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2020年中考数学新定义(二次函数)解析版

第一部分案例分析

1．【最值问题】对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，如下图中的函数，它的最大值是，最小值是﹣1，它也是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数和y＝x+1（x＞0）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b，a＜b）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求a的值及b的取值范围．

【解答】解：（1）函数是有界函数，函数y＝x+1（x＞0）不是有界函数．对于函数有，所以其边界值为1．

（2）∵函数y＝﹣2x﹣1（a≤x≤b）是y随x的增大而减少的．

＝3，即﹣2a﹣1＝3，解得a＝﹣2．

∴当x＝a时，y

最大值

当x＝b时，y

＝﹣2b﹣1．

最小值

∵边界值是3，∴﹣3≤﹣2b﹣1≤3

∴﹣2≤b≤1

∵b＞a，且a＝﹣2

∴﹣2＜b≤1

2【直线与抛物线点交点问题】

对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例

如，下图中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1．

（1）分别判断函数y＝x+1，y＝，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；

（2）函数y＝2x2﹣bx

①若其不变长度为零，求b的值；

②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；

（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为多少？

【解答】解：（1）∵函数y＝x+1，令y＝x，则x+1＝x，无解；

∴函数y＝x+1没有不变值；

∵函数y＝，令y＝x，则x＝，解得：x＝±，

∴函数y＝的不变值为±，q＝﹣（﹣）＝2，

∵函数y＝x2﹣2，令y＝x，则x＝x2﹣2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，

∴函数y＝x2﹣2的不变值为：2或﹣1，q＝2﹣（﹣1）＝3；

（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，

整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，

∵q＝0，

∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，

解得：b＝﹣1；

②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，

∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，

解得：x1＝0，x2＝，

∵1≤b≤3，

∴1≤x2≤2，

∴1﹣0≤q≤2﹣0，

∴1≤q≤2；

（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．

∴函数G的图象关于x＝m对称，

∴G：y＝，

∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；

当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，

当△＜0，即m＜﹣时，q＝x4﹣x3＝3；

当△≥0，即m≥﹣时，x5＝，x6＝，

①当﹣≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，

∴x6＜0，

∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；

②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；

当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，

此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；

当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，

此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；

当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），

此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；

综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．

3．【“关联抛物线”】

如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A 与点B不重合），我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线．

（1）一条抛物线的“友好”抛物线有D条．

A.1

B.2

C.3D．无数

（2）如图2，已知抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式；

（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请直接写出a1与a2的关系式为a1+a2＝0．

【解答】解：（1）一条抛物线的“友好”抛物线有无数条，

故选：D；

（2）由L3：y＝2x2﹣8x+4化成顶点式，得

y＝2（x﹣2）2﹣4，

∴C（0，4），对称轴为x＝2，顶点坐标（2，﹣4）．

∴点C关于对称轴x＝2的对称点D（4，4）

设L4：y＝a（x﹣h）2+k

将顶点D（4，4）代入得，y＝a（x﹣4）2+4

再将点（2，﹣4）代入得，﹣4＝4a+4

解得：a＝﹣2

L3的友好抛物线L4的解析式为：y＝﹣2（x﹣4）2+4；

（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请直接写出a1与a2的关系式为a1+a2＝0，

故答案为：a1+a2＝0．

4．【函数与几何综合问题】

如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；

（2）若抛物线抛物线m：y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，请求出a，b满足的关系式；

（3）如图，△OAB是抛物线n：y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；

若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称，

∴“抛物线三角形”是等腰三角形；

故答案为等腰；

（2）∵y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）的“抛物线三角形”是直角三角形，

∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，

抛物线的顶点坐标为（2，b），

把y＝0代入y＝a（x﹣2）2+b得a（x﹣2）2+b＝0，解得x＝2±，

∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与x轴两交点的坐标为（2+，0），（2﹣，0），

∴抛物线y＝a（x﹣2）2+b（ab＜0）与x轴两交点之间的线段长＝2，

∴|b|＝×2，

∴b2＝﹣，

∴ab＝﹣1；

（3）存在．作AH⊥OB于H点，如图，

把y＝0代入y＝﹣x2+b′x得﹣x2+b′x＝0，解得x1＝0，x2＝b′，∴B点坐标为（b′，0），

∵y＝﹣x2+b′x＝﹣（x﹣）2+，

∴A点坐标为（，），

∵矩形ABCD以原点O为对称中心，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴△OAB为等边三角形，

∴AH＝OB，

∴＝b′，解得b′＝2，

∴A点坐标为（，3），B点坐标为（2，0）

∴C点坐标为（﹣，﹣3），D点坐标为（﹣2，0），

设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y＝ax（x+2），

把C（﹣，﹣3）代入得a?（﹣）（﹣+2）＝﹣3，

解得a＝1，

∴所求抛物线的表达式为y＝x（x+2）＝x2+2x．

5．【函数变换问题】

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．

例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”

为点（﹣5，﹣6）．

（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“关联点”中有一个在函数的图象上，那么这个点是B（填“点A”或“点B”）．（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”，

那么点M的坐标为（﹣1，2）；②如果点N*（m+1，2）是一次函数y＝x+3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．

（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′

的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值是2．

【解答】解：（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；

②如果点A（3，﹣1）的关联点为（3，﹣1）；

B（﹣1，3）的“关联点”为（﹣1，﹣3），

一个在函数的图象上，那么这个点是B；

故答案为：（2，1），B；

（2）①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是（﹣1，2），

那么点M的坐标为（﹣1，2）；

②当m+1≥0时，即：m≥﹣1，N（m+1，2），

∴m+1+3＝2，

∴m＝﹣2，不符合题意，

当m+1＜0时，即：m＜﹣1，

∴N（m+1，﹣2），

∴m+1+3＝﹣2，

∴m＝﹣6，

∴N（﹣5，﹣2）

故答案为：（﹣1，2）；

（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，

当﹣2＜x≤0时，0＜y≤4，即﹣2＜a≤0；

当x＞0时，y＝y′，即﹣4＜y≤4，

﹣x2+4＞﹣4，解得x＜2，

即0＜x＜2，

综上所述：﹣2＜x＜2，函数图象如图所示：

观察图象可知：“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的值为2，

故答案为：2．

第二部分专项训练

专题训练1:最值问题

1．设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p ≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析式．

【解答】解：（1）是；

由函数y＝的图象可知，当1≤x≤2016时，函数值y随着自变量x的增大而减少，而当x＝1时，y＝2016；x＝2016时，y＝1，故也有1≤y≤2016，

所以，函数y＝是闭区间[1，2016]上的“闭函数”．

（2）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：

①当k＞0时，，

解之得k＝1，b＝0．

∴一次函数的解析式为y＝x．

②当k＜0时，，解之得k＝﹣1，b＝m+n．

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+m+n．

故一次函数的解析式为y＝x或y＝﹣x+m+n．

2．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．

（1）分别判断函数y＝﹣（x＜0）和y＝2x﹣3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；

（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；

（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．

【解答】解：（1）根据有界函数定义，y＝﹣（x＜0）不是有上界函数；y＝2x﹣3（x ＜2）是有上界函数，上确界是1；

（2）∵在y＝﹣x+2中，y随x的增大而减小，

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．