第10课时三角函数模型的简单应用
1.通过观察分析已知的数据,能建立三角函数模型来刻画实际问题并加以解决.
2.对已知某实际问题近似地满足于三角函数的模型,能用此模型探求相关的数据.
3.体验三角函数模型在现实世界中的广泛应用,初步领略三角函数模型是处理周期变化现象的重要方法之一.
(显示水车转动的动画,再抽象出水车的静态平面图,最后抽象出数学平面图)如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间:
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t (s)的函数;
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?
问题1:三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,试举例说明:.
问题2:函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)在物理中的应用:
A表示;周期T=,频率f= = ;ωx+φ表示,φ表示.
问题3:函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的基本性质
定义域:;值域:;周期:;
奇偶性:当φ= 时为偶函数;当φ= 且时为奇函数,否则为函数.
问题4:应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为问题,通过分析它的变化趋势,确定它的,从而建立起适当的函数模型,解决问题的一般程序:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解关系.
(2)建模,分析题目周期性,选择适当的模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为问题的解答.
1.弹簧振子的振幅为 2 cm,在 6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知,该振子的振动的().
A.频率为1.5 Hz
B.周期为1.5 s
C.周期为6 s
D.频率为6 Hz
2.如图,一个水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动4圈,如果水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+2,则有().
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
3.据市场调查,一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上,按月呈y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,则该函数的解析式为.
4.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<π).
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
简谐振动
已知弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin(2t+),t∈[0,+∞).作出这个函数在一个周期内的简图,并回答下列问题:
(1)小球在开始振动(t=0)时,离开平衡位置的位移是多少?
(2)经过多少时间,小球往复振动一次?
航海、潮汐等问题
某港口的水深:
经过长时间的观察,描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可以近似地看成正弦型函数y=A sin ωt+B的图像.
(1)试根据数据表和曲线,求出函数y=A sin ωt+B的表达式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不少于4.5 m时是安全的.如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)是7 m,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所需时间)?
摩天轮、交流电电流与频率等问题
如图,已知一个游客坐在半径为15米的摩天轮上,摩天轮20分钟旋转一周,它的最低点距离地面1米,当游客从摩天轮上最低点开始出发到达点P位置时,求该游客离开地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式.
下面是某简谐运动的图像,试根据图像回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?
(2)从O点算起,到曲线上哪一点,表示完成了一次往复运动?从A点算起呢?
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=A cos ωt+b.
(1)根据以上数据,求出函数y=A cos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天的上午8时至晚上20时之间,有多少时间可以供冲浪者进行运动?
某正弦交流电的电压U(单位:V)随时间t(单位:s)变化的函数关系是U=120sin(100πt-),t∈[0,+∞).
(1)求该正弦交流电电压U的周期、频率、振幅;
(2)当t=、时,求瞬时电压U;
(3)将此电压U加在激发电压、熄灭电压均为 84 V 的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间.(说明:加在霓虹灯管两端电压大于 84 V时灯管才发光.取≈1.4 )
1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(cm)与时间t(s) 的函数关系式为s=6sin(2πt+),那么单摆来回摆动一次所需时间为().
A.2π s
B.π s
C.0.5 s
D.1 s
2.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin(100πt-),t∈[0,+∞),则这种交流电电流在0.5 s内往复运动的次数为().
A.100
B.75
C.25
D.50
3.已知函数y=2cos x(0≤x≤1000π)的函数图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是.
4.如图,摩天轮的半径为50 m,圆心O点距地面的高度为60 m.摩天轮做匀速转动,每3 min 转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)=A sin(ωt+φ)+h (A>0,-≤φ≤).
(1)求f(t)的表达式;
(2)求在2008 min时点P距离地面的高度.
如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是().
考题变式(我来改编):
答案
第10课时三角函数模型的简单应用
知识体系梳理
问题1:物理中的简谐振动,交流电中的电流,水车问题和潮汐等
问题2:振幅相位初相
问题3:R[-A+b,A+b]+kπ(k∈Z)kπ(k∈Z)b=0非奇非偶
问题4:数学周期三角(1)数学(2)三角函数(4)实际
基础学习交流
1.B由于弹簧振子的振幅为 2 cm ,所以一个周期内弹簧振子通过的路程为8 cm ,在6 s 内有4个周期,所以周期为1.5 s.
2.B由图可知,振幅A==3,每一圈用时,即周期T==15 s ,∴ω=,所以选B.
3.y=2sin(x-)+7(1≤ x≤12,x∈N+)由题意可知,=7-3=4,∴T=8,
∴ω==,又∴
∴f(x)=2sin(x+φ)+7,(*)
把点(3,9)代入(*)式得sin(+φ)=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=-,
∴f(x)=2sin(x-)+7(1≤ x≤12,x∈N+).
4.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20℃.
(2)从图中可以看出,从6~14时的图像是函数y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,
∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.
∵×=14-6=8,∴ω=,y=10sin(x+φ)+20.
将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
重点难点探究
探究一:【解析】作出函数在一个周期内的简图,采用五点法作图即可,图像如图所示,作法略.
(1)将t=0代入s=4sin(2t+),得s=4sin=2≈3.46(cm),即小球开始振动时的位移是2cm,并由图可知,这段位移是在平衡位置的上方.
(2)因为这个函数的周期T==π,所以小球往复振动一次所需的时间为π≈3.14 s,反映在图像上,正弦型曲线在每一个长度为π的区间上,都要完整地重复变化一次.
【小结】在物理学中,当物体作简谐运动时,可以用正弦型函数y=A sin(ωx+φ)来表示振动的位移y随时间x的变化规律,其中:
(1)A称为简谐运动的振幅,它表示物体振动时离开平衡位置的最大位移;
(2)T=称为简谐运动的周期,它表示物体往复振动一次所需要的时间;
(3)f==称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体往复振动的次数.
探究二:【解析】(1)由周期求得ω=,由最大、最小值求得A==3,由y轴上的截距得B=10,∴y=3sin t+10.
(2)由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4.5 m,故船舶航行时水深y≥11.5 m,令y=3sin t+10≥11.5,得sin t≥,解得12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),取k=0时,则1≤t≤5;取k=1时,则13≤t≤17.
从而,船舶要在一天之内在港内停留时间最长,就应从凌晨1点进港,下午17点前离港,在港内停留时间最长为16 h.
【小结】求目标函数是本题求解的关键,而最多在港内停留多长时间,需仔细审题,容易忽略停靠时间,误以为是停留8 h.
探究三:
【解析】如图,设游客在P0位置时t=0,将摩天轮的圆周按虚线分成四个区域进行讨论,四个区域各任选一个点,如:P1,P2,P3,P4,经过时间t时游客到达P i位置,设∠P0OP i=ωt(i=1,2,3,4),
∵摩天轮每20分钟转一周,∴每分钟所转的度数为ω==,则θ1=ωt,θ2=π-ωt,θ3=ωt-π,θ4=2π-ωt.
以P2为例,∵h=15+15cos θ2=15+15cos(π-ωt)=15-15cos ωt=15-15cos t,∴h=15(1-cos t ).
[问题]h=15(1-cos t )是h与t的关系式吗?
[结论]h应包括摩天轮最低点到地面的距离.
于是,正确解答如下:
以P2为例,∵h=15+1+15cos θ2=16+15cos(π-ωt)=16-15cos
ωt=16-15cos t,∴h=16-15cos t;当游客到达其他三个区域,如:P2,P3,P4,同理可得h=16-15cos t,故h与t的关系是h=16-15cos t.
【小结】本题找出联系h与t关系的中间变量,建立三角函数模型是解决问题的关键;这里容易忽略摩天轮最低点距离地面的距离1米而得出错误的结论h=15(1-cos t).
思维拓展应用
应用一:(1)从图像中可以看出,这个简谐运动的振幅为2 cm,周期为0.8 s,频率为=.
(2)如果从O点算起,到曲线上D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,到曲线上E点,表示完成了一次往复运动.
(3) 设这个简谐振动的函数解析式为y=A sin(ωx+φ),x∈[0,+∞),由图像可知
A=2,φ=0,又由T==0.8,得ω=,所以所求简谐振动的函数解析式为y=2sin x,x∈[0,+∞).
应用二:(1)由得A=,b=1,再根据T=12,得ω=,∴y=cos t+1.
(2)由y>1得,cos t+1>1,∴cos t>0,∴2kπ- ∴12k-3 ∴可供冲浪者进行运动的时间为6小时,即9点到15点. 应用三:(1)由题意知A=120,ω=100π, ∴T==0.02,∴f==50. (2)当t=时,U=120sin(100π×-)=0;当t=时,U=120sin(100π×-)=120sin=-120. (3)∵要使霓虹灯管发光,加在灯管两端电压需要大于84 V,∴120sin(100πt-)>84,∴sin(100πt-)>,在100πt-∈[,]的半个周期 内,≤100πt-<, ∴≤ t<,所以点亮的持续时间为-= s. 基础智能检测 1.D单摆来回摆动一次所需时间正好是函数的一个周期. ∵ω=2π,∴T==1. 2.C周期T= s,从而频率为每秒50次,0.5 s内往复运动的次数为25次. 3.2000π函数在一个周期[0,2π]内的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形如图所示的阴影部分,根据余弦型函数的对称性,可将阴影部分S1、S2拼接到x轴上方空白部分S1、S2,因此阴影部分的面积就等于长方形AOBC的面积2×2π=4π,∴[0,1000π]内函数图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形的面积为4π×=4π×500=2000π. 4.解:(1)∵每3 min转一圈,∴T=3 min,∴ω==. 又∵f(t)的最大值为110 m,最小值为10 m, ∴h-A=10,A+h=110,∴A=50,h=60, ∴f(t)=50sin(t+φ)+60. ∵t=0时,f(0)=10, ∴50sin φ+60=10,∴φ=-, ∴f(t)=50sin(t-)+60. (2)f(2008)=50sin(-)+60 =50sin(1338π+-)+60=50sin +60=85 m. ∴在2008 min时点P距离地面的高度为85 m. 全新视角拓展 C令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1, 则l=θ,sin=,d=2sin=2sin, 即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图像为C.
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