2008年6月系统工程理论与实践第6期 文章编号:100026788(2008)0620001213
基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
迟国泰1,杨万武2,王玉刚3
(11大连理工大学管理学院,大连116024;21大连银行,大连116001;
31国家开发银行大连市分行,大连116001)
摘要: 依据期货2期货相关性与现货2期货相关性原理,在最小方差套期保值的基础上,引入了多品种期
货套期保值的资金约束,建立了多品种期货套期保值模型.该模型的创新与特色是建立基于资金限制的
多品种期货套期保值模型.利用多元G ARCH预测多品种组合的资金需求量,在把握未来资金需求的情
况下,确定多品种期货套期保值的最优策略,避免了因资金短缺而造成的套期保值失败.并利用大连商
品交易所的大豆期货合约、豆粕期货合约及豆油现货数据,对基于资金限制的多品种期货套期保值决策
模型进行了实证分析.
关键词: 多品种套期保值;最优套期保值比率;资金限制;交叉套期保值;多元G ARCH;多元蒙特卡罗模
拟
中图分类号: F83019,O224:F22419 文献标志码: A
The multi2futures hedging decision m odel based on capital constrain
CHI G uo2tai1,Y ANG Wan2wu2,WANG Y u2gang3
(11School of Management,Dalian University of T echnology,Dalian116024,China;21Bank of Dalian,Dalian116001,China;31Dalian Branch,China Development Bank,Dalian116001,China)
Abstract: Acording to the theory of relationgship between futures and futures and the relationship between futures
and spots,based on the minimum variance hedge ratios,this paper builds the multi2futures hedging decision m odel by
considering capital constrain of multi2futures hedge.The character of the paper is building the m odel of multi2futures
hedging based on capital constrain,using the forcasting m odel of multiple G ARCH to forecast the hedging capital
requirement,therefor the hedger can grasp the capital requirement in future,it can av oid the failure to hedge because
of lacking m oney.The paper use the Dalian C omm odity Exchange historical data of s oja futhures、bean cake futhures
and bean oil spot price to validate the decision m odel.
K ey w ords: multi2futures hedging;optimal hedging ratios;capital constrain;cross hedging;mutiple G ARCH;
multiple M onte Calo simulation
0 引言
期货市场的风险转移功能主要通过套期保值策略来实现,期货市场套期保值的关键问题是套期保值比率的确定.
多品种期货套期保值除考虑现货与期货之间的风险相关性之外,而且还需考虑现货之间与期货合约之间的风险相关性.
多品种期货套期保值的现有研究为数不多.现有研究大体可以分为两大类.
第一类是多品种期货合约套期保值比率的确定研究.具体又可分为以下两类.
1)基于优化模型的多品种期货套期保值比率.C ollins R.A(2000)[1]利用最小二乘法,在交易成本约束的前提下,以套期保值资产组合风险最小化为目标,建立了基于方差2协方差矩阵的多品种期货套期保值
收稿日期:2007202204
资助项目:国家自然科学基金(70571010);中期协联合研究计划项目(G T200410,ZZ200505);大连市科技计划项目(2004C1Z C227)
作者简介:迟国泰(1955-),男,金融学教授,博士生导师,管理科学与工程博士,E2mail:chigt@https://www.doczj.com/doc/a35262969.html,;杨万武(1980 -),男,理学硕士,E2mail:y w w42581134@https://www.doczj.com/doc/a35262969.html,.
2系统工程理论与实践2008年6月
优化决策模型.林孝贵(2004)[2]利用方差2协方差矩阵加号逆等代数方法,通过建立两品种期货套期保值模型,解决了企业利用期货市场既对购买原料保值,又对销售产品保值的两品种套期保值最优策略的问题.Donald L.(2004)[3]研究了在对期货合约存在税收约束的条件下,追求套期保值资产组合收益最大化,建立了多品种期货套期保值的优化决策模型.这种模型解决了在没有考虑套期保值资金需求等理想条件下的多品种期货套期保值优化决策问题.
2)基于随机过程的多品种期货套期保值比率.Abraham Lioui和Patrice P oncet(1996)[4]在满足资产组合财富非负限制的前提下,以寻求最优策略、力求实现套期保值者财富最大为目标,建立了多品种期货套期保值的随机优化决策模型.Laurent J.P.和Pham H.(1999)[5]在假设多品种现货价格和期货价格在不完备市场中服从伊藤随机过程的前提下,利用动态规划方法建模,求解出了最优套期保值策略.这种模型缺乏对期货合约到期日等风险因素的分析,同时也对价格波动走势事先进行了假设,条件较为苛刻,导致模型也复杂.
多品种期货套期保值比率确定研究的共性问题一是没有考虑到套期保值的资金限制,在套保者手头资金不足时,则会导致期货合约被强制平仓或部分平仓.二是现有研究多从多品种期货套期保值的收益出发来研究期货与现货合约的组合,这往往需要主观给定包括预期收益及风险厌恶系数等参数,缺乏普适性[6].
第二类研究是套期保值资金需求量研究.现有研究对多品种期货套期保值的资金需求量研究极少,主要集中在单品种期货套期保值资金需求量上.按照研究方法的不同大体可以分为两类:
1)套保资金需求量对套期保值影响的定性研究.R obert,G ay和Hunter(1985)指出若从事期货交易的话,总存在耗尽资金的可能[7].Chang和Loo(1987)指出期货交易的逐日盯市,使得套期保值资金需求量对套期保值优化决策产生影响[8].
2)套保资金需求量的定量研究.Blank在1990年和1992年给出了一个决定套期保值资金需求的实证模型[9,10].吴冲锋(1999)提出了连续N天出现涨跌停所需的最小资金模型[11].袁象,李玮等(2002)在Blank 的套期保值短期资金需求量模型的基础上,提出了长期套保资金需求量模型[12].
这类研究的不足在于没有将套期保值资金需求的研究考虑到套期保值比率确定研究中,且现有的研究大都集中在单品种上.这就导致了套期保值的决策研究忽视套保资金需求量,从而增大了套期保值的风险.
针对以上问题,本文利用多元G ARCH模型,预测期货和现货组合的协方差矩阵,建立基于最小方差套期保值策略的目标函数,借助多元蒙特卡罗法模拟出期货和现货价格,得到了套期保值的资金需求量约束,建立了基于资金限制的多品种期货套期保值模型,解决了现有套期保值策略忽略资金需求量的问题,从而有效的规避了现货价格风险.
1 基于资金限制的多品种套期保值原理
111 多品种期货套期保值的基本原理
多品种期货套期保值的基本原理就是在期货市场上、利用与现货相关性较高的期货组合,来规避现货市场特定商品的价格风险.
对于绝大多数现货商品,往往很难在期货市场上找到与之强相关的单个期货,但利用期货组合原理则总可以构造与现货价格强相关的期货组合.因此,研究多品种期货套期保值则比单品种更有现实意义.
研究表明采用多种期货对现货进行的多品种套期保值的效率要比单品种套期保值效率更高[13].
112 多品种套期保值的双重相关原理
11211 期货2期货的相关性原理
多品种期货套期保值的“期货2期货”相关性原理指的是利用一种期货和另一种期货的相关关系来构造满意的期货组合,以达到套期保值的目的.
在多品种期货最小方差套期保值原理下,通过多元G ARCH(1,1)模型来预测期货和现货收益率组合的协方差矩阵G,得到[14]
G =
C ov (R fi ,R fj )C ov (R f ,R s
)C ov (R f ,R s )
T
Var (R s )
(1)
式(1)左上角的预测值C ov (R fi ,R fj )反应出了第i 种期货收益率R fi 和第j 种期货收益率R fj 之间的相关性.通过G ARCH (1,1)模型预测期货和期货之间的相关性,能够很好的刻画出期货时间序列的波动聚集效应、及时变方差效应,同时可以准确的描述各项期货时间序列的波动性.11212 期货2现货的相关性原理多品种期货套期保值的“期货2现货”相关性原理指的是利用一种现货和一种期货的相关关系来构造满意的期货组合,以达到套期保值的目的.
式(1)右上角的预测值C ov (R s ,R f )反应出了一种现货收益率R s 和期货组合收益率R f 之间的的相关性.
应用多元G ARCH (1,1)模型预测期货与现货多品种的波动值,能够很好的反映期货和现货价格波动
的聚集效应、时变方差效应[15],同时解决了各期货合约波动的非线性对冲[15]
,使得预测的结果更加准确.113 资金需求量约束原理资金需求约束原理系指在套期保值中预测未来所需的最大资金需求量、并把最大资金需求量作为主要约束条件来求解最优的套期保值比率.
建立资金需求量约束的好处在于避免在多品种套期保值的过程中,由于保证金追加而导致的期货逼仓风险.
利用多元蒙特卡罗模拟的好处一是能够模拟出未来一段时间后的期货和现货价格,从而可以得到在95%置信水平下的期货最大价格和现货最小价格,进而得到套期保值的损失.二是利用蒙特卡罗方法能够
模拟出满足相关性要求的期货和现货收益率的走势,使得模拟产生的期货和现货价格更加合理.114 基于资金限制的多品种套期保值原理
通过期货和现货的历史数据,结合多品种套期保值的双重相关原理,利用多元G ARCH 模型预测期货和现货的协方差矩阵,构造基于最小方差套期保值决策模型的目标函数;利用多元蒙特卡罗模拟方法
,模拟出套保结束时的期货和现货价格分布,得到在一定的置信水平下的期货价格最大值和现货价格的最小值,进而确定多品种套期保值的损失,从而建立了多品种期货套期保值资金需求量的约束;在上述工作的基础上建立基于资金限制的多品种期货套期保值模型,解决现有多品种期货套期保值策略不能反映套保资金需求量的问题.
模型的具体原理如图1所示.
图1 基于资金限制的多品种期货套期保值模型原理
115 原理的创新与特色
1)建立了基于资金限制的多品种期货套期保值优化策略.改变了现有研究忽略资金限制条件、容易导
致套期保值策略不合理的现状.
2)利用多种期货对一种现货进行套期保值.解决了单个期货无法满足大部分现货套期保值需求的问题并提高了套期保值的效率.
3
第6期基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
3)根据多品种套期保值的双重相关原理构造期货组合.解决了套期保值期货组合的选择问题.4)根据G ARCH 的相关性系数矩阵预测资金需求量.
2 基于资金限制的多品种套期保值模型的建立
211 目标函数的建立21111 协方差矩阵的预测
对于n 种期货合约对一种现货进行套期保值的情形.
设R fi 为第i 种期货的收益率;F i
t 为第i 种期货在第t 时刻的价格,i =1,2,…,n ;则第i 种期货在第t 时刻的收益率R fi 为:
R fi
=F i
t -F i
t -1
F i
t -1
(2)
设R s 为现货收益率;S t 为套期保值商品在t 时刻的现货价格;则在第t 时刻的收益率R s 为:
R s =
S t -S t -1
S t -1
(3)
设R f =(R f 1,R f 2,…,R fn ),G 为期货和现货的协方差矩阵.本文采用多元G ARCH (1,1)模型的BEKK 形式来估计期货和现货的协方差矩阵.
G ARCH (1,1)模型的BEKK 形式为[15]
:
G t =WW T
+AG t -1A T
+B E t -1E T
t -1B
T
(4)
式中:W 为方程的常系数矩阵,是n ×n 阶矩阵.A 与B 为方程的系数矩阵,是n ×n 阶矩阵.G t -1为第t -1期货与现货收益率构成的协方差阵,是方程的已知量,在这里包括.E t -1是第t -1期的残差系数矩阵.
对多元G ARCH (1,1)模型的BEKK 形式(4)进行拟合,估计出第t 时刻的期货和现货的协方差矩阵的估计值G t ,从而模拟出式(1)所示的协方差矩阵G ,进而得到式(1)的左上角的期货2期货之间协方差C ov (R fi ,R fj )的估计值,右上角期货2现货之间的协方差C ov (R f ,R s )的估计值,以及现货的方差Var (R s )估
计值.21112 最小方差目标函数的建立2111211 目标函数建立的基础
设:h i 为第i 种期货对现货的套期保值比率,则由组合套期保值比率向量H 为
H =(h 1,h 2,…,h n )
(5)
根据最小方差套期保值模型[16]
,使得套期保值风险最小时应当满足使现货与期货的R h 组合收益率
的方差Var (R h )最小,即
[16]
min H
(Var (R h ))=Var (R s )+H C ov (R fi ,R fj )H T
-2H C ov (R s ,R f )(6)
式中:Var (R S )为现货收益率的方差;H 为由式(5)所示的组合套期保值比率向量;C ov (R fi ,R fj )为第i 种期货收益率对第j 种期货收益率的协方差.C ov (R s ,R f )为现货收益率与各种期货收益率的协方差组成的向量,是n ×1阶矩阵.
式(6)经济学意义非常明显:C ov (R fi ,R fj )是期货合约之间的协方差矩阵,体现了期货之间的非线性叠加;C ov (R s ,R f )是多种期货和一种现货的协方差向量,体现了期货与现货之间的非线性对冲.因此,式(6)很好的反映了多种期货对一种现货的最小方差套期保值原理.2111212 最小方差套期保值模型的目标函数
设由式(4)预测出的期货和现货的方协方差矩阵为
[14]
: G =
C ov (R fi ,R fj )C ov (R f ,R s )
C ov (R f ,R s )
T
Var (R s )
(7)
将式(7)右下角的现货方差的预测值Var (R s )、左上角的第i 种期货收益率对第j 种期货收益率的协方差预
4系统工程理论与实践2008年6月
测值C ov (R fi ,R fj )、左下角(右上角)的现货与期货之间的协方差预测值C ov (R f ,R s )代入到式(6)中,有
min H
(Var (R h ))=Var (R s )+H C ov (R fi ,R fj )H T
-2H C ov (R s ,R f )
(8)
式(8)就是最小方差套期保值模型的目标函数.
式(8)与式(6)的涵义显著不同:式(8)中的参数Var (R s )、C ov (R fi ,R fj )、C ov (R f ,R s )等参数是由G ARCH 模型预测得出的,而不像式(6)那样是利用过去的历史数据来进行将来的套期保值计算.因此式(8)比式
(6)能够很好的刻画出期货和现货时间序列未来波动的聚集效应[15]、时变效应[15]
,克服了利用历史数据来计算不能反应未来走势的问题.212 套期保值资金约束条件的建立21211 期货和现货价格的多元蒙特卡罗模拟2121111 蒙特卡罗随机向量的产生
1)在初始条件样本数据均值、标准差的基础上,利用计算机产生n +1个服从正态分布的独立的随机变量Y i ,i =1,2,…,n +1,构成一个向量Y =(Y 1,Y 2,…,Y n ,Y n +1).
2)把式(3)的历史交易日现货收益率序列R s ,t 和式(2)的历史交易日期货收益率序列R fi ,t 代入到式(4)的多元G ARCH (1,1)模型的BEKK 形式,这个多元G ARCH (1,1)模型的BEKK 形式分成4块,就是式(1)
的协方差矩阵的预测值 G 式(7).(这一步已经由21111节完成了).
3)将预测得到的协方差矩阵 G 进行Cholesky 分解,得到分解后的下山角矩阵A [17]
.
4)将下山角矩阵A 与步骤1)中产生的随机变量Y 相乘,得到蒙特卡罗模拟的随机数向量[18]
Z =AY .设为:
Z =A Y =(Z f 1,Z f 2,…,Z fn ,Z s )T
(9)2121112 期货和现货价格的模拟
1)期货和现货收益率分布的假设
在本文中,为了便于期货和现货价格的多元蒙特卡罗模拟,假设期货和现货价格的收益率服从正态分布.在实际的应用中,可以根据期货价格和现货价格收益率实际分布的具体情况,确定套期保值组合的边际分布函数.其处理方法大致为:
①当期货和现货的收益率服从正态分布时候,按照正态分布的分布函数,进行多元蒙特卡罗模拟.本文就是按照这种情况进行模拟的.
②当期货和现货的收益率不服从正态分布,但服从其他具体的分布时,如t 分布、F 分布等情况.可以采用t 分布、F 分布等分布函数表示期货和现货的收益率分布,在模拟过程中替换相应的分布函数即可,同样可以进行多元蒙特卡罗模拟.
③当期货和现货的收益率不服从现有的具有分布函数的形式时,可以利用期货和现货的收益率的经验分布函数表示其分布,再进行期货和现货价格的多元蒙特卡罗模拟.
④另外,对于第③种情况下,若经验分布不能很好的表示其实际分布时,还可以利用历史收益率数据进行描点,然后利用数学插值的方法来求其分布,进而进行多元蒙特卡罗模拟.2)期货和现货价格的模拟设大豆期货、豆粕期货与豆油现货的未来每一天的收益服从正态分布.
则t 时刻的第i 种期货价格F i t 满足
[18]
F i
t =F i
0(1+σfi Z fi t )
(10)
式(10)中,F i
0为初始时刻的第i 种期货的价格;σft 为第i 种期货收益率的每天标准差;Z fi 为如式(9)所示的前n 项期货蒙特卡罗随机数向量的第i 项.
对式(9)求方差[18]
:
Var (Z )=Var (A Y )=A Var (Y )A T =AA T
=
G (11)
式(10)中的Z fi 的相关性满足式(7)期货收益率R fi 和现货收益率R s 的协方差矩阵 G [18]
.
t 时刻的现货价格S t 满足
[18]
5
第6期基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
S t =S 0(1+σs Z s t )(12)
式(12)中,S 0为初始时刻的现货价格;σs 为现货收益率的每天标准差;Z s 为如式(9)所示的蒙特卡罗随机数向量的最后一项.
与式(11)的分析一样,Z s 相关性满足式(7)期货收益率R fi 和现货收益率R s 的协方差矩阵 G [18]
.图2 期货价格F i t 和现货价格
S t 模拟的流程图
多元蒙特卡罗模拟就是同时模拟n 维向量式(8)的期货价格和1维参数式(9)的现货价格.整个模拟过程如图2所示.21212 约束条件的建立2121211 套期保值未来损益的确定
设L 为套期保值损益;F t =(F 1t ,F 2t ,…,F n t )T
为t 时刻的第i 种期货价格F i
t 组成的向量;S t 为t 时刻的现货价格;H 为套期比向量.则
L =(S t -S 0)-H (F t -F 0)=(S t -HF t )-(S 0-F 0)(13)
式(13)的经济学含义非常明显:S t -S 0表示现货市场上的现货的损益,H (F t -F 0)为期货市场的损益.
依据未来第t 时刻第i 种期货的价格F i
t 和现货价格S t 的分布,确定出在一定的置信水平下的期货价格F i t 最大值和现货价格S t 最小值,进而得到单位现货的套期保值可能遭受的最大损失值L .2121212 套期保值资金需求量约束条件的建立
设K i 为期货交易的维持保证金比率;C i 为单位期货合约的交易费用;F i 0
t 为模拟得到的t 时刻第i 种期货价格在一定置信水平下
的最大值;F 0t -F 0t =(F 10t ,F 20t ,…,F n 0t )T 模拟得到的t 时刻第i 种期货价格F i 0
t 组成的向量;C —即C =
(C 1,C 2,…,C n )T 为单位第i 种期货合约的交易费用C i 组成的向量;K =(K 1,K 2,…,K n )T 为维持保证金
比率K i 组成的向量;H 为如2111211节所示.
设NC 为单位现货套期保值的资金需求量.则
NC =H (K ?F 0
t )+HC +L
(14)
式(14)中,K ?F 0
t 为单位期货合约的最大保证金需求;H (K ?F 0
t )为所有期货合约的最大保证金需求(?表示向量的数乘);HC 为所有期货交易费用之和;L 为套期保值可能遭受的最大损失值,由式(13)求得.
设O 为单位现货套保者所持有的手头资金.得到套保资金约束条件为
O ≥NC =H (K ?F 0
t )+HC +L
(15)
式(15)中参数的经济学含义如前所示.
式(15)便是多品种期货套期保值的资金需求约束条件.
式(15)的涵义就是为了确保套期保值的顺利完成,就要使套保者有足够的资金满足其保证金的追加和套期保值未来的损失,即是要使单位现货套保者所持有的手头资金O 大于单位现货进行套期保值的资金需求量NC .
建立式(15)套期保值资金约束条件的好处很明显,就是要使套期保值比能够反映出多品种期货套期保值的资金需求量,即考虑多品种套期保值的保证金追加和套期保值在一定置信水平下的损失,避免了因套保者的手头资金短缺而造成的套保失败,更好的利用多品种期货来规避了由于现货价格波动带来的风险.
213 模型的归纳
式(8)和式(15)则构成了基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型.214 模型的创新与特色
6系统工程理论与实践2008年6月
1)反映了套期保值的资金需求量.在预测得到最小方差目标函数的基础上,以套期保值资金需求量加以约束,建立了基于资金限制的多品种期货套期保值模型,改变了现有研究忽略资金限制条件、容易导致
套期保值策略不合理的现状.
2)实现了多品种期货对现货的套期保值.解决了单个期货无法满足大部分现货套期保值需求的问题并提高了套期保值的效率.
3)体现了多品种期货与现货的双重相关性原理.解决了套期保值期货组合的选择问题.
3 实证研究
311 数据采集
这里利用大连商品交易所的大豆期货和豆粕期货合约对豆油现货进行套期保值的实证分析[19].
数据采用2004年9月24日至2004年11月25日共计193个交易日的大连商品交易所大豆期货合约s0507价格F1,t[19],豆粕期货合约m0508价格F2,t[19].豆油现货价格S t数据取自大连商品交易所交割部[19].
计算对豆油现货价格S
t套期保值120个交易日的套保比率H.大豆期货价格F1,t和豆粕期货价格F2,t的历史数据如表1所示.
大豆期货合约的维持保证金为K
1
=5%,交易费用为C1=014元Π吨,豆粕期货合约的维持保证金为
为K
2
=5%,交易费用为C2=013元Π吨[19].
312 基于资金限制的多品种期货套期保值比率计算
31211 目标函数的建立
3121111 期货与现货收益率的计算
将表1第1列大豆期货价格序列F
1,t、表1第3列豆粕期货价格序列F2,t分别代入到式(2),得到大豆
期货收益率R
f1,t
列于表1第2列.豆粕期货收益率R f2,t列于表1第4列.
将表1第5列豆油现货价格序列S
t代入到式(3),求解豆油现货收益率R
s,t
,列于表1第6列.
3121112 现货收益率多品种协方差矩阵的预测
利用式(4)预测未来的大豆期货收益率、豆粕期货收益率和豆油现货收益率的协方差矩阵 G.式(4)中
的:W、A、B为方程的系数矩阵,不用给定,G
t-1为方程的已知量,由表1中的第2列大豆期货收益率R
f1,t
、
第4列豆粕期货收益率R
f2,t
、第6列豆油现货收益率R s,t的协方差矩阵生成[8],E t-1是在拟合过程中生成的残差项.
对多元G ARCH(1,1)模型的BEKK形式(4)进行极大似然拟合,预测得到期货和现货的协方差常数阵 G如式(16)所示.
G=010001960100075601
000294 010007560100414101000819 010002940100081901006298
(16)
表1 期货与现货的价格及收益率
日期t
大豆期货s0507豆粕期货m0508豆油现货
价格F
1,t
收益率R
f1,t
价格F
2,t
收益率R
f2,t
价格S
t
收益率R
s,t
200409232664-2330-6540-
200409242658-0.00223450.0066520-0.003 200409252639-0.00723750.0136500-0.003…
200507132872-0.0102631-0.00357000.007 2005071428890.00626350.00257200.004 数据来源:大连商品交易所网站(w w https://www.doczj.com/doc/a35262969.html,)2006.02.21
3121113 目标函数的建立7
第6期基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
由式(16)协方差矩阵的预测值 G ,可知现货方差的预测值Var (R s )、反映期货2期货之间相关性原理的协方差预测值C ov (R fi ,R fj )、反映现货2期货之间相关性的协方差预测值C ov (R f ,R s )分别为:
C ov (R f ,R s )=01
00029401000819(17)C ov (R fi ,R fj )=
010001960100075601000756
01004141
(18)Var (R s )=01006298
(19)
将式(17)～(19)代入到目标函数式(8),得到基于资金限制的多品种期货套期保值的目标函数为:
min H
(Var (R h ))=Var (R s )+H C ov (R fi ,R fj )H T
-2H C ov (R s ,R
f )
=01006298+h 1h 2
0100019601000756
01000756
01004141
h 1h 2
-2h 1h 2
0100029401000819
(20)
式(20)便是利用预测的数据得到的目标函数.
式(20)与传统的利用历史数据得到的最小方差套期保值模型的不同之处在于式(20)求出的套期比能够反映未来的期货2期货相关性和期货2现货相关性的,改变了传统的模型的历史局限性,使得套期比的计算更加合理.
31212 资金需求量约束条件的建立
3121211 期货和现货价格的多元蒙特卡罗模拟
按照图2所示的蒙特卡罗模拟流程,对大豆期货价格F 1t 、豆粕期货价格F 2t 和豆油现货价格S t 进行多元蒙特卡罗模拟,过程为:
1)多元蒙特卡罗随机向量的产生
①随机向量Y 的生成
分别对表1中的第2列的大豆期货收益率R f 1,t 、第4列的豆粕期货收益率R f 2,t 和第6列的豆油现货收益率R s ,t ,取样本期望得到:
u f 1=010********, u f 2=010********, u s =-010********
由计算机随机产生一个3维的服从期望分别为μf 1=010********,μf 2=010********,μs =-010********.
由于模拟要求随机产生的向量Z 满足预测得到的协方差矩阵,由式(11)知产生的随机向量的方差为1.
则正态分布的随机向量y 1、y 2、y 3为
Y =(y 1,y 2,y 3)
T
(21)
其中,y 1～N (μf 1,1)y 2～N (μf 2,1)y 3～N (μs ,1)
②下山角矩阵A 的产生
对式(16)的期货和现货的协方差矩阵 G 的预测值进行分解,即将式(16)的常数矩阵 G 进行Cholesky 分解
[11]
,分解后得到下山角矩阵A 为
A =
01014
000105401035001021
-01009
01076
(22)
③多元蒙特卡罗模拟随机向量Z 的产生
将式(21)随机向量Y 与式(22)的下山角矩阵A 代入到式(9),得到蒙特卡罗模拟随机数向量Z 为
Z =A Y =
01014
000105401035001021
-01009
01076
y 1y 2y 3
=
01041y 1
01054y 1+01035y 2
01021y 1-01009y 2+01076y 3
(23)
8系统工程理论与实践2008年6月
式(23)的第1、2、3行分别是大豆期货、豆粕期货和豆油现货的蒙特卡罗模拟变量.
2)期货和现货价格的模拟①大豆和豆粕期货价格的模拟
表1的历史数据已经存在,套期保值者从表1的最后一行的时刻2004年11月25日开始介入套期保值过程,也就是套期保值的初始数据为表1的最后一行所示的期货价格和现货价格.
对表1中的第2列的大豆期货收益率R f 1,t 取样本标准差得到大豆期货收益率波动的估计值σf 1,由表1的第1列与最后一行的交叉点得套保的大豆期货的初始价格F 1
0,如式(24)所示
σf 1=010*******,F 1
0=2889
(24)
对表1中的第4列的豆粕期货收益率R f 2,t 取样本标准差得到豆粕期货收益率波动的估计值σf 2,由表1的第3列与最后一行的交叉点得套保的豆粕期货的初始价格F 2
0,如式(25)所示
σf 2=010*******,F 20=2635(25)
将式(24)的大豆期货的初始价格F 1
0和大豆期货收益率波动估计值σf 1,式(23)的第1个分量Z f 1=01041y 1,以及套期保值时间t =120代入到式(10),得到套期保值120个交易日结束时的大豆期货价格
F 1
120的模拟公式为
F 1
120=F 1
0(1+σf 1Z f 1
120)=2889×(1+01010664×01041y 1×120)
(26)
将式(25)的豆粕期货的初始价格F 2
0和豆粕期货收益率波动估计值σf 2,式(23)的第2个分量Z f 2=01054y 1+01035y 2,以及套期保值时间t =120代入到式(10),得到套期保值120个交易日结束时的豆粕期
货价格F 2
120的模拟公式为
F 2
120=F 2
0(1+σf 2Z f 2
120)=2635×(1+01012328×(01054y 1+01035y 2)×120)(27)
②豆油现货价格的模拟
对表1中的第6列的豆油现货收益率R s ,t 取样本标准差得到豆油现货收益率波动的估计值σs ,由表1的第5列与最后一行的交叉点得套保的豆油现货的初始价格S 0,如式(28)所示.
σs =010*********,S 0=5720
(28)
将式(28)的豆油现货的初始价格S 0和豆油现货收益率波动估计值σs ,式(23)的第3个分量Z s =01021y 1-01009y 2+01076y 3,以及套期保值时间t =120代入到式(12),得到套期保值120个交易日结束时
的豆油现货价格S 120的模拟公式为
S 120=S 0(1+σs Z s
120)=5720×(1+010089913×(01021y 1-01009y 2+01076y 3)×120)(29)
利用计算机对式(26)、式(27)以及式(29)分别进行1000次模拟,得到套保120个交易日后的大豆期货价格F 1120、豆粕期货价格F 2
120和豆油现货价格S 120,如表2所示.表2 第120天的期货与现货价格模拟
模拟次数
套保120个交易日后的大豆期货价格F 1120
套保120个交
易日后的豆粕期货价格F 2120
套保120个交
易日后的豆油现货价格S 120
12872.46432625.02475720.44972
2853.06212643.95555641.7511…
999
2829.4086
2617.3519
5584.0469
10002924.67222749.96845975.138******** 模拟结果分析
分别画出表2第1列的大豆期货价格模拟值F 1
120、第2列的豆粕期货价格模拟值F 2120
和第3列豆油现货价格模拟值S 120的直方分布图,如图3、图4、图5所示.
从图3～图5可以看出,模拟结果分布服从正态分布.验证了F 1
120,F 2
120,S 120服从正态分布.同时这一结果验证了上文所
作的假设,即期货价格和现货的收益率分
布服从正态分布的假设.3121213 几点说明
对于期货价格和现货价格收益率不服从正态分布的情况,按照2121112的(1)期货和现货价格收益率
9
第6期基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
分布假设介绍的情况来模拟期货和现货价格分布
.
图3 大豆期货价格模拟结果的直方图
图4 豆粕期货价格模拟结果的直方图
图5 豆油现货价格模拟结果的直方图
3121214 可能遭受的套期保值最大损失值L 的计算
本文通过求表2中的套保120个交易日后的大豆期
货、豆粕期货的最大价格和豆油现货的最小价格,来计算套期保值可能出现的最大损失.
分别求出表2的第1列、第2列和第3列的样本期望和样本方差为:μ^f 1=288513428,μ^f 2=263418344,μ^s =571518911
σf 1=6912,σf 2=107198,σs =184153
由3121212最后一部分的模拟结果分析可知:
套保120个交易日后的大豆期货价格F 1
120的分布为
F 1
120～N (u ^
f 1,σf 1)=N (288513428,6912)
套保120个交易日后的豆粕期货价格F 1
120
的分布为
F 2
120～N (u ^
f 2,σf 2)=N (263418344,107198)
套保120个交易日后的豆油现货价格S 120的分布为
S 120～N (u ^
s ,σs )=N (571518911,184153)
则依据上述的大豆期货价格分布和豆粕期货价格分布,分别在95%的置信水平下取F 1120和F 2
120的最大值,在95%的置信水平下取S 120的最小值.
以求95%置信水平下的大豆期货价格的最大值为例:
由于正态分布N (u ^
f 1,σf 1)的随机变量F 1120满足
F 1
120-μf 1
σf 1
?N (0,1)
则有正态分布N (u ^
f 1,σf 1)在95%处的分位点F 1120满足
F 1
120-μf 1
σf 1
=α0195
因此,正态分布标准N (u ^f 1,σf 1)的0195处的分布数F 1120,满足正态分布的0195的分位数a 0195乘以标
准差σf 1,然后加上均值u ^
f 1,便可以得到95%置信水平下的最大大豆期货价格,即
F 1
120=a 0195×σf 1+u ^
f 1=1165×
6912+288513428=299915233(30) 同样可以求出95%置信水平下的最大豆粕期货价格和最小豆油现货价格为
F 2120=a 0195×σf 2+u ^
f 2=1165×
107198+263418344=281219933(31)S 120=a 0105×σs +u ^
s =-1165×
184153+571518911=541114150(32)
01系统工程理论与实践2008年6月
式(30)～(32)中的a 0195=1165为标准正态分布0195处的分位数,a 0105=-1165为标准正态分布0105处的分位数,其他符号的涵义同前.
将式(24)中的大豆期货的初始价格F 10=299915233、式(25)中的豆粕期货初始价格F 2
0=2635、式(28)中的豆油现货的初始价格S 0=5720以及式(30)中套期保值120交易日后在95%置信水平下的大豆期货最大价格F 1
120=299915233、式(31)中套期保值120交易日后在95%置信水平下的豆粕期货最大价格F 2
120=281219933、式(32)中套期保值120交易日后在95%置信水平下的豆油现货最小价格S 120=541114150代入
到套期保值损益L 的计算式(13)中,得到单位现货套期保值的可能遭受的最大损失值L 为
L =(S t -S 0)-H (F t -F 0)=(541114150-5720)-h 1(299915233-2889)-h 2(299915233-2889)
=-(30815860+11015233h 1+17719933h 2)
(33)
式(33)的负号表示损失.从式(33)可以看出套期保值组合损失与套期比有直接的关系,且当套期比变大时,套保组合可能出现的最大套期保值损失也随之增大.3121215 资金约束条件的建立
将式(33)套期保值可能遭受的最大损失值L 以及式(29)大豆期货可能出现的最大价格F 1
120=299915233,式(30)豆粕期货可能出现的最大价格F 2
120=281219933,大豆期货合约的维持保证金K 1=5%,
交易费用C 1=014元Π吨,豆粕期货合约的维持保证金K 2=5%,交易费用C 2=013元Π吨,代入到式(15),得:
O ≥NC =H (K ?F 0
t )+HC +L =(h 1,h 2)((K 1,K 2)?(F 1
120,F 2
120))
T
+(h 1,h 2)(C 1,C 2)T
+L
=(h 1,h 2)((5%,5%)?(2999152,2812199))T +(h 1,h 2)(014,013)
T
+|-(3081585+11015233h 1+17719933h 2)|=3081585+26018995h 1+3181943h 2
(34)
式(34)便是多品种期货套期保值的资金约束.
式(34)的经济涵义就是确保套保者的手头资金大于套期保值资金需求量,套期保值的资金需求量又是套期比的函数,这就说明套保者的手头资金对套保策略有很大的影响.
式(33)的资金约束条件的建立避免了套保不会因为套保者的手头资金不足,不能及时的追加保证金和承受套保组合的损失而导致套保失败,从而更好的规避了现货市场价格波动带来的风险.
联立目标函数式(20)和资金约束条件式(33)便是基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型.31213 模型的求解
利用Matlab615求解由式(20)目标函数和式(34)的资金约束条件组成的二次规划方程.
为了能够求出套期保值的最优资金需求量,本文依据套保者的单位现货所持有的手头资金O 的不同(O 从500元Π吨到1500元Π吨变化)求解套期保值比率,计算结果列于表3.并画出表3所示的计算结果的散点图,如图6所示.
表3 基于资金限制的多品种期货套期比计算结果
套保者的手头资金
O (元Π吨)500500.1…916.7916.7001916.8…1500基于资金限制的套期比
大豆期货套期比h 10.696840.69732… 2.6892 2.6892 2.6892… 2.6892豆粕期货套期比h 2
0.030444
0.030367
…
-0.29318
-0.29318
-0.29318
…
-0.29318
计算结果中豆粕套期比的负号表示豆粕期货的与原套保头寸方向相反.以本文的卖出豆油现货的现货空头套保为例,若套期比为正,则套保者须持有多头期货来进行套期保值,若套期比为负,则套保者须持有空头期货来进行套期保值.31214 模型的优化结果
1
1第6期基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
图6 套期比与套保者的手头资金关系图3121411 最优套期保值比率的数值分析
1)在表3的计算结果中,套期保值者的手头资金为
O =91617001元Π吨是临界点.
2)在临界点的左侧,套期比随着套期保值者手头资
金的减少而减少.
3)在临界点的右侧,套期比不随着套保者手头资金的增大而变化.
基于以上3点分析,可以得出最优的套期保值资金需求量为O =91617001元Π吨,最优的套期保值比率为h 1=216892,h 2=-0129318.
3121412 最优套期保值比率的几何分析
根据表3可以画出套期比与套保者的手头资金关系图、如图6所示.
1)图6中的拐点是套期保值最优资金需求量和最优的套期保值比率,这个拐点不仅为套期保值提供了最优的套期保值比率,而且给出了最佳的套期保值资金需求量,从而更好的规避了由于现货价格波动和套保者的手头资金不足带来的风险.
2)图6拐点左侧的斜线部分,表明了随着套期保值者的手头资金的减少,套期保值比率相应的发生减少.说明了套保者没有足够的资金来满足保证金的追加,这时候为了减少由于套保者的手头资金不足带来的逼仓风险,只能适当的减少套期保值比率.这时候为了达到更好的套期保值效果,就要增加套保者的手头资金.
3)图6拐点右侧的直线部分,表明了随着套期保值者的手头资金的增加,套保比率不改变,说明了套保者的手头资金足以应付保证金的追加和套保组合损失.这也就是说套保者的手头资金多了,这样造成资金的浪费.31215 模型结果的实际应用解释
按照本文的实证分析,假设甲工厂有10000吨豆油现货在未来的3个月后卖出.甲工厂进行套期应用大豆期货和豆粕期货进行豆油现货的多品种套期保值.
则通过本文的实证分析可知,
10000×h 1=10000×216892=26892(吨)
10000×h 2=10000×(-0129318)=-29318(吨)10000×O =10000×91617001=9167(万元)
上面的计算结果表示:
甲工厂应该持有的大豆期货合约为
26892吨÷10吨Π手≈2689手
正号表示大豆期货合约为多头期货合约.
甲工厂应该持有的豆粕期货合约为
-29318吨÷10吨Π手≈-2931手
负号表示持有空头的豆粕合约.
甲工厂进行套期保值应持有的资金为:
10000×O =10000×91617001=9167(万元)
313 对比研究31311 对比研究的有关计算
本文利用传统的最小方差套期比模型[16]
与本文建立的模型进行比较.本文建立模型的计算结果数据只取有代表意义的最优套期保值比率和套期保值资金需求量的数据,即图6中拐点的数据.对比计算结果见表4.
21系统工程理论与实践2008年6月
表4 对比研究计算结果
传统最小
方差模型
本文建立的模型
大豆期货套期比h 10.0169 2.6892豆粕期货套期比h 2
-0.0403
-0.29318
套保风险Var (R h ) 1.229×10-49.828×10
-3资金需求量O (元Π吨)-916.700131312 对比结果分析
1)从表4的计算结果可以看出,采用本文建立的
模型可以得到最优的套期保值资金需求量,为套保者进行套期保值提供参考.而传统的最小方差模型得不到套期保值资金需求量.
利用本文建立的模型不仅能够得到最优的套期保值策略,还可以得到最优的套期保值资金需求量,这是本文建立模型的主要创新.
2)虽然从表4的计算结果可以看出,传统的最小方差模型计算得到的套保风险要少于本文建立起来的模型.但这两个风险之间不具有可比性,其原因在于本文是采用预测的方法计算套期比,而传统的最小
方差是利用历史数据计算得到的,采用历史数据计算套期比不能反映出未来的套保风险.
4 结论
1)建立了基于资金限制的多品种期货最小方差套期保值模型.不仅给出了最优套期保值策略,而且计
算出了最佳套期保值资金需求量.在最小方差套期保值模型的基础上,引入了多种期货对一种现货的套期保值资金需求量的约束条件,模型确定了多品种期货套期保值资金需求量,避免了因资金短缺造成的套保失败.
2)提出了多品种期货套期保值的资金需求量研究的新思路.利用多元G ARCH (1,1)模型预测期货和现货价格走势以及它们之间的协方差矩阵,在此基础上,通过计算多品种期货套期保值未来一段时间内的最大的保证金需求量和套保组合的最大损失,建立了多品种期货套期保值的资金需求量.该原理充分的考虑了套期保值的保证金追加和套保损失,保证了套期保值的顺利完成.
3)利用多元G ARCH 模型实现多种风险的非线性对冲.利用多元G ARCH (1,1)模型预测期货与现货多品种的协方差矩阵,来代替多品种期货最小方差套期保值模型中的相关变量,不仅反映了期货2现货之间相关性的非线性对冲,而且反映了期货2期货之间相关性的非线性叠加,解决了期货与现货价格发生较大变动时交叉套期保值的问题.
4)利用多元蒙特卡罗模拟方法实现了对套期保值组合损失的预测.利用多元蒙特卡罗模拟的方法预测出未来的期货和现货的分布,从而可以预测出多品种期货和现货组合的损失情况.
参考文献:
[1] C ollins R A.The risk management effectiveness of multivariate hedging m odels in the U.S.s oy complex[J ].Journal of Futures
Markets ,2000,20(2):189-204.
[2] 林孝贵.二重期货套期保值模型及其代数解法[J ].广西工学院学报,2004,15(3):68-71.
Lin X G.A futures duple hedge m odel and algebra s olution[J ].Journal of G uangxi Institute of T echnology ,2004,15(3):68-71.[3] Lien D.A note on dual hedging[J ].International Journal of Business and Economics ,2004,3(1):29-34.
[4] Abraham Lioui ,Patrice P oncet.Optimal hedging in a dynamic futures market with a nonnegativity constraint on wealth[J ].Journal of
Economic Dynamics and C ontrol ,1996(20):1101-1113.
[5] Laurent J P ,Pham H.Dynamic programming and mean 2variance hedging[J ].Finance and S tochastic ,1999,(3):83-110.[6] Chen S S ,Lee C F ,Shrestha K.Futures hedge ratios :A review[J ].The Ouarterly Review of Economics and Finance ,2003(43):
433-465.
[7] R obert K,G ay ,G erald D ,Hunter ,William C.Liquidity requirements for finacial futures investments [J ].Financial Analysts
Journal ,1985,41(3):60.
[8] Chang J ,Loo J.Marking 2to 2market stochastic interest rates and discounts on stock index futures[J ].The Journal of Futures Markets ,
1987,(7):15-20.
(下转第58页)
3
1第6期基于资金限制的多品种期货套期保值决策模型
85系统工程理论与实践2008年6月
Science,2003,(31):83-96.
[9] S im on Haykin.Neural Netw orks2A C omprehensive F oundation[J].Prentice2Hall,1999.
[10] Hastie T J,T ibshirani R J.G eneralized Additive M odels[M].London:Chapman and Hall,1990.
[11] Buja A,Hastie TJ,T ibshirani R J.Linear sm oother and additive m odels(with discussion)[J].Annals of S tatistics,1989,17:453
-555.
[12] Linton O,Nielsen J P.A kernel method of estimating structured nonparametric regression based on marginal integration[J].
Biometrika,1995,82:93-100.
[13] Hastie T.Pseudosplines[J].J R S tatist S oc B,1996,58:379-396.
[14] Sardy S,Tseng P.AMlet,RAMlet,and G AMlet:Automatic nonlinear fitting of additive m odels,robust and generalized,with
wavelets[J].Journal of C omputational G raphical S tatistics,2004,(2):283-309.
[15] W ood S N.M odelling and sm oothing parameter estimation with multiple quadratic penalties[J].J R S tatist S oc B,2000,62(2):
413-428.
[16] X iao W B,Fei Q.A study of pers onal credit scoring m odels on support vector machine with optimal choice of kernel function
parameters[J].Systems Engineering2Theory and Pratice,2006,(10):73-79.
(上接第13页)
[9] Blank S C.Determing futures hedging reserve capital requirements[J].Journal of Futures Markes,1990,10:169-177.
[10] Blank S C.The significance of hedging capital requriements[J].Journal of Futures Markes,1992,12:11-18.
[11] 吴冲锋.金融工程研究[M].上海:上海交通大学出版社,2000.
Wu C F.Research of Financial Project[M].Shanghai:Shanghai Jiaotong University Press,2000.
[12] 袁象,李玮,王方华.套期保值资金需求量研究[J].技术经济与管理研究,2002,(1):55-56.
Y uan X,Li W,Wang F H.The research on the capital requirement of hedging[J].T echnoeconomics&Management Research, 2002,(1):55-56.
[13] 林孝贵.期货组合套期保值的效率分析[J].广西工学院学报,2003,14(3):21-24,28.
Lin X G.An analysis of the efficiency of futures combination hedge[J].Journal of G uangxi Institute of T echnology,2003,14(3):21 -24,28.
[14] Engle R F,K roner K F.Multivariate simultaneous generalized ARCH[J].Econometric Theory,1995(11):122-150.
[15] 周少甫,杜福林.基于多元G ARCH理论的资本资产定价模型[J].统计与决策,2004,(12):47-48.
Zhou S P,Du F L.Capital asset pricing m odel based on multivariate C ARCH m odel[J].S tatistics and Decision,2004,(12):47-
48.
[16] Louis H,Ederington.The hedging performance of the new futures markets[J].Journal of Finance,1979,1(34):157-170.
[17] 蒋长锦.线形代数计算方法[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2003.
Jiang C J.Linear Algebra Calculate[M].Hefei:University of Science and T echnology of China Press,2003.
[18] 王春峰.金融市场风险管理[M].天津:天津大学出版社,2001.
Wang C F.The Risk Management of Financial Markets[M].T ianjin:T ianjin University Press,2001.
[19] 大连商品交易所.http:ΠΠw w https://www.doczj.com/doc/a35262969.html,ΠportalΠcnΠindex.jsp.
Dalian C omm odity Exchange.http:ΠΠw w https://www.doczj.com/doc/a35262969.html,ΠportalΠcnΠindex.jsp.