第1章 刚体的受力分析
5. 一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的作用力 Fn =1000N ，齿轮节圆直径
D =0.16m ，压力角（啮合力与齿轮节圆切线间的夹角）
，求啮合力F n 对轮心O 之矩。
解：解法一 利用定义式计算
解法二 利用合力矩定理计算
将合力F n 在齿轮啮合点处分解为圆周力F t 和F r ，则
由合力矩定理得：
6. 刹车踏板如图所示，已知F =300N ，与水平线夹角α =30o，a =0.25m ，b =c =0.05m ，推杆顶力为水平方向。试求踏板平衡时，推杆顶力F s 的大小。
解：踏板AOB 为绕定轴O 转动的杠杆，力F 对O 点矩与力S F 对O 点矩平衡。
力F 作用点A 坐标为 力F 在 x ﹑y 轴上的投影为
力F 对O 点的矩
由杠杆平衡条件
得到
m
250m 05.0.a y b x ====??
???-=-=-=-=N 15030sin N 26030cos
F F F F y x x
y O yF xF M -=)(F m N )]260(25.0)150(05.0[?-?--?=m
N 5.57?=0
)(1∑==n
i i O M
F N
1149N 05
.05.57)(S
===c
M F o F
7．两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F 1= F 2=1.5 kN ，F 3 =F 4= 1 kN ，求作用在板上的合力偶矩。
解：由式 M = M 1 + M 2
则
M =-F 1 · 0.18 –F 3 · 0.08 =-350 N· m
负号表明转向为顺时针。
第2-3章 平面力系
平面汇交力系和力偶系
1. 圆柱的重量G=
2.5kN ，搁置在三角形槽上，如图所示。若不计摩擦，试用几何法求圆柱对三角槽壁A 、B 处的压力。
解：（1）画圆柱受力图，如图2-1a 所示，其中重物重力G 垂直向下，斜面约束反力FNA 、FNB 沿分别垂直与各自表面。
a) b)
图2-1
（2）选比例尺，如图2-1b 所示。
（3）沿垂直方向作ab 代表重力G ，在a 点作与ab 夹角为400的射线ac ，在b 点作与ab 夹角为600的射线bc ，得到交点c 。则bc 、ca 分别代表FNA 和FNB 。量得bc 、ca 的长度，得到FNA=1.63kN 、FNB=2.2kN 。
2. 如图所示，简易起重机用钢丝绳吊起重量G=10kN 的重物。各杆自重不计，A 、B 、C 三处为光滑铰链联接。铰链A 处装有不计半径的光滑滑轮。求杆AB 和AC 受到的力。
解：画A 处光滑铰链销钉受力图（见图2-2），其中 重物重力G 垂直向下；
AD 绳索拉力F T 沿AD 方向，大小为G ； AB 杆拉力F BA 沿AB 方向；
AC 杆受压，推力F CA 沿CA 方向。
以A 为原点建立Axy 坐标系，由平衡条件得到如下方程：
图2-2
030sin 45sin ,
0001
=--=∑=T BA CA n
i ix F F F F (a)
030cos 45cos ,
0001
=--=∑=G F F F T CA n
i iy (b)
由(b)式得kN G F CA
4.2645
cos )130(cos 0
0=+=，代入（a ）式得 kN F F F T CA BA 66.135.010707.04.2630sin 45sin 00=?-?=-=
所以杆AB 受到的力kN F BA 66.13=，为拉力；杆AC 受到的力kN F CA 4.26=，为压力。
3. 锻压机在工作时，如图所示，如果锤头所受工件的作用力偏离中心线，就会使锤头发生偏斜，这样在导轨上将产生很大的压力，加速导轨的磨损，影响工件的精度。已知打击力P=150kN ，偏心距e=20mm,锤头高度h=0.30m 。试求锤头加给两侧导轨的压力。
解：画锤头受力图，如图2-3所示，锤头受打击力F =150kN ，工件的反作用力F ’，两侧导轨的对锤头压力F N1、F N2。由平衡条件得到：
211
,
0N N n
i ix F F F ==∑=；
F F F n
i iy ==∑=',
01
（F N1、F N2）构成一力偶，力偶矩h F M N ?=11；（F ’、F ）构成一力偶，力偶矩Fe M =2。由平面力偶系平衡条件得：
h Fe F F N N /21===10kN
故锤头加给两侧导轨的压力大小为kN F F N N 1021=='
'，方向与F N1、F N2相反。
图2-3
平面一般力系
4. 拖车的重量W=250kN ，牵引车对它的作用力F=50kN ，如图所示。当车辆匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。 解：画拖车受力图，如图2-4所示，拖车受6个力的作用：
牵引力F ，重力G ，地面法向支撑力F NA 、F NB ，摩擦力F A 、F B 。 由平面一般力系平衡条件得到：
0,
01=+--=∑=F F F F B A n
i ix
0,
01=-+=∑=G F F F NB NA n
i iy
05.14)44(,
0)(1
=?-?-+?=∑=F G F F M NB n
i i A
联立上述三式，解得kN F kN F NA NB 6.115,4.134==。所以当车辆匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力分别为115.6kN 、134.4kN 。
5. 图中所示飞机起落架，已知机场跑道作用于轮子的约束反力N D 铅直向上，作用线通过轮心，大小为40kN 。图中尺寸长度单位是毫米，起落架本身重量忽略不计。试求铰链A 和B 的约束反力。
解：取轮子和AC 为分离体，画轮子和 AC 杆受力图（见图2-5），分离体受到： 机场跑道作用于轮子的约束反力ND F ， 铅直向上；
A 处受到光滑铰链销钉的作用力F Ax 、F Ay ； BC 杆为二力杆，故分离体C 点受到BC 杆 作用力F BC 沿C
B 方向，假设为拉力。 由650
100500tan -=
α，解得0
6.31=α。
由平面一般力系平衡条件得到：
015sin sin ,
001
=-+=∑=ND BC Ax n
i ix F F F F α
图2-4
图2-5
015cos cos ,
001
=++=∑=ND BC Ay n
i iy F F F F α
0600sin 100cos )650600(,
0)(1
=?-?++?-=∑=ααBC BC Ax n
i i O F F F F M
联立上述三式，解得铰链A 的约束反力kN F kN F Ay Ax 564-575-1.,.==，BC 杆对C 点作用力kN F BC 828.=。所以铰链B 的约束反力kN F F BC B 828.==，方向与F BC 相同。
静定与超静定问题、物系的平衡
6. 下图所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？
解：（a ）静不定问题； （b ）静定问题； （c ）静不定问题； （d ）静不定问题； （e ）静定问题； （f ）静定问题
7. 试求如图所示静定梁在支座A 和C 处的全部约束反力。其中尺寸d 、载荷集度q 、力偶M 已知。
（1）
（2）
解：1）计算附属部分BC 梁 1）计算附属部分BC 梁
qd F F By C ==
()0220
=?-?=∑d d q d F F M C i
B
=Bx F
4qd F C =
430
qd F qd F F
C By iy
=-==∑
=Bx F
2）计算基本部分AB 梁
2）计算基本部分AB 梁
'
==Bx Ax F F
'
==Bx Ax F F
qd
F F F
By Ay iy
===∑'
470
'
qd qd F F F By Ay iy =+==∑
()2
2020
qd M d F M F M A By A i
A
==?'-=∑
()2
302320
qd
M d qd d F M F M A By A i
A
==?-?'-=∑
8. 静定多跨梁的荷载及尺寸如下图所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处
的压力。
解：按照约束的性质画静定多跨梁BC 段受力图（见图2-8），
对于BC 梁由平衡条件得到如下方程：
062021
660cos ,
0)(201
=??-?=∑=NC n
i i B F F M ，kN 120=NC F
060sin ,
001
=-=∑=NC Bx n
i ix F F F ， kN 9.10360sin 0==NC Bx F F
060cos kN 620,
001
=+?-=∑=NC By n
i iy F F F ， kN F By 60=
故支座反力C 反力kN 120=NC F ，方向垂直与支撑面；中间铰处B 的压力
kN 9.103=Bx F 、kN 60=By F 。
图2-8
9. 静定刚架所受荷载及尺寸如下图所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处压力。
解：画静定刚架整体受力图（见图2-9a ），由平衡条件
得到如下方程：
a) b)
图2-9
0m kN 52021
m kN 55010,
0)(21
=???+??-?-=∑=Ay n
i i B F F M ，0=Ay F
0kN 50,
01
=++=∑=Bx Ax n
i ix F F F （a ）
0kN 520,
01
=+?-=∑=By Ay n
i iy F F F ， kN 100=By F
讨论刚架右半部分BC ，受力图见图2-9b ，由平衡条件0)(1
=∑=n
i i C F M 得到如下方程：
0m kN 5202
1
552=???-?+?By Bx F F
解得kN 50-=Bx F ，代入(a)式得到0=Ax F 。由平衡条件01
=∑=n
i ix F 、01
=∑=n
i iy F 得
到：
=-=Bx Cx F F kN 50
0520=+?-By Cy F kN F ，0=Cy F
所以A 、B 支座反力和中间C 铰处压力分别为0=Ax F ，0=Ay F ，kN 50-=Bx F ，
kN 100=By F ，=Cx F kN 50，0=Cy F ，方向如图2-9所示。
10. 如下图所示，在曲柄压力机中，已知曲柄OA=R=0.23m ，设计要求：当α＝200，β=3.20时达到最大冲力F=315kN 。求在最大冲压力F 作用时，导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩Ｍ，并求此时轴承Ｏ的约束反力。
解：画滑块B 、曲柄OA 受力图，如图2-10所示，AB 杆为二力杆，故F AB 、F BA 作用线沿AB 连线，对于曲柄而言，受到力偶M 作用，只有轴承Ｏ的约束反力F O 和F BA 构成力偶，才能平衡M 的作用，故F O 平行于AB 连线且与F BA 反向。
对滑块B ：
由01=∑=n
i iy F 得到βcos /F F AB =；
由01
=∑=n
i ix F 得到βtan F F NB ==17.6kN 。
因为BA F AB F =，故由=O F BA F 得到=O F AB F βcos /F ==315.5kN 。
将O F 向水平和垂直方向分解得到：
kN .sin 617==βO Ox F F ， kN cos 315-=-=βO Oy F F 。
由曲柄OA 力矩平衡条件得到方程 0)sin(=+?-βαOA F M O
解得m kN .m kN .sin .)sin(?=???=+?=62822323031550
βαOA F M O 。
所以在最大冲压力F 作用时，导轨对滑块的侧压力NB F =17.6kN ，曲柄上所加的转矩
m kN .?=628M ，此时轴承Ｏ的约束反力kN .617=Ox F ，kN 315-=Oy F 。
图2-10
图
2-11
图2-12a
11. 在下图所示架构中，A 、C 、D 、E 处为铰链连接，BD 杆上的销钉B 置于AC 杆的光滑槽内，力F=200N ，力偶矩M=100N ·m ，不计各杆件重量，求A 、B 、C 处的约束反力。
解：1. 对整体
∑=0E M
()()N F F m F AY AY 5.872002.01006
.11
02.06.1-=?+-
=∴=?--?- 2. 对BD 杆
∑=0D
M
()()N F F m F B B 5502006.01004
.01
06.08.030sin =?+=
∴=?--??
3. 对ABC 杆
∑=0C
M
()
N F F F F F F B AY AX
B AY AX 2673
8.08
.05508.05.8760sin 6.18.08.008.060cos 6.160sin 6.1''=?+?-=
?
?+?=
∴=?-??-??
()()
N F F F F F
N F F F F F CY CY B AY Y
CX CX B AX X
51870300
2090300∑∑.sin cos ''==+?+===+?=
12. 三脚架如下图所示，F P =4.0k N ，试求支座A 、B 的约束反力。
∑==n
i i B M 1
0)(F ∑
==n
i ix F 1
图2-12b 解：（1）先取整体研究，如图2-12a 所示，列平衡方程：
（2）再取 BC 杆研究，如图2-12b 所示，列平衡方程：
（3）最后取整体研究，如图2-12a 所示，列平衡方程：
13. 如下图所示，起重机停在水平组合梁板上，载有重G=10kN 的重物，起重机自身重50kN ，其重心位于垂线DC 上，如不计梁板自重。求A 、B 两处的约束反力。
解：起重机受到平面平行力系作用，受力图如图2-13a 所示。
0)41(1',
0)(21
=+?-?-?=∑=G G HK F F M n
i i H ， kN 502=F
0',
0211
=-+-=∑=G F G F F n
i iy ， 1F =10kN
画ACB 梁受力图，如图2-13b 所示，由作用反作用定律可知’
1F =1F =10kN ，
='2
F kN 502=F 。取CB 梁为研究对象，由0)(1
=∑=n
i i C F M 得:
081'2=?+?-NB F F ， NB F =6.25kN
取A CB 梁为研究对象，由平衡条件得到如下方程：
(a)
(b)
图2-13
kN 0.7-=Ax F 0=-Bx Ax F F kN 0.7=-=Ax Bx F F ∑
==n i i C M 10)(F 0464T =?+?-?-r F r F r F Bx By P
F F =T kN 0.2 =∴By F 074=?-?-r F r F P Ax ∑
==n i iy F 1
00=-+P By Ay F F F kN 0.2=-=By P Ay F F F
图2-14a
0,
01
==∑=Ax n
i ix F F
0,
0'2'11
=+--=∑=NB Ay n
i iy F F F F F , Ay F =53.8kN
取A C 梁为研究对象，由0)(1
=∑=n
i i C F M 得：
014'1=?+?-F F M Ay A ，A M =205m kN ?
所以A 两处的约束反力0=Ax F ，Ay F =53.8kN ，A M =205m kN ?；B 两处的约束反力NB F =6.25kN 。
14. 平面桁架的荷载及结构尺寸如下图所示，求各杆的内力。
先求支座反力：
以整体桁架为研究对象，参见图2-14a ，由0)(1
=∑=n
i i A F M 得到
0)343(320)43(20330=?++?+?-+?-?-m kN F B , kN F B 29=
由01=∑=n
i iy F 得到：
0)2030(=+--+B A F kN F ， A F =21kN
04533arctan ==α,09.364
3arctan ==β
求各杆内力：作A 、C 、D 、E 、H 、B 节点受力图，如图2-14b 所示，对各杆均假设为拉力，从只含两个未知力的节点开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。
图2-14b
节点A ：
kN F F F F F A N N A n
i iy 7.29sin /,0sin ,
0771-=-==+=∑=αα（压）
01
=∑=n
i ix F ， 0cos 97=+N N F F α， kN F F N N 41cos 79=-=α
节点C ：
01
=∑=n
i ix F ， 0cos 74=-αN N F F ， kN F F N N 21cos 74-==α（压）
kN F F F F F N N N N n
i iy 21sin ,0sin ,
078871
=-==--=∑=αα
节点D ：
,01
=∑=n
i iy F 030sin 58=-+kN F F N N β， kN F N 155=
01
=∑=n
i ix F ， 0cos 965=-+N N N F F F β， 即kN F N 296=
节点H ：
,01
=∑=n
i iy F 05=N F
01
=∑=n
i ix F ， kN F F N N 2962==
节点B ：
01
=∑=n
i ix F ， 0cos 12=--αN N F F ， kN F F N N 41cos /21=-=α
01
=∑=n
i iy
F 以及节点E 的平衡方程可作为校核计算结果的正确性。
图2-16
15. 求下图所示桁架中1、2、3各杆的内力，F 为已知，各杆长度相等。
解：先求支座反力
a ，以整体桁架为研究对象，如图2-15a 所示。
由0)(1
=∑=n
i i A F M 得到： 045.25.12=?+?-?-a F a F a F B , F F B 375
.1= 由01
=∑=n
i iy F 得到： 02=+--B A F F F F ， F F A 625.1=
用假想截面将桁架截开，取左半部分，受力图如图2-15b 所示，由平衡条件得到：
0)(1
=∑=n
i i C F M ， 0sin 5.0221=?-?+?-αa F a F a F N A ，F F N 6.21-=
01
=∑=n
i iy
F ， 0sin 22=+-αN A F F F ，F F F
F A
N 433.0sin /)
2(2=--=α
01
=∑=n
i ix F ， 0cos 123=++N N N F F F α， F F F F N N N 38.2cos 123=--=α
所以桁架中１、２、３各杆的内力分别为F F N 6.21-=（压），F F N 433.02=，
F F N 38.23=。
考虑摩擦时的平衡问题
16. 一物块重G =100 N ，受水平力F =500 N 作用，物块与墙面间的静摩擦因数为f s = 0.3（1）问物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的静摩擦因数为f s 为多大物块可平衡？
解：（1）做物块受力图如图2-16所示
(a)
(b)
图2-15
(a )
(b )
∑===-=N F F F F F N N x
50000
∑===-=N W F W F F
y
10000
11
N F f F N S 1505003.0max =?==
因为max 1F F <，所以物块处于平衡状态，摩擦力为F 1，即100N 。 （2）用摩擦关系式求f s 的取值范围。 令N S F f F ≤1 解得：2.0≥S f
17. 重物块重G ，与接触面间的静摩擦系数为f s ，力F 与水平面间夹角为α，要使重物块沿着水平面向右滑动，问图示两种情况，哪种方法省力？
解：重物块受力分析如图2-17所示。 图（a ）：()ααs i n s i n m a
x ?+?=?+=F G f F F G F s S N 图（b ）：()ααs i n s i n
m a
x ?-?=?-=F G f F F G F s S N 故图（b ）省力。
18. 如图所示，置于V 型槽中的棒料上作用一力偶，当力偶的矩M=15N ·m 时，刚好能转动此棒料。已知棒料重P=400N ，直径D=0.25m ，不计滚动摩阻，求棒料与V 型槽间的静摩擦因数f s 。
解：取圆柱体为研究对象，受力如右图。列平衡方程： 0=∑x F ，045cos S =?-+P F F NA B 0=∑y F ，045sin N =?--P F F SA B 0=∑O M ，02
2=-+M D
F D F SB SA 摩擦定律： A SA F f F N s =
NB s F f F SB =
以上5式联立，解f s ，可化得：
0145cos s
2
s =+?-
M
PDf f 代入所给数据得：
图2-17
0171.4s 2
s =+-f f
解得： 223.0s =f
19. 如图所示，铁板重2kN ，其上压一重5kN 的重物，拉住重物的绳索与水平面成30°角，今欲将铁板抽出。已知铁板和水平面间的摩擦因数f 1=0.20，重物和铁板间的摩擦因数f 2=0.25，求抽出铁板所需力F 的最小值。
解：画物块A 的受力图（见图2-19a ），
抽出铁板B 时，铁板对重物A 的摩擦力
F BA = f 2F NB (a)
(a) (b)
图2-19
由平衡条件得到
01
=∑=n
i ix F ， 030cos 0=-T BA F F (b)
01
=∑=n
i iy
F ， 0530sin 0=+-NB T F kN F (c)
代(a)式入(b)式得
T NB F F 46.3= (d)
由(c)、(d) 式得kN F T 26.1=,kN F NB 36.4=,kN F BA 09.1=。
画物块B 的受力图（见图2-19b ）,由作用反作用定律可知：F AB =F BA ，F NB =F NA 。抽出铁板B 时，地面对铁板的摩擦力
N N F F f F 2.01=='
由平衡条件得到
01
=∑=n
i ix F ， 0='--F F F AB , 02.009.1=--N
F kN F (e)
01
=∑=n
i iy
F 02=--kN F F NA N , kN F N 36.6= (f)
代 (f) 入(e)式得
kN F 36.2=
所以抽出铁板B 所需力F 的最小值为kN 36.2。
20. 起重绞车的制动器由有制动块的手柄和制动轮所组成，如图4—20所示。已知制动轮半径Ｒ＝0.5m ，鼓轮半径r ＝0.3ｍ，制动轮与制动块间的摩擦因数f ＝0.4，提升的重量G ＝1kN ，手柄长l ＝3m ，a ＝0.6m ，b ＝0.1m ，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需力F 的最小值。
解：取制动轮和重物为分离体。重物受力图如图2-20a 所示，
由0)(1=∑=n
i i O F M 得到01=+-Gr R F ， 即 R Gr F /1== 0.6kN
临界状态时摩擦力N fF F =1，即 fR
Gr
f F F N =
=/1=1.5kN 讨论手柄，如图2-20b 所示。由作用反作用定律可知：'
1F 1F =，='N F N F 。由
0)(1
=∑=n
i i A F M 得到：0''1=+--a F b F Fl N
将'1F 、'
N F 以及l 、a 、b 的数值代入上式，得到F =280N 。
(a)
(b)
图2-20
第三章 习题3-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题3－2．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是：
平行力系对A点的主矩是： 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题3－3．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核：
结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：
列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题3－4．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
《工程力学》第三章平面一般力系试卷 一、单项选择题 1.(2 分)A 2.(2 分)B 3.(2 分)D 4.(2 分)C 5.(2 分)D 6.(2 分)B 7.(2 分)C 8.(2 分)B 9.(2 分)C 10.(2 分)C 二、判断题 11.(2 分)错误 12.(2 分)正确 13.(2 分)正确 14.(2 分)正确 15.(2 分)错误 16.(2 分)错误 17.(2 分)错误 18.(2 分)错误 19.(2 分)错误 20.(2 分)正确
三、填空题 21.答案：相互垂直；均为零；任意点；代数和也等于零(4 分) 22.答案：平面平行(1 分) 23.答案：二个；两个(2 分) 24.答案：A．B．C三点不在同一直线上(1 分) 25.答案：未知力；未知力(2 分) 四、简答题 26.(10 分)由F R=F1+F2+ … +F n可知: 平面汇交力系简化结果为一合力,此合力的作用线通过简化中心O,其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和。 27.(10 分)不能在杆的B点加上一个力使它平衡。还须加上一个力偶才能使它平衡。 五、计算题 28.(10 分)解题方法分析:取杠杆AOB为研究对象, 由于已知杠杆B端对阀门的作用力为400N, 所以阀门对杠杆B处的反作用力N B也是400N。受力图和坐标建立如图所示,所求未知力为F、R OX、R OY。 列平衡方程 ∑F X=0:R0X-F sin(α-β)=0(1) ∑F Y=0:-R0Y+N B+F cos(α-β)=0(2) ∑m0(F)=0:F·cosα×500-N B×300=0(3) 由式(3)得F===277.13(N)
第三章平面一般力系 教学目的及要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 §3-1 平面一般力系向作用面内一点简化 教学重点：1.平面一般力系如何向作用面内一点简化 2. 主矢与主矩的概念 教学难点：对力的平移定理的理解和应用 教学内容： 首先对什么是平面一般力系进行分析。对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化，从而引出力的平移定理。 1．力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点（新作用点）的矩，它是一般力系向上点简化的依据。2．基本概念 1) 合力矢：汇交力系一般地合成为一合力，合力的作用线通过汇交点，合力矢等于力系的主矢。 2）主矢：平面力系各力的矢量和，即 3．应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化 用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系：平面汇交力系和平面力偶系。应用前两章学过的内容，这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。 结论：平面一般力系向作用面内任选一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力
系对于点O的主矩。 注意：主矢与简化中心无关；而主矩与简化中心有关，必须指明对于哪一点的主矩。 4．固定端约束 它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶，这个力用两个未知分力来代替。 它限制了物体在平面内的转动，所以比铰支座多了一个给反力偶。 §3-2 平面一般力系简化结果与分析 教学重点：平面一般力系向作用面内一点简化的结果 教学难点：将一个力系向指定点简化的具体应用。 教学内容： 1．平面力系的简化步骤如下： 1)选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） 2) 建立直角坐标系Oxy 3) 求主矢 4) 求主矩：逆正顺负，画在图中 5) 简化结果讨论 2．平面力系的简化结果 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 平面一般力系向作用面内一点简化结果，有四种情况： 1) 简化为一个力偶的情形： 力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零。即： F R′=0，M o≠0 2) 简化为一合力的情形 力系向点O简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零。即： F R′≠0，M o=0 3)若F R′≠0，M o≠0 平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 原力系合成为作用点为O′的力F R，合力作用线在点O的哪一侧，由主矢和
习 题 2-1 试计算图2-55中力F 对点O 之矩。 图2-55 (a) 0)(=F O M (b) Fl M O =)(F (c) Fb M O -=)(F (d) θsin )(Fl M O =F (e) βsin )(2 2b l F M O +=F (f) )()(r l F M O +=F 2-2 一大小为50N 的力作用在圆盘边缘的C 点上，如图2-56所示。试分别计算此力对O 、A 、B 三点之矩。 图2-56 m N 25.6m m N 625030sin 2505060cos 30sin 5060sin 30cos 50?=?=???=? ??-???=R R M O m N 075.17825.1025.630cos 50?=+=??+=R M M O A m N 485.9235.325.615sin 50?=+=??+=R M M O B 2-3 一大小为80N 的力作用于板手柄端，如图2-57所示。(1)当?=75θ时，求此力对螺钉中心之矩；(2)当θ为何值时，该力矩为最小值；(3) 当θ为何值时，该力矩为最大值。 图2-57 (1)当?=75θ时，（用两次简化方法） m N 21.20mm N 485.59.202128945.193183087.21sin 8025075sin 80?=?=+=???+???=O M (2) 力过螺钉中心 由正弦定理 )13.53sin(250 sin 30θθ-?= 08955.03 /2513.53cos 13.53sin tan =+??=θ ?=117.5θ (3) ?=?+?=117.95117.590θ 2-4 如图2-58所示，已知N 200N,300N,200N,150321='====F F F F F 。试求力系向O 点的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。 图2-58 kN 64.1615 110345cos kN 64.4375210145cos 321R 321R -=+-?-=∑='-=--?-=∑='F F F F F F F F F F y y x x
第3章 平面任意力系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．某平面力系向两A 、B 点简化，主矩都为零，则此力系一定平衡。 ( × ) 2．力沿其作用线移动不改变力对点之矩的效果。 ( √ ) 3．力系简化的最后结果为一力偶时，主矩与简化中心无关。 ( √ ) 4．用截面法解桁架问题时，只需截断所求部分杆件。 ( √ ) 5．判断结构是否静定，其根据是所有的未知量能否只通过列平衡方程全部求出。 ( √ ) 6．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F =0，而主矩0O M ≠，则原力系简化的结果为一个合力偶，合力偶矩等于主矩，此时主矩与简化中心位置无关。 ( √ ) 7．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F ≠0，而主矩O M =0，则原力系简化的结果为一个合力， 且合力通过简化中心。 ( √ ) 8．在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个合力和一个合力偶矩。 ( × ) 9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。 ( × ) 10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。 ( √ ) 11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。 ( × ) 二、填空题 1．在简化一已知平面任意力系时，选取不同的简化中心，主矢相同主矩不相同。 2．一般情况下，对于由n 个物体所组成的物体系统可以列出 3n 独立平衡方程。 3．主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。 4．在平面任意力系中，合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，即R ()()O O M M = ∑F F ， 称之为合力矩定理。 5．若物体系中所有未知量数目不超过独立方程个数，则所有未知量可由平衡方程解出，这类问题称为静定问题；反之则为静不定问题。 6．如果从桁架中任意消除一根杆件，桁架就会活动变形，称这种桁架为静定桁架；反之则为超静定桁架。 7．在平面静定桁架中，杆件的数目m 与节点的数目n 之间的关系是m=2n -3。 8．计算平面静定桁架杆件内力的两种基本方法是节点法和截面法。 三、选择题 1．如图3.18所示平面力系向A 点简化得主矢R A 'F 和主矩A M ，向B 点简化得主矢R B 'F 和主矩B M 。以下四种说法，哪一个是正确的？( D ) (A) R R A B ''=F F ，A B M M = (B) R R A B ''≠F F ，A B M M = (C) R R A B ''≠F F ，A B M M ≠ (D) R R A B ''=F F ，A B M M ≠
第三章 平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。 解： 因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。 又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。 由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α cos a b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ?=12，m kN M B ?=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。 解：由公式（3-5）可知： )(212R O O O F M M M += )(R B A B F M M M += )()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++= 依题意0=Rx F ，故有： )(Ry B A B F M M M += )24(1215-?+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1== )(85 .112 m F M a R A === 故C 点的水平坐标为：m x 6-=。 [习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。
第三章 平面力系 一、填空题 1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。 2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。 3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题 1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ） (A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶 2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ） (A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断 3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F == (D ) 0A B F F =≠ 三、计算题 1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。 解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==?=?P （b ）o 1 ()sin304000.61202 O M P a N m =-?=-??=-?P 图3.2 图3.1 图 3.3
第三章 平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。 解： 因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。 又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。 由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α cos a b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ?=12，m kN M B ?=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。 解：由公式（3-5）可知： )(212R O O O F M M M += )(R B A B F M M M += )()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++= 依题意0=Rx F ，故有： )(Ry B A B F M M M += )24(1215-?+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1== )(85 .112 m F M a R A === 故C 点的水平坐标为：m x 6-=。 [习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。
第二章力系的简化和平衡方程 一、填空题 1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。 3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。 4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。 5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。 7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。 8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。 9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。 10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。 12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。 13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。 14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。 15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。 16、力偶中二力所在的平面称为______。 17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。 18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡. 19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。 20、作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_____代数和为零。 21、作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任意点，但必须同时附加一力偶，此时力偶的_____等于_____对新的作用点的矩。 22、一个力不能与一个力偶等效，但是一个力却可能与另一个跟它_____的力加一个力偶等效。 23、平面任意力系向作用面内的任意一点（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的力矢等于原力系中所有各力对简化中心的矩的_____和，称为原力系主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心的矩的和，称为原力对简化中心的主矩。 24、平面任意力系向作用面内任一点（简化中心）简化后，所得的主矢与简化中心的位置____，而所得的主矩一般与简化中心的位置______。 25、平面任意力系向作用面内任一点和简化结果，是主矢不为零，而主矩不为零，说明力系无论向哪一点简化，力系均与一个_____等效。 26、平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 27、平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 28、平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 29、平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。 30、对物体的移动和转动都起限制作用的约束称为______约束，其约束反力可用一对正交分力和一个力偶来表示。 31、建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。
由直角三角形OAB 可知，B 点离0点的距离为: a - COSPt 第三章平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成a 角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有送M jA =0，送M jB = 0 ,且送F iy =0, 2 F i ^ 0。 已知0A = a ，求B 点在x 轴上的位置。 解: 因为M A =2 M iA =0，但S F ix H 0 ,即卩F^Q ，根据平面力系简化结果的 讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作 用线通过简化中心A 。 又因为M B =S M iB=0，但送F ix^O ，即卩F R HQ ，根据平面力系简化结果 的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的 作用线通过简化中心B 0 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力F R 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为F Ry =5： F iy =0，所以合力F R 与y 轴垂直。 即AB 与y 垂直。 图 3-23
500 ［习题3-2］如图3-24所示，一平面力系（在oxy 平面内）中的各力在X 轴上投影之 代数 和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为 M A =12kN .m, M B =15kN ”m，A 、B 两 点的坐标分别为（2, 3）、（4, 8）,试求该力系的合力（坐标值的单位为m ）。 解：由公式（3-5）可知: M O2 =M O1 中 M O2(F R ) M B =M A +M B (F R ) F R M B =M A +M B (F RX )+ M B (F Ry ) 依题意F RX =0，故有: k*---- C(-6,3) a =8m M B =M A +M B (F Ry ) 15 =12+F Ry>q 4-2) 2F Ry =3 F Ry =1.5(kN) F R =F Ry =1.5kN F R 1.5 故C 点的水平坐标为：X = -6m 。 F R A M B 厂、 F R . M A !' F A (2,3) I 题3-24图 ［习题3--3］某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力 F P = 250 kN,屋顶传来的力F Q = 30kN ，试将该两力向底面中心O 150150 F Q |H ^ n “ B(4,8 ) F P 简化。图中长度单位是mm 。 200 题3-25图
第二章-2 平面任意力系 一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。） 3-1 力系的主矢量是力系的合力。（×） 3-2 若一平面力系向A，B两点简化的结果相同，则其主矢为零主矩必定不为零。 （×） 3-3 首尾相接构成一封闭力多边形的平面力系是平衡力系。（√） 3-4 力系的主矢和主矩都与简化中心的位置有关。（×） 3-5 当力系简化为合力偶时，主矩与简化中心的位置无关。（√） 3-6 平面一般力系，若力多边形中诸力矢首尾相接，自行闭合，则其合力为零。（×）3-7 任何物体系统平衡的充要条件是：作用于该物体系统上所有外力的主矢量F R = 0和主矩M = 0。（×） 3-8 当某平面一般力系的主矢F R = ∑F1 =0时，则该力系一定有合力偶。（×） 3-9 当平面一般力系向某一点简化为合力偶时，如果向另一点简化，则其结果是一样的。（√） 3-10 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零。（×） 3-11 作用于刚体的平面一般力系的主矢是个自由矢量，而该力系的合力（若有合力）是滑动矢量，但这两个矢量等值、同向。（×） 3-12 只要力系的合力等于零，该力系就是平衡力系，（×） 3-13 只要力系是平衡的，它的合力一定等于零。（√） 3-14 在一般情况下主矢F R与简化中心的选择无关，主矩M O与简化中心的选择有关。（√） 3-15 某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化位置无关。（√） 3-16 某一平面力系，向A、B两点简化的结果有可能相同，而且主矢、主矩的不为零。（√） 3-17 某平面任意力系向A点简化的主矢为零，而向另一点B简化的主矩为零，则该力系一定是平衡力系。（√） 3-18 若某平面任意力系向其作用面内任一点简化，如果主矩恒等于零，则力系一定是平衡。（√） 3-19 对于任何一个平面力系总可以用一个力和一个力偶来平衡。（×） 3-20 在同一刚体上同一平面内的A、B、C、D点分别作用有力F1、F2、F3、F4，则矢量
第三章 平面任意力系 一、目的要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 二、基本内容 1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。 2．平面力系的简化 步骤如下： ①选取简化中心O ：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） ②建立直角坐标系Oxy ③主矢：平面力系各力的矢量和，即 ∑∑∑===+==n i n i n i i R Y X 111'j i F F 其中 ?????∑∑=∑+∑=??????∑=∑=X Y Y X Y X R Ry Rx αtan :)()(:2 2'''方向大小F F F 其中α为F R 与x 轴所夹锐角，所在象限由ΣX 、ΣY 符号确定，并画在简化中心O 上。 主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即 11()()n n o o i i i i i i i M M x Y y X ====-∑∑F 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选
取有关。 ④简化结果讨论 a. 若 0 ,0'≠=o R M F ：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 b. 若0 ,0'=≠o R M F ：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力F R ，且有F R =F 'R 。 c. 若0 ,0'≠≠o R M F ：平面力系简化结果为一合力F R ，其大小、方向与主矢相同，作用线在距简化中心O 为'R o F M d = 处。 d. 0 ,0'==o R M F ，则该力系为平衡力系。 3．平面力系的平衡条件和平衡方程 平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。 1）基本形式 ?????=∑=∑=∑0)(0 00F M Y X 2）二矩式 ?????=∑=∑=∑0)(0 )(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴 3）三矩式 ?????=∑=∑=∑0)(0 )(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线 特殊力系的平衡方程 1）共线力系：0=∑i F 2）平面汇交力系：???=∑=∑00Y X
第三章 平面任意力系 一、要求 1、 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力 系简化的结果。 2、 深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3、 能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。 4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 二、重点、难点 1、 本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系 平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。 2、 本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。 三、学习指导 1、 力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果 发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。 2、 平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理， 将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。 3、 主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即 ∑== n i i F R 1 平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即
)(1 i n i o O F m M ∑== 关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕O 点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。 4、 平衡条件和平衡方程 （1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点O 的主矩都等于零，即0'=R ，0=o M 。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的'R 和o M 都等于零。用反证法证明，因为，假如0'≠R ，平面任意力系必能简化为一合力，则物体不能平衡；又若0≠o M 、0'=R ，平面任意力系简化为一合力偶，物体也不平衡。因此，'R 和o M 都等于零是平面任意力系平衡的必要条件。所谓平衡的充分条件是：如果平面任意力系的'R 和o M 都等于零，则物体平衡。因为平面任意力系向一点简化只有三种可能的结果：合力、合力偶、平衡。0'=R ，0=o M 说明力系既不能简化为一个合力，也不能简化为一个合力偶，故物体必定平衡。因此，'R 和o M 都等于零是平面任意力系平衡的必要和充分条件。y （2）平衡方程：三种形式的平衡方程是平面任意力系平衡条件的解析表达式。见下表：
第二章力系的平衡方程及其应用练习题 一、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x 轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N， 则F在y轴上的投影为 1 。 ① 0；② 50N；③ 70.7N；④ 86.6N；⑤ 100N。 2．已知力F的大小为F=100N，若将F沿图示x、y 方向分解，则x向分力的大小为 3 N，y向分力的大 小为 2 N。 ① 86.6；② 70.0；③ 136.6；④ 25.9；⑤ 96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示四个力系 作用，则 3 和 4 是等效力系。 ①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系； ③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。 4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力 R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为 3 。 ①作用在O点的一个合力； ②合力偶； ③作用在O点左边某点的一个合力； ④作用在O点右边某点的一个合力。 5．图示三铰刚架受力F作用，则A支座反力的大小 为 2 ，B支座反力的大小为 2 。 ① F/2；② F/2；③ F； ④2F；⑤ 2F。 6．图示结构受力P作用，杆重不计，则A支座约束力的大 小为 2 。 ① P/2；②3/ 3P；③ P；④ O。
7．曲杆重不计，其上作用一力偶矩为M 的力偶，则图（a ）中B 点的反力比图（b ）中的反力 2 。 ① 大；② 小 ；③ 相同。 8．平面系统受力偶矩为M=10KN.m 的力偶作用。当力偶M 作用于AC 杆时，A 支座反力的大小为 4 ，B 支座反力的大小为 4 ；当 力偶M 作用于BC 杆时，A 支座反力的大小为 2 ，B 支座反力的大小为 2 。 ① 4KN ；② 5KN ； ③ 8KN ；④ 10KN 。 9．汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二 力矩形式。即0)(,0)(=∑=∑i B i A m m F F ，但必须 2 。 ① A 、B 两点中有一点与O 点重合； ② 点O 不在A 、B 两点的连线上； ③ 点O 应在A 、B 两点的连线上； ④ 不存在二力矩形式，∑X=0，∑Y=0是唯一的。 10．图示两个作用在三角板上的平面汇交力系（图（a ）汇交于三角形板中心，图（b ）汇交于三角形板底边中点）。如果各力大小均不等于零，则 图（a ）所示力系 1 ， 图（b ）所示力系 2 。 ① 可能平衡；② 一定不平衡； ③ 一定平衡；④不能确定。
第三章 平面任意力系 一、要求 1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。 2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。 4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 二、重点、难点 1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。 2、本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。 三、学习指导 1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。 2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平
面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。 3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即 平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即 关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕 点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。 4、平衡条件和平衡方程 （1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点 的主矩都等于零，即 ， 。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的 和
第3章 平面力系的平衡条件 3.1平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。 3.1.1 平面汇交力系合成的解析法 设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影 ∑∑====n i yi Ry n i xi Rx F F F F 1 1 y 图3-2 R F = cos Rx R F F α= (3-1) cos Ry R F F β= 式中 α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。 3.1.2 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。 1 0n Rx xi i F F ===∑
1 0n Ry yi i F F == =∑ (3-2) 于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。 3.2平面力偶系的合成与平衡条件 3.2.1 平面力偶系的合成 应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。 ∑==n i i M M 1 (3-3) 3.2.2 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 1 0n i i M M == =∑ (3-4) 3.3平面任意力系的合成与平衡条件 3.3.1工程中的平面任意力系问题 力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。 3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩 如图3-7（a ）所示。在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。 i ′ 图3-7