专题三角形中的最值与取值范围问题

专题 三角形中的最值与取值范围问题

三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。

类型一：已知一角+对边

例题1：在ABC 中，A=60°，

（1）ABC ?面积的最大值；

（2）b c +的取值范围；

（3）2b c +的最大值；

（4）BC 边上高的最大值。

类型二：已知一角+边的等量关系

例题2：在ABC 中，A=60°，1b c +=，求

（1）ABC S ?的最大值；

（2）a 的取值范围；

（3）周长的取值范围。

类型三：已知一角+面积

例题3：在ABC 中，A=60°，ABC S ?=

（1）b c +的最小值；

（2）a 的最小值。

（3）周长的最小值。

（4）

112b c

+的最小值。

类型四：已知角的等量关系

例题4：在ABC 中，A=2B ，则c b

的取值范围为

变式：在锐角ABC 中，A=2B ，则c b

的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值

例题5：在ABC 中，已知1,2AB BC ==，求

（1）ABC S ?的最大值；

（2）角C 的取值范围。

类型六：已知一边+另两边的等量关系

例题6：在ABC 中，已知6,10BC AB AC =+

=，求ABC S ?的最大值。

变式：在ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ?的最大值。 类型七：三边的等量关系

例题7：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=，求cos C 的最小值。

解三角形中的取值范围问题.docx

解三角形中的取值范围问题 1、已知a, b, c分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边，且2b cosC 2a c 。（ 1）求角B的大小； （ 2）若ABC的面积为 3 ，求b的长度的取值范围。 解析：（ 1）由正弦定理得2sin BcosC 2sin A sin C ，在ABC 中， sin A sin( B C )sin B cosC cos B sin C ，所以 sin C (2cos B1) 0 。 又因为 0 C, sin C0 1 ，而 0B，所以B ，所以 cos B 123 （2）因为 S ABC3, 所以ac4 ac sin B 2 由余弦定理得 b2a2c22acscos B a2c2 ac ac，即 b2 4 ，所以 b 2 2、在△ABC中 , 角A, B, C所对的边分别为a, b,c,已知cosC(cos A 3 sin A) cos B 0 . (1)求角 B的大小;（2）若 a+c=1,求 b 的取值范围 【答案】解:(1) 由已知得cos(A B)cos Acos B 3 sin A cos B0即有sin Asin B 3 sin Acos B 0因为 sin A0 ,所以 sin B 3 cosB0 ,又 cos B0 ,所以 tan B 3 ,又 0B, 所以B. 1113 (2) 由余弦定理 , 有b2a2c22ac cos B .因为 a c 1,cosB, 有b23(a)2. 1,于是有1 1 224 又 0 a b21,即有b1. 42 3、已知，满足． （I ）将表示为的函数，并求的最小正周期； （II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围． 4、已知向量ur x r x 2 x ur r ( 3 sin，，f (x)m n m,1)n(cos ,cos) 44g 4 (1)若 f ( x) 1 ，求 cos(x) 的值； 3 (2)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，且满足 a cosC 1 c b ，求函数 f ( B) 的取值范围. 2 【解析】 解：（ 1） Q f x m n3sin x cos x cos2 x 3sin x 1cos x 1sin x 6 1, 4442222222

三角形中的最值与范围问题

在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三 角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围） ，但在解题方法的 选择上有值得考究的地方。请先看两个例题： 1 例1（ 13年重庆綦江中学）在:ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b, c 且cosA 二丄，a = 4 . 4 （1） 若b ?c=6，且b < c ，求b,c 的值. （2） 求L ABC 的面积的最大值。 解 （1）由余弦定理 a 1 2 二 b 2 - c 2 — 2bccosA , 2 1 16 = （b c ） - 2bc bc 2 .bc =8 , 又 v b 亠 c = 6, b

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题 例1：在锐角ABC V 中，2A B =，则c b 的取值范围是 例2：若ABC V 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 例3：在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC V 周长的取值范围。 例4：在ABC V 中，2222 3 a b c ab +=+，若ABC V ，则ABC V 的面积的最大值为

例5：（2008，江苏）满足 2,AB AC ==的ABC V 的面积的最大值是 例6：已知角,,A B C 是ABC V 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量 (1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r ，5(,cos )82A B n -=r ，且98 m n ?=u r r （1）求tan tan A B ?的值。 （2）求 222 sin ab C a b c +-的最大值。 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习 1．在ABC V 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题 1． 在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 所对的边长，已知:3C π= ,a b c λ+=(其中1λ>） (1)当2λ=时，证明:a b c ==; (2)若3AC BC λ?=,求边长c 的最小值. 2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=- (1)求函数()f x 在区间[,]42 ππ上的值域; (２)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =,求ABC ?面积的最大值。 3. 已知函数2()22cos f x x x m =+- （Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π ∈上有解，求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C 所对 的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值 4. 在ABC ?中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =，求ABC ?面积的最大值． 5. 如图,扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o ，半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值．

6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min ．在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =，3cos 5 C =. (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？ 7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ?中，90POQ ? ∠=,22OP =点M 在线段P Q 上． (1)若5OM =求PM 的长； (2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ?∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小值.

三角函数与解三角形中的范围问题含答案

文档 1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a b 取值范围 2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222 ()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C= 3 π ，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.

3．在锐角ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ?面积的最大值.

文档 4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab． (1)求cos C； (2)若c=2，求△ABC面积的最大值．

5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222. （Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -= +?，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =u r ，(3,cos 2)n A =r ，试求?的最大值.

文档 6．ABC ?的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （1）若C A B sin sin sin 2 =，试判断ABC ?的形状； （2）若ABC ?为钝角三角形，且c a >，试求代数式2 12222 C A A sin cos -的取值范围． 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=?，BAC θ∠=，

（1）求b c ?的最大值及θ的取值范围； （2）求函数22()()2cos 4 f π θθθ=++-. 8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5 B =. （1）求角 C 的大小； （2）若ABC △

动点问题最值三角形性质专练

动点问题最值三角形性质专练

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动点问题三角形性质专练 三边能构成三角形,则必须满足性质:两边之和大于第三边，两边之差小于第三边！ 1、如图,在直角梯形A ＢCD 中，ＡＤ∥BC,∠Ｂ=９0°，A Ｄ=24c ｍ，ＡB=8cm ，ＢC=２6cm ，动：点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Ｑ从点C 开始沿CB 边向Ｂ以３ｃｍ／ｓ的速度运动.Ｐ、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动，设运动时间为ｔs. （1)当t 为何值时，四边形P ＱCD 为平行四边形？ (2)当ｔ为何值时，四边形ＰＱCD 为等腰梯形？ (3）当t 为何值时,四边形PQC Ｄ为直角梯形? 2、如图,点A 的坐标为(-1,０)，点Ｂ在直线y x =上运动,当线段A Ｂ最短时,点B 的坐标为【 】 A ．（0,０） B.（21-,2 1 -） C.(22，22-） Ｄ.(22-，22-） 3、如图所示,在边长为２的正三角形A ＢC 中,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点,点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、ＧP ，则△ＢPG 的周长的最小值是 _ .

4、菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B （2，0），?=∠60DOB ，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，-１）,当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为＿__＿______. 5、如图,在锐角三角形ＡBC 中，BC=24，∠ABC=４5°， B Ｄ平分∠ABC，Ｍ、N 分别是BD 、B C 上的动点,则ＣM ＋MN 的最小值是 。 6、如图，在矩形ＡBCD 中,AB=４，AD=6，E 是A Ｂ的中点，F 是线段ＢＣ上的动点,将△ＥBF 沿EF 所在直线折叠得到△ＥB ′F,连接B ′Ｄ，则B ′D 的小值是( ） A ． Ｂ.6 ? C. D.４ 7、如图，菱形ＡBCD 中,AB=２，∠A＝120°，点P,Q,Ｋ分别为线段B Ｃ,CD,BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为【 】 A ．?１? Ｂ．3 C. 2? D ．3＋１ 8、如图，正方形AB ＣD 的边长为2,ABE ?是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内，在对角线A Ｃ上有一点P ，使PD+ＰＥ的和最小，则这个最小值为（ ） A 、２ ?B 、22 ?C 、2 ??Ｄ、6 9、点A 、Ｂ均在由面积为１的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角

三角形最值问题典型题

P为边长等于1的正△ABC内任意一点，设L=PA+PB+PC,求L的最值。几何最值问题归结为以下三个定理 ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 分析：求最值则涉及最小值以及最大值. 先求最小值，如下 一、射影法 过点P分别作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F. 过点A作AD’⊥BC于D’,过B作BE’⊥AC，过C作CF’⊥AB。 AP+PD>AD’① BP+PE>BE’② CP+PF>CF’③ ①+②+③,得， AP+BP+CP+PD+PE+PF AD’ +BE’ + CF’ = a 即AP+BP+CP+a a ∴AP+BP+CP a 二、旋转法 顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上， 即如上图：∠ABF’=120°，可得最小L=a； C

三、面积法 作如图所示辅助线，则DEF的面积为, 又∵ ED?PB FD?PC EF?PA ∴?6a?(PA+PB+PC) ∴最小L= a 下面求其最大值，这要考虑到三角形的三边关系，如下图 过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F． 由于∠APD＞∠AFP=∠ADP， 推出AD＞AP① 又∵BD+DP＞BP② 和PF+FC＞PC③ 又∵DF=AF④ 由①②③④可得：最大L＜2； 相关知识链接：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即A F

在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

解三角形中的取值范围问题

解三角形中的取值范围问题 1、已知a,b,c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?b 的长度的取值范围。 解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ?中， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。 又因为0,sin 0C C π<<>，所以1 cos 2 B =，而0B π<<，所以3B π= （2）因为1 sin 2 ABC S ac B ?= = 所以4ac = 由余弦定理得2 2 2 2 2 2scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2 4b ≥，所以2b ≥ 2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围 【 答 案 】 解 :(1) 由 已 知 得 cos()cos cos cos 0 A B A B A B -++= 即有 s i n n 3s i n c o s A A B = 因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3 B π =. (2)由余弦定理,有2 2 2 2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2 2113()24 b a =-+. 又01a <<,于是有 21 14 b ≤<,即有112b ≤<. 3、已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ?=． （I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （II ）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2 A ( =f ，且2a =，求b c +的取值范围．

三角形内的最值问题

三角形内的最值问题 我们知道，求一条直线上的点，要求该点到直线外两点的距离和 最小，若两点在直线的异侧，则所求点就是两点连线与已知直线的交点；若两点在直线的同侧，则作其中一点关于已知直线的对称点，对称点与另外一点的连线与已知直线的交点。（右图）那么求一平面上的点，要求该点到平面上三点的距离和最小，这个点又怎么求呢？ 在平面几何中，有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即：在 △ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和相等。（如图4） 以AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。 由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知A、F、D在一条直线上。 在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝BF，BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。 对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。 以上情况只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况，当△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。 在三角形中，还有很多最值问题。下面介绍在三角形三边取三点连接成的三角形中，周长最小的三角形的求法。 在△ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，△ DEF称为△ABC的垂足三角形，可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心。（图2） 证明过程如下： 因为∠AHE=∠BHD AC垂直于BE AD垂直于BC 所以∠CAD=∠EBC 所以sin∠CAD=sin∠EBC 所以CE/BC=CD/AC 在△CDE与△CAB中 ∠ECD=∠BCA 所以△CDE与△CAB相似 所以∠CDE=∠CAB 同理可得∠BDF=∠CAB 所以∠CDE=∠BDF

解三角形中的取值范围问题

解三角形中的取值范围问题 1、已知a ,b ,c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?b 的长度的取值范围。 解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ?中， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。 又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B = ，而0B π<<，所以3B π= （2）因为1sin 2ABC S ac B ?= = 所以4ac = 由余弦定理得222222scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2 4b ≥，所以2b ≥ 2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +-=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围 【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin cos 0A B A B = 因为sin 0A ≠,所以sin 0B B -=,又cos 0B ≠,所以tan B =, 又0B π<<,所以3B π= . (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +== ,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有 2114b ≤<,即有112 b ≤<. 3、已知，满足． （I ）将表示为的函数，并求的最小正周期； （II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围． 4、已知向量,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44 x x n =r ，()f x m n =u r r g (1)若()1f x =，求cos()3x π +的值； (2)在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C c b + =，求函数()f B 的取值范围. 【解析】 解：（1）()2111cos cos cos sin ,4442222262 x x x x x x f x m n π??=?=+=++=++ ???Q

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

解三角形——求取值范围问题

解三角形求取值范围问题 类型1：正弦定理+外接圆半径+三角函数 1.在ABC ?中，若3 sin 4 B =，10b =，则边长c 的取值范围是（ ） A. 15 (,)2 +∞ B. (10,)+∞ C. 40(0,]3 D. (0,10) 2．在△ABC 中，C=，AB=3，则△ABC 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．在△ABC 中，，则△ABC 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在ABC ?中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3 π = A ，则c b +的最大值为 （ ） A ．4 B ． 33 C. 32 D ．2 5．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A c B b +=，则b c +的最大值为___6____． 6．在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32 ， ∴C ＝ π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3 . (2)∵c ＝3，sin C ＝ 32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3 3 2 ＝2，

即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π 3－A ， ∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2???? ??sin A ＋sin ? ????2π3－A ＋ 3 ＝2? ????sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3 ＝23? ????sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·si n ? ?? ??A ＋π6 ＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴ π6＜A ＜π2，∴32＜sin ? ????A ＋π6≤1， 则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]． 7. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c=2，∠C=60°，求a +b 的取值范围． 解：由正弦定理知 ，则a= ，b= ，而C=60°， 所以a+b= =4sin （A+30°） 因为锐角△ABC ，C=60°，则30°＜A ＜90°，所以a+b ∈（2，4] ∴a+b 的取值范围为（2 ，4]． 8.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2＋c 2+bc ，且a ＝23． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值； （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围． 【解析】 （1）∵a 2 ＝b 2 ＋c 2 +bc ，∴2221 cos 22 b c a A bc +-= =-，即cosA ＝－12， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝1 2bcsinA ＝3，所以bc ＝4， 由余弦定理得：12=a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π 3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （2）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3， ∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π 3)， ∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π 3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].

三角形中最值问题

第42课 三角形中的最值问题 考点提要 1．掌握三角形的概念与基本性质． 2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题． 基础自测 1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ； （2）△ABC 中，当A= 3 π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32 ． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 2 1 >m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==， 令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得2 1>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30o＜B ＜45o ． 4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则 r R 1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ． 6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ． ①A sin >B sin ； ②A cos B 2sin ； ④A 2cos B ?a >b A R sin 2?>B R sin 2?A sin >B sin ，故①正确； A cos < B cos ?)2sin(A -π<)2 sin(B -π ?A>B ，故②正确（或由余弦函 数在(0,)π上的单调性知②正确）； 由A 2cos B sin ?A>B ，故④正确． 知识梳理 1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2 a b c r +-= ． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处

解三角形最值问题

三角形最值问题 课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（ 2 1，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B

三角函数解三角形中的最值问题

1.已知ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且 222 3sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ? 的最大值. 2. 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==--- ，已知//m n （1）若2λ=，求角A 的大小； （2）若b c +=，求λ的取值范围. 3. 设ABC ?的内角所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2 a C c b += （1）求角A 的大小； （2）若1a =，求ABC ?周长的取值范围. 4. 已知ABC ?是半径为R 的圆的内接?且222(sin sin ))sin R A C b B -=- （1）求角C ； （2）求ABC ?面积的最大值. 5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2 A m n B C =-=+ ，角,,A B C 分别为ABC ?的三边,,a b c 所对的角， （1）当m n ? 取得最大值时，求角A 的大小； （2）在（1）的条件下，当a =22b c +的取值范围. 6．已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x = 且//a b （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （2）记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ?的三个内角A B C 、、对应的边长，若(),2A f M =且2a =，求bc 的最大值. 7. 在锐角ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，设2B A =，求b a 的取值范围.

解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题 1、在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。 【解析】由余弦定理知2 14242) (21 2cos 2222222 2 2 =≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ， 2、在ABC ?中，60,3B AC ==o ，求2AB BC +的最大值。 3、在ABC ?中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 32sin a b A A B ≥+=。 （1）求角C 的大小；（2）求 a b c +的最大值。 解析：（1）由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π?? + = ?? ?，则sin sin 3A B π? ?+= ??? ，因为,a b ≥则A B ≥，所以3 A B π π+ =-，故2,33 A B C ππ+= =。 （2）由正弦定理及（1）得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++???? ?=+++=+ ? ??????? 所以当3 A π = 时， a b c +取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 【答案】

5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解： 6、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足2)a c BA BC cCB CA -?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。 （1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=u u u r u u u r ，求ABC ?面积的最大值。 答案：（1）2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin )cos sin cos ,A C B B C -=

(完整)初中数学《几何最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

专题 三角形中的最值与取值范围问题

专题 三角形中的最值与取值范围问题 三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。 类型一：已知一角+对边 例题1：在?ABC 中，A=60°，，求 （1）ABC ?面积的最大值； （2）b c +的取值范围； （3）2b c +的最大值； （4）BC 边上高的最大值。 类型二：已知一角+边的等量关系 例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）a 的取值范围； （3）周长的取值范围。 类型三：已知一角+面积 例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ?= （1）b c +的最小值； （2）a 的最小值。 （3）周长的最小值。 （4） 112b c +的最小值。 类型四：已知角的等量关系 例题4：在?ABC 中，A=2B ，则 c b 的取值范围为

变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b 的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值 例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）角C 的取值范围。 类型六：已知一边+另两边的等量关系 例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+ =，求ABC S ?的最大值。 变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ?的最大值。 类型七：三边的等量关系 例题7：在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=，求cos C 的最小值。