● 本节题型归纳【补例１－４－１１～１６，例１－４－５～７】 ● 同步练习 【同步１－４－１０～１６】 ● 补充阅读 【敏感性问题调查】
本节题型归纳
① 典型模式
设可数个事件12,,,,n A A A 构成一个完备事件组，即
（1）,,1,2,j i
i j i j A A =≠=Φ （两两互不相容（不同时发生）
） （2）12i i i
A A A A S == （至少有一个发生） 且()0
P A >， ,,,2,1n i =，则对任意事件B ，有
（设()0P >， ,,,2,1n i =）
（４.６）
② 关键：由“结果” （事件B ）找“原因” （12,,,,n A A A 构成一个完备事件
组）
③ 公式选用旨要：
--- 求“结果概率” ()P B =???全概公式
--- 求“验后概率” ()
i Bay P es A B =???条件概率
公式
注意
因为12,,,
,n A A A 构成一个完备事件组，故
① 各“原因概率”（ “验前概率” ）之和为1，即
12()()()()1n i i
P P P P A A A A =++
++=∑
②
③
【补例１－４－１２】在一个每题答案有4种选择的测验中，假设只有一种答案是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求：
（1）某学生能够正确回答此问题的概率；
（2）假设某学生能够正确回答此问题，那么他是随机猜出的概率是多少？
【解】 设事件
B ={ 某学生能够正确回答此问题 } （“结果” ） 显然，由2个“原因”引发：
1A =设{ 他是知道正确答案的 }
A =或记为
（1）2
1
()()()i
i i P B P A
P B A ==
∑全概公式
)()()()(2211A B P A P A B P A P += 1112()()[1()]()P A P B A P A P B A =+-
1
901(190)4
%?+-%?
=题设
0.910.10.25?+?=0.925= （2）22222
1
()()()
()
()
()()
i i i Bayes P A P B A P A B P A B P B P A P B A ==
=∑公式
10.10.25
0.925?=
由（）知
0.025
0.925=
25
925
=0.027027027=0.0270≈
【补例１－４－１３】临床上常用血清甲胎蛋白试验诊断肝癌，据统计肝癌患者中有95%的人试验呈阳性反应，非肝癌患者中有90%的人试验呈阴性反应，肝癌的患病率为万分之四。体检时，医生给某人做了该项试验，试求： （1）此人试验呈阳性反应的概率；
（2）若试验呈阳性反应，此人真正患有肝癌的概率.
【解】 设事件
B ={ 此人试验呈阳性反应 } （“结果”） 显然，由2个“原因”引发：
1A =设{ 此人真正患有肝癌 }
A =或记为
2A =设{ 此人未患有肝癌 }
A =或记为
注意到1A 、2A （为对立事件）构成一个完备事件组
“非肝癌患者中有90%的人试验呈阴性反应”即“非肝癌患者中有10%呈阳性反应” 于是，所求事件的概率为
（1）21
()()()i i i P B P A P B A ==∑
全概公式
)()()()(2211A B P A P A B P A P +=
1112()()[1()][1()]P A P B A P A P B A =+--
0.00040.95(10.0004)(10.90)?+-?-=题设
0.00040.950.99960.10?+?=
0.000380.09996=+0.10034=0.1003≈
（2）由（1）知
11112
1
()()
()()
()
()()
i
i i Bayes P A P B A P A B P A B P B P A
P B A ==
=
∑公式
10.00040.950.10034
?=
由（）知
0.00038
0.10034=0.003787123=0.0038≈ 注意：
-- 尽管诊断的准确率1()95P B A =%，很高；但结果（此人真正患有肝癌的概率）
11()()
0.0038()
Bayes P A B P A B P B =
≈公式
（约万分之3.8）
，出乎意料地小！ -- 即使误诊率由2()10P B A =%下降到2()1P B A =%，此人真正患有肝癌的概率
1()
Bayes P A B =公式
0.0366229760.0366≈（约百分之3.7），仍然很小！
-- 解释：在人群中，肝癌的患病率仅为万分之四，较小！
【补例１－４－１４】某地为a 号病多发区，该地共分南、北、中三个行政小区，其人口比为974::， a 号病在该地三个小区内的发病率依次为0.0004、0.0002和0.0005，试求：
（1）该地区a 号病的发病率；
（2）若在该地区发现a 号病，a 号病在该地三个小区内出现的概率分别是多少？
【解】 设事件
B ={ 该地区发现a 号病 } （“结果” ） 显然，由3个“原因”引发：
1A =设
{ a 号病在该地区的南行政小区内出现 } 2A =设
{ a 号病在该地区的北行政小区内出现 } 3A =设{ a 号病在该地区的中行政小区内出现 }
注意到123A A A 、、构成一个完备事件组 于是，所求事件的概率为
（1）3
1
()
()()i i i P B P A P B A ==∑
全概公式
112233()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++
974
0.00040.00020.0005974974974=?+?+?++++++古典定义
9740.00040.00020.0005202020=?+?+?0.00720
=0.00035= （2）由（1）知
11113
1
()()
()
()
()
()()
i i i P A P B A P A B P A B P B P A P B A Bayes ==
=
∑
公式
9
0.0004
200.00035
?=
0.000180.00035=1835=0.514285714=0.5143≈ 同理可得
2()Bayes P A B =
公式
7
35
0.2= 3()
Bayes P A B =
公式
10352
7
=0.285714285=0.2857≈ 或
312()
1()()P A B P A B P A B =
--已知结论
18713535=-
-1035=27
= 若在该地区发现a 号病，a 号病在该地三个小区内出现的概率分别是1835、735和2
7
Bayes 决策：
由 {()}j j
max P A B 1()P A B = ，知 “结果”B 发生时，“原因”1A 发生的可能性最大
?推断：若在该地区发现a 号病，则a 号病在分别在该地区的南行政小区内出现的
可能性最大，即该地区的南行政小区应作为a 号病的重点防疫地区（“验后概率”()j P A B 提供了附加信息 ）
【补例１－４－１５】某人外出时可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%和50%，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为
100%、70%、60%和90%，试求：
（1）该旅行者如期到达的概率；
（2）该旅行者如期到达时，他是乘坐火车的概率.
【解】 设事件
B ={ 该旅行者如期到达 } （“结果” ） 显然，由4个“原因”引发：
1A =设
{ 他是乘坐飞机 }
2A =设
{ 他是乘坐火车 } 3A =设
{ 他是乘坐轮船 } 4A =设{ 他是乘坐汽车 }
注意到1234A A A A 、、、构成一个完备事件组 于是，所求事件的概率为
（1）4
1
()()()i
i i P B P A
P B A ==
∑全概公式
11223344()()()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++
5100157030605090=%?%+%?%+%?%+%?%题设
=785010000=
157
200
=
0.7850=
（
由且()1()i i P B A P B A =- (1,2,3,4)i =
于是
2224
1
()()
()()
()
()()
j i
i i Bayes P A P B A P A B P A B P B P A
P B A ==
=
∑公式
2211223344()()
()()()()()()()()
P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =
+++
15(1705(110015(17030(16050(190%?-%)
=
%?-%)+%?-%)+%?-%)+%?-%)
450
10000215010000
=45215=
9
43=0.209302325≈0.2093≈ 222
2()()()()1()()Bayes P A P B A P A B P A B P B P B ==-公式151701571200
%?-%=
-（） 4501000043200=9
20043200
=9
43=
0.209302325≈0.2093≈ 【补例１－４－１６】12个乒乓球中有9个新球，3个旧球.第一次比赛，取出3个球，
用完后放回去，第二次比赛又从中取出3个球.（1）求第二次取出的3个球中有2个新球的概率；（2）若第二次取出的3个球中有2个新球，求第一次取到的3个球中恰有1个新球的概率.
【解】设事件
j B ={第二次取出的3个球中有j 个新球（3j -个旧球）} “结果”
（0,1,2,3j =）
显然，由4个“原因”引发：
0A =设
{第一次取出的三个球中有0个新球（3个旧球）}；
1A =设
{第一次取出的三个球中有1个新球（2个旧球）}；
2A =设
{第一次取出的三个球中有2个新球（1个旧球）}； 3A =设
{第一次取出的三个球中有3个新球（0个旧球）}
注意到0123A A A A ，，，构成一个完备事件组. （1
222323()()()()
P P P P A B A A B A =+ 实际含义？
03211221
939393843333
1212121221213021937593663
3
3
12
12
12
12
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+
?
+
?
新球旧球新球旧球新球旧球新球旧球
球球球球新球旧球
新球旧球
新球旧球
新球旧球
球
球
球
古典定义第一次第二次第一次第二次
第一次第二次第一次3
球
第二次
9887
3411932121
121110121110121110121110321321321321
????????=?+?????????????????化简
987698765
3516212132121121110121110121110121110321321321321??????????????+?+????????????????? 194393474
21110211102111021110?????=
?+?????????化简
943735347356
21110211102111021110
????????+?+?
???????? 222210830241134075601083024113407560
48400220220220220
+++=+++=化简化简 2203213770.455206611484003025
==≈化简化简0.4552≈
（2）若第二次取出的3个球中有2个新球，则第一次取到的3个球中恰有1个新球的概率
为
分母用全概公式
2222
3024
2201083024113407560
2202202201
220=
+++
借用（）的结果 分子是分母的第二项 30243024189
484000.1372549022203222032137748400
===≈化简化简化简0.1373≈ 【例１－４－５】
1122()()()()P P P P =+ 实际含义？
60804040=%?%+%?%64=%
【例１－４－６】
【辨析】 设事件
{}
()A =取红球“结果”到
显然，由３个“原因”引发：
{}
(1,2,3))(i B i i ==“取自号罐原因”球
注意到123B B B 、、（为对立事件）构成一个完备事件组.
233)()()P B P A B + 实际含义？
12131123
0.6388833343236
=?+?+?== 0.639≈ 【例１－４－７】
【辨析】同例６ 设事件
{}
()A =取红球“结果”到
显然，由３个“原因”引发：
{}
(1,2,3))(i B i i ==
“取自号罐原因”球
注意到123B B B 、、（为对立事件）构成一个完备事件组.
1128330.3478260869523
2336
?
=
=≈借用（）的结果
0.348≈
【同步１－４-１０】保险公司认为人可以分为两类：第一类是易出事故的人，第二类是比较谨慎、不易出事故的人.统计数字表明，第一类人在一年内某时刻出一次事故的概率为0.4，第二类人在一年内某时刻出一次事故的概率为0.2，若第一类人占30%，问： （1）一个新客户在购买保险后一年内出一次事故的概率是多少？
（2）如果该客户在购买保险后一年内出了一次事故，他是第一类人的概率是多少？
【解】设事件
B ={一个新客户在购买保险后一年内出一次事故 } “结果” 显然，由2个“原因”引发：
1A =设{ 他是第一类人 }A =或记为
注意到12、（为对立事件）构成一个完备事件组.
（1
（2
其余二厂各生产14.已知第一、二、三家工厂的不合格品率分别是0.02,0.03,0.04，现从该箱中任取一只产品，求：
（1）取到不合格产品的概率是多少？
（2）若任取一只产品是不合格品，求它是第一家工厂生产的概率.
【解】设事件
B ={ 取到不合格品 } “结果”
显然，由3个“原因”引发：
1A =设
{ 取到的产品是第i 家工厂生产的 }(1,2,3)i =
注意到123A A A 、、构成一个完备事件组. （1
233)()()P P A B A +
1110.11110.020.030.040.0275=
?+?+?==≈ （2
11112233()()
()()()()()()
P P P P P P P P A B
A A
B A A B A A B A =
++ 110.020.02
0.044220.3636360.36371110.110.11110.020.030.042444
??=====≈?+?+?
【同步１－４-１２】有两箱同种类的零件，第一箱装了50只，其中10只一等品；第
二箱装30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.
【解】利用§1.4全概率公式，见总习题一 EX18（P29） （1
1()
P B 2
11
()()i i i P A P B A ==
∑
全概公式
1112121111
10491829
1111
50
49
30
29
()()()()
1122P
A P
B A P A P B A
C C C C C C C C =+=?+?
古典定义
110118125023010=
?+?=+（2
11111()()()
P C B P C B P B =
条件概率
设事件
1C ={ 从某箱中取零件两次（不放回），第二次均取到的零件是一等品 } 注意到，事件
11C B ={ 从某箱中取零件两次（不放回）
，第一、二次均次取到的零件是一等品 } （“结果” ）
显然，由2个“原因”引发：
1A =设{ 任挑出一箱，是第一箱 }A =或记为
11()
P C B 2
111
()()i i i P A P C B A ==
∑
全概公式
111121121111
1091817
1111
50
49
30
29
()()()()
1122P A P C B A P A P C B A C C C C C C C C =+=?+?
古典定义
19181719317
()(
254930292549529
??=
?+=
?+????
1113317()()
1049294()
10
P C B P B ?+==
条件概率 332949173878333920
()44929449294492944929?+?+=?+=?=?=?
??? 32306900.48557353949291421
?===?0.4856≈ 注：
111111111()()
()()()()
P C P C B P C B P C B P B P B ==
条件概率乘法公式
1()
P C 2
11
()()i i i P A P C A ==
∑
全概公式
1112121111
49102918
1111
50
49
30
29
()()()()
1122P A P C A P A P C A C C C C C C C C =+=?+?
古典定义
1101181
25023010=
?+?=+【同步１－４-Linked Imriunosorbent Assay 酶连接免疫吸附测定)是现今检验艾滋病病毒的一种流行方法.假定ELISA 试验能正确测出确实带有病毒的人中的90%存在艾滋病病毒，又把不带病毒的人中的1%不正确地识别为存在病毒.又假定在总人口1000人中大约有1人确实带有艾滋病病毒，如果对某人的试验结果呈阳性（即认为带有病毒），那么他真的带有艾滋病病毒的概率有多大？如果被测者属于“高感染人群”中的一员，而估计这一高感染人群中大约100人中有1人带有病毒，那么检测为阳性
（1）在普通人群中（即总人口1000人中大约有1人确实带有艾滋病病毒：
11()P A =
，2111()()1()1P P P A A A ==-=-）
95959510000.0868372941195(10001)109495(1)110001000?%===≈+-?%+-?%化简
0.0868≈
（2）高感染人群中（即人群中大约100人中有1人带有病毒：
11()100P A =
，2111()()1()1100
P P P A A A ==-=-） 检测为阳性的人，真正带有艾滋病病毒的概率为
1
()
P A B11
1122
()()
()()()()
P P
P P P P
A B A
A B A A B A
=
+
959595
1000.489690721 1195(1001)194
95(1)1
100100
?%
===≈
+-
?%+-?%
化简
0.4897
≈
0.0868
≈
注意
如果在人群罕见艾滋病病毒（比如说，总人口10000人中大约有1人确实带有艾滋病病毒：
1
1
()
10000
P A=，2111
()()1()1
10000
P P P
A A A
==-=-）检测为阳性的人，真正带有艾滋病病毒的概率为
1
()
P A B11
1122
()()
()()()()
P P
P P P P
A B A
A B A A B A
=
+
959595
10000
1195(100001)10094
95(1)1
1000010000
?%
===
+-
?%+-?%
化简
0.009411531
≈0.0094
≈
【同步１－４-１４】
（1）设事件
B={任取一箱，从中任取一个产品，其为废品} “结果”
显然，由2个“原因”引发：
1
A=
设
{任取一箱，所取到的产品为甲厂生产的}A
=
或记为
2
A=
设
{任取一箱，所取到的产品为乙厂生产的}A
=
或记为
注意到12
A A
、（为对立事件）构成一个完备事件组.
()()()
i i
P P P
i
B A B A
=∑
全概公式
1122
()()()()
P P P P
A B A A B A
=+实际含义？
11
302011
50500.060.05C C C C =?+?箱，甲厂产品箱，乙厂产品
箱箱古典定义甲厂产品的废品率乙厂产品的废品率
（2
A = A =
) 实际含义？
11
3000240011
540054000.060.05C C C C =?+?件，甲厂产品件，乙厂产品
件件古典定义甲厂产品的废品率乙厂产品的废品率
300024000.060.0554005400=
?+?3005400== 注意
甲厂生产的产品总数 = 30（箱）= 30（箱）× 100（件/箱）= 3000（件） 甲厂生产的产品总数 = 20（箱）= 20（箱）× 120（件/箱）= 2400（件） 甲、乙厂生产的产品总数（合计） = 50（箱）= 5400（件）
【同步１－４-１５】有外形相同的球分装3个盒子，每个盒子10个球，其中第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子则有红球8个，白球2个.
试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球；若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取到标有字母B 的球，则在第三个盒.
2) 实际含义？
111
17
5
38
111110
10
10
10
A
B
C C C C C C C C =
?
+
?
红球
红球
字母
球
字母
球
第二次第二次从第二盒中取
从第三盒中取
古典定义第一次
第一次
753
101010=
?+? 注意
各“原因概率”（ “验前概率” ）之和为1，即
12()()()()1n i i
P P P P A A A A =++++=∑
【同步１－４-１６】一超市柜台销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品。某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客在剩下的8台中任意选购一台，求： （1）该顾客购到正品的概率；
（2）若该顾客购到正品，之前超市已售出2台照相机中有几台正品、几台次品？
【解】 设事件
B ={ 该顾客购到正品 } （“结果” ） 显然，由3个“原因”引发：
i A =设
{ 超市已售出2台照相机中有i 台正品 } (0,1,2)i =
注意到012A A A 、、构成一个完备事件组 （1）所求事件的概率为
20
()()()i
i i P B P A
P B A ==
∑全概公式
001122()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++
02
111
120
173
773
673
52
12
12
110
8
10
8
10
8
C C C C C C C C C C C C C C C ???=
?
+
?
+
?
古典定义
777
1202024
=
++ 1117(
)1202024=?++1657()120++=?127120=?710
=0.7= （2）由（1）知，该顾客购到正品时，之前超市已售出2台照相机中有i 台正品、2i -台次
品(
0,1,2)i =的概率分别为：
00002
0()()
()()
()
()()
i
i i Bayes P A P B A P A B P A B P B P A
P B A ==
=
∑公式
02173
7
21
10
8
0.7
C C C C C ??
=
7
120710
=112=0.0833= 111
12
()()()()()
()()
i i i Bayes P A P B A P A B P A B P B P A P B A ===∑公式
11
173
6
2
110
8
710C C C C C ??
=7
20710
=12=0.5=
222
()()
()()()
()()
i i i Bayes P A P B A P A B P A B P B P A P B A ===∑公式 20
173
52110
8
7
10
C C C C C ??
=
76
5218
2110
????=
512=0.4166= 0.4167≈ 由 {()}j j
max P A B 1()P A B = ，知
“结果”B 发生时，“原因”1A 发生的可能性最大
?
推断：若该顾客购到正品，之前超市已售出2台照相机中有1台正品、1台次品
的机会最大
注意
本题中，事件B ={ 该顾客购到正品 }（“结果” ）也可理解为 由3个“原因”引发：
i A =设
{ 超市已售出2台照相机中有i 台次品 } (0,1,2)i =
注意到012A A A 、、构成一个完备事件组 于是，所求事件的概率为
（1）2
()()()i
i i P B P A
P B A ==
∑全概公式
001122()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++
02
111
120
137
537
637
72
12
12
110
8
10
8
10
8
C C C C C C C C C C C C C C C ???=
?
+
?
+
?
古典定义
76
15376
31721109109109888212121??
???=?+?+???????7653733171098594598???=?+?+???? 7772420120=++35
427120++=84120=2130=710=0.7= （2）略，结果不变
【敏感性问题调查】
§3.1.1频率与概率 （韦文月陕西师范大学 710062） 【教材版本】北师大版 【教材分析】 本节课的教学内容是《数学必修3》第三章§1.1节互斥事件，教学课时为1课时．《标准》要求学生在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．本节课主要是通过具体实例，理解概率与频率的联系与区别，进一步辨别随机试验结果的随机性与规律性的关系． 概率研究随机事件发生的可能性大小问题，这里既有随机性，又有随机中表现出的规律性，这是学生理解的难点．突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法．对随机事件的概率教学可以分为下面几个层次： 第一，由学生实际动手操作投掷硬币试验 第二，计算机模拟，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动． 第三，展示历史上一些掷硬币的试验，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动． 第四，解释这个常数代表的意义：这个常数越接近1，表明事件发生的频率越大，也就是它发生的可能性越大；这个常数越接近0，表明事件发生的频率越小，也就是发生的可能性越小．所以可以用这个常数度量事件发生的可能性的大小． 第五，引导学生对概率与频率的关系进行比较．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．频率是随机的，在试验前不能确定，但概率是一个确定的数，与每次试验无关． 【学情分析】
第26章随机事件的概率导学案 26、1、1 什么是概率 学习目标： 知识与技能目标：1．能在简单的问题中预测事件的概率． 2．知道所求具体问题概率的意思． 过程与方法目标：通过活动，感受数学与现实生活的联系;提高用数学知识来决问题的能力. 情感与态度目标：通过对概率问题的探索，使学生体会概率在现实生活中的广泛应用，使学生更好地认识世界，并形成自己的看法，促进形成正确的世界观及辩 证唯物主义的观点 学习重点难点： 学习重点：对概率定义的理解和简单事件的概率的计算。 学习难点：用概率对事件进行认识。 导学流程： 情景导入： 问题： （1）如果天气预报说：“明日降水的概率是80%，那么你会带雨具吗？” （2）有两个工厂生产同一型号足球，甲厂产品的次品率为0.001，乙厂产品的次品率是0.01．若两厂的产品在价格等其他方面的条件都相同，你愿意买哪个厂的产品？ 自主学习：一、自学课本106页至108页内容，大约用五分钟时间，完成以下学习任务：（1）掌握概率的定义， （2）学习课本中表26.1.1，并把表格补充完整。 （3）如何从频率的角度解释某一具体的概率值？ （4）除实验外我们还可以用什么方法求概率？ 合作交流：在自学的基础上，跟同桌交流书中所有问题的答案，答案不统一的，前后桌的同学再讨论后统一答案。 关注的结果个数 精讲点拨：（1 ）P(关注的结果)= 个数 所有机会均等的结果的
( 2 ) 实验频率跟理论概率是统一的。 练习达标：（分层练习） A组 1．掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率： P（掷得点数是6）=________； P（掷得点数小于7）= _________； P（掷得点数为5或3）=_________； P（掷得点数大于6）= ___________. 2．甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80，你认为买哪一种产品更可靠？ 3.阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？ 4.从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张· P（抽到红心）= ________ P（抽到黑桃）= _______ P（抽到红心3）= ________ P抽到5）= __________ 5.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4·现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则： P（摸到1号卡片）= _______ P（摸到2号卡片）= ________ P（摸到3号卡片）= _______ P（摸到4号卡片）= ________ 6. 任意翻一下日历，翻出1月6日的概率为________.翻出4月31日的概率为________. B组 1. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会·如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）·甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
第二课时随机事件的频率与概率 一、教学目标：1．理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性；2．掌握概率的统计定义及概率的性质． 二、教学重点：随机事件的概念及其概率．教学难点：随机事件的概念及其概率． 三、探究讨论法 四、教学过程 （一）、新课引入 1．观察下列日常生活中的事件发生与否，各有什么特点？（1）金属丝通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在常温下，焊锡熔化；（4）在标准大气压下且温度低于00C时，冰融化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶． 分析结果： （1）（2）是必然要发生的，（3）（4）不可能发生，（5）（6）可能发生也可能不发生 2．（1）“如果a＞b，那么a－b＞0”; （2）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （3）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（4）“没有水份，种子能发芽”； 分析结果：（略） 3．男女出生率 一般人或许认为：生男生女的可能性是相等的，因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1：1，可事实并非如此．公元1814年，法国数学家拉普拉斯（Laplace 1794---1827）在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一下有趣的统计．他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22：21，即在全体出生婴儿中，男婴占51．2%，女婴占48．8%．可奇怪的是，当他统计1745---1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比是25:24，男婴占51．02%，与前者相差0．14%．对于这千分之一点四的微小差异！拉普拉斯对此感到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入进行调查研究，终于发现：当时巴黎人”重男轻女”，又抛弃女婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22：21． 4．π中数字出现的稳定性（法格逊猜想） 在π的数值式中，各个数码出现的概率应当均为1/10．随着计算机的发展，人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计，得到的结果与法格逊猜想非常吻合．
2019-2020学年高中数学第三章概率第1课时随机事件及其概率 导学案苏教版必修3 【学习目标】 1.体会确定性现象与随机现象的含义. 2.了解必然事件、不可能事件及随机事件的意义. 3.了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性. 4.了解概率的意义以及概率与频率的区别. 5.理解概率的统计定义,知道根据概率的统计定义计算概率的方法. 6.通过对概率的学习,使学生对对立统一的辩证规律有进一步的认识. 【问题情境】 观察下列现象： (1)在标准大气压下把水加热到1000C,沸腾； (2)导体通电,发热； (3)同性电荷,互相吸引； (4)实心铁块丢入水中,铁块浮起； (5)买一张福利彩票,中奖； (6)抛一枚硬币,正面向上. 这些现象各有什么特点? 【合作探究】 1.基本概念:确定性现象、随机现象、试验、事件. 2.必然事件：； 不可能事件：； 随机事件： . 事件的表示：以后我们用A、B、C等大写字母表示随机事件，简称事件. 3. 随机事件的概率： 记作，概率P(A)必须满足的两个条件为（1）（2）
4. 概率与频率的关系： (1)一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次,当试验的次数n很大时,我们可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值，即 . (2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率，并在其附近摆动.概率是频率的稳定值.频率本身是随机的，在试验前不能确定. (3)概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验无关.它反映了随机事件发生的可能性大小. (4)必然事件的概率为，不可能事件的概率是 .随机事件的概率 . 【展示点拨】 例1.试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件: (1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭； a ； (2)若a为实数，则0 (3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯； (4)抛一石块，石块下落； (5)一个正六面体的6个面分别写有数字1，2，3，4，5，6，将它抛掷两次，向上的面的 数字之和大于12. 例2.某射手在同一条件下进行射击，结果如下： (1)计算表中击中靶心的各个频率； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少?
第二十五章概率初步 25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件 一、新课导入 1.导入课题： 情景：5名同学参加演讲比赛,现要确定选手的比赛出场顺序,为了体现比赛的公平性,决定采取临时抽签的方式决定出场先后顺序. 签筒中有5张形状、大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5.小军首先抽签,他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地抽取一张纸签. 问题：你能猜一猜小军会抽到几吗？ 今天我们来学习随机事件.(板书课题) 2.学习目标： （1）认识必然事件、不可能事件和随机事件. （2）会确定随机事件发生可能性的大小. 3.学习重、难点： 重点：认识必然事件、不可能事件和随机事件,随机事件发生可能性的大小. 难点：确定随机事件发生可能性的大小. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第127页到第128页“练习”以上的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：结合自学提纲互相交流. （4）自学提纲： ①问题1中（2）~（4）哪种情况可能发生？哪种情况不可能发生？ （4）可能发生,（3）不可能发生. ②问题2中(2)~(4)哪种情况可能发生？哪种情况不可能发生？ (4)可能发生,(3)不可能发生. ③问题1和2中的情况（2）一定发生吗？ 一定发生.
④什么叫必然事件？什么叫不可能事件？什么叫随机事件？ 在一定条件下,有些事件必然会发生,这样的事件称为必然事件；相反地,有些事件必然不会发生,这样的事件称为不可能事件；在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件. ⑤各举一、两例说明必然事件,不可能事件和随机事件,然后相互交流一下. 必然事件：太阳从东边升起；水涨船高 不可能事件：太阳从西边升起 随机事件：明天是晴天 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：了解学生的答题情况. ②差异指导：教师对个别突出问题进行点拨引导. （2）生助生：引导学生相互交流帮助认识问题. 4.强化： （1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念. （2）练习：指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. ①通常加热到100℃时,水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中； ③掷一次骰子,向上的一面是6点； ④度量三角形的内角和,结果是360°； ⑤经过城市中某一有交通信号灯的路口,遇到红灯； ⑥某射击运动员射击一次,命中靶心. 解：必然事件：①;不可能事件：④;随机事件：②③⑤⑥. 1.自学指导： （1）自学内容：教材第128页问题3到第129页的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：动手实验,从实验中感受随机事件发生的可能性大小. （4）探究提纲：
第一章 随机事件及其概率 1. 1) {}01001,,,.n n n n Ω=L 2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L 3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。 , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. , ,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++?? =? ?-+---+-+-++--+++-------+--+---++??++--++-++++-+++++--+-+-+-++?? Ω=? ?-+---+-+-++--+++--?? 4) {}22(,)1.x y x y Ω=+< 2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ， 5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道 ()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。 （2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。 4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以 ()()()()()()()() 1111 000(0()()0)44485.8 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意， ()()() () ()()()() ()()()() ()()0.70.5 0.25. ()()()0.70.60.5 P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++= = ++=+=+---= ==+-+-Q 6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),34 12()2 P AB P AB P A P B A P B P A B ==?=== 所以1 111 ()()()().4 6123 P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：
随机事件的频率与概率 1.随机事件的频率 随机事件的频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n n A f A n )(为事件A 出现的频率． 2.随机事件的概率 一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作P(A)． 3.频率与概率的区别和联系 (1) 频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同． (2) 概率是一个确定的数，与每次试验无关．是用来度量事件发生可能性大小的量． (3) 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 例1.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率是多少？ 分析：(1)分清m ，n 的值，用公式n m 计算； (2)观察各频率是否与某一常数接近，且在它附近摆动． 解：(1)
(2)从上表可以看出，这名运动员击中10环的频率在0.9附近波动，且射击次数越多，频率越接近0.9，故可以估计，这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9． 点评：在相同条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们就可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性的大小，而将频率作为其近似值．从中要进一步体会频率与概率的定义及它们的区别与联系．如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率 n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈n m ． 例2.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法： 先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数． 分析：用样本估计总体． 解：设水库中鱼的尾数为n,n 是未知的，现在要估计n 的值，将n 的估计值 记作n ?． 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾鱼，设事件A 为“带有记号的鱼”，易知P(A)＝n 2000． 第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数n A =40，由概率的统计定义知50040)(≈ A P ． 所以500 402000≈n ．
§3.1随机事件及其概率 3.1.1 随机现象 3.1.2 随机事件的概率 内容要求 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念(重点)；2.正确理解事件A出现的频率的意义(重点)；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系(难点). 知识点一必然事件、不可能事件与随机事件 事件类型定义 必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件. 不可能事件在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件. 随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件. 下面给出五个事件： ①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，ab＝ba. 其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________(填序号). 解析①是随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪.②是随机事件，当a＞1时，函数y＝a x在其定义域上是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝a x在其定义域上是减函数. ③是必然事件，实数的绝对值永远都是非负数.④是不可能事件，在标准气压下，水在0 ℃结冰.⑤是必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立. 答案③⑤④①② 知识点二随机事件的频率与概率 1.随机试验 (1)试验可以在相同的条件下重复进行； (2)试验的结果都明确可知，但不止一种； (3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果. 称这样的试验是一种随机试验，简称试验. 2.随机事件的频率 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次
第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．
习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .
三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P
《随机事件的频率与概率》教案 一、[教学目标] 1、知识与技能：理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性；掌握概率的统计定义及概率的性质。 2、过程与方法目标：通过创设问题情境，引发学生思考、探究，在这个过程中体会学习条件概率的必要性，探寻解决问题的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。 3、情感态度价值观：在问题的解决过程中，学会探究、学会学习；体会数学的应用价值，发展学生学数学用数学的意识。 二、[教学重点] 随机事件的概念及其概率． 三、[教学难点] 随机事件的概念及其概率． 四、[教学方法] 探究讨论法。 五、[教学过程] （一）新课引入 1．观察下列日常生活中的事件发生与否，各有什么特点？（1）金属丝通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在常温下，焊锡熔化；（4）在标准大气压下且温度低于00C时，冰融化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶． 分析结果： （1）（2）是必然要发生的，（3）（4）不可能发生，（5）（6）可能发生也可能不发生 2．（1）“如果a＞b，那么a－b＞0”; （2）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（3）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （4）“没有水份，种子能发芽”；
分析结果：（略） （二）探究新课 1．事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件． 说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的性质也可以发生变化． 2．随机事件的概率： （1）实验:随机事件在一次试验中是否发生是不确定，但在大量重复的试验情况下，它的发生呈现出一定的规律性． 实验一：抛掷硬币试验结果表： m n） 抛掷次数（n）正面朝上次数（m）频率（/ 2048 1061 0．5181 4040 2048 0．5069 12000 6019 0．5016 24000 12012 0．5005 30000 14984 0．4996 72088 36124 0．5011 当抛掷次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，并在它附近摆动． 实验二：某批乒乓球产品质量检查结果表： 抽取球数n50 100 200 500 1000 2000 优等品数m45 92 194 470 954 1902 m n0．9 0．92 0．97 0．94 0．954 0．951 频率/ 当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，并在它附近摆动
随机事件的概率导学案 【学习目标】 1、学生理解并记忆必然事件、不可能事件、随机事件的特点并会判断。 2、学生经历分析、归纳、总结，进而了解并体会和了解随机事件发生的概率。 【学习重点】1、根据实际情况能判断出必然事件，随机事件，不可能事件. 2、理解频率与概率与概率的关系. 【学习难点】理解频率与概率的关系. 问一问： 1.守株待兔这个故事给了你什么样的启示？ 2.周杰伦投篮一次一定投中吗？ 3.遵义地区一年四季交替吗？ 4.小明高考数学想要考151分，可能么？ 归纳总结： 1.在条件S下,一定会发生的事件,叫做______________,简称________. 2.在条件S下,一定不会发生的事件,叫做__________________,简称__________. 3.在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做_______________,简称__________. 4.必然事件和不可能事件统称________;确定事件和随机事件统称为_____.一般用大写字母 A、B、C……表示。 试一试： 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： 1、函数y=x2-2x在区间[1,+∞)上是增函数； 2、水中捞月。 3、掷一枚硬币，出现正面。 4、标准大气压下，把生鸡蛋在沸水中煮15分钟，蛋白会凝固。 5、从分别标有1、2、3、4、5的5张标签中任取一张得4号签。 做一做： 全班每人投掷硬币十次，每小组组长记录本组总的正反面出现次数。
定义： (一)频数，频率的定义：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的____,称事件A 出现的比例______)(=A n f 为事件A 出现的频率。 问题1：频率的取值范围是什么？ (二)概率的定义：对于给定的随机事件A ，如果随着实验次数的增加，事件A 发生的频率)(A n f 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的_____，简称为A 的______。 问题2:概率的取值范围是什么？ 问题3：频率和概率的区别是什么呢？ 例1（1）给出一个概率很小的随机事件的例子； （2）给出一个概率很大的随机事件的例子. 例2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: （1）计算表中击中靶心的各个频率; （2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少? （3）这个射手击中靶心的概率是0.9，那么他射击10次，一定能击中靶心9次吗？ （4）该射手射击次数越多,击中靶心的频率越接近0.9吗？ 总结： 1.事件分为几类？每一类事件的概率范围为多少？ 2.频率和概率有什么联系与区别？
§12.1 随机事件的概率 会这样考 1.考查随机事件的概率，以选择或填空题形式出现；2.考查互斥事件、对立事件的概率；3.和统计知识相结合，考查概率与统计的综合应用． 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件． (4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S 的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C …表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3． 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． ③事件A 的对立事件一般记为A , 则P (A )＝1－P (A ) [难点正本 疑点清源] 1．频率和概率 (1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次 数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率． (2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法． 2．互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验， 结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3 7 ；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，3 7 是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两 个不同的概念． 2．在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P (A )与m n 的关系是( ) A ．P (A )≈m n B ．P (A )
§1 随机事件的概率 1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性． 2．理解概率的定义以及频率与概率的区别． 3．了解随机数的意义． 1．概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有________性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记为P (A )．我们有________≤P (A )≤________. 【做一做1】下列说法正确的是( )． A ．某事件发生的概率为P (A )＝ B ．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1 C ．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件 D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 2．频率 在相同条件S 下重复n 次试验，事件A 出现了m 次，称n 次试验中事件A 出现的次数m 为事件A 的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝m n 为事件A 出现的频率． 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的________大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的________作为它的概率的估计值． 抽取台数 50 100 200 300 500 1 000 优等品数 40 92 192 285 478 954 (1)(2)该厂生产的电视机优等品的概率约是多少？ 频率与概率有什么联系？ 剖析：对于随机事件而言，一次试验的结果是确定的，但是不同的结果出现的可能性是不同的，既然事件发生的可能性有大小之分，我们如何进行定量的描述呢？根据经验，可以用发生的频率来进行刻画，频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性大小，但频率又不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性大小．频率虽然不能很准确地反映出事件发生的可能性大小，但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增多，频率就稳定于某一固定值，即频率具有稳定性，这时就把这一固定值称为概率．概率和频率的取值范围都是[0,1]，若所求值不在该范围内，则结果必错无疑． 由此可见：(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率； (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 题型一 随机现象的判断 【例题1】判断以下现象是否为随机现象： (1)单位时间内通过某路口的“红旗”牌轿车有8辆；
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示
随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一. （2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S下进行了n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中
10.1.3古典概型 (教师独具内容) 课程标准：1.了解概率的含义.2.结合具体实例，理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率． 教学重点：古典概型的定义及其概率公式． 教学难点：会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率. 知识点一概率 对随机事件发生□01可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用□02P(A)表示． 知识点二古典概型的概念 如果试验具有以下两个特征： (1)□01有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)□02等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 知识点三古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其 中的k个样本点，则定义事件A的概率□01P(A)＝k n＝n(A) n(Ω) . 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 1．从集合的角度理解古典概型的概率公式 用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件 A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝k n.如图所示．
把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I 中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是 集合I的一个子集，故有P(A)＝k n. 2．求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)． (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率． P(A)＝事件A包含的样本点个数 样本空间的样本点总数 ＝ k n. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．() (2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．() (3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为1 n.() 答案(1)×(2)×(3)√ 2．做一做 (1)下列关于古典概型的说法中正确的是() ①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本 点，则P(A)＝k n. A．②④B．①③④ C．①④D．③④ (2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是() A.1 2 B. 1 6