轴对称图形
轴对称图形典型例题
例1 如下图，已知，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．
求证：∠BDP＝∠CDP．
证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，
∴∠P AB＝∠P AC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），
∵∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，
∴∠APB＝∠APC，
在△PDB和△PDC中，
?
?
?
?
?
=
∠
=
∠
=
PD
PD
APC
APB
PC
PB
.
，
，
∴△PDB≌△PDC（SAS），
∴∠BDP＝∠CDP．
（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）
注
利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．
例2 已知如下图（1），在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°．
（1）
证法一：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
?
?
?
=
=
.
DF
DE
DC
AD，
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．）
∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL），
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＋∠BAD＝180
°，
∴∠A＋∠C＝180°．
证法二：如下图（2），在BC上截取BE＝AB，连结DE，证明△ABD≌△EBD可得．
（2）
证法三：如下图（3），延长BA到E，使BE
＝BC，连结ED，以下同证法二．
（3）
注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．
例3 已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F．
求证：BE＋CF＞EF．
证法一：在DA截取DN＝DB，连结NE、NF，则DN＝DC，在△BDE和△NDE中，
?
?
?
?
?
=
∠
=
∠
=
.
DE
DE
NDE
BDE
ND
BD
，
，
（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）
∴△BDE≌△NDE（SAS），
∴BE＝NE（全等三角形对应边相等），
同理可证：
CF＝NF，
在△EFN中，EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边），
∴BE＋CF>EF．
证法二：延长ED至M，使DM＝ED，连结CM、MF，
在△BDE和△CDM中，
?
?
?
?
?
=
∠
=
∠
=
.
DM
DE
CDM
BDE
CD
BD
，
，
（从另一个角度作辅助线）
∴△BDE≌△NDE（SAS），
∴CM＝BE（全等三角形对应边相等），
又∵∠BDE=∠A DE，∠ADF＝∠CDF，
而∠BDE＋∠ADE＋∠ADF＋∠CDF＝180°，
∴∠ADE+∠ADF＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDF＝90°，
在△EDF和△MDF中，
?
?
?
?
?
=
∠
=
∠
=
.
DF
DF
MDF
EDF
MD
ED
，
，
∴△EDF≌△MDF（SAS），
∴EF＝MF（全等三角形对应边相等），
在△CMF中，
CF＋CM >EF，
∴BE＋CF >EF．
注本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．
例4 已知，如下图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ．求：∠BAC的度数．
解：∵AP＝PQ＝AQ（已知），
∴∠APQ＝∠AQP＝∠P AQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），
∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）
∴∠PBA＝∠PAB（等边对等角），
∴∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角和），
∴∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．
注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角和得各角之间的关系；（3）利用三角形角和定理列方程．
例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：∠F＝∠A．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（等边对等角），
∵EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），
∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），
在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，
连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，
∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，
∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，
（用什么定理判定三角形全等的？）
∴D为BC的中点，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，
∴∠F＝∠A．
例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．
求证：EF⊥BC．
证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，
∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴ ∠BAD ＝∠CAD
（等腰三角形三线合一），
又∵ ∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∠AEF ＝∠AFE ，
∴ ∠CAD ＝∠E ，∴ AD ∥EF ，
∵ AD ⊥BC ，
∴ EF ⊥BC ．
证法二：过A 作AG ⊥EF 于G ，
∵ ∠AEF ＝∠AFE ，AG ＝AG ，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，
∴ △AGE ≌△AGF （ASA ），
∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，
又∠EAF ＝∠B ＋∠C ，（请对比多种证法的优劣）
∴ ∠EAG ＋∠GAF ＝∠B ＋∠C ，
∴ ∠EAG ＝∠C ，∴ AG ∥BC ，
∵ AG ⊥EF ，
∴ EF ⊥BC ．
证法三：过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ，
∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，
∴ ∠H ＝∠B ＝∠C ＝∠AEH ，
∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∠H ＋∠AFE ＋∠FEH ＝180°，
∴ ∠H ＋∠AEH ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，
∴ ∠AEF ＋∠AEH ＝90°，即∠FEH ＝90°，
∴ EF ⊥EH ，又EH ∥BC ，
∴ EF ⊥BC ．
证法四：延长EF 交BC 于K ，
∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，
∴ ∠B ＝21
（180°－∠BAC ），
∵ ∠AEF ＝∠AFE ，
∴ ∠AFE ＝21
（180°－∠EAF ），