自相关 C．多重共线性D．设定误差 6．已知模型的普通最小二乘法估计残差的一阶自相关系数为0，则DW统计量的近似值为（） A．0 B．1 C．2 D．4 7．在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的2R接近1，则表明模型中存在（） A．异方差性B．序列相关 C．多重共线性D．拟合优度低 8、对于回归模型，检验随机误差项是否存在自相关的统计量为( ) A.：.B： C： D.： 9.假设回归模型为，其中则使用加权最小二乘法
估计模型时，应将模型变换为( ) A. B. C. D. 10. 经济计量模型的预测功效最好，说明Theil不等系数U的值( ) A.等于0 B.接近于-1 C.接近于1 D.趋近于+∞ 二、填空 回归方程2（附页）IP变量的t统计值为：________ 模拟误差U m+ U s+ U c=_________ 理想的不相等比例是U m= U s=______, U c=________ 三、判断题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 已知生产函数为：Y= 1789 0.55 L0.63 K ， １、解释L，K的指数0.55，0.63的经济含义。（标准化系数，弹性系数？） ２、该方程本质上是（线性的方程，非线性的方程） 3、当有一个或多个滞后内生变量时，DW检验仍然有效 4、回归模型中引入虚拟变量的特别适用于分类型数据 5、Theil不等系数U=1，则模型的预测能力最差 6、附页中方程2预测能力好 四、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1、某工厂生产甲、乙、丙三种产品，每一种产品都需要A、B、C三种原材料。各单位产品所需的原料及销售的产品所获的单位利润如下表所示。假定所生产的三种产品全部能售出。为了使该工厂获利最多，请写出最佳产量的线形规划模型。
第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当 1+=k n 时，有 1 211211 21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++111111．
第一章 系统误差的性质：由固定原因造成的，有单向性特征，通过数理统计的方法不能除去。 系统误差的来源：仪器、试剂、实验方法、实验操作 系统误差的解决办法：针对仪器的要校准仪器；针对试剂的要做空白试验，因实验方法而带来系统误差的要改进实验方法或重新选定实验方法。 随机误差具有偶然性，随机性，也是必然存在的，随机误差只能通过多次平行实验来减小随机误差 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的平均值等于真值。 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的随机误差遵循正态分布规律，有限次的采用 n ts x ± =μ 来处理。 为了检验两组数据之间的精密度是否有显著性差异，用F 检验 为了检验平均值和真值或标准值之间是否显著性差异，用t 检验。 为了考察两组数据之间显著性差异，先用F 检验，后用t 检验。F 检验不合格就不用t 检验，只有F 检验合格了才可以进行t 检验。 处理数据要注意四舍六入五成双 计算平均值时要注意可疑值的取舍，取舍有两种方法，Q 值检验法和4d 法。会计算标准偏差 以及置信区间。 第二章 酸碱滴定法 要会计算溶液酸碱度，针对具体情况选用不同的公式；一元酸、二元酸、一元碱、二元碱、两性物质等 要会写质子平衡方程，这是计算pH 值的基础。
要会运用平衡常数，在分析化学中，几乎所有的问题都可以用平衡常数来解决，分布系数是由平衡平常推导而来的，更为方便一些。 会计算滴定曲线化学计量点前、后及化学计量点时溶液的pH 值。首先要会判断化学计量点前、后及化学计量点时溶液的性质，然后采取相应的公式计算。并且要了解pH 的变化方向。 酸碱指示剂的变色原理，变色点及变色范围公式要记牢：1±=HIn pK pH 要知道其根本依据依然是平衡常数 不只酸碱指示剂其它类型的指示剂的变色点、变色范围也是都有其相应公式的，例如：氧化还原反应的氧化还反应类型指示剂、配位滴定的金属指示剂的变色点及变色范围，要按照对照模式来学习其它类型的指示剂的变色点及变色原理，如果都弄明白就OK 了 在这章中关于计算就是要会计算酸碱度还有一个重要的应用混合碱滴定，求其两种成分。 在整个分析化学中重要的是滴定误差的分析，要会判断是正误差还是负误差，正误差就是过量了，负误差就是不足量。 指示剂的选择，要考虑滴定突跃，因为指示剂变色范围要在滴定突跃范围之内，并且要考虑好滴定曲线的变化趋势及指示剂的颜色如何变化，最后判断大致在哪个具体的点变色，如果低于计量点则是负误差，高于计量点则正误差。必须会判断。 影响滴定突跃的因素：酸碱、沉淀、配位、氧化还原 第三章沉淀滴定法 重点掌握指示剂的变色原理及以莫尔法沉淀滴定时要注意的几点。介质酸度控制在中性或弱碱性的原因，以及沉淀吸附的现象、还有在滴定过程中指示剂用多了或用少了会产生什么样的误差、溶液是酸性或是碱性会产生什么样的后果造成什么样的误差。 第四章配位滴定法 了解EDTA 的结构及具体化学名称
第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当1+=k n 时，有 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a +++≤+++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111． 3．求证 2 2),max (b a b a b a -++=；
2 2),min(b a b a b a --+=． 证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有 22),max (b a b a a b a -++==，2 2),min(b a b a b b a --+==， 若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有 22),max (b a b a b b a -++==，2 2),min(b a b a a b a --+==， 因此两等式均成立． 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域． 解 θθs i n 2 1)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域． 解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为42 2 x r r -='，因而体积 )4(2 2 2x r x x r V -='=ππ， 定义域为开区间)2,0(r ． 6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形． 解 设路程为x ，票价为y ，则 函数图形见右图． 7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形． 解 ? ??≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f 函数图形如右图所示． 8．判别下列函数的奇偶性：