第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是
不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……}
第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0
0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0
概率统计练习题 一、填空题 1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。 2、设A 、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A ∣B )=0.6，则P(A ∪B)= 0.88 。 3、设X 、Y 相互独立，X ~)3,0(U ,Y 的概率密度为???? ?>=-其它,00 ,41)(41x e x f x ，则 (253)E X Y -+= -14 ，(234)D X Y -+= 147 。 4、设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为 0.875 . 5、已知()3E X =，()D X =2，由切比雪夫不等式估计概率(34)P X -≥≤ 0.125 。 6、设(100,0.2)X B ，则概率(P 20-X )4≤≈ 0.68 ()84.0)1(=Φ。 7.设X 的分布函数 ?????≥-<=1 ,1 11, 0)(2 x x x x F ，则=)(X E 2 8.已知随机变量X ~ ),(2 σμN ，且)1()5(,5.0)2(-Φ=≥=≥X P X P ，则=μ2，=2σ9 。 9. 已知()0.6P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值为0.6，最小值为0.4 。 10、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有 )(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。 11、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5， 则Z ～ N(-2, 25) 。 12、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 13、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 14、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 15、设（X ，Y ）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b 使 {}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。 16、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，则密码能被译 出的概率是 2/3。
第一章随机事件与概率 §1.1 随机事件 1.1.1 随机试验与样本空间 概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征： （1）在相同条件下试验是可重复的； （2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。 为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间Ω。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
例 1.1.1 1E ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。 2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子， 观察出现的点数。样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。 3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到 Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) } 读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢？ 4E ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目 标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为 {1,2,3,,,}n Ω=L L ， 其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为},2,1,0{Λ=Ω。 5E ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取]}5.2,0[,{∈=Ωωω就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取]}200,0[,{∈=Ωωω也许就足够了。 在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是 12{(,)()[0,2.5][0200]}ωωωΩ===∈?高度,重量，。 □
概率论讲义(茆诗松)
第二章 随机变量及其分布 教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。 教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。 教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。 教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。 教学时数：20学时 教学过程： §2.1 随机变量及其分布 例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数X ：1、2、…、6； (2) n 个产品中的不合格品个数Y ：0、1、2、…、n ； (3) 某商场一天内来的顾客数Z ：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机的寿命T ：[0,)+∞。 §2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数称为随机变量，常用大写X 、 Y 、Z 等表示；随机变量的取值用小写字母x 、y 、z 等表示。 注意：(1) 随机变量()X ω是样本点ω的函数，其定义域为Ω，其值域为 (,)R =-∞+∞，若X 表示掷一颗骰子出现的点数，则{ 1.5}X =是不可能事件； (2) 若X 为随机变量，则{}X k =、{}a X b <≤、…均为随机事件，即： {}{:()}a X b a X b ωω<≤=<≤?Ω； (3) 注意以下一些表达式： {}{}{}X k X k X k ==≤-< {}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤ {}{}X b X b >=Ω-≤ (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。 两类随机变量： 若随机变量X 可能取值的个数为有限个或可列个，则称X 为离散随机变量；
初等概率论习题课讲义 专题一. 一些组合计数模式在古典概率问题中的应用. 1． 多组组合模式 有n 个不同元素，要把它们分为k 个不同的组，使得各组依次有 121 ,,...,()k k i i n n n n n ==∑个元素，则一共有 12! !!...! k n n n n 种不同分法. 2.不尽相异元素的排列模式 有n 个元素，属于k 个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有121 ,,...,( )k k i i n n n n n ==∑个，要把它们排成一列，则一共有 12! !!...! k n n n n 种不同 排法. 3.分球入盒问题 第一类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，使得各盒依次有 121 ,,...,()k k i i n n n n n ==∑个小球，则一共有多少种不同分法？（注意此问题的两个特征：小 球不同，盒子也不同）（ 12! !!...! k n n n n ） 第二类 有n 个相同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，一共有多少种不同分法？ （1） 允许空盒出现；（1n n k C +-） （2） 不允许空盒出现.（11k n C --） 第三类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个相同的盒子，使得第i k 个盒子有i n 个小球， 1 1 ,m m i i i i i k k n k n ====∑∑，则一共有多少种不同分法？（ 1 1 ! (!) (!) i m k i i m i i n n k ==∏∏） 4.大间距组合问题 设从数集{}1,2,...,n 中选出k 个不同的数11...k j j n ≤≤≤≤， 使之满足条件1(2,3,...,)i i j j m i k -->=，m 为正整数，且(1)k m n -<，求出不同的取法数目.（(1)k n k m C --） 5.相异元素的圆排列和项链数 将n 个不同元素不分首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，则其排列总数为多少？（(1)!n -）
概率论 曹显兵 第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P =)( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性， 则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试 求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3 . 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB ,Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0
0）
第一章随机事件与概率 【字体：大 中 小】【打印】 本章概述 内容简介 本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。 考情分析 内容讲解 §1.1 随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E 1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E 2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E 3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E 4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E 5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E 6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。 （1）事件的包含和相等 包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作 ，或。 2007年4月2007年7月2007年10月单项选择题2题4分3题6分2题4分填空题4题8分4题8分4题8分 计算题1题8分1题8分 合 计 7题20分 8题22分 6题12分
第二章 随机变量及其分布 教学目得与教学要求：理解随机变量得概念；掌握离散与连续随机变量得描述方法；理解分布函数、概率分布列与概率密度函数得概念与性质；会利用概率分布计算有关事件得概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数得概率分布及特征数。 教学重点：不同类型得随机变量得概率分布得概念与性质、常用得离散与连续分布、随机变量得数学期望与方差得概念与性质、随机变量函数得分布。 教学难点：概率分布与数学期望以及方差性质得应用、随机变量函数得分布。 教学措施：理论部分得教学多采用讲授法，注意思想方法得训练，计算类问题采用习题与讨论得方法进行教学。 教学时数：20学时 教学过程： §2、1 随机变量及其分布 例2、1、1 (1) 掷一颗骰子，出现得点数X ：1、2、…、6； (2) n 个产品中得不合格品个数Y ：0、1、2、…、n ； (3) 某商场一天内来得顾客数Z ：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机得寿命T ：[0,)+∞。 §2、1、1 随机变量得概念 定义2、1、1 定义在样本空间Ω上得实值函数称为随机变量，常用大写X 、 Y 、Z 等表示；随机变量得取值用小写字母x 、y 、z 等表示。 注意：(1) 随机变量()X ω就是样本点ω得函数，其定义域为Ω，其值域为 (,)R =-∞+∞，若X 表示掷一颗骰子出现得点数，则{ 1.5}X =就是不可能事件； (2) 若X 为随机变量，则{}X k =、{}a X b <≤、…均为随机事件，即： {}{:()}a X b a X b ωω<≤=<≤?Ω； (3) 注意以下一些表达式： {}{}{}X k X k X k ==≤-< {}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤ {}{}X b X b >=Ω-≤ (4) 同一样本空间可以定义不同得随机变量。 两类随机变量： 若随机变量X 可能取值得个数为有限个或可列个，则称X 为离散随机变量；若随机变量X 得可能取值充满某个区间(,)a b ，则称X 为连续随机变量，其中a 可
§2.3 连续型随机变量及概率密度 （一）连续型随机变量及其概率密度 定义 若随机变量X 的分布函数为 其中f(t)≥0。 就是说X 是连续型随机变量，并且非负函数f(x)是连续型随机变量X 的概率密度函数，简称概率密度。 由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质 （1） （2） （ 3） （a≤b） 前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即 若X 是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X 是任何一个实数。 ∴有 （4）f(x)≥0 证（1）在微积分中已知积分上限的函数对上限x 的导数 它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。 （2） （3）∵P(a 解（1） 而时，p(x)=0, （2） 例2.设连续函数变量X的分布函数为 求： （1）X的概率密度f（x）; （2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。 解：（1） （2）有两种解法： 或者 例2－1 若 解： 例2－2 若求x~f(x) 解： 例2－3，若 解： 例3.若 解：（1）x≤0时，f（x）=0， （2）0＜x＜1时， （3）1≤x时， 课程名称：概率论 学分：3 先修课程：数学分析，高等代数 基本目的： 1对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。 2联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。 内容提要： 随机现象，事件； 古典概型与几何概型，基本性质； 公理化定义，事件域，概率的三条公理要求及其推论，概率空间，*乘积空间； 条件概率，定义，全概公式，Bayes公式； 事件的独立性，Bernoulli试验 随机变量离散型及其分布列，连续型及其密度函数，典型例子 随机变量的函数，变量变换公式 分布函数 随机向量，边缘分布，联合分布，条件分布，高维正态分布 随机变量独立性定义 数学期望（定义，性质，举例） 方差（定义，性质，举例，Chebyshev不等式） 高阶矩 协方差与相关系数的定义, Cauchy-Schwartz不等式，性质，与独立性的关系，高维情况 条件期望（定义，性质，最佳预测） *熵（定义与例子，Jensen不等式，性质） 母函数（定义与性质，独立随机变量之和，再生性） 特征函数（定义，举例，性质，逆转公式，连续性定理） 随机变量的四种收敛定义及其相互关系 大数定律弱大数定律和强大数定律，Borel-Cantalli引理，大数定律的意义及应用 中心极限定理：古典情形，局部极限定理，积分极限定理一般情形的证明，各种应用 各种推广简介（Lyapunov定理，Linderberg条件，Linderberg－Feller定理） 概率论■ 授课内容讲义下载 第01周第一章古典概型与概率测度的公理化 §1古典概型 §2几何概型 §3概率空间与概率测度的公理化 讲义 第02周§4条件概率与乘法公式 §5全概公式与逆概公式 §6独立性 讲义 随机事件的概率教学讲义 ZHI SHI SHU LI 知识梳理 1．概率与频率 (1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的__频数___ ，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n 为事件A出现的__频率___. (2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率f n(A)___来估计概率P(A)． 2．互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系若事件A__发生___，则事件B__一定发生 ___，这时称事件B包含事件A(或称事件A 包含于事件B) __B?A___ __(或A?B)___ 相等关系若B?A，且__A?B___，则称事件A与事 件B相等 __A＝B___ 并事件(和事件)若某事件发生__当且仅当事件A发生或事 件B发生___，则称此事件为事件A与事 件B的并事件(或和事件) __A∪B___ __(或A＋B)___ 交事件(积事件)若某事件发生__当且仅当事件A发生且事 件B发生___，则称此事件为事件A与事 件B的交事件(或积事件) __A∩B___ __(或AB)___ 互斥事件若A∩B为__不可能___事件，则称事件A 与事件B互斥 __A∩B＝?___ 对立事件若A∩B为__不可能___事件，A∪B为__ 必然事件___，则称事件A与事件B互为 对立事件 __A∩B＝?，___ __且A∪B＝Ω___ ZHONG YAO JIE LUN 重要结论 概率的几个基本性质 第二章 随机变量及其分布 教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。 教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。 教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。 教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。 教学时数：20学时 教学过程： §2.1 随机变量及其分布 例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数X ：1、2、…、6； (2) n 个产品中的不合格品个数Y ：0、1、2、…、n ； (3) 某商场一天内来的顾客数Z ：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机的寿命T ：[0,)+∞。 §2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数称为随机变量，常用大写X 、 Y 、Z 等表示；随机变量的取值用小写字母x 、y 、z 等表示。 注意：(1) 随机变量()X ω是样本点ω的函数，其定义域为Ω，其值域为 (,)R =-∞+∞，若X 表示掷一颗骰子出现的点数，则{ 1.5}X =是不可能事件； (2) 若X 为随机变量，则{}X k =、{}a X b <≤、…均为随机事件，即： {}{:()}a X b a X b ωω<≤=<≤?Ω； (3) 注意以下一些表达式： {}{}{}X k X k X k ==≤-< {}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤ {}{}X b X b >=Ω-≤ (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。 两类随机变量： 若随机变量X 可能取值的个数为有限个或可列个，则称X 为离散随机变量；北京大学 概率论
随机事件的概率教学讲义
概率论讲义(茆诗松)
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