高等数学第六章定积分应用综合测试题
第六章 定积分应用测试题A 卷
一、填空题（20分）
1
、定积分()20
a a x dx ?-??表示一平面图形的面积，这一图形的边界
曲线方程是 .
2、设一放射性物质的质量为()m m t =，其衰变速度
()dm
q t dt
=，则从时刻1t 到2t 此物质分解的质量用定积分表示为 .
3、抛物线232y x x =--与Ox 轴所围成图形的面积 .
4、由极坐标方程()ρρθ=所确定的曲线及(),θβθβαβ==<所围扇形的面积为 .
二、选择题（20分）
1、曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b ===<<及y 轴所围图形的面积A ，则A = [ ]
（A ）ln ln ln b a
xdx ?; （B ）b
a e x e
e dx ?; （C ）ln ln b y
a
e dy ?
; （D ）ln a
b e e
xdx ?.
2、曲线x y e =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积
A = [ ].
（A ）()10
x e ex dx -?; （B ）()1
ln ln e
y y y dy -?;
（C ）()1
e x e ex dx -?; （D ）()1
ln ln y y y dy -?.
3、曲线2ln(1)y x =-上1
02
x ≤≤一段弧长s = [ ].
（A
）; （B ）1
2
22011x dx x
+-?; （C
）; （D
）. 4、矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力
F =[ ].
（A ）0
h
ahdh ?; （B ）0
a
ahdh ?;
（C ）0
1
2
h
ahdh ?
; （D ）02h ahdh ?.
三、解答题
1、（10分）求曲线23(4)y x =-与纵轴所围成图形的面积.
2、（10分）求由圆22(5)16x y +-=绕x 轴旋转而成的环体的体积.
3、（10分）试证曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长等于椭圆2222x y +=的周长.
4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？
5、（20分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .并且1a <.如图6.25. （1） 试确定a 的值，使12S S +达到最
小，并求出最小值；
（2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
第六章 定积分应用测试题B 卷
一、填空题（20分）
1、求曲线22
2,82
x y x y =+=所围图形面积A （上半平面部分），则
A = .
2、曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围图形面积A = .
3、求曲线sin ,
1cos ,x t t y t =-??=-?
从0t =到t π=一段弧长s = .
4、曲线()0,,2,0xy a a x a x a y =≤===与直线及所围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积V = .
二、选择题（20分）
1、曲线1
,,2y y x x x
===所围图形的面积为A ，则A =
[ ]
（A ）2l
1()x dx x -?
; （B ）2l 1
()x dx x
-?;
（C ）22l l 1(2)(2)dy y dy y -+-??; （D ）22l l 1
(2)(2)dx x dx x
-+-??.
2、摆线()()()sin ,
01cos ,x a t t a y a t =-??>?=-??
一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转的旋转体
体积
V = [ ]
（A ）()22
201cos a t dt π
π-?; （B ）
()()22
20
1cos sin a
a t d a t t ππ--?????
;
（C ）()()22
20
1cos sin a t d a t t π
π--?????; （D ）()22
2
01cos a
a t dt ππ-?. 3、星形线33
cos sin x a t
y a t ?=?=?的全长s = [ ]
（A ）()2
20
4sec 3cos sin t a t t dt π
?-?; （B ）()0
22
4sec 3cos sin t a t t dt π?-?;
（C ）()2
2sec 3cos sin t a t t dt π?-?; （D ）()0
22sec 3cos sin t a t t dt π
?-?.
4、半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深()0h h a <<，则水面上升速度是[ ]
（A ）
2
0h d y dy dh
π?; （B ）()2
20h d a y a dy dh
π??--???; （C ）20h d b y dy dh π?; （D ）20
(2)h
d b ay y dy dh -?. 三、解答题
1、（13分）由两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形.
（1）计算所围成图形的面积A ；
（2）将此图形绕x 轴旋转，计算旋转体的体积.
2、（15分）由曲线23y x =，直线2x =及x 轴所围图形记作D ， （1）求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积； （2）求D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积；
（3）求以D 为底且每个与x 轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积. 3、（12分）曲线24cos 2r θ=与x 轴在第一象限内所围图形记作D ，试在曲线24cos 2r θ=上求一点M ，使直线OM 把D 分成面积相等的两部分. 4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为,a b 的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c 处，试求观察窗所受的水压力.
5.(10分)求曲线x x y 22-=，0=y ，1=x ，3=x 所围成的平面图形的面积S ，并求
该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
综合测试题A 卷答案
一、填空题
1、上半圆y =y a x =-和直线2
a
x =； 2、()2
1t t q t dt ?； 3、
32
3
；4、()212d βαρθθ?.
二、选择题
1、C;
2、A;
3、B ；
4、A. 三、解答题
1、先求交点，令0x =得264y =，故128,8y y =-=，及曲线与纵轴交点为
()()0,8,0,8-.又234x y =-，所以28
8
3
88
3
(4)255
S xdy y dy --==-=??.
2、因为5y =±而44x -≤≤，所求环体体积是由半圆
5y =+与半圆5y =x 轴旋转生成的旋转体体积之差，即
4
2224[(5(5]160V dx ππ-=+--=?.
3、因为椭圆方程为2
2
22x y +=，即2
212
x y +=，则其参数方程为
()02sin x t
t y t
π?=?≤≤?
=??， 由椭圆关于,x y 轴的对称性，所以周长
144s ==.
而曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长
244s ==2
x t π
=- 4.
故12s s =.
4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分
的体积：32
022(1)(),333
h h z dz h ππππ+-=+-?
其中h 为球心向上移动距离（01h ≤≤），故将球从水中取出所作的功为
31
0221113
()()33321212h W h dh πππππ??=+-=+-=???
??.
5、解（1）当01a <<时（如图一）
()()1
22120
a a
S S S ax x dx x ax dx =+=-+-??
233221
01()()2332
323
a a
ax x x ax a a =-+-=-+.
令 210
2S a '=-
=，得a =，又0,S ''=>
则
S 是极小值及最小值.其值为 13S == 当0a ≤时，()()0
1
2
2
120a S S S ax x dx x ax dx =+=-+-??31623
a a --+，
2211
(1)222
a S a '=--=-+0<，
S 单调减少，故0a =时，S 取得最小值，此时1
3
S =.
综合上述，当
a =
时，S 为所求最小值，最小值为26.
(2) 124
420
11()()22x V x x dx x x dx ππ=-+-
=5533111
655630
x x x x πππ??-+-=
??.
综合测试题B 卷答案
一、填空题
1
、22
2)2x dx --?； 2、2
23203112(1cos )(3cos )22d d ππ
πθθθθ??++????
??；
3、0atdt π?；
4、22()a a a
dx x
π?..
二、选择题
1、C;
2、B ;
3、B ；
4、D 三、解答题 1、（1
）)
331
2
12
00
213
33x A x dx x ??==-= ????
.
（2）()2514
1003.2510x x V x x dx π
ππ??=-=-=
???
? 2、（1）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积
12
104243y V dy ππ?
?=-= ??
??
（2）D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积
()2
220
23324V x x dy ππ=-?=?
（3）以D 为底且与x 轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为
(
)224133sin 23S x x x π=???=
因此平行截面的面积为()
S x的立体体积
4
30
V dx
==
?.
3、设()
000
,
M rθ为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积
00
2
10
00
11
4cos2sin2
22
S r d d
θθ
θθθθ
===
??
D的面积2
44
00
11
4cos21
22
S r d d
ππ
θθθ
===
??.
由条件
1
1
2
S S
=，即得
1
sin2
2
θ=，所以
012
π
θ=.
对应的
r==M的极坐标为
4、建立如图6.26所示的坐标系
椭圆方程为
22
22
1
x y
a b
+=，则
()(
00
22
a a
P g c x ydx g c x
ρρ
=+=+
??
令sin
x a t
=，则()2
2
1
2sin cos2
43
P gab c a t tdt gab c a
ππ
ρρ??
=+=+
?
??
?.
其中ρ为水的密度，g为重力加速度.
5.解：所求面积2
1
S
S
S+
=，(图6.27)
dx
x
x
S?-
=2
1
2
1
)
2(
3
2
)
3
1
1(
)
3
8
4(
)
3
1
(
2
1
3
2=
-
-
-
=
-
=x
x
3
2
2
3
3
2
2
2
)
3
1
(
)
2
(x
x
dx
x
x
S-
=
-
=?
图6.26
)
3
4
)438()99(=---=。
221=+=S S S 。
平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积 π-+++π=π-++π=??--dy y y dy y V )122()11(0
1
20
1
1
π=π-+--π=π-+++
π=-6
11)]212(34[])1(3
42
12[01
23
2y y y ，
平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积 dy y y dy y V )122(27)11(273
230
2+++π-π=++π-π=??
π=-++π-π=+++π-π=643)34332296(27])1(34212[2730
23
2y y y ，
故所求旋转体的体积π=π
+π=+=96
4361121V V V 。 解法2：（薄壳法）
dx x x x dx x x x dx x f x V ???-π+-π=π=3
2
22
1
231
)2(2)2(2)(2
dx x x dx x x ??-π+-π=3
22
3
2
13
2
)2(2)2(23
23
42143]3
24[2]432[
2x x x x -π+-π= 。
π=---π+---π=9)]3
16
416()354481[(2)]4132()416316[(2图6.27