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勾股定理
一、知识归纳
1．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ，b，斜边为 c ，那么a2b2c22．勾股定
理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对
于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
3．勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 ABC中， C90 ，则 c a2b2， bc2 a 2， ac2b2
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
二、题型
题型一：直接考查勾股定理
例１.在 ABC 中，C90
⑴已知 AC6， BC8．求 AB 的长
⑵已知 AB17， AC15 ，求 BC 的长
解：
题型二：应用勾股定理建立方程
例２ . ⑴在 ABC 中， ACB90，AB5cm ，BC 3 cm ，CD AB于D，CD＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为 30cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为
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例３.如图ABC 中， C 90 ，12，CD 1.5，BD 2.5，求 AC的长C
D
1
A2B
E
例 4. 如图 Rt ABC ， C 90AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积C
B
A
题型三：实际问题中应用勾股定理
例 5. 如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高 2 cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m
A
D
E
B C
三、勾股定理的逆定理知识归纳
1.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a， b，c 有下面关系：a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。
2.常用的平方数
222222 11＝_______，12 ＝ _______，13 ＝ _______，14 ＝_______，15＝ _______，16＝ _______，172＝_______， 182＝ _______， 192＝ _______， 202＝ _______， 252＝ _______．
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为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数
转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2 与
较长边的平方 c 2 作比较，若它们相等时，以
a ，
b ，
c 为三边的三角形是直角三角形；若
a 2
b 2
c 2 ，时，以 a ，b ， c 为三边的三角形是钝角三角形； 若 a 2 b 2 c 2 ，时，以 a ，b ，
c 为三边的三角形是锐角三角形；
3. 勾股数 ：
① 满足 a 2＋ b 2＝ c 2 的三个 正整数 叫做勾股数（ 注意： 若 a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，
kc 同样也是勾股数组。 ）
② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 ； 8,15,17
等
③ 用含字母的代数式表示
n 组勾股数：
n 2 1,2n, n 2 1 （ n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n 2 2n,2 n 2 2n 1 （ n 为正整数）
m 2
n 2 ,2 mn, m 2 n 2 （ m n, m ， n 为正整数）
* 附：常见勾股数： 3,4,5 ； 6,8,10 ； 9,12,15
； 5,12,13
4 判断直角三角形 ：
（ 1）有一个角为 90°的三角形是直角三角形。
（ 2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
2
2
2
（ 3）如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
注：用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（ 1）确定最大边（不妨设为 c ）；
（ 2）若 c 2＝ a 2＋ b 2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的三角形；
若 a 2＋ b 2＜ c 2，则此三角形为钝角三角形（其中
c 为最大边）；
若 a 2＋ b 2＞ c 2，则此三角形为锐角三角形（其中
c 为最大边）
5. 直角三角形的性质 ：
（ 1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（ 2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（ 3）在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角
等于 30°。
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例 6. 已知三角形的三边长为 a ， b ， c ，判定
ABC 是否为 Rt
① a 1.5 ， b 2 ， c 2.5
② a
5
， b 1 ， c
2
4
3
解：
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例 7. 三边长为 a ， b ， c 满足 a b 10 ， ab
18 ， c
8 的三角形是什么形状？
解
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例 8. 已知 ABC 中， AB 13 cm ，BC 10 cm ，BC 边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB AC 证明：
A
B
D C
练习
1．已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是 2．如图，圆锥的底面半径为
6cm ，高为 8cm ，那么这个圆锥的母线
L 是 ________
3．直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则斜边上的高为
________．
4. 已知等腰三角形的腰长是
6cm ，底边长是 8cm ，那么这个等腰三角形的面积是
.
5．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边
长为 8，正方形 A 的面积是 10，B 的面积是 11，C 的面积是 13，则 D 的面积之为 _______.
6．如 图 ， C 、 D 分别是一个湖的南、北两端 A 和 B 正东方向的两个村庄， CD = 6 km ，且 D
位于 C 的北偏东 30°方向上，则
AB ＝ ______km ．
l
C
B
D
8
D
12
B
6
A
北
3
东
8cm
A C
4
第 6 题
题
第 9 题
(第 2题)
第 13
7. 如图 , 有两棵树 , 一棵高 8 米 , 另一棵高 2 米 , 两树相距 8 米 , 一只小鸟从一棵树的树梢飞到
另一棵树的树梢 , 则它至少要飞行 ___________米 .
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8．如，直 L 正方形ABCD 的点 B ,点 A、C 到直 L的距离分是 1 和2,正方形的 ABCD的面是.
9.如是一个方体 4、 3、高 12，中阴影部分的三角形的周__________。
10．某校了筹校园，要在通往舞台的台上上色地毯．如果地毯的度恰好
与台的度一致，台的面如所示，台的坡角30o，BCA 90o，台的高BC
2 米，那么你帮忙算一算需要米的地毯恰好能好台．（果精确到 0.1m，取
2 1.414，
3 1.732 ）
A1B1
Ｂ
P
第
11
Q
题
30o
图
ＡＣA B
（第 10 ）
11．有一柱体高 10cm，底面的半径 4cm，AA1、BB1相的两条母。在AA1上有一个蜘蛛 Q，
QA=3cm；在 BB1上有一只 P， PB1=2cm。蜘蛛沿柱体面爬到 P 点吃，最短的路径是cm。（果用π和根号的式子表示）
12．如，如果以正方形ABCD的角 AC作第二个正方形ACEF，再以角 AE
作第三个正方形AEGH，如此下去，?，已知正方形ABCD的面S11，按上述方法所
作的正方形的面依次S2， S3，?， S n（n正整数），那么第8个正方形的面S8
＝_______________
二、看准了再
13．“数上的点并不都表示有理数，如中数上的点P 所表示的数是 5 ”，种利用形直明的方式体的数学思想方法叫（）
Ａ．代入法Ｂ．元法Ｃ．数形合的思想方法Ｄ．分的思想方法
I
5
2
1O1P
32cm
24cm
第 17题
J G E
F
D C
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14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．a7,b24,c25 B ．a 1.5,b 2, c 2.5 C ．a 25 ,b 2, c
4
D．a15,b8,c17
3
15．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正东方挖，每分钟挖8cm，另一只朝正南方挖，每分钟挖 6cm， 10 分钟之后两只小鼹鼠相距（）
A. 50cm
B. 100cm
C. 140cm
D. 80cm
16．如图一个圆桶儿，底面直径为 24cm,高为 32cm,则桶内能容下的最长的木棒为（）
A. 20cm
B. 50cm
C. 40cm
D. 45cm
17．若等边△ ABC的边长为 4cm，那么△ ABC的面积为（）．
A． 2 3 cm2B ．4 3 cm2 C ． 6 3 cm2D ．8cm2
18．如图（2），在直角坐标系中，△OBC的顶点 O（ 0，0），B（-6 ，0），且∠ OCB=90°， ?OC=B 则点 C关于 y 轴对称的点的坐标是( )
A．（3， 3） B.（ -3 ，3） C.（-3 ，-3 ） D.（3 2，3 2 ）
19．如图所示：数轴上点 A 所表示的数为a，则 a 的值是（）
A．5+1B．-5+1C．5-1D．5
20．直角三角形的周长为24，斜边长为 10，则其面积为（）．
A． 96B． 49C． 24D． 48
21.老李家有一块草坪如图所示 . 已知AB=3米, BC=4米 , CD=12米 , DA=13米 , 且AB⊥BC, 这块草
坪
的面积是 ()
A． 24米
2. B.36 米2. C.48米2. D.72米2.y A1
C
1
-3 -2-10 1A23O
第 23题
22．在一块平地上，李大爷家屋前9 米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 米处折断倒下，量得倒下部分的长是10 米．出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）
Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对
23．如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点
A 落在 1 处，已知=3，=1，
OABC OB A OA AB 则点 A1的坐标是（）。
33
B、(3
，3)C、(
3
，
31
，
3
A、(， )
22)D、()
22222
B
x A
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三、想好了再规范的写AB = 3 .00 cm
CA = 4.11 cm 24、已知：在四边形BC = 5.08 cm
ABCD中， AB=3cm, BC=5cm， CD=,AD=2cm,AC⊥ AB
23AD = 2.03 cm
求四边形 ABCD的面积
D
DC = 3.52 cm
A
B C
25、某港口位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一
固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里 . 它们离开港口一个半小时后相距 30 海里 . 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个
方向航行吗？
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